CC BY
40
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 1 (2013)
УДК 511.36
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕСКОЛЬКИХ ОСНОВАНИЙ
В. Г. Чирский, Р. Ф. Шакиров (г. Москва)
Аннотация
С использованием оценок В. Х. Салихова для линейных форм от чисел ln 2, ln 3 улучшена ассимптотическая оценка для числа членов разложения натурального числа в системе счисления с двумя основаниями.
REPRESENTATIONS OF POSITIVE INTEGERS IN DBNS
V. G. Chirskii, R. F. Shakirov (Moscow State University)
Abstract
With V. Ch. Salihov’s estimates of linear forms in ln 2 and ln 3 we improve the asymptotic estimate of number of terms in DBNS.
1 Введение и формулировка результатов
Рассматривается задача о представлении натурального числа х в виде суммы чисел
2а3ь,а,Ь Є N и{0} (1)
В работе [1] приводится алгоритм решения этой задачи, на первом шаге которого находят наибольшее число и вида (1), не превосходящее число х. Затем та же процедура применяется к числу х — и и так далее, пока не будет получено число 0. В [1] установлена
Теорема 1. Продолжительность работы этого алгоритма равна
Доказательство этой теоремы использует теорему Р. Тайдемана [2], из которой следует, что существует постоянная С такая, что между числами
X
X —
(1п х)
С '
обязательно есть число вида (1). Практические вычисления говорят о том, что реальные значения дают в соотношении (2) значительно лучшую оценку подразумеваемой постоянной, чем полученная авторами [1] с ипользованием известных им оценок линейных форм от логарифмов алгебраических чисел.
В настоящей работе использованы существенно лучшие оценки линейных форм от чисел 1п 2 и 1п3, установленные В.Х. Салиховым [3]. С их помощью получено следующее уточнение теоремы из [1].
Теорема 2. Продолжительность работы упомянутого выше алгоритма при любом С ^ 33 и любом е > 0 при х ^ Х\(С, е) не превосходит величины
С
1о§2 X 1о§21о§2 х :
где
В частности, при С
С0 = С0(С,б) = С(1 + є)+1ogз 2
33 при х > Х\(е)
С0 = 5, 70996 + 4,125 • є
2 Уточнение теоремы Р. Тайдемана
В доказательстве теоремы 1 используется модифицированная теорема из
[2], которую сформулируем в виде леммы.
Лемма 1. Пусть п1 = 1 < п2 < ... - последовательность всех чисел вида
(1). Тогда для любого числа С ^ 33 существует число NN = N (С) такое,
что для
п ^ N (5)
выполняется оценка:
п
пі+і — пі < ( )Т7С • С1(С), (6)
(^2 ину/С
где
(2 1п 2)1/С (1п3)1+1/С
С1(С) = 21/с (1п3)1+1/Се (1п ю1/с (7)
При С = 33 получаем
1,21657
С1 = 1, 32961 • е (1п^)8/33 (8)
Ргоо£ Пусть
п = щ = 2“ 3“
удовлетворяет (5). Тогда и при одном из р € {2, 3} удовлетворяет неравенству
1п п
2 1п р
(9)
Пусть ^^, • • • - последовательность подходящих дробей к числу |П3. Последовательность кг возрастает и пусть число ] выбрано так, что
к] ^ и < к^+1
Рассматриваются 2 случая. В первом
Положим
Из (11) и (12) следует, что
п
п
кз 1п 2
кз 1п 3
2“—к^ зv+hj
з^
п • —т > п•
2kj
По свойству подходящих дробей,
0 <-з~
кз 1п 2 кз кз+1 1
< "I— —
кз 1п3 кз кз+1 кз кз+1
Следовательно, ввиду (14)
п
3hj
1п — < 1п = кз 1п 3 — кз 1п 2 = ( —
2kj з з
кз 1п 2 1п 3 1п 3
п
(к±_ 1п2^
\кз 1п^ кз
<
к
з + 1
Используя (15), (10), (9), (5) получаем, что
п П 1п3 1п3 21п р 1п3 21п р 1п3
1п — < -----<------£ ——---------£
п кз+1 и
1п п
1п N
10)
11)
12)
13)
14)
15)
:1б)
Имеет место утверждение:
Если 1 < Ь < О-1, то 1п Ь > О^(Ь—1), для доказательства которого достаточно заметить, что функция 1п Ь—О^(Ь— 1) равна 0 при Ь =1 и возрастает на интервале
(1,О-1).
