Градуированные варианты теоремы Голди Текст научной статьи по специальности «Математика»

Покажем, что F(t) является непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Достаточно проверить ее непрерывность при t Е А. При t = ts имеем

lim F(и) = F(t), lim F(u) = £ f (tk) - p^(ts)f (ts) = F(ts) = F(t).

0<tk <ts

Таким образом, функция F(t) является первообразной от — (pA(t)f (t) + pA(t)f'(t)). Кроме того, F(a) = G(a). Следовательно, для любого t из отрезка [a,b] справедливо равенство F(t) = G(t). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция f (t) имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a,b]. Тогда для любого b > a имеем

b b

Е f (tk) = — j Mt)f (t) dt + pA(b)f (b) — pA(a)f (a) — aA(b)f'(b) + aA(a)f'(a) + J aA(t)f"(t) dt. (2)

a<tk ^b a a

Доказательство теоремы. В формуле (1) проинтегрируем по частям интеграл

b

PA(t)f'(t) dt = j f'(t) daA(t).

Подставив найденное выражение, получим искомую формулу (2).

Автор приносит благодарность профессору В.Н. Чубарикову за постановку задачи.

Поступила в редакцию 18.05.2010

b

УДК 512.552.2

ГРАДУИРОВАННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМЫ ГОЛДИ

A. Л. Канунников1

Доказываются градуированные варианты теоремы Голди о существовании, строении и совпадении классического и полного правых колец частных полупервичного (первичного) правого кольца Голди (теоремы 10, 11, 13). Основная трудность — существование в каждом gr-существенном правом идеале однородного регулярного элемента — преодолевается наложением дополнительных требований на группу, по которой градуировано кольцо, или на однородные компоненты кольца.

Ключевые слова: градуированные кольца Голди, градуированные кольца частных.

We prove the graded variants of Goldie's theorem of existence, structure and coincidence of right classical and maximal quotient rings of a semiprime (prime) right Goldie's ring (Theorems 10, 11, 13). The main problem, the existence of a homogeneous regular element in each gr-essential right ideal, is solved by posing some additional requirements onto the group grading the ring or onto the homogeneous components of the ring.

Key words: graded Goldie's rings, graded quotient rings.

В классической теории колец известен следующий результат [1, 2].

Теорема 1 (Голди). Для ассоциативного кольца R с единицей следующие условия равносильны:

(1) R — полупервичное правое кольцо Голди;

(2) в R .множество всех существенных правых идеалов совпадает с .множеством всех правых идеалов, содержащих хотя бы один регулярный элемент (т.е. неделитель нуля);

1 Андрей Леонидович Канунников — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: andrew.kanunnikov@gmail.com.

(3) R имеет классическое правое кольцо частных Qci, которое является вполне приводимым кольцом.

При выполнении этих условий Qci совпадает с полным правым кольцом частных кольца R.

Кроме того, R — первичное правое кольцо Голди тогда и только тогда, когда кольцо Qci вполне приводимо и просто.

Строение вполне приводимых колец описывает теорема Ваддербарна—Артина [1—3].

Теорема 2 (Ваддербарн—Артин). Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей. Тогда

1) R вполне приводимо и просто тогда и только тогда, когда R изоморфно кольцу матриц над телом;

2) R вполне приводимо тогда и только тогда, когда R изоморфно конечному прямому произведению вполне приводимых простых колец.

Фактически теорема Голди обобщает теорему Ваддербарна—Артина, поскольку вполне приводимые кольца являются кольцами Голди и совпадают со своими кольцами частных.

Данная работа посвящена градуированным аналогам теоремы Голди. Сначала приведем все обозначения и определения, которые нам понадобятся.

