CC BY
72
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 18 Выпуск 4
УДК 517 DOI 10.22405/2226-8383-2017-18-4-255-259
ОЦЕНКА МНОГОЧЛЕНА ОТ ГЛОБАЛЬНО ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО ПОЛИАДИЧЕСКОГО ЧИСЛА
Е, С, Крупицын (г, Москва) Аннотация
Пусть
а = акПк!, ак е Z, 0 < ак < пк,
п=0
где пк — быстро возрастающая последовательность натуральных чисел. Этот ряд сходится во всех полях Qp р-адических чисел и представляет собой полиадическое число. Кольцо целых полиадических чисел является прямым произведением колец целых р-адических чисел по всем простым числам р. Это позволяет рассматривать а, как бесконечномерный вектор ..., а(п),...), где координата с номером п равна сумме этого ряда в поле QPn,
где Рп — п-ое простое число.
Для любого многочлена Р(х), отличного от тождественного нуля и имеющего целые коэффициенты, имеет место равенство
Р (а) =
Полиадическое число а называется алгебраическим, если Р(а) есть нулевой вектор, Р (а) = (0,..., 0).
В работах В.Г. Чирского введены понятия трансцендентного, бесконечно трансцендентного, глобально трансцендентного числа. Именно, полиадическое число а называется алгебраическим, если для любого многочлена Р(х) полиадическое число Р(а) не равно нулю, т.е. имеет хотябы одну отличную от нуля координату Р (а(п)). Полиадическое число называется бесконечно трансцендентным, если таких координат бесконечно много и глобально трансцендентным, если все Р (а(п)) = 0. В работе получены оценки снизу |Р (а(п)) в любом поле Следствием является глобальная трансцендентность а.
Ключевые слова: оценка многочлена, полиадическое число, трансцендентность.
Библиография: 15 названий.
ESTIMATES OF POLYNOMIALS IN A LIOUVILLEAN
POLYADIC INTEGER
E, S, Krupitsyn (Moscow) Abstract
Let
a = aknk!, ak € Z, 0 < ak < nk,
n=0
with a rapidly growing sequence nk of positive integers. This series converges in all p-adic fields Qp so it is a polyadic number.
The ring of polyadic integers is a direct product of the rings Zp of p-adic integers over all prime numbers p.
So a can be considered as the vector with coordinates equal to the sums
a(n) of the series a in the fie Id QPn for the n-th prim e pn.
For any nonzero polynomial P (x) with integer coefficients one has
P (a) =
The polyadic integer a is called transcendental, if for any nonzero polynomial P (x) with rational integer coefficients there exist a prime p(n) with P (a(n)) = 0 in pn.
The polyodic integer is infinitely transcendental if there exist infinitely m^y primes pn such that P (a(n)) = 0 in QPn and it is called globally tr^scendental, if P (a(n)) = 0 for any n.
The paper presents estimates from below of |P (a(n)) I in any Q„ . As a corollary we get
' ^ ' 'Pn
a
Keywords: polyadic integer, estimates of polynomials. Bibliography: 15 titles.
1. Введение
В работе дается оценка многочлена от полиадического лиувиллева числа. Теория полиадических чисел изложена, например, в книге [1]. Арифметические свойства полиадических чисел исследовались в работах В. Г. Чирского [2]-[11], [15], Д. Бертрана [12], В. Ю. Матвеева, Е. С. Крупицына [13] и др.
В работе Цайсова [14] установлена оценка многочлена от лиувиллева числа в архимедовом случае.
Цель этой работы — доказательство теоремы.
2. Основной текст статьи
Теорема 1. Пусть
те
а = ^акПкак е 0 ^ак ^пк, пк е N (1)
к= 1
(Пк + 1)ЧП* + 1) ^ к^ +«, (2) пк + 1
Пусть е(Н) ^ 0 при Н ^ + ж. Пусть р е N. Тогда существует Н0 = Н0(р) такая, что для любого простого числа, р ^ р и любого многочлена Р(х) с целым,и коэффициентами, не превосходящим,и по абсолютной величине числа, Н, Н ^ Но, имеющего степень т, удовлетворяющую неравенству
т (Н) < ш-т) (3)
выполнено неравенство
|Р(а)|„ • Н-1-в-1(Я)(Ш1пН+1пе-\Н)ут. (4)
1 у Ир т + 1
N
Доказательство. Обозначим для N е N а^ = ^ акпк!. Имеет место равенство
к= 1
Р (т)(а)
Р (ам) = Р (а) + Р (а)(ам - а) + ... + т( ) (ам - а)т (5)
Если
ам >Н + 1, (6)
то по лемме о модуле старшего члена Р(ам) = 0 и
1
\Р К )1
Ввиду неравенства
\рк)\р ^тгтт^ (7)
Р(т) (а)
Р (а)(ан - а) + ... +--—— (ам - а)г
из (5) и (7) следует, что
|Р (а)|" > иЬ (8)
если
|п-+1^ < |Р(Ьг. (9)
Для величины \Р( ам)\ имеем оценку
\Р( а„)\ < Н • (т + 1) • < < Н • (т + 1) • ((п„ + 1)!)т. (10)
_ п — вп
Ввиду формулы \п!\р = р р—1 , где Зп — сумма цифр р-ичного разложения числа п получаем, что неравенство (10) следует из неравенства
1п( Н( т + 1)) + т(пм + 1) 1п(п^ + 1) <-- • пм+1 - 1п(р • пм+1). (11)
1п р р - 1
При N ^ Щ(Н) ввиду (2),
(пм + 1) 1п(п^ + 1)
пм+1
< е(Н) (12)
1п(п^+1 р) < те(Н)пм+1.
