О реализации подграфов случайного графа графами диаметров на плоскости и в пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

A.A. Кокоткин, А. М. Райгородский1'

1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

О реализации подграфов случайного графа графами диаметров на плоскости и в пространстве

Получены новые оценки для максимального числа вершин в индуцированном подграфе случайного графа Эрдеша-Реньи, который с высокой вероятностью можно реализовать как граф диаметров в размерности 2 или 3, имеющий максимальное для этой размерности хроматическое число.

Ключевые слова: граф диаметров, случайный граф.

1. Введение

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых вероятностных характеристик, связанных с классической проблемой Борсука. Напомним, что эта проблема состоит в отыскании числа Борсука — величины /(с!), равной минимальному количеству частей меньшего диаметра, на которые можно разбить произвольное множество диаметра 1 в пространстве

f (d) = min{/ : V Q С Rd, diamQ = 1, 3 Q1,..., Qf : Q = Q1 U ... U Qf, V i diamQ^ < 1}.

Гипотеза Борсука, предложенная Борсуком в 1933 году (см. [1]), состояла в том, что f(d) = d + 1. И ровно шестьдесят лет эта гипотеза оставалась ни доказанной, ни опровергнутой. Лишь в 1993 году Кап и Калаи (см. [2]) нашли контрпримеры к гипотезе в размерностях d ^ 2015. Сейчас известно, что гипотеза Борсука верна при d ^ 3 и ложна при d ^ 298 (см. [31 - [13]).

С проблемой Борсука тесно связано понятие графа диаметров. Назовем графом диаметров в Rd любой граф G = (V, Е), вершины которого — точки Rd, а ребра — пары вершин, отстоящих друг от друга на максимальное в множестве вершин расстояние:

V С Rd, IVI < ж, Е =i {x, y} : |x - y| = diam V := max |x - y| I .

[ x,yev J

Понятно, что минимальное число частей меньшего диаметра, на которые разбивается V (число Борсука множества F), — это в точности хроматическое число %(G) граф a G, т.е. наименьшее количество цветов, в которые можно так покрасить вершины, чтобы концы любого ребра имели разные цвета. Однако было бы некорректно сказать, что f (d) — это максимум таких хроматических чисел. Дело в том, что равенство хроматического числа числу Борсука справедливо лишь в случае конечных множеств; для бесконечных множеств равенства, вообще говоря, нет: например, если взять в качестве V сферу в Rd, то очевидно, что хроматическое число ее графа диаметров (являющегося паросочетанием) равно двум, тогда как ее число Борсука есть d + 1 ввиду классической теоремы Борсука-Улама-Люстерника-Шнирельмана (см. [14] - [15]).

Как мы отметили выше, на плоскости и в пространстве гипотеза Борсука доказана. Более того, существует достаточно много примеров графов диаметров в R2 и R3 с хроматическими числами 3 и 4 соответственно. Интересно оценить, стало быть, насколько эти примеры часты или редки. Одним из инструментов для такой оценки служит случайный граф Эрдеша-Реньи (см. [16] - [22]). А именно, пусть Vn = {1,... ,п}, р = р(п) £ [0,1]

и G(n,p) — (Qn, Fn, Pn,p) — вероятностное пространство, в котором Qn — множество всех

^п1 — 2 1, j п

графов на Vn без петель, кратных ребер и ориентации (так что |Qra| — 2С"), Тп — 2Пп,

Pn,P(G)= pW(l — р)с--14

Иными словами, берутся случайные графы на п вершинах, в которых ребра проводятся взаимно независимо с одной и той же вероятностью р. Положим для d £ {2, 3}

ud(n, р) — max |k : Pn,P (3 H = (W,F) С G :

IW| — k, H — Glw, H — граф диаметров в Rd, х(Н) — d + lj > .

Таким образом, мы ищем максимальное количество вершин в индуцированном подграфе случайного графа, который одновременно реализуется графом диаметров на плоскости или в пространстве и имеет наибольшее возможное в этом случае хроматическое число. Если для любого к

Pn,p (а Н — (W,F) С G : IWI — к, Н — Glw, Н — граф диаметров в Rd, х(Н) — d + l) < l

то полагаем Ud(n,p) — 0.

Величина U2(n,p) была введена в работе [23], а похожие величины для так называемых дистанционных графов рассматривались в статьях [24] - [26]. В следующем разделе мы сформулируем результаты, доказанные в [23], их усиления и обобщения на случай R3.

2. Формулировки результатов

В работе [23] были доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть р — о(т). Тогда при всех достаточно больших п £ N выполнено и2(п,р) — 0.

Теорема 2. Пусть q :— l — р — о (^ттб) • Тогда, при всех достаточно больших п £ N выполнено и2(п,р) — 3.

Теорема 3. Пусть q — о (но при этом qn1-5 ^ те. Тогда, при всех достаточно больших п £ N выполнено и2(п,р) — 4.

Теорема 4. Положим т(п) — рп и а(п) — q ln п. Пусть т(п) и а(п) стремятся к бесконечности с рост,ом, п. Тогда, для, любого е > 0 существует такое п0, чт,о при п ^ п0 выполнено

и2(п,р) ^ (2 + е) log(пр).

1-р

Теорема 5. Положим т(п) = ^пп 11 а(п) = У 1п п. Пусть т(п) и а(п) стремятся к бесконечности с ростом п. Тогда, для, любого е > 0 существует такое п0, чт,о при п ^ п0 выполнено

41п р

I _

1-р

( 4ln р\

и2(п,р) > ¡2 — е + ^(пр).

Эти теоремы ГоВорЯт о том, что если величины ^ и ^ не слишком малы, то

(1п ^ \ — .

р /

В частности, требуется, чтобы величина р не стремилась к нулю со скоростью п-а при а > 4 (теорема 5). Это ограничение можно существенно ослабить. Справедлива новая

Теорема 6. Зафиксируем некоторое число а £ (0, 2) и положим т(п) = рпа. Пусть с некоторым С > 0 начиная с некоторого п выполнено 1 < т (п) < С. Тогда для любого е > 0 существует такое п0, что при п ^ п0 имеет место неравенство

... .in п

и2(п,р) ^ (2 — 2а — е)-.

