О представлениях натуральных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 1 (2013)

УДК 511.34

О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В. Г. Чирский, В. Ю. Матвеев (г. Москва)

Аннотация

Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида актуальна в теории чисел и ее приложениях. Интерес представляют среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений. В статье рассмотрены разложения с двойной базой, цепи с двойной базой, полиадическое (факториальное) разложения натуральных чисел.

ON REPRESENTATIONS OF POSITIVE INTEGERS

V. G. Chirskii, V. Y. Matveev

Abstract

The problem of representing integers as sums of terms of s certain type is actual in number theory and its applications.

We are interested in the average length of these expansions and the required number of auxiliary calculations. The paper deals with DBNS, chains and the polyadic (factorial) expansions of positive integers.

1 Введение

Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида актуальна в теории чисел и ее приложениях [1], [5], [6], [7], [8]). Интерес представляют среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений. В работе проводится сравнение следующих способов представления натуральных чисел.

Во-первых, это разложение чисел с использованием двух оснований, т.е. представление чисел в виде суммы слагаемых вида 2a3b, a,b- неотрицательные целые числа, которое принято называть разложением DBNS.

Во-вторых, это представление чисел с помощью цепи с двойным основанием, т.е. представление числа N в виде

Третье рассматриваемое представление назовем полиадическим или (факториальным) представлением числа N в виде

Термин полиадическое разложение связан с теорией полиадических чисел. Дадим краткое введение в эту теорию.

На кольце Z целых чисел можно ввести топологию т, рассматривая множество идеалов (т)в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложения и умножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца (см. [1], [2]). Обозначим это кольцо Zr. На кольце Zr можно ввести

метрику (см. [1], [3]), положив

Бесконечная последовательность х\,х2,... целых чисел называется фундаментальной, если для любого к £ N существует N £ N такое, что для всех т,п > N справедливо сравнение хт = xn(modk!).

Метрическое пространство Zr не является полным. Например, последовательность 1!, 1! + 2!,... , 1! + 2! + ... + п!,... является фундаментальной, но не имеет предела в Zr. Для фундаментальных последовательностей {хк} и {ук} рассмотрим последовательности {хк+ук}, {хк-ук}, {хк■Ук}. Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца Zr образуют кольцо.

Будем называть последовательность с\,с2,... нулевой последовательностью, если Итп^го сп = 0 , где предел понимается в смысле топологии кольца Zr.

т

N = ^ ві2аі3Ьі, где Є {-1; 1},

і=1

(1)

Г

п=1

ап Є {0; 1; 2;...; п}

т=1

где

0, если х = y(modm),

1, если х ф y(modm).

(3)

Назовем фундаментальные последовательности {хк} и {ук} эквивалентными, если их разность {хк — у к} является нулевой последовательностью. Это свойство является рефлексивным, симетричным и транзитивным, т.е. определяет отклонение эквивалентности.

Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из ZT.

Легко проверить, что если последовательность {хи} эквивалентна последовательности {ик}, а последовательность {ук} эквивалентна {wk}, то {хк + Ук} эквивалентна {ик + vk}, {хк — ук} эквивалентна {ик — vk}, {хк ■ ук} эквивалентна {uu ■ Vu}. Поэтому на множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце G целых полиадических чисел. Вложение кольца Z в G осуществляется сопоставлением элементу х £ Z класса у фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности х,х,х,. . ..

Так как ZT - метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству GT. Кольцо GT можно метризовать. Пусть у £ GT состоит из последовательности {хк}, а y £ GT - последовательности {ук}. Определим

p(X, y) = lim р(хк,ук), (4)

к^ж

где расстояние р(хк,Ук) между элементами хк ,Ук £ ZT определено равенством

(2).

Элементы а £ Gt имеют каноническое представление в виде ряда

Ж

а =^2 an ■ n\ (5)

n=1

где an £ {0,1,..., n}.

Кольцо GT является прямым произведением колец Zpi по всем простым числам Pi, при этом ряд а сходится в любом Zpi. Действительно, степень, в которой простое число p входит в разложение числа n\ на простые множители, равна п~—п , где Sn - сумма цифр в p - ичном разложении числа n. Следовательно, для любого pi при n ^ ж

\an ■ n\\Pi ^ 0,

что является достаточным условием сходимости ряда (5) в Zpi.

Теоретико-числовые приложения полиадического анализа даны в [1].