Далее везде G — группа с единицей e, O(g) — порядок элемента g £ G, R = фgeG Rg — G-градуированное ассоциативное кольцо с единицей 1, Supp(R) = {g £ G | Rg = 0} — его носитель, H(R) = [JgeG Rg — множество его однородных элементов, S = S(R) — множество его однородных регулярных элементов, Qg[ = Qg^R) = RS-1 — его градуированное классическое правое кольцо частных, Qgr = Qgr(R) — его градуированное полное правое кольцо частных (см. [4]). Все R-модули правые униталь-ные и G-градуированные. Стандартные градуированные аналоги понятий из теории колец обозначаются приставкой gr-. Например, градуированный модуль M = 0 называется gr-униформным, если всякий ненулевой градуированный подмодуль в M gr-существен (элемент a £ H(M) = [JgeG Mg, такой, что модуль aR gr-униформный, также называется gr-униформным); gr-конечномерное справа кольцо (т.е. не содержащее бесконечных прямых сумм градуированных правых идеалов) с условием максимальности для правых gr-аннуляторов (градуированных правых идеалов вида Tr(S) = {a £ R | Sa = 0}) называется правым gr-кольцом Голди. Кольцо R называется h-точным слева (справа) (в англоязычной литературе используется термин faithful), если

Уд £ G Ух £ Rg \ 0 3x' £ H(R) 0 = x'x £ Rh (Уд £ G Ух £ Rg \ 0 3x' £ H(R) 0 = xx' £ Rh).

Существование кольца Qg[ равносильно выполнению правого условия Оре для однородных элементов:

Уг £ H(R) Ув £ S 3r' £ H(R) 3s' £ S rs' = sr'

(следует из леммы 8.1.1 работы [4]).

Градуированный аналог теоремы Ваддербарна—Артина доказан в [4] для gr-простых gr-артиновых колец и в [5] для gr-артиновых колец с нулевым градуированным радикалом Джекобсона Jg(R) [4, п. 2.9] (или, что равносильно, для gr-вполне приводимых колец).

Теорема 3. Верны утверждения:

1) кольцо R gr-артиново и gp-просто тогда и только тогда, когда R = Mn(D)(gi,... ,gn) для некоторых n £ N, gi, ...,gn £ G и некоторого G-градуированного тела D, где Mn(D)h(gi,... ,gn) = (Dg-ihg )nj=i, h £ G; * j '

2) кольцо R gr-артиново с Jg (R) = 0 тогда и только тогда, когда R изоморфно конечному прямому произведению gr-артиновых gr-простых колец.

Градуированный вариант теоремы Голди для gr-первичных колец изучался в работах [4, 6], а для gr-полупервичных — в работах [4, 7, 8].

Теорема 4 [4, теорема 8.4.4; 6]. Если группа G абелева и G-градуированное кольцо R gr-первично, то кольцо Qg[ существует, gr-артиново и gr-просто.

Теорема 5 [7, предложение 9.2.3]. Пусть R = (J)nez Rn — Z-градуированное gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди. Обозначим R+ = фn>0 Rn, R+ = фn>0 Rn. Пусть выполнено хотя бы одно из условий:

(1) R+ содержит центральный однородный регулярный элемент;

(2) R = R+ и каждый gr-первичный идеал в R не содержит R+;

(3) R = R+ и R+ содержит однородный регулярный элемент;

(4) все элементы в H(R+) нильпотентны.

Тогда существует и gr-вполне приводимо кольцо Qf

Теорема 6 [8]. Если кольцо К в-точно справа и Ке — полупервичное правое кольцо Голди, то К — gr-полупервичное правое кольцо Голди, IП Бе = 0 для всякого ^-существенного правого идеала I кольца К, кольцо = КБ-1 существует, gг-вполне приводимо, = КБ-1, )е = КеБ-1.

Теорема 7 [4, теорема 8.4.9]. Если К — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди, сильно градуированное конечной группой О, то Ке — полупервичное правое кольцо Голди, кольцо существует, сильно градуировано, gr-вполне приводимо и (К))е = Ке) = КеБ-1.

Также в [4, 6, 7] приведен пример gr-полупервичного коммутативного кольца Голди, градуированное классическое кольцо частных которого не является gr-артиновым.

Пример 1 [4, пример 8.4.7; 6; 7, пример 9.2.2]. Пусть к — поле, кольцо К = к[х,у]/(ху) градуировано группой Z:

кхп, п> 0; Кп = ^ к, п = 0; ку-п, п < 0.

Легко видеть, что К = не является gr-артиновым (и тем более gr-вполне приводимым) и что (х, у) — gr-существенный идеал, состоящий из делителей нуля.

