Об r-диаметрах случайных графов в модели Боллобаша--Риордана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4

Л. А. Остроумова

Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»

Об г-диаметрах случайных графов в модели Боллобаша—Риордана

Работа посвящена модели Боллобаша-Риордана случайного веб-графа. Эта модель адекватно описывает поведение реального веба. Рассмотрено обобщение понятия диаметра графа — так назывемый г-диаметр, который определяется как максимум по всем множествам вершин мощности г от минимума расстояний между парами вершин в данном множестве. Доказана теорема о

том, что почти наверное веб-граф на п вершинах имеет г-диаметр, сколь угод-

„ 1п п — 1п г

но олизкии к величине —^^--.

1п 1п п

Ключевые слова: случайный граф, веб-граф, диаметр.

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых свойств случайных графов. Существует множество различных моделей таких графов, наиболее распространенная из них — классическая модель Эрдеша-Реньи, в которой граф С(п,р) на п вершинах строится следующим образом: все ребра проводятся независимо друг от друга с вероятностью р Є (0,1). Изучению свойств таких графов посвящено большое количество работ (см., например, [1, 2, 3]).

Однако в последнее время появилась потребность моделировать различные реальные структуры, свойства которых существенно отличаются от свойств случайных графов в модели Эрдеша-Реньи. Особенно важно создать модель, наиболее точно представляющую Интернет. Пусть вершинами графа будут сайты или страницы Интернета, а ребрами — гиперссылки между ними. Получим некоторый граф. Хочется иметь модель, отражающую основные его свойства. Например, в отличие от С(п,р), граф, представляющий Интернет, обладает степенным распределением степеней вершин. Именно это свойство положено в основу различных моделей случайных графов. Некоторые из них изначально обладают нужным распределением, для других это свойство доказывается. Обзор различных моделей и основных результатов можно найти в работе [4].

Наиболее распространенная модель Интернета была впервые описана Барабаши и Альберт (см. [5]), а позже уточнена Боллобашем и Риорданом. Определенную ими модель мы и будем рассматривать в настоящей работе. Опишем, как строится граф в этой модели. Обычно для него используется обозначение О'т, где п — число вершин, т — фиксированный параметр. Сперва по индукции строится С^. Граф Є\ состоит из одной вершины и одной петли. Граф 0\ получается из Ог{~1 посредством добавления вершины і и одного ребра между вершинами і и і, где і выбирается случайно следующим образом:

1. Введение

если 1 ^ 8 ^ І — 1,

если в = І.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683 и гранта Президента РФ № ЫБ-666.2012.1.

Здесь йсі (в) - степень вершины в в графе С\. Иными словами, чем больше степень вершины в графе С1-1, тем больше вероятность того, что следующая вершина будет соединена с ней. Поэтому такие графы еще называют «графами предпочтительного присоединения». Граф С'т (т > 1) строится на основе Стп. Первые т вершин Стп составляют первую вершину нового графа, следующие т — вторую, и так далее. Ребра в некотором смысле сохраняются, а именно: если в Стп ребро соединяло вершины і и і, то в полученном графе С'т это ребро соединяет те группы вершин, в которые попали і и і. Тем самым в графе могут возникнуть кратные ребра и кратные петли. Построенные таким образом графы Ст образуют вероятностное пространство 6^

Итак, в основу построения графа С'т положен принцип предпочтительного присоединения. Это вполне соответствует цели получить модель Интернета, ведь вновь появившийся сайт скорее предпочтет сослаться на ту страницу, которая уже «популярна». Тот факт, что граф Ст обладает степенным распределением степеней вершин, был доказан Болло-башем и Риорданом в работе [6]. Кроме того, в статье [7] они показали, что диаметр С'т при т ^ 2 асимптотически равен . Точная формулировка этого результата будет

дана в следующем разделе. В настоящей работе будет дано обобщение понятия диаметра графа и доказан соответствующий результат.

В разделе 2 будут введены основные понятия и сформулированы теоремы, которые будут доказаны в разделах 3 и 4.

2. Введение обозначений и формулировка результата

Пусть имеется некоторый граф G = (V,E). Его диаметром называется следующая величина:

diam(G) = max p(i,j),

i,jeV

i=j

где p(i,j) — длина кратчайшего пути между вершинами i и j в графе G.

Введем некоторое обобщение понятия диаметра — r-диаметр:

diamr(G) = max min p(i, j).