2 Представление в DBNS и цепи с двойной базой

По поводу представления DBNS числа N в виде суммы слагаемых вида 2a3b

известна [4] асимптотическая оценка длины такого разложения числа N:

C log2N 0 log2 log2 N ,

где для любого є > О при N > N (є) C0 = 5, 7О996 + 4, І25 • є.

Алгоритм разложения DBNS таков

Вход: k, n-разрядное положительное целое число;

Выход: Последовательность (ai,ei)i>0 такая что k = h==0 2ai3е причем

a1 ^ ... ^ am ^ О и в1 ^ ••• ^ вт, ^ О

1: amax ^ log2 n , $max ^ log3 n

2: while k > О do

3: Определить z = 2am 3вт как наилучшее приближение к числу k причем

amax ^ am ^ 0, ftmax ^ Pm ^ О и (k z) ^ О

4: print(s,am,em)

5: amax ^ am, ftmax ^ f^m

б: k ^ k — z

К недостаткам этого алгоритма можно отнести необходимость вычисления достаточно большого количества чисел вида 2a3b.

Кроме того, 2a3b показатели получающихся при этом чисел 2a3b распределены, как показывают примеры, несколько хаотично.

Известно также [б], что существуют числа N такие, что длина их представления с помощью двойной базы не меньше, чем

C0 log

N

(bgbgw )(logloglogw)’

например, число 103- наименьшее число, не имеющее представления (1) длины 2, число 4985 - наименьшее число, не имеющее представления (1) длины 3, число 641687 - наименьшее число не имеющее представления длины 4, а число 326552784 - наименьшее число, не имеющее представления длины 6.

Перейдем к цепям с двойной базой . Алгоритм разложения таков Вход: к, n-разрядное положительное целое число;

Выход: Последовательность (si,ai, ^i)i>0 такая что к = ™0 si 2ai3е причем

а1 ^ ... ^ ат ^ 0 и в1 ^ ••• ^ вт ^ 0

1: amax ^ log2 n , Pmax ^ log3 n

2: while к <> 0 do

3: Определить z = 2am 3вт как наилучшее приближение к числу к причем

amax ^ ат+1 ^ ат ^ 0 и [втах ^ вт+1 ^ вт ^ 0

4: ргтф,ат,вт)

amax ^ am, f^max ^ вт

if к < 0 then s ^ —s к ^ \к — z\

Здесь показатели упорядочены, однако оценки длины разложения вида О (не доказаны [7].

3 Полиадическое (факториальное) представление натурального числа

Любое натуральное число N допускает единственное разложение в виде

k

N = an • n!,

n=1

an Є {0;І;...; n}

Алгоритм полиадического представления имеет вид Вход: k, n-разрядное положительное целое число;

Выход: Последовательность (ai,i)i^0 такая что k = ^2m0 ai i!.

1: Определить imax таким что (imax + І)! > k. while k > О do

ai — imax, x1 — 1, maxelem — 0

xi —— (xi + ai) \ 2 if k ^ x1 • im

max

2

3

4

5

6

7: Определить maxeiem как максимальный элемент на интервале (x1 ai)

такой что maxelem ^ p

8: else к < X1 ■ imax!

9: ai ^ x1 — 1

10: x1 ^ 1

11: Определить maxeiem как максимальный элемент на интервале (x1 ai)

такой что maxelem ^ p

12: print(maxeiem ,imax)

к ^ к — maxelem ■ imax:! if imax! > к then

13

14

15

i max = i max — І

Оценим асимптотическую длину к разложения числа N. Имеют место соотношения

к! ^ N < (к + 1)!,

1пк! ^ 1пN < 1п(к + 1)!, к 1п к — к ^ 1п N ^ (к + 1) 1п к, к 1п к — 1п N, N ^ ж,

1п к — 1п 1п N, N ^ ж,

откуда к - .

Таблица чисел вида ап ■ п!, ап = 0; 1, 2,... ,п для каждого п состоит из п чисел.

Размер таблицы чисел вида ап ■ п!, ап = 0; 1, 2,... ,п, п ^ к равен 1 +... + к = к(к+1)

2 .

Ее составление можно провести, используя только операцию сложения: если известно число п!, то

2п! = п! + п!, 3п! = 2п! + п!,... ,п ■ п! = (п — 1) ■ п! + п!, (п + 1)! = п ■ п! + п!.

4 Несколько примеров разложений чисел указанными выше способами

1. Р64 =

= 3490529510847650949147849619903898133417764638493387843990820577 Разложение этого числа также представлено в работе [5].