р

Теорема 6 дает принципиально новый в сравнении с теоремой 5 результат при а ^ Однако и при меньших а новая теорема сильнее. А именно, если в теореме 5 взять р = п-а, то она (с точностью до вычитания е) даст оценку величиной

( —4а in п \ (1 — a) in п .in п

2 + п-"-)-= (2 — 6а)-.

\ (1 — а) in nj р р

В то же время в теореме 6 мы имеем оценку величиной (2 — 2а) и это намного больше.

При d = 3 также удается установить серию оценок, аналогичных оценкам из теорем 1-6.

Теорема 7. Пусть найдется такое с < 1, что р < Тогда при всех достаточно больших п £ N выполне но и3(п,р) = 0.

Теорема 8. Пусть q = о (^ттб ) • Тогда, при всех достаточно больших п £ N выполнено из(п,р) = 4.

Теорема 9. Положим, т(п) = рп и а(п) = q in п. Пусть т(п) и а(п) стремятся к бесконечности с рост,ом, п. Тогда, для, любого е > 0 существует такое п0, что при п ^ п0 выполнено

из(п,р) ^ (2 + е) iog(пр).

1-р

Теорема 10. Пусть для всякого а > 0 выполне но рпа ^ ж и q in п ^ ж при п ^ ж. Тогда, для, любого е > 0 существует такое п0, чт,о при п ^ п0 выполнено

и3(п,р) ^ (2 — е) iog(пр).

1-Р

Теорема 11. Зафиксируем некоторое а £ (0,1) и полож им т (п) = рпа. Пусть с некоторым С > 0 начиная с некоторого п выполне но 1 < т (п) < С. Тогда для любого е > 0 существует такое п0, чт,о при п ^ п0 имеет место неравенство

и3(п,р) ^ (2 — 4а — е) .

Р

Доказательства теорем 7 и 8 очень просты, но мы их аккуратно проведем в разделе 3. Доказательство теоремы 9 весьма близко к доказательству теоремы 4, но есть нюансы, и мы докажем теорему 9 в разделе 4. Теоремам 10, 6 и 11 мы посвятим раздел 5 (именно в таком порядке).

3. Доказательства теорем 7 и 8

Заметим, что если в графе диаметров в R3 число вершин то в нем не больше 2к — 2 ребер (см. [27]).

3.1. Доказательство теоремы 7

Хорошо известно, что при ограничениях на р, заданных в формулировке теоремы, случайный граф с асимптотической вероятностью 1 является унициклическим. Но индуцированный подграф такого графа на любых к вершинж и с любым к £ {1,... ,п} сам является

унициклическим, т.е., в частности, имеет хроматическое число не больше трех. Значит, при достаточно больших п и всех к

Pn,p (3 Н — (W,F) С G : IWI — к, Н — G\w, Н — граф диаметров, \(Н) — 4) < 1,

так что и3(п,р) — 0. Теорема доказана.

3.2. Доказательство теоремы 8

При q — о (^ттб ) с асимптотической вероятностью 1 дополнение G случайного графа G до полного графа является паросочетанием. Значит, при больших п с вероятностью больше 2 граф G содержит который имеет хроматическое число 4, у которого 4 вершины и который реализуется как граф диаметров (тетраэдр) в пространстве. Однако при k ^ 5 с той же вероятностью любой fc-вершинный индуцированный подграф Н случайного графа либо является полным графом без двух несмежных ребер (при к — 5), либо имеет строго больше, чем 2к — 2, ребер. В первом случае х(Н) — 3; во втором случае Н нельзя реализовать графом диаметров в R3. Значит, при к ^ 5 требуемое свойство выполнено с вероятностью меньше половины. Теорема доказана.

4. Доказательство теоремы 9

Зафиксируем е > 0 (см. условие теоремы) и положим

к — к(п) — (2 + е) log(пр)

1-р

Прежде всего покажем, что к — го. В самом деле, с учетом неравенства — ln(1 — р) < j—

имеем

. . ln(np) (1 — p)ln(np)

log^L (пр) — ---т > -.

1-Р — ln(1 — р) р

Значит, если р — 1, то, поскольку пр — получаем к ^ го ^ети же р ^ 1, то заменяем 1 — р — q на (см. условие теоремы) и получаем, в свою очередь,

(1 — р) ln(np) a(n) ln(np) , .

-—--- ~ a(n) — го.

р р ln п

Далее, как и в параграфе 3.2, воспользуемся тем фактом, что у любого графа диаметров в R3, имеющего к вершин, число ребер не больше 2к — 2.

Обозначим через Вк событие, состоящее в том, что v любого индуцированного подграфа Н случайного графа G, имеющего к вершин, число ребер строго больше 2к — 2. Положим Рк — P п,р(Вк )■ Если найдется такое по — по (в), что при в сех п ^ по выполне но Pk > 2, то с вероятностью, большей половины, в случайном графе G не найдется индуцированного подграфа представимого как граф диаметров и имеющего к вершин. А значит, не найдется и такого подграфа большего размера, т.е. и3(п,р) < к.

В дальнейшем мы покажем, что Рк — 1 при п — го, и это завершит доказательство теоремы.

Обозначим через Хк случайную величину, равную количеству индуцированных к-вершинных подграфов случайного графа, имеющих не более 2к — 2 ребер. Тогда Рк — Pn,p (Хк — 0) и с учетом неравенства Маркова

Рк — Pn,p(Xk — 0) — 1 — Pn,p(Xk > 1) ^ 1 — MXfc,

так что остается доказать асимптотику MX& — 0. За счет линейности математического ожидания получаем

2к—2 2к МХк — С* У Сгс2 plqcl— < Gl У Сгс2 plqcl—l.

г=0 г=0

Убедимся в том, что в последней сумме максимальным является последнее слагаемое. Для этого разделим (г + 1)-е слагаемое на г-е (0 ^ г ^ 2к — 1) и проверим, что отношение не меньше единицы:

С^^\_ С* — г Р

Сгс 2 ргдск-г г + 1 д

С2-г

Понятно, что функция -г^р убывает по г. Значит,

С2 — г р > С* — 2к + 1 р > С2 — 2к р_ к — 5 р г + 1 д ^ 2к д 2к д Ад

Мы хотим показать, что

к — 5 р > 1 4 д > '

а покажем даже, что

к — 5

—-— •--> оо.

