Проблема делителей Ингама с бесквадратными числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Wu J. A problem of Galambos on Engel expansions // Acta arithm. 2000. 92, N 4. 383-386.

4. Wu J. The Oppenheim series expansions and Hausdorf dimensions // Acta arithm. 2003. 107, N 4. 345-355.

5. Knopfmacher A., Knopfmacher J. Series expansions in p-adic and other non-Archimedian fields //J. Number Theory. 1989. 32. 297-306.

6. Knopfmacher A., Knopfmacher J. Metric properties of some special p-adic series expansions // Acta arithm. 1996. 76, N 1. 11-19.

7. Wu J. Metric properties for p-adic Oppenheim series expansions // Acta arithm. 2004. 112, N 3. 247-261.

8. Сухарев И.Ю. Разложение Оппенхайма в кольце д-адических чисел Qg // Чебышевский сборник. 2010. 11, вып. 1. № 33.

9. Mahler K. Introduction to p-adic numbers and their functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

10. Новоселов Е.В. Введение в полиадический анализ: Учебное пособие по спецкурсу. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1982.

11. Спринджук В.Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск, 1967.

Поступила в редакцию 18.10.2010

УДК 511.34

ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ ИНГАМА С БЕСКВАДРАТНЫМИ ЧИСЛАМИ

Д. В. Горяшин1

Для количества N(x) решений уравнения aq — bc =1 в натуральных числах a,b,c и бесквадратных числах q, удовлетворяющих условию aq ^ x, получена асимптотическая формула

N (x) = ^2ш(п)т (n — 1) = £0x ln2 x + £1x ln x + £2x + O(x5/6+E ) для любого £ > 0,

где £0,£1,£2 постоянные.

Ключевые слова: проблема делителей Ингама, бинарные аддитивные задачи, асимптотическая формула для количества решений.

For the number N(x) of solutions to the equation aq — bc =1 in positive integers a, b, c and square-free numbers q satisfying the condition aq ^ x the asymptotic formula

N (x) = ^2ш(п)т (n — 1) = £0x ln2 x + £1x ln x + £2x + O(x5l6+E )

n^x

is obtained for any £ > 0, where £o,£i, £2 are constants.

Key words: Ingham divisor problem, binary additive problems, asymptotics for the number of solutions.

Аддитивная проблема делителей Ингама состоит в отыскании асимптотики при x ^ с количества K (x) решений уравнения ab—cd = 1 в натуральных числах a, b,c,d с условием cd ^ x. В 1927 г. А. Е. Ингам [1] элементарным методом выделил главный член асимптотики (\x\v? х) и получил оценку остатка порядка O(x ln x). В дальнейшем асимптотическая формула Ингама уточнялась многими авторами. В 1931 г. Т. Эстерман [2] доказал, что

_ 6

К(х) = > т(п)т(п + 1) = —ln2 x + А\х ln x + А2Х + R(x)

n^x

(Ai, A2 — постоянные, т(n) — количество делителей числа n), где R(x) = O(xll/12 ln17/3 x). В 1979 г. Д. И. Исмоилов [3] и Р. Хис-Браун [4] независимо получили оценку R(x) = O(xb/6+e) для любого £ > 0.

1 Горяшин Дмитрий Викторович — ассист. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ;

e-mail: goryashin@mech. math.msu.su.

Наконец, в 2006 г. Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [5] доказали новую оценку остаточного члена: Я(х) = в(х3/4 1п4 х).

В настоящей статье рассматривается задача о нахождении асимптотической формулы для количества решений уравнения ад — Ьс = 1 в натуральных числах а,Ь,с и бесквадратных числах д с условием ад ^ х, т.е. уравнения того же типа, но в котором на один из сомножителей наложено ограничение принадлежности множеству бесквадратных чисел. Для него также элементарным методом можно выделить главный член асимптотики (£оХ 1п2 х) с оценкой остатка порядка в(х 1пх). Нами доказывается следующая теорема, в которой остаток в асимптотической формуле для N (х) оценивается величиной порядка

Теорема. Существуют постоянные такие, что для любого е > 0 при х имеет место

асимптотическая формула

N(x) = ^2ш(п)т(n - 1) = £ox ln2 x + ln x + + O(x5/6+e),

n^x

причем

n2 ApA V P(P + 1)/ \ (P + 1)(P2 + P - 1)у

Здесь u(n) — количество простых делителей числа n (следовательно, 2ш(п) — количество бесквадратных делителей числа n), Y — постоянная Эйлера. Доказательство теоремы основано на применении леммы об асимптотике среднего значения арифметической функции 2ш(п) в арифметической прогрессии, являющейся следствием теоремы Р. Хис-Брауна [4].

Теорема (Р. Хис-Браун, 1979). Пусть (r,d) = 1. Тогда 'равномерно по 1 ^ d ^ x2/3

Е т(п) = 'ф-хОпх + 27-l)-f Е +

n^x k\d

n=r (mod d)

Если ограничить значения разности прогрессии промежутком 1 ^ d ^ Л/х, то остаточный член в

этой формуле можно заменить на ). Тогда, пользуясь соотношением 2Ш^ = ^ /х(/г)т(р-), будем

к2\п

иметь

Е 2Ш(га)= Е £M*Kf)= Е

П^х п^х к2\п к^^х, т^х/к2

n=r (mod d) n=r (mod d) (M)=i m=fc2(mod d)

где к2 — такой вычет по модулю d, что к2к2 = 1(mod d). Применяя теперь теорему Хис-Брауна и учитывая, что

^ V Mfc)lnfc= 6 п/ 14-YC42) v In у \

к2 тг2 11V J?) ' к2 тг2-Щ J?) V С(2) ^P2- 1J'

^ к2 n2lAV P2) ' ^ к2 n2llV P2) \Z(2) ^P2 - 1/'

(ккг=11 p\d (кк=)\ p\d p\d (k,d)=1 (k,d) = 1

получим следующее утверждение.

