CC BY
31
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 2 (2013)
УДК 511.37
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
В. Г. Чирский (г. Москва), В. Ю. Матвеев (г. Москва)
Аннотация
В работе исследуются статистические свойства полиадических разложений некоторых чисел.
Ключевые слова: статистические свойства, полиадические разложения.
ON CERTAIN PROPERTIES OF POLYADIC EXPANSIONS
V. G. Chirskii (Moscow), V. Y. Matveev (Moscow)
Abstract
The paper studies some statistical properties of polyadic expansions of certain numbers.
Keywords: statistical properties, polyadic expansions.
Напомним основные понятия теории полиадических чисел.
На кольце Z целых чисел можно ввести топологию т, рассматривая множество идеалов (т)в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложения и умножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца (см. [1], [2]). Обозначив это кольцо ZT.
Бесконечная последовательность x\,x2,-.. целых чисел называется фундаментальной, если для любого к £ N существует N £ N такое, что для всех m,n > N справедливо сравнение xm = xn(modk!).
Метрическое пространство ZT не является полным. Например, последовательность 1!, 1! + 2!,... , 1! + 2! + ... + n!,... является фундаментальной, но не имеет предела в ZT. Для фундаментальных последовательностей {xk} и {yk} рассмотрим последовательности {xk + yk}, {xk — yk}, {xk ■ yk}. Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца ZT образуют кольцо.
Будем называть последовательность c\,c2,... нулевой последовательностью, если limn^^ cn = 0 , где предел понимается в смысле топологии кольца ZT.
Назовем фундаментальные последовательности {xk} и {yk} эквивалентными, если их разность {xk — yk} является нулевой последовательностью. Это свойство является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. определяет отношение эквивалентности.
Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из ZT.
Легко проверить, что если последовательность {xk} эквивалентна последовательности {uk}, а последовательность {yk} эквивалентна {vk}, то {xk + yk} эквивалентна {uk + vk}, {xk — yk} эквивалентна {uk — vk}, {xk ■ yk} эквивалентна {uk ■ Vk}. Поэтому на множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце G целых полиадических чисел. Вложение кольца Z в G осуществляется сопоставлением элементу x £ Z класса у фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности x,x,x,....
Так как ZT - метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству GT.
Элементы а £ Gt имеют каноническое представление в виде ряда
а = ^2 ап ■ n! (1)
п=1
где ап £ {0,1,..., n}.
Кольцо GT является прямым произведением колец Zpi по всем простым числам Pi, при этом ряд а сходится в любом Zpi. Действительно, степень, в которой простое число p входит в разложение числа n! на простые множители, равна np-_S{1, где Sn - сумма цифр в p - ичном разложении числа n. Следовательно, для любого pi при n ^ ж
\ап ■ n!\Pi ^ 0,
что является достаточным условием сходимости ряда (??) в ZPi.
Любое натуральное число M допускает единственное представление в виде
N
M = ап ■ n!, ап £ {0,1,... ,n}, (2)
п=1
так называемое полиадическое представление. Свойства этого представления изучались в [3]
В настоящей работе представлены данные о статистических свойствах совокупностей цифр десятичных разложений некоторых чисел вида (??). Именно рассматриваются числа
N
An = ^ n ■ n! = (N +1)! — 1, п=1
N
Бм = ^2 п!, (4)
П=1
Разумеется, имеет смысл рассматривать не все цифры чисел (??) и (??). Действительно, в разложении числа М! на множители число 2 входит в степени М — Б2(М), где Б2(М)- сумма цифр двоичного разложения числа М, а число 5 входит в степени М ^в(М), где Б5(М)- сумма цифр разложения числа М по основанию 5. Следовательно, число М! делится , по крайней мере, на 10
М-Бь(М)
в степени ----^.
Из этого следует, например, что примерно М-|^б(м) последних цифр числа AN равны 9. Поэтому рассматриваются только цифры "головной части"десятичных разложений чисел (??) и (??).