4

Упростим, стало быть, запись и рассмотрим выражение —. Поскольку пр ^ те

— 1п(1 — р) < имеем

кр 21п(пр) р — > , • > 2 \п(пр) ^ те.

— 1п(1 — ) 1 —

п

МХк < (2к + 1)СПСС2р2кдск-2к.

к

Воспользуемся простыми оценками ^ (37)Ь и С ^ Получаем

ь

к

шхк < (2к + 1^3п)к (ЦТЛс2-2к < (щ,г2к^-2к <

^ /3п\ к к4к 2к к(к-5) /3 2\к , к 2к к(к-5) /3 2 2 к-Лк ) к Л 2 Н4 пкккр2кд 2 — (- е2пкр2д 2 \ .

к-5

V к У ((2к)/е)2к^ * - У п к ^ 4 " -^г2^2

Теперь для завершения доказательства теоремы достаточно проверить, что в ее условиях величина пкр2дстремится к нулю. Итак,

пкр2д 2 < ехр + ^ 1п(п,^) 1п^ + 1п(пр) + 1п(кр)^ — ехр (^п(пр) ^П^-^) — ^^ ^ 0,

п

1 I з Ы(пр) \

1п( кр) 1п -ы(1-р)Р) 1п(31п(пр)) _ 1п3 + 1п 1п(пр) е 1п(пр) 1п(пр) ^ 1п(пр) 1п(пр) 2'

Теорема доказана.

и

5. Доказательства теорем 10, 6, 11 5.1. Общая идея

В каждой из перечисленных теорем нужно установить нижнюю оценку вида иЛ(п,р) > к. Понятно, что достаточно найти конкретный граф на к вершинах, который имеет хроматическое число с1 + 1, реализуется как граф диаметров в М^ и с высокой вероятностью встречается в С(п, р). Для плоскости таким графом будет цикл нечетной длины.

Для пространства это будет пирамида, в основании которой лежит цикл нечетной длины и вершина которой соединена с каждой вершиной основания. По сути, уже сейчас ясно, откуда возникло различие в ограничениях, наложенных на а в теоремах 6 и 11. Дело в том, что у цикла плотность (отношение числа вершин к числу ребер) асимптотически вдвое выше, чем у пирамиды.

Начнем мы с доказательства теоремы 10, поскольку в нем слабее ограничения на вероятность ребра и это позволяет делать более грубые оценки. В теоремах 6 и 11 мы эти (или аналогичные) оценки значительно уточним.

5.2. Доказательство теоремы 10

Зафиксируем е > 0 и положим

к = (2 — е) log(пр) . 1-р

При доказательстве теоремы 9 мы уже убедились в том, что к ^ то. Нам достаточно показать, что при больших п выполнено из(п,р) ^ к. Наличие целой части не играет никакой роли, т.к. к ^ то и при необходимости мы просто можем заменить е на е' £ (0,е). В дальнейшем некоторые неравенства будут выполнены лишь при п ^ щ, но мы не будем каждый раз говорить об этом.

Обозначим через Yk случайную величину, равную количеству индуцированных fc-вер-шинных подграфов случайного графа G, являющихся пирамидами с циклом длины к — 1 в основании. Если мы докажем, что при больших п выполнено Рп,р(Ук > 0) > 2, то при тех же п мы получим U3(п,р) ^ к. Как всегда, мы докажем еще больше: Рп,р(Ук > 0) ^ 1. В силу неравенства Чебышёва имеем

DYk

Pn,P(Yk > 0)= Pn,P(Yk > 1) ^ 1 — щг^.

Для доказательства теоремы остается установить две асимптотики: MYk ^ то и M2Yk ~ (MYk)2 (здесь M^Yk — второй факториальный момент). За счет линейности математического ожидания имеем

MYk = Cknк ^-^p2k-2qcl-(2k-2).

2 ~Р

Нетрудно видеть, что поскольку р-1 не превосходит любую положительную степень п, то, по крайней мере,

к = в ^ (пр)) < е (—) < в (< в („1 ш„) = о (.

Поэтому с большим запасом СП — Пг и

MYk - ^к^^p2k-2qc2r-(2k-2) = p2k-2qCr-(2k-2) > 1 nkp2kqk/2 = \ (np2qk/2)

k! 2 2(k — 1) 2k 2k V У

Поскольку к ^ то, для обоснования асимптотики MYk ^ то достаточно найти такое 5 > 0,

TJ'PQ

np2qk/2 = exp ^ln(np) + ln p + ^ ln ^ ^ 1 + 6.

Это равносильно существованию такого 5 > 0, что 1п(пр) + 1пр + | 1п q ^ 5. После подстановки явного выражения для к имеем

. \п(пр) ( 2 — е'\ (е' 1п^ е'

\п(пр)+\пр+(2 — е ) ——-\пд = 1---— \п(пр)+\пр = \п(пр) — + ——- > — \п(пр) ^ ж,

—2 \п д \ 2 / \ 2 \п(пр) / 4

т.к. в наших условиях Щпр) ^ 0, и все в порядке.

Проверим теперь асимптотику М2Ук — (МУк)2. Имеет место стандартное соотношение

М2 ¥к = £ МУС1,с2,

где суммирование ведется по всем упорядоченным парам различных к-вершинных пирамид С\,С2 С Кп, а Ус1,с2 — индикатор одновременного попадания пирамид С\,С2 в случайный граф С в качестве индуцированных подграфов. Отдельно рассмотрим слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0 и слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0. В первом случае получаем выражение

5 = СкСк-к (к^^р2к-2дс2-(2к-2)^ - (^Скк^^р2к-2дс2-(2к-2^2 = (МУк)2.

Предпоследний переход сделан за счет к = о( 4п). Если покажем теперь, что

5 = ^ Ус1,с2 -51 = о ((МУк)2) ,

с1 ,с2

С1 , С2

ны, но пересекаются хотя бы по одной вершине (именно такие пары задают 52), можно найти число общих вершин (обозначим его через т = т(С1,С2)) и число общих ребер (обозначим его через I = 1( С1, С2)). Очевидно, что т € {1,...,к}, I € {0,..., 2т — 2}. Таким образом,

к 2т—2 , ,, ОМ N 2

52 < Ё Е СкпСкп-_тСт (к{(к—р4к-4- д2(с22-(2к-2))-с1+.