AcVijeA^

\A\=r

Иными словами, теперь мы рассматриваем не пары вершин, а подмножества мощности r. В каждом таком подмножестве мы находим две вершины на наименьшем расстоянии друг от друга. И нас интересует максимум этого расстояния по всем подмножествам. Заметим, что при r = 2 имеем в точности обычный диаметр графа G. В этой работе всегда будем полагать, что r ^ 2, чтобы понятие r-диаметра имело смысл.

В работе [7] Боллобаш и Риордан доказали следующую теорему.

Теорема 1. Для любого є > 0 и любого натурального m ^ 2

lim Р ^ diam(G™) ^ (1 + є)тЩ^) = 1-

и^те V lnln n m 'lnln UJ

В настоящей работе будет доказано подобное утверждение для r-диаметра. А именно

Теорема 2. Пусть є > 0 и натуральное m ^ 2 фиксированы. Далее, пусть r(n) — произвольная последовательность целых чисел, лежащих в пределах от 2 до п. Тогда

т „/І1 - є) ln n - ln r (1 + є) ln n - ln r\

lim P ------f-.-------^ diamr(G™ ) ^ ---------- = 1.

\ lnln U \ m/ lnln n /

Как и ожидалось, чем больше вершин в рассматриваемых множествах, тем меньше г-диаметр. Отметим, что если для любого а > 0 выполнено г(п) = о (па), т.е. г(п) = по(1), то результаты теорем 1 и 2, по существу, идентичны. Если же, например, г(п) = па, а > 0, то константа в асимптотике из теоремы 2 принципиально другая: 1 ± є превращается в 1 — а ± є. Если, наконец, г(п) = п1-о(1), то асимптотики в теореме 2 нет.

Доказательство теоремы 2 естественно разбивается на два шага — оценка снизу и оценка сверху. Нижняя оценка будет доказана в разделе 3, верхняя — в разделе 4. При этом мы существенно будем опираться на работу [7], особенно в разделе 4.

3. Оценка снизу

3.1. Формулировка результата и вспомогательных лемм

Будем говорить, что событие происходит с асимптотической вероятностью 1, если его вероятность стремится к 1 при п ^ то.

При доказательстве оценки снизу мы докажем немного больше, а именно

Теорема 3. Пусть т ^ 1 фиксировано, тогда сИатг(С^г) ^ 1п(17т2 Ьта) ~ ^ с асимпто~ тической вероятностью 1.

Ясно, что требуемая оценка сразу следует из этой теоремы.

Разобьем г(п) на две подпоследовательности. В одной из них г(п) ^ в ДРУ1"0®

г(п) < Заметим, что для первой подпоследовательности оценка снизу тривиальна —

для достаточно больших п там просто стоит отрицательное число. Поэтому далее считаем, п

ЧТО Г < і--.

ш п

Для доказательства нам потребуется несколько вспомогательных лемм. Во-первых, нас будет интересовать вероятность того, что граф СП содержит некоторый подграф Б. Под событием {Б С СП} понимаем, что граф СП содержит в точности граф Б, а не изоморфный ему подграф. Иными словами, если в Б проведено ребро іі, то в СП должно быть ребро между вершинами с теми же номерами. В работе [7] доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть Б = (V, Е) — некоторый граф с множеством вершин V = {1,... ,п}, у которого нет петель и каждая вершина соединена не более чем с одной из вершин с меньшими номерами. Пусть далее е(Б) = |Е|, а Д(Б) — максимальная степень вершины в графе Б. Тогда

Р(£ С С") ^ 2е(5)(А(5)+2) Д

іі&Е{Я)^2

Далее нам понадобится следующая конструкция. Пусть (і < і, 1 ^ і,і ^ п) — индикаторные случайные величины на каком-то вероятностном пространстве, то есть с некоторой вероятностью ру Є [0,1] величина принимает значение 1, а с вероятностью

1 — ру принимает значение 0. Про зависимость между ничего не говорится. Пусть, кроме того, Пп — множество всех графов на вершинах 1,...,п без петель и кратных ребер, ,^п = 2Пп — стандартная сигма-алгебра, состоящая из всех подмножеств Пп, а вероятностная мера задается следующим образом: для любого С = (V, Е) Є Пп

Рп,^.(С) = Р({У іі Є Е(С) : & = 1}П{У іі Є Е(С) : & = 0}).