Для разложения ниже приведенный чисел требуются таблицы размером: для аи ■ к! - 1285, для 2“ ■ 3Ь - 28837, для цепи 2“ ■ 3Ь - 28837. Сверху каждой таблицы указан вид слагаемых. аи ■ к!:

(5-49!) (3648!) (847!) (2746!) (1345!) (4444!)

(9-43!) (1242!) (3541!) (2640!) (10^39!) (33^38!)

(29^37!) (12^36!) (7^35!) (17^34!) (7^33!) (27^32!)

(16^31!) (11^30!) (5^29!) (1^28!) (15^27!) (2^26!)

(22^25!) (6^24!) (6^23!) (15^22!) (3^21!) (11^20!)

(549!) (5^ 17!) (646!) (9^ 15!) (3^ 14!) (9^ 13!)

(6^ 12!) (1141!) (6^ 10!) (5^9!) (5^8!) (74!)

(1^6!) (4^5!) (44!) (0^0!)

2“ 3Ь

(51,101) (63,88) (55,86) (21,103) (22,97) (79,56)

(46,72) (125,18) (27,73) (109,16) (40,53) (76,26)

(17,59) (54,31) (69,16) (50,24) (45,23) (40,21)

(11,35) (21,25) (7,28) (38,5) (12,17) (18,10)

(14,9) (5,10) (10,4) (8,3) (6,2) (0,0)

Цепь 2“ ■ 3Ь:

(51,101) (44,100) (44,96) (43,94) (29,98) (28,95)

(24,95) (20,94) (14,94) (13,92) (8,92) (13,86)

(7,85) (6,80) (2,78) (0,77) (2,73) (1,70)

(0,67) (0,65) (1,63) (0,61) (1,59) (0,57)

(0,54) (0,54) (0,53) (0,50) (0,50) (0,46)

(0,45) (0,44) (0,41) (0,39) (0,38) (0,37)

(0,36) (0,35) (0,32) (0,32) (0,31) (0,30)

(0,29) (0,27) (0,26) (0,26) (0,24) (0,23)

(0,22) (0,21) (0,17) (0,17) (0,13) (0,10)

(0,8) (0,5) (0,5) (0,3) (0,2) (0,0)

2. Р64 =

= 9340255901486795094418746991098389314371676483943378489309285077 ак ■ к!:

(15-49!) (17^ 48!) (1947!) (1446!) (445!) (744!)

(8-43!) (1442!) (2841!) (640!) (31^39!) (13^38!)

(20^37!) (31^36!) (2^35!) (22^34!) (15^33!) (29^32!)

(22^31!) (27^30!) (8^29!) (17^28!) (9^27!) (17^26!)

(9^25!) (14^24!) (1^23!) (12^22!) (11^21!) (9^20!)

(16^ 19!) (9^ 18!) (7^ 17!) (1146!) (8^ 15!) (1 ■ 14!)

(1043!) (1142!) (3^ 10!) (6^9!) (37!) (2^6!)

(1^4!) (2^3!) (0^0!)

2а • 3Ь:

(54,100) (7,125) (0,124) (10,111) (50,81) (142,17)

(61,62) (19,82) (62,50) (22,69) (78,28) (53,39)

(45,40) (31,44) (16,49) (58,17) (33,28) (41,19)

(39,14) (15,25) (5,28) (0,28) (35,1) (7,13)

(10,8) (2,10) (4,4) (0,3) (2,0)

Цепь 2а ■ 3Ь:

(203,6) (198,4) (190,6) (188,3) (183,3) (182,1)

(176,2) (176,0) (171,0) (170,0) (166,0) (162,0)

(161,0) (154,0) (151,0) (150,0) (147,0) (145,0)

(141,0) (138,0) (136,0) (135,0) (132,0) (130,0)

(129,0) (126,0) (123,0) (109,0) (107,0) (106,0)

(102,0) (101,0) (98,0) (96,0) (94,0) (90,0)

(88,0) (86,0) (78,0) (72,0) (69,0) (67,0)

(65,0) (59,0) (56,0) (53,0) (51,0) (50,0)

(47,0) (45,0) (40,0) (33,0) (30,0) (28,0)

(26,0) (24,0) (22,0) (20,0) (17,0) (14,0)

(11,0) (9,0) (8,0) (5,0) (3,0) (2,0)

(0,0)

3. Р65 =

= 32769132993266709549961988190834461413177642967992942539798288533 Разложение этого числа также представлено в работе [5]. ак ■ к!:

(1^50!) (349!) (4248!) (3447!) (346!) (1744!)