Мы докажем градуированный вариант теорем Голди в значительно более слабых предположениях, чем в теореме 7 (теоремы 11 и 13), а также покажем (на примере кольца из примера 1), что полное правое градуированное кольцо частных gr-полупервичного правого gr-кольца Голди может не совпадать с его градуированным классическим кольцом частных, но всегда является gr-вполне приводимым (теорема 10). Отметим, что вопросы строения уже существующего кольца (теорема 8), кольца Qgr (теорема 10), а также их совпадения (теорема 9) решаются аналогично неградуированному случаю. В общем градуированный вариант теоремы Голди распадается на несколько теорем.

Теорема 8. Если кольцо существует, то оно gr-вполне приводимо (и gr-прост,о) тогда и только тогда, когда I П Б = 0 для каждого gr-существенного правого идеала I кольца К (и К gr-первично).

Доказательство аналогично неградуированному случаю [2, с. 221, п. 10.10].

Теорема 9. Если кольцо К gr-конечномерно справа и I П Б = 0 для каждого gr-существенного правого идеала I кольца К, то Qgr = .

Доказательство аналогично неградуированному случаю [3, с. 180-181].

Теорема 10. Верны утверждения:

1) К — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди тогда и только тогда, когда К — gr-полупервичное gr-несингулярное справа gr-конечномерное справа кольцо;

2) если кольцо К gr-несингулярно справа, gr-конечномерно справа, то кольцо Qgr gr-вполне приводимо. Если к тому же кольцо К gr-первично, то кольцо Qgr gr-просто.

Доказательство аналогично неградуированному случаю [2, п. 6.32, условия 1 и 2, п. 14.14]. Вторая часть п. 2 следует из того, что градуированное кольцо частных Т (всякое необязательно полное правое) gr-первичного кольца К gr-первично, поскольку если I — ненулевой правый градуированный идеал в Т, то I П К — ненулевой правый градуированный идеал в К.

Например, для кольца К из примера 1 непосредственно проверяется, что

Qnr = кхп Ф ку-п (= к Ф к при п = 0),п е и Qgr = к[х, х-1] Ф к[у, у-1] (= = К)

— прямое произведение градуированных полей.

Заметим, что Qgr = к Ф к ^ к = Ко (имеет место вложение колец Ко ^ Qgr: к э а ^ (а, а) е к Ф к).

Перейдем к вопросу о существовании однородных регулярных элементов в gr-существенных правых идеалах.

Лемма 1 [4, лемма 8.4.3; 6]. Пусть К — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди. Тогда если 0 = а е Н(К) — gr-униформный элемент, то правый gr-аннулятор Ти(а) — максимальный среди правых gr-аннуляторов ненулевых однородных элементов из К.

Лемма 2. Пусть К — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди. Тогда для любого в е Н(К) равносильны условия: (1) в е Б; (2) Ти(в) = 0; (3) вК — правый gr-существенный идеал кольца К.

Доказательство аналогично неградуированному случаю [1, следствие 2 леммы 7.2.1, лемма 7.2.3].

Лемма 3. Пусть кольцо К в-точно справа. Тогда

1) если I — существенный правый идеал в Ке, то IК — существенный правый идеал в К;

2) если К — gr-существенный идеал в К, то Ке — существенный правый идеал в Ке.

Доказательство. 1. Пусть 0 = К — градуированный правый идеал в К. Тогда Ке = 0 ввиду е-точ-

ности справа кольца К, и так как I существен в Ке и Ке — правый идеал в Ке, то 0 = I П Ке С IК П К.

2. Пусть 0 = I — правый идеал в Яе. Тогда 0 = ТЕ — правый градуированный идеал в Я, и так как К gr-существен в Я, то 1Я П К = 0. Ввиду е-точности справа кольца Я имеем 0 = (1Я П К)е = I П Ке.

Лемма доказана.