т=1 1=0 ^ '

т,

Сколот (к^)2р4к-4—(?2(с1-(2к-2))-с^ + , 1

СкпСк—к (кМр^-2^2-(2к-2))'

(к2)

Тогда

52 < 2к2СкпСкп-к[к ((к—^р2к-2дс*-(2к-2)) о = = о (^СкСк-к (к ^р2к-2дс2-(2к-2))^ = о ((МУк )2),

и теорема доказана. Итак, имеем

С^Г-ТСТ (кЩ р4к-4-^-(2к-2))-С1+ = к(к — 1) ■ ... ■ (к — т +1) ^ + <

СкСк к (к (к-2)-р2к-2чС1 -(2к-2) ^ 2 (п - 2к + 1) ■ ... ■ (п - 2к + т) к ^

< 2к2тп-тр-1д-С^+1 < 2к2тп-тр-2т+2д-С™.

Остается показать, что при всех т € {1,..., к} выполнено к2к2тп-тр-2т+2д-с™ = ехр ((2т + 2) 1п к — т 1п п — (2т — 2) 1пр — Ст 1п д) ^ 0.

Если рассмотреть выражение в показателе экспоненты как функцию от т, то ввиду неравенства 1п д < 0 это квадратична функция с положительным коэффициентом при т2. Значит, ее максимум по т достигается либо при т = 1, либо при т = к. При т = 1 имеем (с учетом к = о (4п))

41пк — 1пп = —^ = 1п(о(1)) ^ —ж, и все в порядке. При т = к имеем

(2к + 2)\п к — к \п п — (2к — 2) \пр — \п д = к ^\п(&2) + ^^ — \п(пр) — '-¡-^ \пр — \п д) <

2\п к , . . к — 2, к — 1 — — Щпр) — —

^ к(\п(к2) + — — \п(пр) — \пр — (2 — е') ^^ \п «Л = \ к —2\п д )

1 (—£\< л , т, 2\п к , \ ,, . . / е' \п(к2) 2\п к \п р \

= Ч —ГЧпр) + ы(к) + —— ы р) = к Хп(пр){— + Шм — Шм ] ^—ж

ПОСКОЛЬКУ к ^ Ж, Пр ^ Ж, Щпр) ^ 0 и

О, ( 21п(пр) \ о, ( 21п(пр)\

1п(к2) 2 - 1п(1-р)) 21п{~^—) _ 2(1п 2 + 1п 1п(пр) — 1пр) 1п(пр) 1п(пр) 1п(пр) 1п(пр)

Снова все в порядке, и теорема доказана.

5.3. Доказательство теоремы 6

Как и в доказательстве теоремы 10, зафиксируем е > 0, но на сей раз положим

к =

. 1п п

(2 — 2а — е)-

Р

В данном случае очевидно, что к ^ ж. И целая часть нас по-прежнему не беспокоит.

Обозначим через Ук случайную величину, равную количеству индуцированных й-вер-шинных подграфов случайного графа С, являющихся циклами. Если мы докажем, что при больших п выполнено Рп,Р(Ук > 0) > то при тех же п мы получим и2(п,р) ^ к. Как всегда, мы докажем еще больше: Рп,Р(Ук > 0) ^ 1.

Как и в параграфе 5.2, пользуемся неравенством Чебышёва, так что достаточно проверить справедливость соотношений МУк ^ ж и М^Ук — (МУк)2. С одной стороны, дальнейшие выкладки будут крайне похожи на выкладки из доказательства теоремы 10. С другой стороны, нынешняя величина Ук слегка отличается от одноименной величины из параграфа 5.2, а главное, если в параграфе 5.2 вероятность р ребра случайного графа обладала свойством рпа ^ ж при любом а, то здесь, напротив, р = в (п-а) при тех или иных а € (0, 2). Поэтому мы приведем выкладки во всех подробностях.

Итак, начинаем с математического ожидания. За счет его линейности имеем

МУк = Скп ^^ Рк -к.

Нетрудно видеть, что при а € (0, 2), т € (1,С) выполнено

^ /па 1п п4

к = е(\^ =е( = о .

Поэтому (уже без какого-либо запаса) С.П — Пк\ и

МУк - ^^-Рк& -к = ^Рк& -к > 1пкРкЯк2/2 = 1 (прдк/2)к.

Поскольку к ^ го, для обоснования асимптотики МУк ^ те достаточно найти такое 5 > 0,

npqk/2 = exp ^\n(np) + ^ ln q^ ^ 1 + 6.

Это равносильно существованию такого 5 > 0, что 1п(пр) + 11пд ^ 5. После подстановки явного выражения для к с учетом р < — 1п д имеем

(£' \ ln q (

1 — a — — J -lnn ^ ln(np) — (1 — a — — J

Теперь вспомним, что p > n-a, и оценим снизу первое слагаемое:

(1 — a) lnn — — a — ^ lnn = lnn ^ те,

и все в порядке.

Проверим теперь асимптотику М2Ук — (МУк)2. Как и прежде,

М2 Ук = ^ МУс1,с2, с1,с2

к

С1,С2 С Кп, а Ус1 ,с2 — индикатор одновременного попадания циклов С1,С2 в случайный граф С в качестве индуцированных подграфов. Рассмотрим отдельно слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0 и слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0. В первом случае получаем выражение

с. пкпк ( (к — 1)^^с2-Л 2 (Г°к (к — 1)^^с2-Л 2 ЛМТ\М2

51 = СпСп-ку-2-р 11 к ) — \ °п-2-р 11 к ) = ( к) .

Предпоследний переход сделан за счет к = о(^/п). Если покажем теперь, что

52 = Е Ус1,с2 — 51 = о ((МУк )2), с1,с2

то завершим доказательство теоремы.

С1 , С2

вершине (именно такие пары задают 52), можно найти число общих вершин (обозначим его через т = т(С1, С2)) и число общих ребер (обозначим его через I = 1(С1,С2)). Очевидно, т € {1, . . . , к} € {0, . . . , т — 1}

к т- 1

52 < ЕЕ СкСкп-тСГА(к,т, 1)р2к-1 д2(с22-к)-с™+,

т=1 1=0

А( к, т, ) к

т

А( к, т, )

придется действовать значительно аккуратнее.

Обозначим количество изолированных цепей, по которым пересекаются два цикла, че-

одной вершины. В каждой такой цепи количество вершин, разумеется, на единицу больше

ло ребер. Иными словами, г = т — I. Заметим, что и дополнительное множество из к — т

цепей.

