Градуированные варианты теоремы Голди, II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.552.2

ГРАДУИРОВАННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМЫ ГОЛДИ, II

A. JI. Канунников1

В статье продолжается начатое автором исследование градуированных колец Голди и их колец частных. Основные результаты — обращение теоремы Голди для градуированных колец и градуированные аналоги третьей теоремы Голди.

Ключевые слова: градуированные кольца частных, кольца Голди, pri-кольца.

We continue the study of graded Goldie rings and their quotient rings. The main results are inverse Goldie's theorem for graded rings and graded analogues of third Goldie's theorem.

Key words: graded quotient rings, Goldie rings, pri-rings.

Градуированные матричные кольца. Если А — кольцо, градуированное по группе О, п € М, д = (д1,...,дп) е Сп, то через Я = Ап(д) обозначается матричное кольцо Ап с градуировкой Я^, — (Ад-^д)ц' Н € О. При этом вц € Яд.дТ1- Как доказано в [1, теорема 2.10.10], вполне gr-пpивoдимыe

gr-пpocтыe кольца — в точности кольца вида £>„($), где И — градуированное тело.

Известно (см., например, [2, с. 82]), что кольцо, содержащее полную систему п2 матричных единиц (т.е. такую систему элементов вц, 1 ^ г,] ^ п, что ^П=1 еи — 1 и вцвы — 5]квц), изоморфно п х п-матричному кольцу над централизатором этой системы. Нам понадобится градуированный аналог этого факта. Заметим, что централизатор системы однородных матричных единиц может оказаться неградуи-

Я

Пример 1. Пусть О — группа, д,Н € О, дН — Нд, Б — О-градуированное кольцо, й € \ 0, Я — ^2(в,д) С — централизатор системы (вц, в12,в21 ,в22} матричных единиц в Я. Тогда С не является ОЯ

0 °)€ С, (00)€ (0 2)€ —(0 й)€ С, так как (00) (И — (И 0) (00) •

Для Н € О обозначим через НЯН 1 кольцо Я с Ь-сопряженной градуировкой: ('Я' 1 )д — Я^-1-Предложение 1. Пусть Я — градуированное кольцо, п € М, ~д = (д\,..., дп) € Оп, —

полная система матричных единиц в Я, такая, что вц € Я -1, С — ее централизатор. Тогда, существует такое градуированное кольцо И, что И = С = Сец = ецЯец (изоморфизм колец) и Я = Оп(д) (изоморфизм градуированных колец). В случае абелевой группы О кольцо С — градуированное подкольцо в Я и его можно взять в качестве кольца, Б.

Доказательство. Имеют место изоморфизмы колец (с забытой градуировкой) [2, с. 82]:

Еп

в^ав^; С — Сви, с ^ сви; виЯвп — Свп; Я — (Свп)п.

При этом кольцо в11 Яв11 — фдес в11 Ядв11 — градуированное подкольцо в Я, так как в11 € Яе, и элемент а € Я^ (Н € О) переходит в матрицу с элементом Ьцв11 — в1гав-д € (Св11)д1д-1^д.д-1 на г]-м месте, поэтому

Я ^ Оп(д), где Б = ■

Пусть теперь группа О абелева. Если с1 + ... + ст € С, degск — Нк, то с1 вц + ... + ствц — вцс1 + ... + вцст для всех г,]. Поэтому при всех к — 1,..., т имеем Сквц € ЯНкд.д-1, вцСк € Яд.д-1 Нк, откуда в силу

Нкдгд-1 — дгд-1 Нк получаем Сквц — вцСк и Ск € С, т.е. С — градуированное подкольцо в Я. Предложение доказано.

Нам также понадобится градуированный аналог теоремы Утуми о полном правом кольце частных матричного кольца [3, п. (2.3)].

Предложение 2. Пусть Я — градуированное кольцо, п € М, д € Сп. Верны утверждения:

Канунников Андрей Леонидович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: andrew.kanunnikovQgmail.com.

(1) если Б — градуированное правое кольцо частных кольца К, то Бп(~д) — градуированное правое кольцо частных кольца Кп(д);

(2) если М — ^-плотный правый идеал в К, то Мп(д) — ^-плотный пра,вы,й идеал в Кп(д);

(3) всякий gr-плотный пра,вы,й идеал И в Пп{д) содержит gr-плотный правый идеал вида Мп(д) (с сохранением градуировки), где Ы — ¡г-плот,ный правый идеал в К;

(4) {{Ип){д)) = {равенство градуированных колец).