Теорема 11. Пусть Я — е-точное справа gr-полупервичное правое gг-кольцо Голди, кольцо Яе полупервично. Тогда

1) всякий ненулевой правый градуированный идеал I кольца Я содержит ненильпотентный gr-уни-формный элемент в компоненте 1е;

2) 1е П 5 = 0 для всякого правого gг-существенного идеала I кольца Я;

3) кольцо существует и е-точно справа;

4) ОТ gr-вполне приводимо;

5) ОТ gr-просто ^ Я gr-первично;

6) ОТ =

7) Яе — правое кольцо Голди;

8) Я®Т(Я) = ЯБ-1, где Бе = Б П Яе;

9) (Я))е = ЯслШ = ЯеБ-1.

Доказательство. 1. Так как Я gr-конечномерно и е-точно справа, то найдется gr-униформный элемент а € Iе. Поскольку Яе полупервично, то аЬа = 0 для некоторого Ь € Яе. Элемент Ьа ненильпотентен: иначе (Ьа)п = 0, (Ьа)п-1 = 0 для некоторого п ^ 2, и так как тя(а) С тя((Ьа)п-1), то по лемме 1 имеем тя(а) = тя((Ьа)п-1) э Ьа, откуда аЬа = 0, что неверно. Следовательно, аЬ € ^ — ненильпотентный gr-униформный элемент.

2. Найдем gr-униформный ненильпотентный элемент а1 € ^. Пусть уже построены gr-униформные ненильпотентные элементы а1,..., ат € ^, такие, что ai € П—1 TR(aj), 1 ^ г ^ т, и Р|т=1 TR(aj) = 0. Так как I — правый gr-существенный идеал, то I т=1 TR(aj) = 0 и, согласно п. 1, существует ненильпотентный gr-униформный элемент ат+1 € ^ ^05=1 TR(aj). По построению и в силу gr-униформности элементов ai имеем ai € тя(aj) = тя(а?), г > откуда легко следует, что сумма ^aiЯ прямая и, значит, конечна, поэтому существует п € № Пп=1 тя(а?,) = 0. Тогда тя(а) = Пп=1 тя(а?,) =0 и элемент а = а1 + ... + ап € ^ регулярный по лемме 2.

3. Из п. 2 следует выполнение правого условия Оре в Н(Я) (аналогично неградуированному случаю [1, теорема 7.2.1]). Далее, пусть те-1 € \ 0, т € Н(Я) \ 0. Тогда, так как Я е-точно справа, тт' € Яе \ 0 для некоторого т' € Н(Я) и тв~1вт' = тт', поэтому также е-точно справа.

Пункты 4 и 5 следуют из теоремы 8, а п. 6 — из теоремы 9.

7. В силу теоремы 1 достаточно показать для всех правых идеалов ■ кольца Яе равносильность: ■ существен ■ содержит регулярный (в Яе) элемент.

Необходимость. По лемме 3 правый идеал ,1Я gr-существен в Я, а значит, 0 = (,1Я)е П Б = ■ П Б по п. 2.

Достаточность. Пусть элемент в € ■ регулярен в Яе. Тогда тя(в) = 0 ввиду е-точности кольца Я, и, согласно лемме 2, в € Б и правый идеал вЯ gr-существен в Я, значит, правый идеал ■Я (Э вЯ) gr-существен в Я, поэтому правый идеал ■ = ■Я)е существен в Яе по лемме 3.

8. Если в € Б, то по лемме 2 правый идеал вЯ gr-существен и по п. 2 имеем ва = Ь € Бе для некоторых а,Ь € Н(Я). Тогда а = в~Ч € Б-1Б, в-1 = аЬ-1 в О^, при этом Ь-1 € Б-1.

9. Следует из п. 8, так как (ЯБе 1) е — Яе Бе 1.

Теорема доказана.

Теорема 12 [4, теорема 2.11.4]. Пусть Я — gr-полупервичное кольцо с конечным носителем. Тогда Я е-точно слева и справа, Яе полупервично и д € 8ирр(Я) ^ д-1 € 8ирр(Я) для всех д € О.

Следствие 1 (из теоремы 11). Если Я — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди с конечным носителем, то выполнены все утверждения теоремы 11.

Доказательство. По теореме 12 для кольца Я выполнены все условия теоремы 11.

Теорема 13. Пусть Я — gr-полупервичное правое gr-кольцо Голди, группа О периодична. Тогда Яе-точно слева и справа, Я — полупервичное правое кольцо Голди, и поэтому выполнены все утверждения теоремы 11.