Лемма 1. При 1 ^ d ^ у/х справедлива асимптотическая формула

п=1 (mod d)

где ^(й) = + »"Ь = --0 • Постоянная в символе О абсолютная.

' Р '

Для доказательства теоремы заметим, что

N(x) = ^2ш(п) т(n - 1) = ^2ш(п) Е 1 = 2 Е Е 2ш(п) - Е Е 2ш(п).

п^х п^х d\n— 1 d^^x^l п^х d^y/x^l n^dy/x^l+1

п=1(mod d) п= 1 (mod d)

Применением леммы 1 к получившимся внутренним суммам задача сводится к отысканию асимптотик сумм

Ш)' ^ Ш) ^ р2 - 1' ^ <р2(<1) ^ к ' ( ^

Асимптотика для первой из них находится методом комплексного интегрирования. Пусть £ = ух —Т. Лемма 2. Имеет место асимптотическая формула

V —= С\ 1п* + с2 + 0(Г2/3

К* ^

р \ / \ р / Для отыскания асимптотики второй из сумм (1) изменим в ней порядок суммирования и воспользуемся леммой 2. После преобразований получим

d^t ' p\d

{p2-l){p2+p-l)'

где с3 = ci £ (р.4(Х_

В третьей из сумм (1) также изменим порядок суммирования:

Ed ß(k)\nk ß(k)\nk d ß(k)\nk \ - km,

^ v2(d) V k k tp2{d) = ^ k ^ ффт)'

d^t zv ' k\d k^t d^t zw k^t m^t/k y '

k\d

Лемма 3. Имеет место асимптотическая формула

Е^-^пЕ^-^ V),

m^y 4 p\k 7

где X(k) = П (l + р^р+т); Сб = П^ + ); постоянные Cq и в символе О не зависят, от к.

Для доказательства этой леммы следует методом комплексного интегрирования получить асимптотическую формулу для суммы Е ipj(n) и воспользоваться теоремой М. Е. Чанга [6]. Применяя лемму 3

при y = t/k, из (2) после несложных преобразований найдем

-р-+ c7 + 0(t / In t),

d^t ' k\d k=l

причем сумма ряда в правой части может быть выражена в виде ß(k)\(k) in к _ Где

k=l

k=1 ks ^ V ps(p3 - p + 1)

Собрав все полученные асимптотические формулы для сумм (1), будем иметь

_^ _^ 3

Nl(x) = ^ ^ 2ш(га) = — C\x\li2 X + С&х\пх + СдХ + R\{x),

d^y/x^l

n=1 (mod d)

где

= _6_ / 1 у^ plnp__у^ In Р ('(2) у^ Р^Р

п2 Ч ' 2 ^ (P2 - 1)(P2 + P - 1) ^ P2 + P - 1 ((2) ^ (P - 1)(P2 + P - 1)

6

N2(x) = Е £ 2ш(га) = —С1ж1пж + Сюж + Л2(ж)

d^-^x—1 ni^dy'x—1+1 п=1 (mod d)

(отметим, что для нахождения асимптотики N2(x) требуются асимптотические формулы для сумм

Ed \ - d \ - 1пр х - d2 /л(к)Ык

Ш)' ^ гЩ) ^ р2 - 1' ^ чШ)^ к '

которые выводятся из уже полученных формул для сумм (1) применением преобразования Абеля). Остатки Ri (x), R2(x) оцениваются следующим образом:

£ ^ «^1/2+£(V^T)2/3«^5/6+£,

Д2(Ж)< J]) « ж1/4+в/2 (г1/6+в<<ж1/4+в/2ж7/12+в/2=ж5/6+в_

d^-^x—1 d^-^x—1

Так как Л/"(ж) = — то, полагая = ¿сi, £1 = 2cs — ^-Ci, £2 = 2cg — сю, получим

требуемое. Теорема доказана.

Работа выполнена при поддержке государственного контракта 14.740.11.0794 на выполнение научно-исследовательских работ по теме "Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области естественных и технических наук", шифр 2010-1.1-000-152, на тему "Математические и компьютерные методы в анализе и геометрии".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ingham A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers //J. London Math. Soc. 1927. 2, N 3. 202-208.

2. Estermann T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Producten // J. reine und angew. math. 1931. 164.173-182.

3. Исмоилов Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений // Докл. АН ТаджССР. 1979. 22. 75-79.

4. Heath-Brown D.R. The fourth power moment of the Riemann zeta function // Proc. London Math. Soc. 1979. 38, N 3. 385-422.

5. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Об аддитивной проблеме делителей Ингама // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 5. 32-35.

6. Чанга М.Е. Суммирование мультипликативных функций // Успехи матем. наук. 2002. 57, вып. 6. 197-198.

Поступила в редакцию 29.10.2010