т ( т, )

свободных к — т вершин каждого цикла (соответственно, д(к — т, г)). Ясно, что каждая пара циклов задается подобным выбором, а значит, мы имеем оценку сверху:

А(к, т, I) ^ д(т, т — I)д2(к — т,т — I).

Осталось понять, как выбрать г цепей из т вершин. Для этого сначала расставим всевозможными способами все вершины, а потом между ними на ш — 1 место поставим г — 1 перегородку. Получаем д(т, г) = т\СОкончательно имеем

А(к, т, I) < т\С2-\-1 ((к — т)\С^--\)2 .

Покажем теперь, что = о(1), и завершим тем самым доказательство теоремы. Итак, имеем

^ ^ СкпСкп-™Ск?А(к, т, 1)р2к-1 д2(с1-к)-с1 + ^

т=1 1=0 СкСк-к[ (к-р-)\2кч 2(с1-к)

к т-1 ' ' ■ ^ 2 (п — 2к)\ Сш-\-1 {(к — т)\С^Л) (п — 2к + т)\ ^ (к-1)! ^

2

У У( —У—)

•>>(,,-,) .........:к-т-1) р-1гс^<

__-п-с'т+г

\ I П, - III, 1 \ I ( ! I, - 2 П, I I I, I \ I I к--' ^

т=1 1=0

к т-1 2 2

<ЕЕ^2т°1т-1 (ст-т--\) ^

т=1 1=0

Здесь в последнем неравенстве мы пользуемся тем, что к = о (л/п), делая оценку (п — 2к) \

(п — 2к + т)\ (п — 2к + 1) •... • (п — 2к + т)

^ 2п

справедливую при больших п.

Разобьем внешнюю сумму на две — ^ + " — и покажем, что обе они стремятся к нулю с ростом п. В первую войдут слагаемые при т < цП:, а в0 вторую — оставшиеся, т.е. при т ^ Рассмотрим первую из них. Заметим, что С1т_ 1 < 2т и ^ 1-1 ■

Более того,

С™-1-1 _ (т — 1)(т — 2) • ... • (т — I) < т1 _ /2тV

с?-1 = (к — т + 2)(к — т + 3) • ... • (к — т + 1 + 1) ^ (к/2)1 = \ к ) ,

к \ 7 _ ГЛ ( к \ П ;; ^ - 1 ^ т-1 { 2т^ к™-1 ( 2т

ведь т = О (^ ,1 = 0 (^.Следовательно, ОТ 1 1 ^ ОТ 1 (2?) ^ (ш-^. (пг) > откУДа

Шк т-1 / ,т_ х , 2т чА 2 2

V' < V V 8 к2п_"2'[ -Л-_ ™ ) пы^

^-ткт^ь (2\т 2т 1 (4т2 V

т=1 1=0

£ Е 8( I)'*- (£ К ,

т=1 г=0 У 7 У ' К 7 т=1 1=0 К ' К ' ' К 7

1пк '_1 /г,\т 2 /л 2 \1 о 1пк '_1 /г,\т /л 2 \

К 2 ^2т^ = £ Е8{2

т=1 г=0 У ' У ' ' У ' т=1 1=0 К ' К '

2 (2к2 т \т (4е2 \1

™ — 1 /—п V /V /

Все выражение, кроме последней скобки, от I не зависит. Значит, можно вынести его за внутреннюю сумму и рассмотреть ее отдельно:

т-1 / АР2 т-1 / „«„2 т-1 / _2 т-1 /г2

У 422„^ <у ■п-Р1-) = —<у ( —) <2.

=0\к2 ) =0\ с1п2п) сп« 1п2п) СП«)

Возвращаясь к сумме по т, с учетом неравенств к ^ 2п« 1п п и а < 2 имеем

к к , 1п к /2 к2 \т 1п к / 8п2« 1п2„ к \т

< £ 16т2 [ ^е< £ м16т2)1/т8„ „е(пЬЛ .

т=1 ^ ' т=1 ^ '

Легко видеть, что (16т2)1/т = 0(1), е(1пк)па = 0(1), а 8"'2ага1 "2га = о(1). Таким образом, мы имеем здесь сумму, ограниченную сверху геометрической прогрессией со знаменателем и первым членом, стремящимися к нулю, а это значит, наконец, что и вся сумма стремится к нулю.

Теперь рассмотрим случай т ^ щпГк' Здесь воспользуемся оценкой

ст-т-л < (т )т < (е 1п к)т тогДа п

к ш —1 к ш— 1

]Г = ]Т ]ГВ к2п-шСш-1(Сш_-Ш-_11Упа1 е^2гп-а < ]Т ]Т 8к2п-ш2ш(е2 1п2 к)шпаше^гп-а ^

ш= тПк '=0 ш= ^ 1 = 0

Ек ,2( 2 (1п2 к)пае 2г1а \ ш ( з 2 (1п2 к)пае 2^ N 8 ткЧ 2 е --- I 8 к ™ 2е2^-- .

ш= ТПк ш= ТПк ^ '

Как и в случае с достаточно показать, что выражение в скобках стремится к нулю

" 3 1п к "

с ростом п. Первая его часть ограничена, поскольку к™ ^ к к ^ 1. Рассмотрим вторую (1п2к)па-1 ехр(< (1п2п)п^1 ехр((2 ~ 2а^^ 1п^ = (1п2 п)п^ 1п1-^# = (1п2 п)п~5. теорему.

5.4. Доказательство теоремы 11

Как всегда, зафиксируем е > 0 и возьмем

к =

1п п

(2 - 4а - е)-

Р

к

за счет чего это отличие. Но сразу видно, что отличие лишь в константе, а поскольку ограничения в теореме 11 сильнее, чем в теореме 6, снова с запасом выполнено к ^ те и к = о (д/Л) (на самом деле к = о (^Л)).

Действуем стандартно, доказывая, что МУ& ^ те и Ш2Ук ~ (МУ&)2. Разумеется, здесь ук — число пирамид, как в теореме 10, а не число циклов, как в теореме 6. Тем не менее выкладки будут скорее подобны расчетам из параграфа 5.3.