Доказательство. 1. Пусть I — ненулевой правый градуированный идеал кольца Я. Найдем gr-униформный элемент а € I. Пусть а € ^, д € О. Так как Я gr-полупервично, то найдутся такие Н € О и Ь € Яь, что аЬа = 0. Тогда элемент Ьа € Я^д\0 ненильпотентен, иначе (Ьа)п = 0, (Ьа)п-1 = 0 для некоторого п ^ 2, и поскольку тя(а) С тя((Ьа)п-1), то по лемме 1 имеем тя(а) = тя((Ьа)п-1) э Ьа, откуда аЬа = 0, что неверно. В силу периодичности группы О имеем О(дН) € N и (аЬ)°(я^ € ^ — ненильпотентный gr-униформный элемент.

2. Пусть х е Н(К) \ 0. Тогда по п. 1. правый градуированный идеал хК содержит ненильпотентный gr-униформный элемент ху е (хК)е \ 0. Отсюда следует, что кольцо К е-точно справа, а также слева, поскольку ух = 0 (иначе (ху)2 = 0).

3. Теперь так же, как в п. 7 теоремы 11, доказывается, что Ке — полупервичное правое кольцо Голди. Значит, для кольца К выполнены все условия теоремы 11. Теорема доказана.

Заметим, что в теореме 7 пп. 2-4, 7-9 нашей теоремы 11 доказаны в предположениях более сильных, чем предположения следствия 1, а также теоремы 13: сильноградуированное кольцо точно во всех компонентах, а конечная группа периодична.

Автор выражает глубокую благодарность А. В. Михалеву, В. Т. Маркову и И. Н. Балабе за внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

2. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009.

3. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Факториал Пресс, 2005.

4. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland, 2004.

5. Liu Shaoxue, Beattie M., Fang Hongjin. Graded division rings and the Jacobson density theorem //J. Boijing Normal Univ. (Natural Science). 1991. 27, N 2. 129-134.

6. Goodearl K, Stafford T. The graded version of Goldie's theorem // Contemp. Math. 2000. 259. 237-240.

7. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded and Filtered Rings and Modules // Lect. Notes Math. Springer, 1979.

8. Nastasescu C., Oystaeyen F. van. Arithmetically graded rings revisited // Communs Algebra. 1986. 14, N 10. 19912018.

Поступила в редакцию 18.10.2010

УДК 511.37 + 511.36

ОБОБЩЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ОППЕНХАЙМА

ДЛЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПОЛЕЙ С НЕАРХИМЕДОВСКИМ НОРМИРОВАНИЕМ

И. Ю. Сухарев1

Известный алгоритм разложения Оппенхайма в поле Qp обобщается на кольцо Qg, где g = pi ■ ... ■ pn. Исследованы метрические свойства цифр этого разложения, а также метрические свойства коэффициентов некоторых разложений полиадических чисел.

Ключевые слова: разложение Оппенхайма, p-адические числа, полиадические числа.

The well-known Oppenheim expansion algorithm in the field Qp is generalized to the ring Qg, where g = pi ■ ... ■ pn . The metric properties of the digits of this expansion and also the metric properties of the coefficients of some expansions of polyadic numbers are studied.

Key words: Oppenheim expansion, p-adic numbers, polyadic numbers.

В 1972 г. А. Оппенхайм в [1] предложил алгоритм разложения положительных действительных чисел в виде ряда. Это разложение обобщает известные разложения Энгеля, Сильвестра, Люрота, Кантора. Я. Галамбош в статье [2] изучил эргодические свойства знаменателей в разложении Оппенхайма, Ю. Ву [3, 4] исследовал некоторые метрические свойства цифр разложения Оппенхайма и его частных случаев.

В 1989 г. А. и Дж. Кнопфмахеры в статье [5] предложили аналог указанного разложения в поле Qp. Его называют p-адическим разложением Оппенхайма. В [6] исследованы метрические свойства некоторых разложений p-адических чисел, а в [7] — метрические свойства цифр p-адического разложения Оппен-хайма.

1 Сухарев Иван Юрьевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: ivan.suharev@gmail.com.