CC BY
27
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)
УДК 511.36
ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ И МНОГОЧЛЕНОВ ОТ СОВОКУПНОСТЕЙ ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
ESTIMATES OF LINEAR FORMS AND POLYNOMIALS IN POLYADIC NUMBERS
The paper presents estimates from below of the polyadic distance from zero for linear forms and polynomials with integer coefficients in certain polyadic numbers.
На кольце Z целых чисел можно ввести топологию т, рассматривая множество идеалов (ш)в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложения и умножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца (см. [1], [2]). Обозначив это кольцо Zr. На кольце ZT можно ввести метрику (см. [1], [3]), положив
Бесконечная последовательность х\,х2,... целых чисел называется фундаментальной, если для любого к Е N существует N Е N такое, что для всех т,п> N справедливо сравнение хт = xra(modk!).
Метрическое пространство Zr не является полным. Например, последовательность 1!, 1! + 2!,..., 1! + 2! + ... + п!,... является фундаментальной, но не
В. Г. Чирский (г. Москва)
Аннотация
В работе получены оценки снизу полиадического расстояния от О для линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от некоторых совокупностей полиадических чисел.
V. G. Chirskii(Moscow) Abstract
(1)
где
0, если x = y(modm),
1, если x ф y(modm).
(2)
имеет предела в Ът. Для фундаментальных последовательностей [хк} и [ук} рассмотрим последовательности [хк + уь}, [хк — УкК [хь ■ Ук}• Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца Zr образуют кольцо.
Будем называть последовательность о1,о2,... нулевой последовательностью, если Итп^ж оп = 0 , где предел понимается в смысле топологии кольца Zr.
Назовем фундаментальные последовательности [хк} и [ук} эквивалентными, если их разность [хк — ук} является нулевой последовательностью. Это свойство является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. определяет отношение эквивалентности.
Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из Zr.
[хк}
вательности [ик}, а последовательность [ук} эквивалентна [ьк}, то [хк + ук} эквивалентна [ик+ук }, [хк — ук} эквивалентна [ик — ук}, [хк ■ ук } эквивалентна [ик ■ ук}. Поэтому на множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце 0 целых полиадических чисел. Вложение кольца Ъ в 0 осуществляется сопоставлением элементу х Е Ъ класс а у фундаментальных последовательностей, эквивалентных после-х, х, х, . . .
Так как Ът - метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству 0т. Кольцо 0т можно метризовать. Пусть у Е 0т состоит из последовательностей [хк}, а у Е 0т - последовательностей [ук}. Определим
р(у, у) = 1т р(хк,Ук), (3)
к^ж
где расстояние р(хк,ук) между элементами хк,ук Е Ът определено равенством (!)•
Элементы а Е 0* имеют каноническое представление в виде ряда
Ж
а = ^ ап ■ п! (4)
п=1
где ап Е [0,1,... ,п}.
Кольцо 0т является прямым произведен нем колец Ър. по всем простым числам рг, при этом ряд а сходится в любом Ър.. Действительно, степень, в которой простое число р входит в разложение числа п! на простые множители, равна
Пр—1 , где Бп - сумма цпфр в р - ичном разложении числа п. Следовательно,
ДЛЯ любого Рг при п —— Ж
\ап ■ п!\р1 — 0,
что является достаточным условием сходимости ряда (4) в Ър..
Одной из задач теории трансцендентных чисел является задача получения оценки снизу для линейных форм и многочленов от совокупностей чисел.
Рассмотрим совокупность а полиадических чисел ai. am. Обозначим
L(a) = hiai + ... + hmam , (5)
где hi,...,hm E Z, H = maxi=ií..,ím\hi\ •
Число H называют высотой линейной формы (5).
Теорема 1. Пусть существует число Н0 такое, что для любой линейной формы (5), коэффиценты, которой удовлетворяют условию Н ^ Н0, существует интервал (a(H),b(H)), где a(H) < b(H), a(H),b(H) - возрастающие функции и существует простое число p, p E (a(H),b(H)) такое, что
\L(a)\p >p-r(pH>
при некотором r(p, H) E N. Тогда существуют последователен ость чисел, Hk, Hk E N последовательность просты,х чисел, pk и последовательность чисел, rk = r(pk,Hk) такие, что определенное равенством (3) расстояние p(L(a), 0) удовлетворяет неравенству
p(L(a),о) ^ ^ , (6)
m£M
где M = U ^=i Mk, а множесmeo Mk состоит из натуральных чисел, которые делятся, хотя, бы, на, одно из чисел, prii, i = 1,... ,k.