В параграфе 5.2 мы убедились в том, что свойство МУ^ ^ те заведомо выполнено, коль скоро 1п(пр) + 1пр +11пд ^ те. Практически такое же условие мы проверяли и в параграфе

5.3, причем там были как раз нынешние ограничения на параметры. Однако там не было 1п Р к

4 а 2 а

к к ( е'\ е'

1п(пр) + 1пр + — 1п д = 1п(пр2) + — 1п д > (1 — 2а) 1пп — I 1 — 2а — — I 1пп = — 1пп ^ те. 2 2 \ 2 / 2

Займемся вторыми моментами. Здесь тоже имеет место «симбиоз» подходов и оценок из параграфов 5.2 и 5.3. По-прежнему все сводится к доказательству того, что = о(1). И если 5*1 — в точности то же, что и в 5.2, то 52 оценивается настолько же аккуратнее, чем в 5.2, насколько аккуратнее это было сделано для одноименной величины в 5.3:

к 2т-2

52 < ЕЕ СкСк-тСктБ(к,т, 1)р4к-4-1 ч2(ск-(2к-2))-с1+,

т=1 1=0

где В(к, т, I) — число способов образовать пару пирамид с выбранными к вершинами для

т

В( к, т, )

вершину, которая не принадлежит циклу. Пусть даны две пирамиды, у каждой из которых к т

и, множество вершин первой пирамиды, не принадлежащих и, — ^1, множество вершин второй пирамиды, не принадлежащих и, — и^. Пусть ^1,^2 — главные вершины наших пирамид. Возможны пять случаев: 1) = ^2 € и; 2) ^1, ^2 € и, но И1 = ^2; 3) € и, 02 € и2; 4) И2 € и, И1 € и^; 5) И1 € и1; 02 € и2. В первом случае нашим пирамидам отвечают два цикла длины к—1, имеющие т—1 общих вершин и I—т+1 общих ребер. Ясно, что таких пар пирамид не больше, чем тА(к — 1, т—1, ¿—т+1). Во втором случае основание первой пирамиды проходит через главную вершину второй пирамиды, а основание второй пирамиды проходит через главную вершину первой пирамиды. Естественно, у этих циклов только т — 2 общие вершины, а число их общих ребер лежит в пределах от I до I — 5. Поэтому в случае 2) пар пирамид не больше, чем

т2(А(к — 1, т — 2,1) + А(к — 1, т — 2,1 — 1) + А(к — 1, т — 2,1 — 2) + А(к — 1, т — 2,1 — 3) +

+ А(к — 1, т — 2,1 — 4) + А(к — 1, т — 2,1 — 5)). Рассуждая аналогично, оцениваем число пар циклов в случаях 3) и 4), как

2(к — т)т(А(к — 1, т — 1,0 + А(к — 1, т — 1,1 — 1) + А(к — 1, т — 1,1 — 2)),

а в случае 5) — как

(к — т)2А(к — 1, т, I) < к2А(к, т, I) < к2т!2т ((к — т^Ск-т-ЛУ . А = 0

А

А(к — 1, т — 2,1) < д(т — 2, т2)д2(к — т +1,т2) = (т — 2)\СЩш—-3 ((к — т + ^С^-Щ-3)2 <

< т!2шк2 ((к — т)!СЩ-гЩ-3)2 ;

А(к —1, т—2,/ — 1) < д(т—2, т—1 — 1)д2(к-т+1,т-/-1) = (т^СЩ-З-2 ((к — т + 1)!СЩ--Щ-2)2 <

< т!2шк2 ((к — т)!СШ_-Ш-2)2 ;

А(к — 1, т — 2,1 — 2) < д(т — 2, т — /)52(к — т +1,т — /) = (т — 2)!СЩ-3-1 ((к — т + 1)!СЩ--Щ-1)2 <

<т!2™к2 ((к -my.cz—-1)2 ';

А(к - 1,т - 2,I- 3) < д(т - 22, т -1+1)д2(к -т + 1,т -1+1) = (т - 2).С™!13 ((к -т + 1)!С™—)2 <

<т2тк2 ((к -т)!С?—)2 ;

А(к-1, т-2,1-4) < д(т-2,т-1+2)д2(к-т+1,т-1+2) = (т-2)!С™2'3+1 ((к -т + 1)!С™—+1)2 <

<т2тк2 ((к -т)!С^1)2 ;

А(к-1, т-2,1-5) < д(т-2, т-1+3)д2(к-т+1, т-1+3) = (т-2)!С^+2 ((к -т + ^.С™^2)2 <

< т!2тк2 ((к -т)!^+2)2 ;

А(к - 1, т - 1,1) < д(т - 1,т -I- 1) д2(к -т,т -I- 1) = (т - 1)!С™112~2 {(к - т)!.С™—)2 <

< т!2т ((к -т)С--_\)2 ;

А(к - 1, т - 1,1 - 1) < д(т - 1,т - I) д2(к -т,т - I) = (т - 1)!С™112~1 {(к - т)!.^^)2 <

<т!2™ ((к -т)!.С?—-_\)2 ;

А(к - 1, т - 1,1 - 2) < д(т - 1,т - 1 + 1) д2(к -т,т - I + 1) = (т - 1)!С™!12 {(к - т)!С™—_ ^ <

<т!2™ ((к -т)С—_^ ;

А(к-1, т-1,1-т+1) < д(т-1, 2т-1-2)д2(к-т, 2т-1-2) = (т-^.С^'^3 ((к - т)!^—)2 <

<т!2™ ((к -т)С2ктт'+13)2 .

В итоге

В(к, т, I) < т!2т((к - т)!)2 (т (с1т—1-)2 + т2к2 ((с™—'3)2 +

2 2 2 2 2\ + (с?-т-2) + (стт0 + (СгЛ) + (СГ-1+1) + (С^2) ) +

+ 2кт ((СЛ_-Л~_21)2 + (сГ_-Л~_\)2 + (1)2) + к2 .