Рассмотрим теперь вероятностное пространство 0(п, ) = (Пп, ^п, Рп,£^)• Для таким образом определенного случайного графа будет доказана следующая лемма.

Лемма 2. Пусть г < Пусть, кроме того, для индикаторных случайных величин

Г* < 3; 1 ^ ЬЗ ^ п) выполнено: Р(£у = 1) = О • Тогда с асимптотической

вероятностью 1 в графе С Є 6([п/2],£у) есть независимое множество размера хотя бы г.

В последующих двух параграфах этого раздела будет сначала доказана лемма 2, а затем непосредственно оценка снизу.

3.2. Доказательство леммы 2

Заметим, что количество ребер в графе С с асимптотической вероятностью 1 не пре-п2

восходит

Доказательство леммы проведем методом от противного. Допустим, что в любом подграфе С на г вершинах проведено хотя бы одно ребро. Пусть А1 — независимое множество в графе С максимального размера. Тогда |А1| < г и, кроме того, из любой вершины V(С) \ А1 ведет ребро в хотя бы одну вершину А1 (иначе А1 не максимальное). Далее, пусть А2 — максимальное независимое множество в подграфе на вершинах V(С) \ А1. Тогда |А2| < г и из любой вершины V(С) \ А1 \ А2 ведет ребро хотя бы в одну вершину А2. Аналогичную операцию будем проводить до тех пор, пока не кончатся вершины графа С. В итоге придем к последовательности множеств А1, А2,..., А Теперь можем оценить количество ребер снизу:

|Е(С)| ^ ([п/2] — |Ах|) + ([п/2] — |Ах| — |А2|) + ... + ([п/2] — |Ах| — ... — |Л|) =

= / [п/2] — 1 |А1| — (/ — 1)|А2| — ... — |Аг|.

Легко заметить, что если при фиксированной сумме |А1| + ... + = [п/2] мы хотим

минимизировать полученное выражение, мы должны взять максимально возможным |А1|, затем |А2|, и так далее, сколько получится. В итоге получим

\Е(С)\ » ([п/2] - г) + ([,,/2] - 2г) + ... + ([п/2] - [£] г) = [п/2] [§] - § Щ ([§] + і) =

2 2 2 = ^(1+0(1)) -^(1+0(1)) = ^(1+0(1)).

2

Получили, что с одной стороны, \Е(С)\ ^ с асимптотической вероятностью 1, а с

п2

другой стороны, \Е(С)\ ^ 8^(1 + °(1))- Таким образом, предположение неверно. Лемма доказана.

Заметим, что проведенное выше рассуждение — это один из способов доказательства известной теоремы Турана в экстремальной теории графов (см. [8]). Мы воспроизвели его прежде всего ради большей замкнутости работы.

3.3. Доказательство теоремы 3

1п п — 1п г

Положим Ь

1

^ ^ ^ ^ . Рассмотрим множество вершин А = { \п/2\ +1,..., гг}

графа Заметим, что |А| = [п/2]. Докажем, что для любых вершин г,] £ А

Р(р(і,Л і і) = о (^)

Рассмотрим две вершины г,] £ А. Оценим вероятность того, что между этими двумя вершинами найдется путь длины 1 ^ I ^ Ь. Пусть путь между этими вершинами в С^ следующий: = г, У\, у2,..., У[-\,У[ = ]. Рассмотрим какой-нибудь граф С1^71, из которого

получен граф Ст с нужным свойством. Тот факт, что в графе С'т соединены вершины V

и vt+i, обозначает то, что в G™n есть ребро utwt+1, причем — = vt и = vt+\. При

m

Wt+1

m

данных и0,... ,и1 и и>1,..., wl+1 вероятность того, что в графе С^, проведены ребра (0 ^ ^ I — 1),по лемме 1 не превосходит

1-1 1-1 1-1

241 ТТ , 1 ^ 241 ТТ —= 2а1-^= ТТ

\/Рт ^^+1 уДз щ

Посмотрим, сколько всего есть графов, из которых получается С^ с данным конкретным путем длины I. Каждое ребро между Vt и г>4+1 может быть получено т2 способами: т возможностей выбрать вершину и и т возможностей выбрать вершину wt+1. Ребер всего

I, в итоге получаем т21 графов. Итак, вероятность содержать конкретный путь длины I не превосходит