Доказательство. Утверждения (1) и (2) в случае О — {е} доказаны в [3]. Остается заметить, что gr-paциoнaльныe расширения рациональны [4, предложение 26]. Поэтому, в частности, утверждение (3) достаточно доказать в случае ~д = ё.

(3) Пусть Ы^ — правый градуированный идеал в К, состоящий из элементов матриц из Д П ekkКn (к — 1,...,п). Зафиксируем х е Н(К) \ 0 у е Н(К). Существует такая матрица А — ^^ а^е^ е Б, что е^А, е^уА е Б, е^хА — 0. Поэтому ха^ — 0 для некоторого г. Так как е Ы^ то Ы^ ^ ¡г-плотный правый идеал в К. Значит, Ы :— пn=1Ыk — gr-плoтный правый идеал в К. Пусть г € Н(Ы). При

всех к € {1,...,п} существует такая матрица Ве Б П е^К^ что Б^ — г. Тогда — ге^- € Б

для всех к, ] е {1,..., п}. Это доказывает, что Ып С Б.

(4) Пусть д £ ЯёТ{11п{~д))р, р £ О, д — класс / € НОМ д(Б, Щр, М — такой gr-плoтный правый идеал в К, что {Мп{д))ь Q -С/г для всех й е С (сохранение градуировки можно предполагать с учетом (3)). При всех к е {1,...,п} определим /^(х) — (/(diаg (x)ek1))j 1, х е Ы. Тогда /^ е Нот д (Ы, К), и так как deg(diag (x)ekl) — при х е Ых (х е О), то deg(/jk(x)) — Р5-1 Х515-1 и deg — Р5-1-Обозначив класс гомоморфизма /^ через qjk е (К) получим /^ х^е^) — Е^ qгkе^Ж^ х^е^) для всех Хгк е М, поэтому д = (д^Оу € Я&Т{И)п, причем deg(g) = дг{д^1рд^д]~1 = Р- Значит, Я&{Пп(д))р Q {Яё,г{Я){'д)п) ■ Обратное включение следует из (1). Предложение доказано.

Следствие. Если кольцо К вполне ¡г-пршо^шио, то (К) — К.

Градуированные кольца Голди. Градуированное кольцо К назовем ¡г-рп-кольцом, если каждый градуированный правый идеал в К порождается одним однородным элементом. Ясно, что gr-pri-кoльцo является gr-нeтepoвым справа и тем более градуированным правым кольцом Голди (т.е. градуированным кольцом с условием максимальности для правых градуированных аннуляторов и не содержащим бесконечных прямых сумм градуированных правых идеалов).

В следующей теореме показана логическая связь между условиями полной gr-пpивoдимocти полного

и классического КБ-1 градуированных правых колец частных данного кольца К и эквивалентными условиями того, что К — gr-пoлyпepвичнoe правое кольцо Голди.

К

регулярных элементов Б и полным градуированным, правым кольцом частных :

(1) — вполне gr-приводимое кольцо;

(2) — gr-нecuнгyмpнoe справа gr-конечномерное справа кольцо;

(3) к — %р-несингумрное справа gr-конечномерное справа кольцо;

(4) к — ¡г-пмупервичное gr-несингулярное справа gr-конечномерное справа кольцо;

(5) к — ¡г-полупервичное gr-конечномерное справа кольцо с условием минимальности для правых gr-аннуляторов (или, что равносильно, с условием максимальности для левых ¡¡р-аннуляторов);

(6) К — ¡г-пшупервичное правое кольцо Голди;

(7) (1д ¡^^^^^^^шве н в Кд ^ I П Б — 0) для, всякого градуированного прав ого идеала I в К;

(8) кольцо КБ-1 существует, вполне ¡г-приводимо и совпадает с кольцом

1. Между условиям,и (1)-(8) имеются следующие логические связи:

(1) ^ (2) ^ (3) ^ (4) ^ (5) ^ (6) ^ (7) ^ (8).

2. Импликация (6) ^ (7) справедлива, в каждом, из следующих случаев:

(а) кольц о К ¡г-первично, а, гр уппа, О а, бел, е ва;

(б) кольцо К — ¡г-рп-кольцо;

(в) кольцо К е-точно справа, а, кольцо Ке полупервично;

( ) К ;

( ) О

Кроме того, в случаях (г), (д) кольца, К и е-точны, кольцо Ке — полупервичное правое кольцо Голди с множеством регулярных элементов Бе :— Б П Ке и — КБ-1 — КБ-1.