В вычислительных экспериментах для значений N Є [4500!; 5000!] рассматривались все цифры соответствующих чисел (??) и (??) за исключением "хво-ста"из повторяющихся цифр в конце числа, и проверена гипотеза о равномерном распределении как самих цифр, так и пар цифр. Использовался критерий
х2.
Далее будут приведены результаты экспериментов выборки чисел N = {4361, 4471, 4579, 4680,4791, 4895, 4998, 5000, 4156,4295} для десятичных разложений чисел (??) и (??).
Для А50оо получаем следущие результаты:
Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1533 1537 1462 1538 1482
Средние значения позиций 7529 7629 7525 7700 7458
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1468 1531 1522 1522 1483
Средние значения позиций 7555 7590 7440 7590 7364
Всего чисел: 15078 X2: 5,50709643188752
Для А.4998 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1476 1561 1543 1474 1488
Средние значения позиций 7545 7618 7623 7321 7600
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1521 1508 1482 1486 1536
Средние значения позиций 7627 7474 7403 7613 7540
Всего чисел: 15075 X2: 5,78739635157546
Для А4895 получаем следующие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1471 1499 1469 1446 1447
Средние значения позиций 7353 7348 7502 7095 7412
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1524 1511 1493 1399 1459
Средние значения позиций 7346 7394 7405 7391 7341
Всего чисел: 14718
X2: 8,29161570865607
Для А4791 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1436 1438 1455 1482 1450
Средние значения позиций 7209 7143 7075 7260 7277
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1404 1439 1415 1427 1415
Средние значения позиций 7205 7168 6958 7240 7267
Всего чисел: 14361
X2: 3,25388204164055
Для А4686 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1395 1396 1366 1440 1402
Средние значения позиций 7015 6775 7037 7018 7009
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1402 1461 1399 1394 1346
Средние значения позиций 6994 7088 7004 7021 7042
Всего чисел: 14001
X2: 6,77015927433755
Для А457д получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1366 1360 1397 1431 1298
Средние значения позиций 6896 6612 6857 6823 6893
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1352 1409 1338 1356 1329
Средние значения позиций 6886 6805 6921 6739 6751
Всего чисел: 13636 X2: 10,3303021413904
Для А4471 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1297 1349 1306 1297 1409
Средние значения позиций 6640 6753 6604 6700 6789
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1333 1337 1334 1316 1290
Средние значения позиций 6679 6637 6363 6751 6409
Всего чисел: 13268
X2: 8,38378052457039
Для А4з61 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1294 1209 1292 1328 1258
Средние значения позиций 6458 6341 6540 6565 6601
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1330 1307 1300 1275 1302
Средние значения позиций 6347 6344 6499 6363 6413
Всего чисел: 12895
X2: 8,84412563008918
Для А4259 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1276 1300 1222 1201 1266
Средние значения позиций 6232 6399 6191 6282 6356
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1234 1202 1261 1258 1329
Средние значения позиций 6336 6265 6180 6151 6345
Всего чисел: 12549
X2: 12,2423300661407
Для А4156 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1164 1222 1233 1250 1233
Средние значения позиций 1180 1229 1212 1279 1199
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1180 1229 1212 1279 1199
Средние значения позиций 6126 6336 5981 6056 6022
Всего чисел: 12201 X2: 8,23284976641259
Для пар цифр использовался критерий х2 с 99 степенями свободы и для этих же значений получили следующие результаты:
Значение ^4166 ^4259 ^4361 ^4471
х2 112,16393442623 108,05291679949 82,595160539786 103,925836599337
Значение A4579 A4686 A4791 A4895
х2 100,685831622177 119,542857142857 114,623955431755 97,5973637722517
Значение A4998 Abggg
х2 104,196762637654 102,955166467701
Для В4156 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число Q 1 2 3 4
Количества каждого числа 132Q 13Q6 1336 129Q 1335
Средние значения позиций 6559 6682 66Q9 6511 6794
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1359 1274 131Q 1355 1352
Средние значения позиций 6612 6649 6691 65Q8 6573
Всего чисел: 13237
X2: 5,61010803052051