(4т)21—ТТ

Суммируем по всем возможным V!, . . . , ^1, получаем, что вероятность того, что вершины г и ] соединены путем длины I, не превосходит (для достаточно больших п)

(4m)21 1—1 і 2(4m)21 / 1 1 \1_1 2(17m2 )г(1п и)1 1

.[Ц LI Vt ^ п \ ' 2 п) ^ п •

1^vi,...,vi — !^n t=1

В первом неравенстве воспользовались тем, что мы рассматриваем вершины с номерами, большими п/2. Просуммируем по всем l ^ L:

JГ In гг — In г

2 2 и \i 2(17m2 lnn)L+1 2(17т2 lnn)ln<17m2lnri> / \

2l W 2(17 m 1П U) ' 211/m 1П U)

> (17ra Inn) ^ —----------------;---------- ^ —--------------r2-------------= 0

4 ' n In и и In и

п 1п п 1п п п 1п п \Т 1п п

1=1

Что и требовалось.

Итак, для любых двух вершин из А вероятность того, что они соединены путем длины не более Ь, равна О • Обратимся теперь к лемме 2. Рассмотрим граф С на множе-

стве вершин А. Проведем ребро между двумя вершинами в графе О, если эти вершины соединены путем длины не больше Ь в Из леммы 2 следует, что с асимптотической вероятностью 1 в множестве А найдется независимое подмножество размера г. Иными словами, найдутся такие г вершин в графе О'т, что расстояние между любыми двумя из них больше Ь. Теорема доказана.

4. Оценка сверху 4.1. Формулировка результата и описание модели

Справедлива

(1 + £") ІП п — ІП Т

Теорема 4. Пусть є > 0; тогда сИатг(С^г) ^ ^------ с асимптотической веро-

ятностью 1.

При доказательстве теоремы 4 мы будем использовать другое, эквивалентное определение модели Ст — хордовую диаграмму, которая была описана в работе [7]. Для большей замкнутости данной работы мы приводим здесь полное описание этой модели.

Положим N = тп. Рассмотрим числа от 1 до и разобьем их на пары. Как нетрудно

ным образом (вероятность выбрать каждое равна N!2м/(2N)!). Представим, что точки от 1 до 2N расположены на прямой, и соединим хордами пары точек, на которые мы разбили наше множество. Получили N хорд. Сформируем граф. Из всех правых концов хорд выберем один с наименьшим номером. Пусть это число гь Тогда объединим точки 1,... , гі в первую вершину. Далее, точки г1 + 1,..., г2, где г2 — следующий правый конец, образуют вторую вершину. И так далее. Получим N вершин. А каждой хорде соответствует ребро. Ребро соединяет вершины і и і (і ^ і), если имеется хорда между Гj и одной из точек гі-1 + 1,..., г — 1 (считаем г0 = 0).

Покажем, что такое определение графа эквивалентно обычному определению . Будем рассматривать правые концы хорд слева направо. Рассмотрим первый правый конец. Из этой точки идет одна хорда, и она соответствует петле в первой вершине. Далее, пусть каким-либо образом проведены хорды из правых концов г1,...,гі. Рассмотрим і + 1-й правый конец. Вероятность того, что из вершины і + 1 ведет ребро в вершину і, пропорциональна количеству отрезков, на которые в данный момент разбит отрезок [г^—1, г*], ведь ровно столько есть соответствующих разбиений на пары. А количество отрезков, как нетрудно видеть, это степень вершины і в данный момент. Итак, получили ровно то же построение модели.

Преобразуем полученное определение в еще одно эквивалентное. Возьмем отрезок [0,1] и случайные величины хі, х2,..., х2м — независимые и равномерно распределенные на этом отрезке. Пары теперь — это вершины х2і-1 и х2і. Каждый порядок расположения точек равновероятен. При этом одному и тому же паросочетанию соответствует ровно 2м различных взаимных расположений точек. Таким образом, все паросочетания равновероятны. Положим Ьі = шіп{ж2і-1,х2і}, Яі = шах{х2і-1,х2і}. Тот же результат получим, если рассмотрим случайные величины Яі — независимые с плотностью 2х на отрезке [0,1] каждая. И при фиксированных Яі возьмем Ьі равномерно распределенными на [0,Яі]. Аналогично тому, как делали это ранее, соединяем хордами Ьі с соответствующими Яі. Считаем, что в графе проведено ребро іі (і ^ і), если в полученной диаграмме проведена хорда, соединяющая Яі и Ьі, где Ьі лежит между Я,— и Яj (полагаем Я0 = 0). С этим

определением и будем работать далее.

