Градуированные первичные кольца Голди Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 512.552.2

ГРАДУИРОВАННЫЕ ПЕРВИЧНЫЕ КОЛЬЦА ГОЛДИ

Д. С. Баженов1

Исследуются градуированные по группе первичные кольца Голди. Доказано, что градуированное вполне приводимое кольцо частных существует в случае градуировки по группе с конечным коммутантом (что усиливает результат Гудёрла-Стэффорда, полученный для случая абелевой группы), а также приведен пример, для которого такого кольца не существует (уже известен контрпример для полупервичного случая).

Ключевые слова: градуированные кольца, gr-первичные кольца, кольца Голди.

Prime Goldie rings graded by group are studied. It is proved that there exists a completely gr-reducible graded ring of fractions in the case of a grading group with a finite commutator subgroup (enhancing results of Goodearl-Stafford obtained for Abelian groups), and an example for which such a ring doesn't exist is constructed (a counterexample for a semi-prime ring was already known).

Key words: graded rings, gr-prime rings, Goldie rings.

Теорема 1 (А. Голди [1]). Следующие условия равносильны:

(1) д — полупервичное левое кольцо Голди;

(2) левый идеал кольца R существен тогда и только тогда, когда он содержит хотя бы один регулярный элемент,;

(3) левое классическое кольцо частных QC\(R) существует и вполне приводимо.

При этом кольцо QC\{R) просто тогда и только тогда, когда R первично.

Запишем градуированные аналоги2 утверждений (1)-(3):

(la) R — gr-полупервичное левое gr-кольцо Голди;

(2а) левый градуированный идеал кольца R существен тогда и только тогда, когда он содержит хотя бы один однородный регулярный элемент;

(За) левое gr-классическое кольцо частных Q^(R) существует и вполне gr-приводимо.

Гавносильность (2а) (За) и следствие (2а) => (1а) доказаны в [3]; при условии (За) верна также равносильность между gr-простотой Q^(R) и gr-первичностью R [4]. Строение полупростых колец описывается теоремой Веддербарна-Артина, градуированный аналог которой также имеет место [2, теорема 2.10.10]. Лишь импликация (1а) => (За) оказалась неверна, что станет ясно из следующего примера.

Теорема 2 (К. Нэстэсеску, Ф. ван Ойстейен, 1979 [5]). Пусть F — поле, R = ¥[х,у]/(ху) — Ъ-градуированное кольцо,

Тогда R gr-полупервично, но Qf^(R) совпадает с кольцом R и не является gr-артиновым (и тем более вполне gr-приводимым).

Верен ли аналог теоремы Голди, если кольцо R gr-первично, до настоящего момента известно не было, но в данной работе построен контрпример и для gr-первичного случая.

Тем не менее для теоремы Голди можно построить градуированные аналоги, накладывая ограничения на градуировочную группу G или предъявляя некоторые дополнительные требования к структуре кольца.

1 Баженов Дмитрий Сергеевич — студ. каф. алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: trongsundQyandex.ru.

2 Определения градуированных понятий (в том числе с приставкой gr-) см. в [2].

Теорема 3 (К. Гудёрл, Т. Стэффорд, 2000 [6]). Пусть R — G-градуированное gr-первичное gr-кольцо Голди, G абелева. Тогда каждый gr-существенный идеал кольца содержит однородный регулярный элемент,.

Оказывается, данную теорему можно усилить, а именно она останется верна, если вместо абе-левых групп рассмотреть группы с конечным коммутантом (коммутант группы G всюду обозначаем G').

Теорема 4. Пусть R — G-градуированное g^:-первичное gr-кольцо Голди, G' конечен. Тогда любой существенный градуированный идеал кольца содержит однородный регулярный элемент,.

Доказательство. Пусть \G'\ = г, I — существенный градуированный идеал кольца II. В силу [6, лемма 2] и предположения теоремы найдется ненильпотентный gr-одномерный элемент а\ € R. Пусть мы нашли т ненильпотентных gr-одномерных элементов сц, ■ ■ ■, ат € R, таких, что

г—1

Vi£l,m сц € P| ln{aj),

3 = 1 m

где Ir(o) — левый аннулятор элемента а. Если X = f] 1ц((ц) ф 0, то IП X ф 0. Тогда из работы [6,

г=1

лемма 1] следует, что существует ненильпотентный gr-одномерный элемент ат-ц € I П X. Так как

оо

СЦ € ln(cij) = [6, лемма 3] при i > j, получаем, что ^ Дец — внутренняя прямая сумма. По-

г=1

скольку наше кольцо является левым градуированным кольцом Голди, процесс обрывается, т.е. для

п

некоторого п имеем Р| ¿д(ец) = 0. Так как кольцо gr-первично и ец ненильпотентны, то

г=1

Ra\Ra\ ... Ra^ ф 0,

а значит, существуют однородные элементы s2, ■ ■ ■, sn, такие, что

2 2 2 / П

a1s2a2 ■■ ■ snan ф 0. По лемме 2 из [6] найдется однородный элемент si, такой, что

с = siafsia^ • • • o-nsn

ненильпотентен. Пусть при г € 1,п

j _ 2 2 Я г — Q>iSiQ>i-1-1 • • • Sn(liS\ . . . Si—\(li.