Для В425д получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число Q 1 2 3 4
Количества каждого числа 1327 1344 14QQ 1334 1341
Средние значения позиций 6835 6572 69QQ 6875 6816
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 145Q 1318 1384 1366 1346
Средние значения позиций 6726 6797 6877 675Q 69Q4
Всего чисел: 13610
X2: 10,7597354886113
Для В4361 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число Q 1 2 3 4
Количества каждого числа 1397 1378 1395 14Q7 1461
Средние значения позиций 7Q7Q 6768 6967 6934 716Q
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1346 138Q 1417 1389 1411
Средние значения позиций 6726 6797 6877 675Q 69Q4
Всего чисел: 13981
X2: 5,79279021529218
Для В4471 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число Q 1 2 3 4
Количества каждого числа 1455 1394 1376 1471 1472
Средние значения позиций 7Q3Q 7182 7173 7313 7251
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1375 1388 1484 1482 1485
Средние значения позиций 7153 7286 7349 7158 7Q15
Всего чисел: 14382
X2: 5,79279021529218
Для В457д получаем следующие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1462 1511 1427 1482 1564
Средние значения позиций 7498 7245 7427 7371 7324
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1408 1503 1496 1457 1467
Средние значения позиций 7550 7312 7562 7302 7308
Всего чисел: 14777
X2: 12,0241591662719
Для В468о получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1537 1461 1451 1510 1561
Средние значения позиций 7671 7372 7543 7360 7816
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1527 1506 1559 1510 1525
Средние значения позиций 7654 7557 7527 7541 7676
Всего чисел: 15147
X2: 7,8709315375982
Для В4791 получаем следущие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1538 1601 1579 1575 1568
Средние значения позиций 7843 7687 7940 7796 7774
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1506 1560 1589 1487 1552
Средние значения позиций 7792 7705 7694 7571 7966
Всего чисел: 15555
X2: 7,56187720990035
Для В4895 получаем следующие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1585 1553 1588 1694 1585
Средние значения позиций 7928 7884 8046 7978 8159
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1556 1588 1583 1610 1596
Средние значения позиций 7931 7961 8076 7862 7865
Всего чисел: 15938
X2: 8,62065503827331
Для 54998 получаем следующие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1598 1617 1644 1600 1664
Средние значения позиций 8164 8054 8203 8339 8154
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1696 1676 1660 1625 1539
Средние значения позиций 8165 8064 8280 8115 8053
Всего чисел: 16319
X2: 11,6961210858508
Для В5000 получаем следующие результаты: Для 9 степеней свободы:
Число 0 1 2 3 4
Количества каждого числа 1642 1609 1669 1582 1712
Средние значения позиций 8138 8176 8135 8160 8162
Число 5 6 7 8 9
Количества каждого числа 1656 1563 1653 1625 1615
Средние значения позиций 8102 8271 8148 8215 8131
Всего чисел: 16326 X2: 10,4192086242803
Для пар цифр использовался критерий х2 с 99 степенями свободы и для этих же значений получили следующие результаты:
Значение -В41Б6 В4259 В4361 В4471
х2 101,220308250227 99,5848640705364 81,9885550786838 93,3693505771103
Значение В4579 В4680 В4791 В4895
х2 87, 9068760151597 111,180641753598 99,2376237623761 76,8401305057096
Значение В4998 В5000
х2 118,76688319647 78,0265833639594
Некоторые табличные критические значения критерия х2-
Число степеней свободы Уровни значимости
0,10 0,05 0,01
9 14,684 16,921 21,669
10 15,987 18,309 23,213
90 107.565 113.145 124.116
100 118.498 124.342 135.807
Приведенные для критерия х2 для 9 и 99 степеней свободы статистические данные позволили сделать вывод о том, что цифры так и пары цифр рассмотренных значений равномерно распределены-
В дальнейшем планируется исследование генераторов случайных чисел на основе разложений (??) и описание арифметических свойств соответствующих полиадических чисел (??)-
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.
2. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1984 .
3. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлениях натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 1(45). С. 75—85.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Московский педагогический государственный университет Поступило 30.05.2013