Поэтому (8) выполняется, если одновременно выполнены эти неравенства, условие (6) и неравенство
(1п Н(т + 1)) (р - 1) 1пр - 2т(р - 1)е(Н)'
В свою очередь, условие (6) следует из неравентва
пм+1 . (13)
К + 1)1п(> 1п(Н + 1)
п,+1 ^ (И
или, с учетом (12), из
" 1п(Н + 1)
Если считать, что т(Н) ^ Н, то неравенство (13) следует из (14). Пусть теперь N выбрано так, что N ^ ^(Н) и выполняются неравенства (14) и
пм < . (15)
1п(Н + 1)
КН)
Это можно сделать при Н ^ Но(р). Тогда из (15) получаем заключение теоремы (4). □
р
и
3. Заключение
Подобными, но существенно более громоздкими рассуждениями можно получить оценку
многочлена от совокупности полиадических чисел. Отметим, что в отличие от архимедовского
случая проще устанавливается, что значение многочлена в приближающей точке отлично от
нуля.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971.
2. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами //Доклады Академии наук, математика, том 439, №6, с. 677-679, 2014.
3. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая, том 81, выпуск 2, с. 215-232, 2017.
4. Чирский В. Г. О преобразованиях периодических последовательностей // Чебышевский сборник, том 17, №3, с. 180-185, 2016.
5. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая, том 78, №6, с. 193-210, 2014.
6. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Матем. заметки, том 48, вып. 2, с. 123-127, 1990.
7. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского Университета, Серия 1: Матемаика. Механика. №1, с. 59-61, 2015.
8. Чирский В. Г., Нестеренко А.Ю. Об одном подходе к преобразованию периодических последовательностей // Дискретная математика, том 27, №4, с. 150-157, 2015.
9. Чирский В. Г. О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях. // Вестн. Моск. ун-та. - Сер.1, матем.,механ., №3, с.93-95, 1994.
10. Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник, том 12, №4, с. 129-134, 2011.
11. Чирский В. Г. Чирский Полиадические оценки для F-рядов. // Чебышёвский сборник, т.13, вып.2, с. 131-136, 2012.
12. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series // Ann. Fac. Sci. Toulouse - V.XIII, №2. 2004. pp. 241-260.
13. Крупицын E.C., Чирский В. Г. Оценки многочленов от некоторых полиадических чисел // Преподаватель XXI век, №4, с. 217-224, 2012.
14. Cijsouw P. L. Transcendence measures. Amsterdam: Acad. Proefschrift, 1972.
15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tveir solutions in the works of vu.v. nesterenko // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2017. - Vol. 24, no. 2. - P. 153-171.
REFERENCES
1. Postnikov A. G. 1971, Introduction to the analytic number theory. Moscow.
2. Chirskii V. G. 2014, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, vol. 90, no. 3, pp. 766-768.
3. Chirskii V. G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, vol. 81, no. 2. pp. 444-461.
4. Chirskii V. G. 2016, "An approach to the transformation of periodic sequences" , Chebushevskii sb., vol. 17, no. 3, pp. 180-185.
5. Chirskii V. G. 2014, "On the arithmetic properties of generalized hvpergeometric series with irrational parameters" , Izvestiya Mathematics, no. 6, pp. 1244-1260.
6. Chirskii V.G. 1990, "On global relations", Math, notes, vol. 48, no. 2, pp. 123-127. 1990.
7. Chirskii V.G. 2015, "Arithmetic properties of Euler series" , Moscow University Mathematics Bulletein, vol. 70, no. 1, pp. 41-43.
8. Chirskii V. G., Nesterenko A.Yu. 2017, "An approach to the transformation of periodic sequences" , Discrete Mathematics and Applications, vol. 27. no. 1, pp. 1-6.
9. Chirskii V.G. 1994, "On series which are algebraically independent in all local fields", Vestnik Mosc. Univ., Ser.l, math.-mech. no. 3, pp. 93-95.
10. Chirskii V.G. 2011, "Estimates for linear forms and polynomials in polyadic numbers", Tchebyshev. Sbornik, vol. 12, no. 4, pp. 129-134.
11. Chirskii V.G. 2012, "Polyadic estimates for F-series" , Tchebyshev. Sbornik, vol. 13, no. 2, pp. 131-136.
12. Bertrand D., Chirskii V. G.,& Yebbou Y. 2004, "Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series" , Ann. Fac. Sci. Toulouse - vol. 13, no. 2, pp. 241-260.
13. Krupitsvn E.S., Chirskii V.G. 2012, "Estimates of polynomials in some polyadic numbers" , PrepodavateV XXI century, no. 4, pp. 217-224.
14. Cijsouw P. L. 1972, Transcendence measures. Amsterdam, Acad. Proefschrift.
15. Chirskii V. G. 2017, "Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tveir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko" , Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 24, no. 2, pp. 153-171.
