Обобщение разложения Оппенхайма для прямого произведения полей с неархимедовским нормированием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Пусть х € Н(К) \ 0. Тогда по п. 1. правый градуированный идеал хК содержит ненильпотентный gr-униформный элемент ху € (хК)е \ 0. Отсюда следует, что кольцо К е-точно справа, а также слева, поскольку ух = 0 (иначе (ху)2 = 0).

3. Теперь так же, как в п. 7 теоремы 11, доказывается, что Ке — полупервичное правое кольцо Голди. Значит, для кольца К выполнены все условия теоремы 11. Теорема доказана.

Заметим, что в теореме 7 пп. 2-4, 7-9 нашей теоремы 11 доказаны в предположениях более сильных, чем предположения следствия 1, а также теоремы 13: сильноградуированное кольцо точно во всех компонентах, а конечная группа периодична.

Автор выражает глубокую благодарность А. В. Михалеву, В. Т. Маркову и И. Н. Балабе за внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

2. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009.

3. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Факториал Пресс, 2005.

4. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland, 2004.

5. Liu Shaoxue, Beattie M., Fang Hongjin. Graded division rings and the Jacobson density theorem //J. Boijing Normal Univ. (Natural Science). 1991. 27, N 2. 129-134.

6. Goodearl K, Stafford, T. The graded version of Goldie's theorem // Contemp. Math. 2000. 259. 237-240.

7. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded and Filtered Rings and Modules // Lect. Notes Math. Springer, 1979.

8. Nastasescu C., Oystaeyen F. van. Arithmetically graded rings revisited // Communs Algebra. 1986. 14, N 10. 19912018.

Поступила в редакцию 18.10.2010

УДК 511.37 + 511.36

ОБОБЩЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ОППЕНХАЙМА

ДЛЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛЕЙ С НЕАРХИМЕДОВСКИМ НОРМИРОВАНИЕМ

И. Ю. Сухарев1

Известный алгоритм разложения Оппенхайма в поле Qp обобщается на кольцо Qg, где g = pi ■ ... ■ pn. Исследованы метрические свойства цифр этого разложения, а также метрические свойства коэффициентов некоторых разложений полиадических чисел.

Ключевые слова: разложение Оппенхайма, p-адические числа, полиадические числа.

The well-known Oppenheim expansion algorithm in the field Qp is generalized to the ring Qg, where g = pi ■ ... ■ pn . The metric properties of the digits of this expansion and also the metric properties of the coefficients of some expansions of polyadic numbers are studied.

Key words: Oppenheim expansion, p-adic numbers, polyadic numbers.

В 1972 г. А. Оппенхайм в [1] предложил алгоритм разложения положительных действительных чисел в виде ряда. Это разложение обобщает известные разложения Энгеля, Сильвестра, Люрота, Кантора. Я. Галамбош в статье [2] изучил эргодические свойства знаменателей в разложении Оппенхайма, Ю. Ву [3, 4] исследовал некоторые метрические свойства цифр разложения Оппенхайма и его частных случаев.

В 1989 г. А. и Дж. Кнопфмахеры в статье [5] предложили аналог указанного разложения в поле Qp. Его называют p-адическим разложением Оппенхайма. В [6] исследованы метрические свойства некоторых разложений p-адических чисел, а в [7] — метрические свойства цифр p-адического разложения Оппен-хайма.

1 Сухарев Иван Юрьевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: [email protected].

В статье [8] автором доказано, что при формальном применении алгоритма р-адического разложения Оппенхайма для элементов кольца , где д = р\■...■рN, он не срабатывает с вероятностью, стремящейся к единице с ростом его шагов. Согласно теореме Малера [9], кольцо д-адических чисел изоморфно прямому произведению полей р^-адических чисел Л= , где р^ — различные простые делители числа д.

В статье [8] также построено обобщение указанного разложения для случая прямого произведения полей с неархимедовским нормированием и исследованы метрические свойства коэффициентов этого разложения.

Можно построить формальное бесконечное прямое произведение полей р^-адических чисел, где р^ — различные простые числа, г = 1, 2, 3,..., однако целесообразно рассматривать бесконечное прямое произведение колец целых р^-адических чисел П Zpi. В книге [10] показано, что указанное произведение

Pi простые

изоморфно кольцу полиадических чисел ^п. Элементы кольца Zп имеют различные представления. Кате

нонический вид полиадического числа х — это ряд х = ^ апп!.

п=1

Есть и другое представление полиадических чисел.

Утверждение. Пусть функция П(п) принимает натуральные значения, причем

1) П(1) = 1;

3) V т 3 п : т|П(п).

Тогда Zп = limZ/П(n)Z — проективный (или обратный) предел и любое полиадическое число х € ^п можно представить рядом,

X

Е

n=1

апП(п), (1)

который в Zп сходится к числу х. При этом коэффициенты ап удовлетворяют неравенству

П(п + 1)

0 ^ ^ ггг / " П(ап)

Можно построить отображение р : Zп ^ [0,1] С М, сохраняющее меру (меру Хаара, см. [11]) в Zп. Пусть х = апП(п). Тогда р(х) = п(га+1)' ® силу сохранения меры отображением р мера Р

множества X С Zп равна Р(X) = ц(р(Х)), где ц — мера Лебега на отрезке [0,1].