Так как cr!+1 ф 0, получаем, что df- ф 0 для всех г. Докажем, что все degc^! совпадают.3 Пусть hi = degdi, тогда hihj1 € G' и, более того, hk(h~1)k = ak(e), где а — перестановка элементов коммутанта. В самом деле,

hKhff = h^-'ihff-1)^1 ■ (hihj1),

а это означает, что hk(h~1)k = a{hk~l{h~l)k~l), где а — композиция автоморфизма (!' и умножения на элемент из G', не зависящая от к. Значит, а — перестановка коммутанта, и <тг! = id. Поэтому

__п

Vi,j € 1,п h^ = Щ', т.е. deg dr( = degc^\ Обозначим d= J^di- Так как Rdi С Еец, то Rdi образуют

г=1 _

прямую сумму. Из леммы 3 [6] следует, что = 1ц{(ц),% € 1 ,п, откуда ln(d) = =

ПГ= 1 iR(df') = 0. Так как степени всех df' равны, то d — однородный элемент. Более того, идеал Rd существен, ведь d, € I и ln(d) = 0 [6, лемма 4]; отсюда по лемме 1 из [6] получаем гд(с?) = 0, т.е. d регулярен. □

3Если G абелева, то степени всех di совпадают — этот случай разобран в [6].

После открытия в 1979 г. контрпримера для gr-пoлyпepвичнoгo случая встал вопрос о том, верна ли теорема для gr-пepвичнoгo случая, и сейчас на него можно дать отрицательный ответ.

Теорема 5 (контрпример к gr-пepвичнoмy случаю). Существует gr-первичное не gr-артиново gr-левое кольцо Голди, для которого Б~1К = К, где Б — множество однородных регулярных элементов кольца К.

Доказательство.Рассмотрим О = {г,в \ в2 = е,вгв = г-1), К — С-градуированное кольцо

IL =

= 0,z2 = 1),

а = гп;

R, а = е;

ilzxnz, а = г-п.

Шхп, а = srn;

Hz, а = S]

МЛ, а = sr~n

Докажем, что кольцо К gr-нëтepoвo и слева, и справа. Пусть I — нетривиальный градуированный левый идеал кольца К, а € I — однородный элемент. Ясно, что а необратим; кроме того, можно считать, что а — одночлен с коэффициентом 1. Значит, остается рассмотреть 4 случая: а = хП1, тогда I Э хт и I Э гхт при т ^ п\\ а = гхП2, тогда I э хт и I э гхт при т ^ пг; а = хпзг, тогда I Э хтг и I Э гхтг при т ^ Пз; а = гхП4г, тогда I э хтг и I э гхтг при т ^ п^.

Отсюда следует, что если щ,П2,Пз и п4 выбраны наименьшими, то п 1 = П2 и из = П4. Значит, любой градуированный левый идеал порождается в К не более чем двумя однородными элементами, а значит, кольцо gr-нëтepoвo слева. Аналогично доказывается gr-нëтepoвocть справа. Докажем, что кольцо К gr-пepвичнo. Это равносильно тому, что

У а, Ъ € к{К) \ {0} Зг £ к{К) агЪ ф 0.

Если степень а или Ь равна е или в, все очевидно. Если оба элемента необратимы, то остаются следующие случаи:

1) а оканчивается на г, а Ь начинается на г либо а оканчивается не на г и Ь начинается не на г. Тогда аЪ ф 0 и подходит г = 1;

2) а оканчивается на г, а Ь начинается не на г либо а оканчивается не на г, а Ь начинается на г. Тогда возьмем а' = ах и заметим, что а' и Ь удовлетворяют случаю 1. Значит, здесь в качестве г можно взять г.

Докажем, что кольцо К не содержит регулярных необратимых однородных элементов. Если однородный элемент а необратим, значит, он непредставим в виде Л или \г, к € К. В таком случае если а оканчивается на х, то ахх = 0, иначе ах = 0. Значит, любой однородный необратимый элемент кольца — левый делитель нуля, что противоречит регулярности.

Наконец, докажем, что кольцо К не gr-apтинoвo. В самом деле, левый идеал 11хп состоит из однородных слагаемых вида либо Ххт, либо Хгхт, где Л € К, т ^ щ поэтому градуированные идеалы {Кхп | п € М} образуют строго убывающую бесконечную цепь, что противоречит gr-apтинoвocти слева. Аналогично опровергается gr-apтинoвocть справа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Херстейп И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

2. Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: .\IIUI.\K). 2009.

3. Канунников А.Л. Градуированные варианты теоремы Голди // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 3. 46-50.

4. Nastasescu С., van Oystaeyen F. Graded ring theory. Amsterdam, North-Holland, 1982.

5. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded and filtered rings and modules // Lect. Notes Math. Springer, 1979.

6. Goodearl K., Stafford T. The graded version of Goldie's theorem // Contemp. Math. 2000. 259. 237-240.

Поступила в редакцию 15.06.2016