Граф Ст получаем из обычным образом. Положим Жі = Яті — нас интересуют именно эти правые концы, когда мы рассматриваем С^. И пусть и = Wi — Жі-1 (считаем

видеть, всего таких разбиений (2Ж)!/(^!2М). Теперь выберем одно из разбиений случай-

^о = 0).

Пусть а — наименьшее целое число, для которого 5 = 2“ > 1п7 п, Ь — наибольшее целое число, для которого 2Ь < 2п/3. Положим I* = [2* + 1, 2*+1] для а ^ Ь < Ь. Нам потребуется следующая лемма (см. [7]):

Лемма 3. Фиксируем т ^ 2. Введем несколько событий:

Е4 = \гиі ^ п 4/5, для всех і > ™ >.

I 1п2 п >

Тогда вероятность каждого из этих событий стремится к 1 при п ^ <х.

Далее будем считать, что правые концы Я1;..., Ям фиксированы. Величины Ьі независимы и равномерно распределены на [0,Яі]. Но мы для простоты будем полагать, что Ьт(і-1)+, (1 ^ і ^ п, 1 ^ і ^ т) равномерно распределены на [0,Жі]. Такое допущение просто увеличит вероятность петли в каждой из вершин и, следовательно, не уменьшит г-диаметр. Теперь заметим, что можно рассматривать только т =2. Случай т > 2 сводится к этому удалением лишних ребер, что только увеличивает г-диаметр.

Итак, определили случайный граф С, с которым будем работать. Везде далее Ж1, ..., фиксированы и выполняются события £1,... , £4. Из каждой вершины і в вершины с меньшими номерами идет два независимых ребра — в вершины /і;1 и /і>2 (поскольку т = 2),

причем = к) = для к ^ і.

у і

В последующих двух параграфах мы сперва докажем некоторую техническую лемму, а затем и саму теорему 4.

4.2. Техническая лемма

1 (1 + є) ln n -

2 ln Inn

TT ап A 10 TS 1(1+ є) ln n - ln Г . _ . .

Лемма 4. Пусть є > 0; г ^ In п, К = ^---------------:—:-----------1. Далее, пусть /0, /і,... —

последовательность действительных чисел с /0 ^ (in2 n) /п и

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jfc+i / 1000

для есеж к ^ 0. Тогда при достаточно большом п величина I = minjfc : fk ^ 4Inп/л/гп} существует и не превосходит K.

Доказательство. Заметим, что b — a — 1 и 2log2(/0n/inn) — 31 — растущие с ростом п функции. Значит, при достаточно большом п выполняется неравенство

min{2 log2(/on/ Inn) — 31, 6 — а — 1} ^ 0 1000 ^

В таком случае / ^ 2/о. Далее, очевидно, /fc+i ^ 2/ (ведь / ^ /о). В итоге / ^ 2k/о и I существует.

Поскольку b — a — 1 ^ log2 n — 8 iog2 in n для достаточно больших n, то неравенство

2 log2(/fcn/ ln n) — 31 > b — a — 1 выполняется лишь при /д. > -—------. Последнее выраже-

(ln п) фг

ние больше, чем требуемое нам 4 ln n¡\Jr п, при достаточно больших п. Из этого следует, что для k < l минимум равен первому члену. Таким образом, при достаточно больших n

, ^ log2(/fcn/lnn) - 16 ^ log2(2fc/0n/lnn) - 16 ^ log2(2fcln2n/lnn) - 16 _

^fc+1 ^ 500 ' 500 *k ' 500 *k ~

k + log2 ln П - 16 , -iWrnn

500 fk ^ fk{k + 1)/500.

Отсюда

. (¿ — 1)! /¿__гу-1

¿ 1 ^ 500г_1 ^ V500eJ •'°‘

Поскольку /г_! ^ 4lnп/у/гп, то

ÍI - іУ"1 <

\500e/ ^ л/г Inn’

Отсюда при больших п имеем

(/ — 1) 1п (/ — 1) — (/ — 1) 1п 500е ^ 1п 4 + 1п л/п — 1п л/г — 1п 1п п.