Так как из (16)следует, что
п 2 1п р 1п3
---- ^ в 1п N ,
п
согласно утверждению, получаем:
, и ( 21пр 1п3\ [и' \
1п п> еЧ —и— V'
Из (17) и (16) следует, что
2 іп р іп з / и' \ , и' 21п р 1п 3
е—---------------------1 < 1п — С —---------,
\ и ) и 1п и
откуда
или
и ( 2 1п р 1п 3 )
и — и С ------------• 21пр 1п3 • е( 1пя )
1п и
и' — и С
и
1^„и
2 1п р 1п 3
• 2к^ 3 • е( 1пя ).
Во втором случае
По свойству подходящих дробей
Нз 1п 2
кз 1п 3
Нз-1
кз-1
>
1п 2 1п 3
Полагаем
-лп-кі—1о у+Но — 1
п' = 2u-kj-13v При этом, как и в (13), п' > п. Кроме того,
кз 1 1п 2 кз 1 кз
0 < -з-1 - --------- < з 1 з
1
ку-1 1п3 ку-1 кз кз-1кз
Аналогично (15), получаем неравенство
1 п' 3}1:>-1 1п3
1п — = 1п —;— = кз-11п 3 — кз-11п 2 < ——•
п 2kj-l з 1 з 1 кз
:17)
18)
:19)
Далее существенно используется теорема В.Х. Салихова [3] о линейной форме от чисел 1п2, 1п3. Сформулируем следствие этой теоремы:
Если С ^ 33, то существует число N = N (С) такое, что для всех кз, удовлетворяющих неравенству кз ^ N, выполнена оценка
| Нз 1п 3 — кз 1п 21 > к з .
Так как
кз к
>
з кз+1
Нз 1п 2 Нз 1п 3 — кз 1п 2
кз 1п 3 кз 1п 3
1
из (20) следует, что
1 > к
-с
kj kj+i kj ln3
или
с
или
kj+l < (ln 3) kj ,
k \ l/C
kj M^j±1) • (21)
kj
ln
ln3/
Таким образом, из (19), (21), (10), (9), (5
n' < ln3 < (ln3)l+l/C < (ln3)l+l/C <
ln n<~j < (kj+l)l/C < ~~ййс <
< (ln3)l+l/C(2lnp)l/C < (2lnp)l/C(ln3)l+l/C (22)
< (ln n)l/C < (ln N )l/C (22)
и из (22) получаем
n' ( (2 In p)1/C (In3)1+1/C )
— <e\ (logN)1/C ), (23)
n
а согласно утверждению,
(>П_ Л e(-(2ln У) < ((2 ln p)l/C (ln3)l+l/C \
\n J < \ (lnn)l/C J
откуда
n' — n <
(ln n )l/C
n ( (2 ln p)1/C (ln 3)1+1/C\
n'-n <—------------—C(2lnp)1/C(ln3)l+l/CЛ (lnN)1/C Л
или
п ( (2 1п р)1/С (1п3)1+1/С\
п' — п ^------------тгт^21/с (1п3)1+1/с Д (1пМ)1/С ). (24)
(1ogp п)1/с
Из (18), (24), (7) следует утверждение об оценке (6) леммы 1.