(2143!) (1942!) (341!) (2640!) (31^39!) (2^38!)

(30^37!) (14^36!) (19^35!) (7^34!) (17^33!) (1^32!)

(21^31!) (18^30!) (5^29!) (10^28!) (26^26!) (15^25!)

(5^24!) (16^23!) (2^22!) (20^21!) (5^20!) (5^ 19!)

(1248!) (147!) (946!) (1045!) (944!) (8^ 13!)

(442!) (340!) (7^9!) (6^6!) (24!) (2^2!)

(0^0!)

2a 3b:

(78,8б) (77,82) (75,79) (42,95) (11,109) (35,89)

(128,2б) (35,78) (132,12) (5б,54) (81,34) (7б,32)

(7б,28) (25,51) (48,32) (52,25) (41,2б) (22,34)

(8,35) (1,32) (27,11) (4,21) (13,10) (7,11)

(15,3) (1,9) (9,1) (0,3) (1,0)

Цепь 2a • 3b:

(143,45) (137,44) (128,45) (132,39) (130,35) (130,32)

(130,28) (12б,27) (119,27) (11б,2б) (11б,24) (115,22)

(108,21) (104,20) (99,20) (95,19) (92,19) (84,20)

(9б,9) (90,9) (91,б) (91,3) (84,4) (79,3)

(7б,2) (73,2) (72,1) (б8,1) (б5,0) (59,1)

(5б,0) (51,0) (49,0) (44,0) (40,0) (38,0)

(3б,0) (35,0) (29,0) (27,0) (19,0) (1б,0)

(13,0) (11,0) (7,0) (4,0) (2,0) (0,0)

4. P65 =

= 23679319293627690459916891809384416141377469276999224357989825833 ak • k!:_______________________________________________

(3849!) (4548!) (2347!) (б4б!) (745!) (2б44!)

(31-43!) (21-42!) (20-41!) (Зб40!) (20^39!) (34-38!)

(27-37!) (2^3б!) (3Ф35!) (8-34!) (23^33!) (5-32!)

(27-31!) (2-30!) (13-29!) (1-28!) (20^27!) (20-2б!)

(19-25!) (22-24!) (10-23!) (11-22!) (1-21!) (14-20!)

(11-19!) (1б-18!) (15-17!) (12- 1б!) (2-15!) (3-14!)

(8-13!) (12-12!) (9-11!) (7-10!) (3^9!) (Ф8!)

(б-7!) (2^б!) (1-5!) (44!) (2^3!) (2^2!)

(0*0!)

2a 3b

(49,104) (1б4,27) (82,73) (142,31) (125,35) (19,95)

(9б,41) (77,47) (19,79) (39,б2) (17,71) (54,43)

(83,20) (2,б7) (32,44) (45,30) (24,39) (27,32)

(53,11) (0,40) (15,25) (37,7) (13,18) (1,22)

(13,11) (4,14) (1,11) (0,7) (0,4) (3,0)

Цепь 2а ■ 3Ь:

(198,10) (192,8) (192,5) (178,9) (173,6) (171,4)

(171,2) (164,4) (163,2) (159,1) (157,0) (152,1)

(151,0) (147,0) (143,0) (142,0) (138,0) (135,0)

(132,0) (130,0) (126,0) (125,0) (122,0) (120,0)

(115,0) (110,0) (109,0) (107,0) (104,0) (101,0)

(99,0) (94,0) (92,0) (87,0) (85,0) (82,0)

(76,0) (74,0) (71,0) (69,0) (65,0) (62,0)

(59,0) (58,0) (53,0) (50,0) (46,0) (43,0)

(41,0) (39,0) (37,0) (35,0) (33,0) (30,0)

(29,0) (24,0) (21,0) (19,0) (16,0) (14,0)

(9,0) (8,0) (5,0) (3,0) (0,0)

5. Р64 =

= 3192936276132993266790459916893143716764930928507767992942535058 ак ■ к:________________________________________________

(549!) (12 ■ 48!) (947!) (4246!) (1045!) (2044!)

(243!) (2742!) (1541!) (240!) (34^39!) (26^38!)

(20^37!) (23^36!) (3^34!) (30^33!) (31^32!) (25^31!)

(23^30!) (16^29!) (13^28!) (10^27!) (1^26!) (4^25!)

(2Ф24!) (17^23!) (5^22!) (7^21!) (7^20!) (15^ 19!)