Доказательство. 1. Гавносильности (1) ^ (2) ^ (3) и импликация (7) ^ (6) доказаны в [4, теорема 13, теорема 27]. Импликация (4) ^ (3) очевидна. Равносильности (4) ^ (5) ^ (6) и (7) ^ (8) доказываются аналогично неградуированному случаю (см. [5, пп. 6.32, (1)-(3), 10.10, (5)]).

2. Сразу заметим, что всякий идеал вида sR, где s G S (а тогда и всякий градуированный правый идеал, содержащий однородный регулярный элемент), в gr-полупервичном правом кольце Голди R gr-существен [6, лемма 2]. Ключевое утверждение состоит в том, что в каждом из данных случаев всякий gr-существенный правый идеал в R содержит однородный регулярный элемент.

(а) Предложение доказано в [4, теорема 8.4.4].

(б) Каждый gr-существенный правый идеал I в R имеет вид sR для некоторого s G H (R). Согласно

sR

следствие 1]. Заметим, что импликация (3) ^ (4) неверна, например, для кольца верхнетреугольных 2 х 2-матриц над полем (в неградуированном случае). Теорема доказана.

Теперь мы можем доказать градуированный аналог третьей теоремы Голди [7] — теорему о строении gr-первичных gr-pri-колец. Мы будем следовать Джатенгаонкару [8], учитывая специфику градуированных колец.

Теорема 2. Для gr-pri-кольцa R равносильны условия:

(1) R — gr-первичное кольцо;

(2) R = hDn(jî)h , где D — некоторая правая gv-область Ope, п G N, g = (gi,..., gn) G Gn, h G Centjgig-1 | 1 ^ i, j ^ n} (для подмножества A группы G через Cent(A) обозначен его централизатор).

При выполнении этих условий QgI(R) = = Тп(д), где Т — градуированное m,ело, причем

Tg-1 = Qgr (D) -î,, _îg для вс ех 1 ^ i, j ^ n, т G G. В частности, если в (2) можно взя ть h из

gi Tgj gi h gj

центра группы G (например, если G абелева), то R = Dn(g) и Qgr(D) = T.

Доказательство. (2) ^ (1). При структурном изоморфизме Id(A) Э I 1—У In G Id(An) между идеалами градуированного кольца А и идеалами матричного кольца Ап(д), g G Gn ((IJ)n = InJn), градуированные идеалы переходят в градуированные, поэтому А gr-первично в точности тогда, когда Ап(д) gr-первично. В условии (2) D — gr-область, поэтому кольца Dn(g) и R = hDn(~g)h gr-первичны.

(1) (2). По теореме 1 существует кольцо Q := QgY(R) = RS_1 = Тп(д), где Т — градуированное тело, g = (д 1,... ,дп) G Gn. Пусть N — полная система матричных единиц в Q, ец G Яд дт1- Согласно

[5, п. 10.7], Na С R для некоторого a G S, поэтому M := a-1Na — такая полная система матричных единиц в Q, что aM С R. Отсюда aMR = bR для некоторого b G S h := deg b. Значит, b = ac для некоторого c G H(MR), элемент c = a-1b обратим в Q, MR = cR и (R : M) := {r G R | rM С R} = {r G R | rc С R} = Rc-1. Поэтому (Rc-1)M С Rc-1 и c-1Mc С R. Итак, b-1eijb G Rh_îgi(h_îgj.)_î — полная система матричных

единиц в R. По предложению 1 R = = hDn(g)h 1 для некоторого градуированного кольца D,

и по предложению 2 Тп(д) = QgI(R) = QgI(D)n(h~1g), а значит, QgI(D) -ihrh-ia. = T -i для всех 1 ^

gi gj gi gj

i, j ^ n, т G G. При т = 1 получаем g-1 hgig-1 h-1gj = e, откуда h(gig-1) = (gig- 1)h.

Далее, H(Qgr(D)) = H(T), поэтому D — gr-область. Так как кольцо R gr-конечномерно справа, то и кольцо D тоже. Значит, D — правая gr-область Ope. Теорема доказана.