Более того, совсем тривиальна оценка

В«, г, о < е( 2

Вернемся к дроби

^ _ * 2^2 СкСк'ТС7В(к, т, 1)р4к~4-1д2(ск-(2к-2))-С1+

* ссскп_к {ки—£р*-2дс1 —2к-2)у <

т=1 1=0 с,,с 1

" п—к

< V V2 4 ( к! V ^__В{кт1) г—а-с^ <

^-т)!.) (п - 2к + т)! т!((к - 1)!)2г 4 <

< Л2Л—2 2 В(к,т, I) -1-с1+1

< т!((к - т)!)2 4 '

т=1 1=0 ' '

Для дальнейшей оценки, как и в § 5.3, разобьем суммирование на £' и £", проводя границу к

на прежнем т = щс-

Рассмотрим £'. Хорошо видно, что оценка величины В(к,т, I) отлично сокращается с величиной т!((к — т)!)2, стоящей в знаменателе. В то же время при текущих ограничениях т

С2ш—1—3 « с2ш—' — 1 « С2Ш —' — 1 « С2Ш — 1 / "'" | «

к2 ш 1 4 т

к-Щ-1 ^ к-ш+^ к ^ к ^ к ) ^ (2т — 1)! V к ) '

пш-1-3 ^ пш-1-2 ^ пш-1-2 ^ пш-1 (2т\ + . кШ 1 (2т\

Сщш «ч^ «ч «ч ^-у) « (т—^-у),

Ск-ш <Ск-ш+1 «Ч «Ч I « (т — 1)! ^ к

СЩ-Ш-1 « Чш-г-1 « сш-1 ('Вт)' « Т^-^ ('

к- ш к к к ( т— 1)! к

Сш- « СЩ- « сщ(' ^т)1 «

2 т к ш-1 2 т

к ^ к \ к ) ^ т! V к

1 ш 1

с;- «С*.-+1 , « ^ (?:

гт-1+2 ^ гт-1 + 2 ^ .^ш+2 2т\ кш+2 /2т

Ск-ш « Ск «Ск «

к ) (т + 2)! V к

сш--2 « сш- ,« сш- « сш ^«

ш 2 т

^к-ш-1 ^ Ск-ш+^ Ск Ъ Ск \ к ^ т! \ к

сгшл«с?--1«сш-1{ '«т-^—^ г^У,

кш1 к к \ ^ (т — 1)! \ к /

ш ш ш 2 т к ш 2 т

ч-ш-1 «ч «ч у)« тЦ т1.

При т ^ 4 имеем 4т — 2 ^ 2т + 6. При т = 3 слагаемого А(к — 1,т — 2,1 — 5) в

оценке величины В(к, I, т) нет, так что хватает неравенства 4т — 2 ^ 2т + 4. При т = 2 нет слагаемых А(к — 1,т — 2,1 — 5),А(к — 1,т — 2,1 — 4), так что хватает неравенства 4 т — 2 ^ 2 т + 2. Так или иначе

В(к,т, 0 «( 16т^ 1 Л™ 1.4т-2 , 2 , «™1.4т-2 , ,„4ш-2^

^ (^^ -^^ (т к4ш-2 + 6т2к4ш-2 + 6 тк4ш-2 + к4ш~2) «

г!2ш((к — т)!)2 V к2 ) ((т — 1)!)2 1 + + + ;

«(^ 1 ч2 • 24 т2к4ш-2. V к2 ) ((т — 1)!)2

Значит,

+ ^ 2шГ2 8к2^ш2ш. 24т2к4ш-2(^У _^ „-' -

((к — 1)!)2 +ш=2^ 8кп 2 24тк V к2 ; ((т — 1)!)

Я' « 8 к2п-\\,(2 + 8к2п-ш2ш • 24т2к4ш-2 ( -¡-^ ) —-е^ «

ш=2 =0

2 к4

« - + £ Е2((192т2)«

2к4 ^^ 2^2Л1ПО ^ 1 ™ 2кЛш т4 (16т -+ V V (192т2)¿¿е^- -г —

п ш=2 ¿0 V ) п ) ()Ч к

2к4 2^2 Гп ^ ^ 2к4\ш / 16ет

^^ 1 ™ 2к4\ш (16ет

п + ЕЕ ((192т6)«

т — 9 / —П V / \ /

2k4 Д Л i - 2k4\— ( 16е Л1

< - + ЕЕ ((192-6)(kink п°) .

— =2 1 — П V / \ /

2m-2 г

Ясно, что ^ (fc116nefc< 2, откуда с учетом k = o(tfn) получаем

i=0

fc

ink / 2k4 \m

E' < o(1)+2^ (192 rn6)-e^-j =o(1).

— = 2 V " /

Перейдем к Е''. При т ^ в оценках биномиальных коэффициентов, из которых

складывается величина В(к,т, I), вынужденно опустим сомножители типа (2а сохра-

2

(2 к)

.....2m-1

C2m-i-3 ^ q2m-i-3+1+2 _ ^2m-1 ^ q2m-1 _ ^2m-1 ^ q2m-1 ^

k-m-1 k-m-1+1+2 k+i-m+1 k+2m-2-m+1 k+m-1 2k (2- — 1)!'

Далее,

С2™-1 -з ^ (2k)2m 1 ^ (2m)(2k)-1 f—2m < -(elnk)2m. fc-m-1 (2- — 1)! V Л ; \2m J ky '

Аналогично и каждый из оставшихся коэффициентов не превосходит 4 k2 ( е2 ln2 k)m. Получаем

к 2—-2

E'' < ^ ^ 8k2n-—2— • 24m2 • 32k5 (е4 ln4 k)— р-1 е^ <

—= ^ г=0

к к < ^ 8k2n-—2— •48m3-32k5 (е4 ln4 k) — n2a—e^ < ^ (V (2 • 104k10) - n2a-1(ln4 k)e— _

—= ink —= ink

к

_ ^ (2 e4 (2 • 104k10)- n2a-1(ln4 k) exp — 2a — |) lnn))-_

—= itk

_ к _ , 1 N —

_ ^ (2 e4 (2 • 104k10)-n2a-1(ln4k)n1-2a-§) _ o(1).

—= ink

Теорема доказана.

6. Несколько заключительных комментариев

Пусть р _ n-a. Мы знаем, что при a > 1 выполнено U2(n,p) _ 0, а при a < 2 выполнено U2 (n, р) _ В (• Аналогично при a > 1 выполнено U3(n,p) _ 0, а пр и a < 4 выполнено

U3(n,р) _ В ( Иными словами, даже при таком грубом взгляде на функцию вероятности ребра остается некоторый зазор между случаем, когда величина Ud(n, р) равна нулю, и случаем, когда она отлична от нуля.