Доказательство. Пусть H ^ H0. Положим Hi = H, ji = 1, а число pi
p
условии теоремы. Предполагая, что для числа k ^ 2 уже выбраны все числа Hi, Yii pii l ^ k — 1, выберем чиело Yk E N так, что для Hk = YkH выполняется условие
b(Hk-i) ^ b(Hk). (7)
a(x) b(x)
Рассмотрим линейную форму Lk(a) = YkL(a). Ее высота равна Hk = YkHk удовлетворяет неравенству Hk ^ H0.
По условию теоремы, в интервале (a(Hk),b(Hk)) существует простое число
pk
\Lk(a)\pk >p~kk, (8)
причем, ввиду (7), число pk отлично pi}... ,pk-i. Так как Lk (a) = Yk L(a) и
Yk E N, из (8) следует неравенство
\L(a)\Pk >p-rk,
откуда в виду сделанных предположений, получим
\L(a)\Pl >p-il,l = 1,...,k. (9)
Рассмотрим теперь произведение
к
ПрГ' (10)
1=1
и выберем число Мк Е N так, чтобы чиело Мк! делилось на число (10). Предположим, что а Е &Т имеет вид
го
а = ^ ап п!, ап, г Е {0,1,... ,п},г = 1,... ,п
п=1
и обозначим
Мк
аг,Мк ^ ^ ап,гп!- (И)
п=1
Ввиду свойств р - адического нормирования и неравенств (9), для всех I = 1,... ,к выполняется неравенство
\ь(амк )\р1 >Р-Г1. (12)
Кроме того из (11), (5) следует что Ь(аМк) Е Z.
Оценим определенное равенством (1) расстояние р(Ь(аМк), 0). Из неравенств (12) следует, что Ь(аМк) те делится ни на одно и з чисел рГг, г = 1,... ,к.
Поэтому из (2)следует, что если т Е N делится хотя бы на одно из чисел
рГ*, г = 1,..., к, то
8т(Ь(аМк), 0) = 1.
Значит,
Р(И*Мк), 0) > £ 2т, (13)
т^Ык
где, как определено в формулировке теоремы, множество Мк состоит из чисел т, которые делятся хотя бы на одно из чисел ргГ, г = 1,... ,к.
Так как Мк+1 э Мк для любо го к и так как при к ^ ж
^(аМк ) ^ Да)
в кольце 0Т по определению (3) получим, что неравенство (6) и следовательно, теорема доказаны.
Замечание 1. Правую часть неравенства (13) можно представить, как разность двух чисел, причем, уменьшаемое число представляет собой сумму всех геометрических прогрессий, знаменатели которых представляют собой число 2, возведенное в степень, равную произведению нечетного числа, различных множителей вида рГ*, г = 1,... ,к. Вы,читаемее число имеет аналогичную структуру, но степень числа, 2 равна, произведению четного числа, таких множителей.
Теорема 2. Пусть существует Н0 такое, что для любого отличного от тождественного нуля, многочлена Р(х) = Р(х1;... ,хт) степени d по совокупности переменных и вы,соты, Н, удовлетворяющей условию Н ^ Н0, существует интервал (а(Н),Ь(Н)), а(Н) < Ь(Н), а(Н),Ь(Н) - возрастающие функции и существует простое число р, р Е (а(Н),Ь(Н)) такое, что
при некотором г(р, d, Н) Е N . Тогда существует последовательность чисел, Нк, Нк Е N последовательность просты,х чисел, рк и последовательность чисел, гк = г(рк^,Нк) такие, что расстояние р(Р(а), 0) удовлетворяет неравенству
m^M
где M = U Mk, а множесmeo Mk состоит из натуральных чисел, которые
делятся, хотя, бы, на, одно из чисел, р^, i = 1,... ,k.
Доказательство теоремы 2 совпадает с доказательством теоремы 1, в котором все велечины L(a), L(a.Nk) заменены, соответстве нно на P (a), P (aNfc), что и доказывает неравенство (14).
[1] Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М. Наука. 1971.
[2] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М. Наука. 1984 .
[3] Новоселов Е. В. Топологическая теория делимости целых чисел. Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, 1960, С. 3 - 23.
\P (a)|p >p-r(pdH)
(14)
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Московский педагогический государственный университет Поступило 23.12.2011