Ортогональное градуированное пополнение. Метод ортогональной полноты, разработанный К. И. Бейдаром и А. В. Михалевым (см., например, [9]), позволяет "поднимать" теоремы о первичных кольцах до теорем об ортогонально полных полупервичных. Мы рассмотрим градуированный аналог

gr

ированные варианты теорем Голди.

Полное правое градуированное кольцо частных Qgr gr-полупервпчного кольца Голди R является конечной прямой суммой матричных колец Q1,..., Qn над градуированными телами. Обозначим через u единицу кольца Qj. Градуированное кольцо

Ogr(R) := Q)" t UjR

г=1

назовем ортогональным градуированным, пополнением кольца Я. Ясно, что Я С О®г(Я) С (Я), в частности О®г(Я) — градуированное кольцо частных кольца Я и О®г(Я) gr-пoлyпepвичнo.

Предложение 3. Пусть Я — gr-n0лynepвмчн0e правое кольцо Голди. Тогда, — О®г(Я) — конечная прямая сумма, gr-nepвuч,ны,x правых колец Голди.

Доказательство. Надо показать, что каждое кольцо и^Я — gr-пepвичнoe правое кольцо Голди. Так как (иЯ) — ^ — вполне gr-пpивoдимoe кольцо, то по п. 1 теоремы 1 ((1) ^ (3)) кольцо и^Я gr-неспнгулярно справа и gr-кoнeчнoмepнo справа. Далее, кольцо и^Я gr-пoлyпepвичнo как прямое слагаемое gr-пoлyпepвичнoгo кольца Пусть теперь а(игЯ)Ь — 0 гДе а, Ь € Н(«¿Я). Тогда (Ь^га(игЯ)) — 0, а(игЯ) П (игЯ))2 — 0, поэтому Ь^га(игЯ) П (игЯ) — 0 в силу gr-пoлyпepвичнocти кольца игЯ, откуда

bQia(«iR) = 0 (ввиду gr-существенности расширения щR С Qj) и bQja = 0. Так как кольцо Qj gr-первично, то a = 0 или b = 0 значит, кольцо «¿R gr-первично. С учетом п. 1 теоремы 1 ((4) ^ (6)) R — gr-первичное правое кольцо Голди. Предложение доказано.

Рассмотрим случай градуировки по абелевой группе и проиллюстрируем его на примере коммутатив-gr

теоремы Голди.

R gr

левой группе. Тогда кольцо Qg[(R) существует, вполне gr-приводимо и gr-npocm,o.

R gr

Тогда, существуют тлкие gr-первичные кольца, Голди Ri,..., R:, что

Ogr(R) = ©П=1 R^ « Qgr(R) = ©П=1 Qg[(Ri)-

Теорема 4 непосредственно следует из предложения 3 и теоремы 3.

Замечание. Равенство Qgr(R) = Qg[(R) в теореме 4, вообще говоря, неверно, в отличие опять-таки от неградуированного случая, в котором всегда справедливо равенство Qci (®П=1 Ri) = ®n=i Qci(Ri)-Градуированный аналог этого равенства

Qgir (®:=1 Ri) = ®:=1 Qgir (Rj). (*)

вообще говоря, не имеет места, поскольку наборы регулярных элементов градуированных колец Ri могут быть неоднородными (равенство (*) верно, если все кольца Qg[(Rj) получаются обращением регулярных элементов из общей для всех i компоненты, например как в пп. (в)-(д) теоремы 1). Это хорошо иллюстрирует следующий пример.

Пример 2. Для полупервичного кольца R из работы [6, пример 1] Ogr = k[x] ф k[y] = Qg[(Ogr):

{kx:, n > 0; ( kx: ф ky-:, n > 0; ( kx: ф 0, n > 0;

k, n = 0; Q:r = \ k ф k, n = 0; Of = Qg[(Ogr): = < k Ф k, n = 0; ky-:, n < 0, [ kx: ф ky-:, n < 0, [0 ф ky-:, n < 0.

Теперь мы получим описание gr-полупервичных gr-pri-колец, из которого будет следовать их ортогональная полнота.

R

(1) R — gr-пмупервичное gr-pri-кольцо;

(2) R = Ogr = ф:=1 UiR, где n G N и каждое кол,ьцо щR — gr-первичное gr-pri-кольцо. При, выполнении этих условий

Qgr(R) = Qg[(R) = ©:=1 Qgl («i R).