На самом деле, зазор, конечно, можно значительно сократить. Например, без труда доказываются следующие две теоремы.

Теорема 12. Пусть р _ n-a, где a < 1. Тогда при всех достаточно больших n выполнено U2 (n, р) ^ 3.

Теорема 13. Пусть р _ n-a, где a < |. Тогда, при всех достаточно больших n выполнено ^(п,Р) ^ 4.

Теорема 12 следует из того простого факта, что в ее условиях случайный граф с вероятностью, стремящейся к 1, содержит треугольник, а в теореме 13 роль треугольника выполняет клика на четырех вершинах.

Разумеется, теоремы 12 и 13 можно уточнять. Однако именно это и сделано нами в настоящей работе. Просто нашей целью было найти те области изменения параметров, в которых верхние и нижние оценки по порядку или даже асимптотически совпадают. В больших областях мы эту цель пока не реализовали.

Еще один любопытный факт сформулирован ниже.

Теорема 14. Пусть р = п-а, где а > |. Тогда либо из(п,р) = 0 либо для любого е > 0 при всех достаточно больших п выполнено и3(п, р) ^ п3а-2-£.

Теорема 14 дает «условный» результат в том смысле, что при а > | уже совсем не очевидно, что из(п,р) = 0. Понятно, что и нижняя оценка в ней не может быть основана на какой-то явной конструкции графа диаметров с хроматическим числом 4.

Доказательство теоремы 14. Идея доказательства состоит в том, что у случайного графа при нынешних значениях р с большой вероятностью все подграфы на не более п3а-2-£ вершинах имеют хроматические числа не выше трех. Эта же идея использовалась в классических работах Боллобаша (см. [16]- [19], [28], [29]).

Положим

:3а-2-е

= n3

и докажем, что

или, чт0 то же самое,

Pn,p {У S, IS I < t, x {GIs ) < 3) ^ 1, Pn,p {3 S, IS I < t, x {GIs ) У 3) ^ 0.

Действительно,

Pn,p {3 S, IS I < t, x {GIs ) У 3)= Pn,p (3 S, ISI < t, x {GIs ) У 3 Ух eS x {GIs\{x}) < 3) < < Pn,p( 3 s e [4, t] 3 S, IS I = s, IE {GIs ) I ^ y ) < Y,CnC%2p38/2 <

3 ч St ^ t ^ t ^

^ E ( ~ ("y) 2 n-= ^n-^ Cn^n-= °n-5

=4 =4 =4 =4

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ N 12-01-00683, гранта Президента РФ МД-6277.2013.1 и гранта НШ-2519.2012.1 поддержки ведущих научных школ.

Литература

n

1933. - V. 20. - Р. 177-190.

2. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk's conjecture // Bulletin (new series) of the AMS. - 1993. — V. 29, N 1. — P. 60-62.

3. Райгородский A.M. О размерности в проблеме Борсука // Успехи матем. наук. — 1997. - Т. 52, № 6. - С. 181-182.

4. Райгородский A.M. Об одной оценке в проблеме Борсука // Успехи матем. наук. — 1999. - Т. 54, № 2. - С. 185-186.

5. Райгородский A.M. Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств // Успехи матем. наук. — 2001. — Т. 56, № 1. — С. 107-146.

6. Райгородский, A.M. Проблема Борсука. — М. : МЦНМО, 2006.

7. Raigorodskii A.M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. - 2007. - V. 347. - P. 202-248.

8. Райгородский A.M. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика». — 2007. — Т. 23. — С. 147-164.

9. Райгородский A.M. Контрпримеры к гипотезе Борсука на сферах малого радиуса // Доклады РАН. - 2010. - Т. 434, № 2. - С. 61-163. *

10. Raigorodskii A.M. Coloring Distance Graphs and Graphs of Diameters // Thirty Essays on Geometric Graph Theory / J. Pach ed. — Springer, 2013. — P. 429-460.

11. Raigorodskii A.M. The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary // Mathematical Intelligencer. - 2004. - V. 26. - N 3. - P. 4-12.

12. Болтянский В.Г., Гохберг И.Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М. : Наука, 1965.

13. Boltyanski V.G., Martini Н., Saltan P.S. Excursions into combinatorial geometry. — Berlin : Universitext, Springer, 1997.

14. Райгородский A.M. Гипотеза Кнезера и топологические методы в комбинаторике. — М. : МЦНМО, 2011.

15. Matousek J. Using the Borsuk-Ulam theorem. — Berlin : Universitext, Springer, 2003.

16. Райгородский A.M. Модели случайных графов. — M. : МЦНМО, 2011.

17. Bollobas В. Random Graphs. — Cambridge Univ. Press. — Second Edition, 2001.

18. Колчин В.Ф. Случайные графы. — M. : Физматлит, 2002.

19. Janson S., Luczak Т., Rucinski A. Random graphs. — NY : Wilev, 2000.

20. Erdos P., R6nyi A. On random graphs I // Publ. Math. Debrecen. — 1959. V. 6. — P. 290297.

21. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. - 1960. - V. 5. - P. 17-61.

22. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Bull. Inst. Int. Statist. Tokyo. — 1961. - V. 38. - P. 343-347.

23. Кокоткин А.А., Райгородский A.M. О реализации случайных графов графами диаметров // Труды МФТИ. - 2012. - Т. 4, № 1. - С. 19-28.

24. Райгородский A.M. Проблема Нелсона-Эрдеша-Хадвигера и реализация случайных графов в пространстве // Успехи матем. наук. — 2006. — V. 61, № 4. — С. 195-196.

25. Нагаева, С.В., Райгородский, A.M. О вложимости конечных графов расстояний с большим хроматическим числом в случайные графы // Итоги науки и техники. Сер. «Современная математика». — 2009. — Т. 62. — С. 47-66.

26. Нагаева С.В., Райгородский, A.M. О реализации случайных графов графами расстояний в пространствах фиксированной размерности // Доклады РАН. — 2009. — Т. 424, № 3. - С. 315-317.

27. Brass P., Moser W., Pach J. Research problems in discrete geometry. — Berlin : Springer, 2005.

28. Bollobas B. The chromatic number of random graphs // Combinatorica. — 1988. — V. 8, N 1. - P. 49-55.

29. Алон H., Спенсер Док.. Вероятностный метод. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2007.

Поступила, в редакцию 08.04-2013.