(1848!) (747!) (1 ■ 16!) (1^ 15!) (9^ 14!) (343!)

(542!) (240!) (Ф9!) (3^8!) (4^7!) (2^6!)

(1^5!) (24!) (1^3!) (2^2!)

2а 3Ь

(16,123) (16,118) (12,116) (11,112) (47,85) (49,79)

(64,64) (16,87) (57,57) (81,36) (49,50) (87,21)

(75,22) (94,6) (33,37) (27,35) (35,25) (47,13)

(2,37) (55,0) (17,20) (7,23) (0,23) (15,9)

(4,12) (13,3) (5,4) (6,1) (0,2) (1,0)

Цепь 2а ■ 3Ь:

(16,123) (16,118) (12,116) (11,112) (9,109) (5,108)

(3,106) (8,100) (8,97) (7,95) (3,95) (6,90)

(6,87) (6,84) (2,83) (2,81) (4,77) (5,74)

(5,71) (0,70) (5,63) (0,63) (0,60) (0,58)

(0,57) (0,55) (0,52) (0,49) (0,49) (0,48)

(0,47) (0,46) (0,43) (0,42) (0,42) (0,38)

(0,37) (0,35) (0,34) (0,33) (0,30) (0,29)

(0,28) (0,26) (0,25) (0,24) (0,24) (0,23)

(0,21) (0,16) (0,16) (0,15) (0,13) (0,12)

(0,10) (0,9) (0,8) (0,7) (0,4) (0,4)

(0,2) (0,2) (0,1) (0,0)

5 Численные эксперименты.

Так как асимптотические закономерности могут давать искаженное представление об истинном характере поведения величин, в заданном интервале были проведены соответствующие численные эксперименты со случайными числами.

Описание алгоритма генерирования n-разрядного псевдослучайного числа.

Вход: kn-разрядное положительное целое число;

Выход: num n-разрядное положительное целое число;

1: num ^ 0

2: while num < k do

3: Генерировать одноразрядное псевдослучайное число z такое что 0 ^

z ^ 9

4: num ^ (num ■ 10) + z

5: print(num)

Статистические данные.

Было проведено 10 выборок по 100 чисел каждая. Разрядность каждого из чисел выборки колеблется от 159 до 160 разрядов.

В таблицах п риведены средние значения длин разложений.

Выборка 1 Выборка 2 Выборка З Выборка 4

k! k a 81 81 81 81

b 3 a 2 62 61 62 61

Цепь 2a • 3b 98 96 96 95

Выборка 5 Выборка 6 Выборка Т

k! k a 81 81 81

b 3 a 2 62 62 61

Цепь 2a • 3b 1QQ 92 98

Выборка 8 Выборка 9 Выборка 1Q

k! k a 81 81 81

b 3 a 2 62 62 62

Цепь 2a • 3b 94 92 1Q2

В этих пределах требуются таблицы размером: для а^ ■ к! - 5151, для 2“ ■ 3Ь - 175839, для цепи 2“ ■ 3Ь - 175839.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел — М. Наука. 1971.

[2] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы — М. Наука. 1984 .

[3] Новоселов Е. В. Топологическая теория делимости целых чисел // Учен. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та 3, 1960, С. 3 - 23.

[4] Чирский В. Г., Шакиров Р. Ф. О представлении натуральных чисел с использованием нескольких оснований // Чебышевский сборник Т. XIV. Вып. 1(45). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2013. С. ?? — ??.

[5] Dimitrov V. S., Jullien G. A. and Miller W. C., ”An Algorithm for Modular Exponentiation” // Inform. Process. Lett. 66 (1998), no. 3, 155 — 159.

[6] Dimitrov V. S., Rowe E. W. Lower bounds on the lenghts of double base representations // Proc. Amer. Math. Soc. v.139, №10, 2011, pp. 3423 — 3430.

[7] Doche Ch., Imbert L. Extended Double-Base Number System with Application to Elliptic Curve Cryptography // INDOCRYPT 2006, LNCS 4329, Springer-Verlag 2006, pp. 335 — 348.

[8] Edward B. Burger, David C. Clyde, Cory H. Colbert, Gea Hyun Shin and Zhaoning Wang (Williamstown, MA) A generalization of a theorem of Lekkerkerker to Ostrowski’s decomposition of natural numbers // ACTA ARITHMETICA 153.3 (2012) pp. 217 — 249.

Московский педагогический государственный университет Поступило 10.02.2013