и 7 1^ 1+^/2 -1с^гаг 1п п „ ,

Докажем, что с некоторого п имеем I — I ^ ^-------Іпіпта’ ли величина ‘ огра-

ничена с ростом п, то все очевидно. Иначе предположим противное: для бесконечной

7 і 1+ є/2 - 1о§га г 1п п „ ,

последовательности значении п выполнено I — I > ------------~—=----------. іогда по той же

2 1п1п п

последовательности значений п, начиная с некоторого момента)

(/ — 1) ln (/ — 1) — (/ — 1) ln500e — ln4 = (/ — 1) ln(1 — 1)(1 + o(1)) >

’ Inn Іпіпта

> 1 +e/2 - log„r 1,1,, /ln l+£/2-log,,r + ]n lnn _ ]n ln]n n , (1 + o(1))

1 + є/2 — logra r

2

lnn(l + o(l)) = ((1 + є/2 )lny/n — Invi) (1 + 0(1)) > In \fn—ln \/r- — lnlnn.

1 + є/2 — log r

Воспользовались тем, что ln--------^------ = o(lnlnn), поскольку 0 ^ lograr ^ 1. Итак,

мы пришли к противоречию, а значит, при достаточно больших n имеем

1+е/2-log пг \пп = і(1+ є/2) In та-In г _

^ 2 In In та 2 In In та ’

Лемма доказана. □

4.3. Доказательство теоремы 4

Наконец, можем приступить к доказательству оценки сверху. Опять разобьем r(n) на две подпоследовательности. В одной из них r(n) < ln10 n, в другой r(n) ^ ln10 n. Заметим, что в первом случае ln r = o(ln n) и нам фактически нужно доказать, что для любого

(1 + є) ln n

є > 0 выполнено diami.(G^l) ^ —j—^----- с асимптотической вероятностью 1. Но в работе

[7] показано, что путь требуемой длины существует между любыми двумя вершинами графа. Поэтому далее можем считать, что r(n) ^ ln10 n.

Назовем вершину i полезной, если i ^ n/ ln5 n и w ^ (ln2 n) /n. Воспользуемся леммой из работы [7].

Лемма 5. Вероятность того, что каждая вершина v графа G соединена путем длины не более 8lnlnn с какой-нибудь полезной вершиной, равна 1 — o(1) при n ^ то.

Сформулируем теперь основную лемму, которая фактически даст нам оценку сверху.

Лемма 6. Рассматриваем граф G, определенный выше. Число є > 0 — фиксировано. Возьмем некоторую полезную вершину v. Тогда с вероятностью 1 — o(n-1) существует путь

длины не более ^ ^ ^ между этой вершиной и одной из вершин 1,... ,г — 1.

Доказательство. Нас будет интересовать то, как растет количество вершин, до которых можно добраться от данной вершины не более чем за k шагов с ростом k. Из каждой вершины i в вершины с меньшими номерами идет два ребра — в вершины /i;1 и /i;2. В процессе доказательства эти ребра будем рассматривать отдельно. Назовем вершину i хорошей, если Wi ^ —^—=. Определим множества Го, Г і,... следующим образом. Положим Го = {f}. 10v in

Далее, пусть для k ^ 1 множество Гд состоит из таких вершин j Є [s + 1, 2Ь]\(Г0U.. .иГ^-1),

что j — хорошая и либо j G Г^-1, либо найдется такая вершина i G Г^-1, что /¿д = j. Положим также N = Г0 U ... U Гд.

Будем рассматривать поведение следующей величины:

fk = Yl ~f=-

tT Vin

*erfc

Поскольку для всех к ^ 1 множество Гд состоит только из хороших вершин, вес Гд (то есть£iepfc Wi) не меньше //10. Чтобы это выполнялось и для Г0, положим /о = (ln2 П /n. Назовем интервал полным на шаге к + 1, если |Nk+1 П It| ^ 2t-2.

Воспользуемся результатом Боллобаша и Риордана (см. [7]).

Лемма 7. Пусть Г0,..., Гк фиксированы, тогда с вероятностью 1 — O(n-6/5) либо какой-то из It полный на шаге к + 1, либо

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jfc+i / 1000 Jk-

Итак, Г0 = {v}. Строим множества Г1, Г2,..., Гк, где K — наименьший номер к, для

которого либо fk ^ 41пп/у/гИ, либо

t ^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1} t Jk+i < 1000 Jk-

тт л ^ 1 (1 + e)ln n — ln r

Лемма 4 говорит нам о том, что К ^ тг----------;—;----------1.