Доказательство. Импликация (2) ^ (1) следует из того, что конечная прямая сумма gr-первичных gr-pri-колец — gr-полупервичное gr-pri-кольцо. Докажем импликацию (1) ^ 1 кольцо RS-1

существует, вполне gr-приводимо и совпадает с кольцом Qgr = ф:=1 Qi- Пусть, как и выше, «j — единица кольца Qi. Согласно [5, п. 10.7, 1], существует элемент c G S, для которого «¿c G R при всех i = 1,..., n. Тогда cOgr С R и, значит, cOgr — правый gr-существенный идеал в R, следовательно, cOgr = aR для некоторого a G S. Отсюда a = cb для некоторого регулярного b G Ogr и Ogr = bR. В частности, b2 = bd для некоторого d G H(R) и b = d G H(R), т.е. Ogr = R. Ясно, что «¿R — gr-pri-кольцо, поскольку «¿R — gr pri R

Автор выражает благодарность научному руководителю А. В. Михалеву за постановку задач, а также В. Т. Маркову и И. И. Балабе за полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nastasescu С., Oystaeyen F. van. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland: Springer, 2004.

2. Джекобсон H. Строение колец. M.: ИЛ, 1961.

3. Utumi Y. On quotient rings // Osaka Math. J. 1956. 8, N 1. 1-18.

4. Балаба И.Н., Канунников А.Л., Михалев A.B. Кольца частных градуированных ассоциативных колец. I // Фунд. и прикл. матем. 2012. 17, вып. 2. 3-74.

5. Туганбаев A.A. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: .\IIUI.\K). 2009.

6. Канунников А.Л. Градуированные варианты теоремы Голди // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 3. 46-50.

7. Goldie A.W. Non-commutative principal ideal rings // Arch. Math. 1962. 13. 214-221.

8. Jatengaonkar A.V. Left principal ideal rings // Lect. Notes Math. Springer, 1970.

9. Бейдар К.И., Михалев A.B. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи матем. наук. 1985. 40, вып. 6. 79-115.

Поступила в редакцию 14.10.2012

УДК 512.5

ПРИМЕР МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

С ПОКАЗАТЕЛЕМ МЕНЬШЕ ТРЕХ

С. П. Мищенко1

В случае поля нулевой характеристики построен пример многообразия линейных алгебр, рост которого строго выше квадратичного, но строго ниже кубического.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, тождество, рост коразмерностей.

In the case of characteristic zero, an example of a linear algebra variety with the growth greater than quadratic, but lower than cubic is constructed.

Key words: variety of linear algebras, identity, growth of the codimensions.

На протяжении всей работы основное поле имеет нулевую характеристику. Все необъясняемые понятия можно найти в книге [1]. Так как ассоциативность умножения не предполагается, то договоримся опускать скобки в произведениях элементов в случае их левонормированной расстановки, т.е. abc = (ab)c.

Пусть V — некоторое многообразие линейных алгебр, а F = F{X} — его относительно свободная алгебра с множеством свободных образующих X = {Ж1,Ж2,... }. В силу хорошо известного процесса линеаризации многообразие V полностью определяется последовательностью подпространств Pn(V), n ^ l, полилинейных элементов степени n алгебры F. Числа cn (V) = dim Pn(V) называются коразмерностями многообразия, и функция роста многообразия V определяется последовательностью {cn(V)}n^1. Если существуют числа a, t, такие, что cn(V) ^ an*, то говорят, что многообразие V имеет полиномиальный рост. В случае, когда t = 2, рост называют квадратичным.

Действие а ■ (x¿)

— ^симметрической группы Sn естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры F, и пространство Pn(V) становится при этом Sn-модулем. Модуль Pn(V) является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:

Xn(V)= x(Pn(V)) = £ mAXA, (l)

Ahn,

где суммирование ведется по разбиениям А числа n.

Число слагаемых 1n = 1n(V) = Ahn mA в сумме (1) называют кодлиной многообразия, а mA — крат-ностями. В случае, когда многообразие V порождается некоторой алгеброй A, т.е. V = varA, договоримся писать также Pn (A) cn(A), xn(A) вместo Pn(V), cn(V), xn(V).

n

ную расстановку скобок. Зафиксируем расположение скобок T и обозначим через P^f (V) подпространство пространства Pn(V), натянутое на полиномы с расстановкой скобок в точности T, его характер как

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. алгебро-геометрических вычислений ф-та математики и информационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: mishchenkosp®maïl.ru.