□
3 Доказательство теоремы 1
Пусть С ^ 33, N (С) - число из леммы 1, С1 = С1(С) определено в (7), (8). Пусть
Хо = Хо(С) = N (С) и пусть x = x0 выбрано так, что
1оё2 Х
2 1og2 1og2 X ^ (25)
По лемме 1, существует число вида (1) такое, что
х — п С1Х\ ме < 2“° 3Ь° ^ х = Хо
(1Ogp Х)1/е Определим число х1 условием
х = Хо = 2“° 3Ь° + хь Ввиду (26), оно удовлетворяет неравенству
С1 х
х1 <
(1^„ х)1/с'
->р •
Если х1 > Х0, то снова по лемме 1, находим число 2“13Ь1 такое, что х2, определенное равенством
Х1 = 2“13Ь1 + Х2.
удовлетворяет неравенству
С1х1
Х2 <
(1^р х1)1/с' Из (27) и (28) следует
С,2х
х2 <
(1^р х)1/е (1^ х1)1/е' Продолжаем этот процесс и получаем, что при условии
хг > Хо
существуют числа 2“ 3’1 и хг+1 такие, что
хг = 2“ 3Ьг + хг+1
и
Сх С1г+1х
х+1 < 7---------гг^ <
(1ogp хг)1/е (Ь§р х)1/е ^р х1 )1/е • • • ^р хг)1/е
завершим этот процесс на шаге I = 1(х), когда выполняется неравенство
хг+1 ^ / (х) <хг, где, для краткости, введено обозначение
^2 х
/ (х) = 2 ^2 1og2 х •
(26)
(27)
число
(29)
(30)
(31)
(32)
Так как при этом, ввиду (31) и (25),
х, > Хо,
условие (29) выполнено при всех г ^ I.
Полагая в (30) г = I — 1 и используя неравенства
f (х) < XI < ■ ■ ■ < XI < х0 = X,
получаем, что
< С1х (33)
х‘ < (1о§р х,)1/С ■ (33)
Из (31) и (33) следует, что
.. . С11х С11х
f (х) <х, <------------------1-с <---------- с ■ (34)
(^р х,)1/С (Ь§р f (х))1/с
В свою очередь, из (34) следует, что
1
С
Из (35) и (32) получаем
1о§2 f (х) + 1о§2 1о§р f (х) < 1 1о§2 С1 + log2 х- (35)
1о§ х____1о§2 х
I < _____________________ 1о§2 1о§2 х________________ (36)
с (log2 log2 х — 1о§2 log2 log2 х — 1о§2 log2 Р — С 1о§2 С1) ’
Перепишем (36) в виде
/<J0§2^ .С.(________________________1_________________^ (37)
10§ 10§ С 1 1о§2 1о§2 1о§2 X 1+1о§2 1о§2 Р+С 1о§2 С1 I
§2l0g2 с V1-------------------------------^ /
Выбираем "худшую оценку"из возможных при разных р. Такая оценка получается при р =3.
При х ^ выражение, стоящее в круглых скобках в (37), стремится к числу 1. Поэтому для любого е > 0 существует Х1(С, е) такое, что если х > Х1(С, е), то величина этого выражения не превосходит 1 + е.
Поэтому для I имеет место оценка
1<С ' (1 + е)^0 §2 х ■ (38)
Поскольку после завершения I шагов выполняется неравенство
^2 х
х,+ 1 ^ f (х) = 2 1о82 1°82 х ,
для завершения алгоритма достаточно произвести разложение числа х,+1, например, в троичной системе, при этом число шагов не больше, чем
1о§2 х 1 = 0,63093-, 1о§2 х . (39)
1о§2 1о§2 х 1о§2 3 1о§2 1о§2 х
Складывая оценки (38) и (39), получаем оценки (3) и (4). Теорема доказана.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Dimitrov V. S., Jullien G. A. and Miller W. C., ”An Algorithm for Modular Exponentiation”. Inform. Process. Lett. 66 (1998), no. 3, 155 - 159.
[2] R. Tijdeman On the maximal distance between integers composed of small primes. - Composito mathematica, Vol. 28, Fasc. 2, 1974, pag. 129 - 162.
[3] Салихов В. Х. О мере иррациональности log 3. - Докл. АН, 2007, т. 417, №6, стр. 753 - 755.
Московский педагогический государственный университет Поступило 10.02.2013