2 lnln n

Если ни на каком шаге (до K) никакой интервал не становится полным, тогда (из леммы 7) при каждом фиксированном к с вероятностью 1 — O(n-6/5) выполняется

^ min{21og2(/fcn/lnn) - 31,6 - а - 1}

Jk+i / 1000 Jk-

Вероятность того, что это неравенство выполняется на каждом шаге до K, будет равна

1 — O(n-6/5 ln n) = 1 — o(n-1)

(поскольку К ^ km). Следовательно, fx ^ 4\пп/y/rn с вероятностью 1 — о(п~1).

Пусть на некотором шаге 1 ^ к ^ K какой-то из интервалов стал полным. Тогда в множестве Nfc\{v} имеем хотя бы 2t-2 — 1 хорошую вершину, лежащую в It. Поэтому

fi + ... + fK> ^ > —■

V¥+hi 12y/n 12V^ 12v^

Поскольку для всех к < К выполнено fk < 4 ln п/у/r п, отсюда следует, что для достаточно больших n неравенство

t у ln3 п _ 4 ln2 п у 41пта ^ Ylyfn у/rn ^ у/гп

справедливо и в этом случае тоже.

Итак, для любой вершины i G Г# имеем

Р [1ц ^ Г- 1|ГЬ...,ГК) = ^ ~7ТГ \! - • Щт ^ /Т.

1 м ^ 111 ’ к 10 V п 11 V % ' у 4%

В первом неравенстве воспользовались тем, что выполняется событие £1. В итоге вероятность того, что нужного ребра ни из одной из вершин не идет, оценивается сверху цепочкой неравенств

/куМ\ /______, 01„„л _п-2_

¿еГк

П i1 - V i) <ехр ( - Е V•в ) = ехр (--V- ) ^ехр (~21п п)

Отсюда следует, что с вероятностью 1 — o(n вершина v соединена путем длины не

^ 7-. ^ 1 (1 + е) Inn — 1пг ^

более К + 1 ^ тг-----55------- с одной из вершин 1,,г — 1. Лемма доказана. U

2 In Inn

Итак, у нас есть r вершин. По лемме 5 с вероятностью 1 — o(1) каждая вершина G соединена путем длины не более 8 ln ln n с полезной вершиной. Если вдруг для каких-нибудь из наших вершин эти полезные вершины совпали, то доказывать нечего. Иначе есть r полезных вершин. По лемме 6 (в качестве є берем е/2) с вероятностью 1 — o(1) каждая

1 (1 + e/2)ln n — ln r

полезная вершина соединена путем длины не более ^-----------In Inn-----С °,Л’НО® из веРшин

1,... , r — 1. Значит, для каких-то двух из наших r полезных вершин искомая вершина из 1,... ,r — 1 совпадет. Следовательно, с вероятностью 1 — o(1) среди любых r вершин найдутся две, расстояние между которыми не превосходит (для достаточно больших n)

. (1 + e/2)ln n — ln r (1 + є) ln n — ln r

16 in in nH------г-:--------- ^ -----г-:----------.

ln ln n ln ln n

В определении графа G мы предполагали, что события Ei,... , E4 выполнены. А в нашем графе Gm они происходят с асимптотической вероятностью 1. Таким образом, теорема 4 доказана.

Литература

1. B. Bollobas B. Random Graphs.— Cambridge Univ. Press, 2001.

2. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs.—New York: Wiley, 2000.

3. Колчин В. Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2002.

4. Bollobas B., Riordan O.M. Mathematical results on scale-free random graphs // Handbook of graphs and networks. —Wiley-VCH, Weinheim, 2003.

5. Barabasi A.-L., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. — 1999. — V. 286.-P. 509-512.

6. Bollobas B., Riordan O. M. The degree sequence of a scale-free random graph process // Random Structures and Algorithms. — 2001. — V. 18, N 3. —P. 279—290.

7. Bollobas B., Riordan O.M. The diameter of a scale-free random graph // Combinator-ica. — 2004. — V. 24, N 1. — P. 5-34.

8. Харари Ф. Теория графов.—М.: Мир, 1973.

Поступила в редакцию 27.06.2011