Обозначим через Х^^....^ подмножество чисел, у которых соответствующие коэффициенты 11,12,...,1и ряда (1) фиксированы.

Теорема. Имеет место равенство

Р{х € -Х"г1,г2,...,ч) ~~

П(п + 1) "' П(гл + 1)'

Частным случаем функции П(п) служит П(п) = n!. В этом случае получается каноническое разложение полиадического числа.

При построении полиадических чисел с помощью проективного предела по функции П(п) мы пользовались условием (см. п. 3 утверждения), что для любого числа m существует число n, такое, что ш|П(п). Если при построении в этом условии взять число m равным степеням одного простого числа pn, мы в точности получим p-адические числа. Если среди чисел m встречаются конечное число простых чисел и все их степени, мы получим g-адические числа, где g — произведение тех самых простых.

В случае, когда множество чисел {m} является бесконечной подпоследовательностью простых чисел и всех их степеней, мы получим некое новое кольцо чисел. Представляет интерес исследовать такие числа, различные их разложения в ряд, а также метрические свойства их коэффициентов.

Автор приносит благодарность профессору В. Г. Чирскому за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Oppenheim A. The représentation of real numbers by infinite series of rationals // Acta arithm. 1972. 21. 391-398.

2. Galambos J. The ergodic properties of the denominators in the Oppenheim expansion of real numbers into infinite series of rationals // Quart. J. Math. Oxford. 1970. 2, N 21. 177-191.

3. Wu J. A problem of Galambos on Engel expansions // Acta arithm. 2000. 92, N 4. 383-386.

4. Wu J. The Oppenheim series expansions and Hausdorf dimensions // Acta arithm. 2003. 107, N 4. 345-355.

5. Knopfmacher A., Knopfmacher J. Series expansions in p-adic and other non-Archimedian fields //J. Number Theory. 1989. 32. 297-306.

6. Knopfmacher A., Knopfmacher J. Metric properties of some special p-adic series expansions // Acta arithm. 1996. 76, N 1. 11-19.

7. Wu J. Metric properties for p-adic Oppenheim series expansions // Acta arithm. 2004. 112, N 3. 247-261.

8. Сухарев И.Ю. Разложение Оппенхайма в кольце д-адических чисел Qg // Чебышевский сборник. 2010. 11, вып. 1. № 33.

9. Mahler K. Introduction to p-adic numbers and their functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

10. Новоселов Е.В. Введение в полиадический анализ: Учебное пособие по спецкурсу. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1982.

11. Спринджук В.Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск, 1967.

Поступила в редакцию 18.10.2010

УДК 511.34

ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ ИНГАМА С БЕСКВАДРАТНЫМИ ЧИСЛАМИ

Д. В. Горяшин1

Для количества N(x) решений уравнения aq — bc =1 в натуральных числах a,b,c и бесквадратных числах q, удовлетворяющих условию aq ^ x, получена асимптотическая формула

N (x) = ^2ш(п)т (n — 1) = £0x ln2 x + £ix ln x + £2x + O(x5/6+E ) для любого £ > 0,

где £0,£1,£2 постоянные.

Ключевые слова: проблема делителей Ингама, бинарные аддитивные задачи, асимптотическая формула для количества решений.

For the number N(x) of solutions to the equation aq — bc =1 in positive integers a, b, c and square-free numbers q satisfying the condition aq ^ x the asymptotic formula

N (x) = ^2ш(п)т (n — 1) = £0x ln2 x + £ix ln x + £2x + O(x5l6+E )

n^x

is obtained for any £ > 0, where £o,£i, £2 are constants.

Key words: Ingham divisor problem, binary additive problems, asymptotics for the number of solutions.

Аддитивная проблема делителей Ингама состоит в отыскании асимптотики при x с количества K (x) решений уравнения ab—cd = 1 в натуральных числах a, b,c,d с условием cd ^ x. В 1927 г. А. Е. Ингам [1] элементарным методом выделил главный член асимптотики (\x\v? х) и получил оценку остатка порядка O(x ln x). В дальнейшем асимптотическая формула Ингама уточнялась многими авторами. В 1931 г. Т. Эстерман [2] доказал, что

_ 6

К(х) = > т(п)т(п + 1) = —ln2 x + А\х ln x + А2Х + R(x)

' П2

n^x

(Ai, A2 — постоянные, т(n) — количество делителей числа n), где R(x) = O(xll/12 ln17/3 x). В 1979 г. Д. И. Исмоилов [3] и Р. Хис-Браун [4] независимо получили оценку R(x) = O(xb/6+e) для любого £ > 0.

1 Горяшин Дмитрий Викторович — ассист. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ;

e-mail: [email protected].