О некоторых свойствах случайных дистанционных графов специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I

Случайные графы

УДК 519.175.4

А. Р. Ярмухаметов

Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; Кафедра математической статистики механико-математического факультета

МГУ им. М. В. Ломоносова

О некоторых свойствах случайных дистанционных графов специального вида

В настоящей работе рассматриваются случайные подграфы полного дистанционного графа, у которого вершины — векторы х € {0,1}п с условием ||х|| =

= л/п/2, а ребра — пары векторов, отстоящих друг от друга на расстояние л/п/2. Ранее была известна пороговая вероятность для свойства связности таких случайных графов, а также пороговая вероятность для возникновения гигантской компоненты в них. Мы доказываем теперь, что, как и в классической модели Эрдеша—Реньи, фазовый переход от связности к ее отсутствию совпадает с переходом от связности к наличию изолированных вершин. Также мы формулируем результат о предельной вероятности связности в предположении, что вероятность ребра находится «внутри» фазового перехода.

Ключевые слова: случайный граф, связность, изолированная вершина, гигантская компонента, дистанционный граф, пороговая вероятность.

1. Введение

1.1. Классические результаты Эрдеша и Реньи

В 1959 году П. Эрдеш и А. Реньи предложили следующую модель случайного графа (см. [1—5]): рассматривается вероятностное пространство

С(Ж,р) = (Пм, , рм,р),

где Пм — множество всех графов О = (V, Е) на N вершинах без петель, кратных ребер и ориентации (т. е. |Пм | = 2С^), = 2Пм,

Рм,Р(С) = р|Е|(1 — р)с^-|Е|, р € (0,1).

Иными словами, мы проводим то или иное ребро между вершинами случайного графа с вероятностью р независимо от остальных ребер.

В дальнейшем мы будем употреблять выражение «модель G(N,p)», подразумевая всю последовательность вероятностных пространств G(N,p) при N € N. Отметим в этой связи, что вероятность ребра р есть, вообще говоря, функция от N.

Будем говорить, что случайный граф в модели G(N,p) обладает некоторым свойством асимптотически почти наверное (кратко а.п.н.), если вероятностная мера множе-

ства графов из Пм, обладающих этим свойством, стремится к 1 при N ^ то.

В работах [2—3] Эрдеша и Реньи были доказаны следующие теоремы 1—5.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683 и гранта Президента РФ № ЫД-666.2012.1.

Теорема 1. Величина р* = является «пороговой вероятностью» для свойства связности случайного графа, то есть если существует такое с> 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели С(М,р) а.п.н. связен, а если существует такое с < 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели С^,р) а.п.н. не связен.

Теорема 2. Пусть к ^ 2, а Н^,к — число к-вершинных древесных компонент в случайном графе в модели С^,р). Тогда имеют место следующие утверждения:

1) если р = о^-к/(к-1)), то а.п.н. выполнено равенство ИМк = 0;

2) если существует такое с> 0, что р ~ с ■ N-к/(к-1) при N ^ то, то величина ИМ к

имеет асимптотически пуассоновское распределение с параметром

_ ск~1кк~2 1 - к\ ’

3) если pNk/(k-1) ^ +то и pkN — 1п N — (к — 1)1п1п N ^ —то при N ^ то, то для

любого І Є К а.п.н. имеет место неравенство Им,к ^ І;

4) если существует такое с Є К, что pkN — 1п N — (к — 1) 1п1п N ^ с при N ^ то, то величина Им,к имеет асимптотически пуассоновское распределение с параметром

— с

Ао

к ■ к!’

5) если pkN — 1пN — (к — 1)1п1пN ^ +то при N ^ то, то а.п.н. имеет место равенство Н^,к = 0.

Теорема 3. Величина р* = 1/N является «пороговой вероятностью» для возникновения «гигантской компоненты» в случайном графе, а именно: если существует такое с < 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ c/N, то найдется такая константа в > 0, что случайный граф в модели С^,р) а.п.н. будет состоять из компонент, размер (количество вершин) каждой из которых не превосходит в 1п N; если же существует такое с > 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ c/N, то найдутся такие константы 7 Є (0,1) и в > 0, что случайный граф в модели С^,р) а.п.н. будет содержать ровно одну компоненту размера не меньше YN (ее, по понятным причинам, и называют гигантской) и еще несколько компонент, размер каждой из которых не превосходит в 1п N.

В дальнейшем термин «гигантская компонента» мы будем употреблять в аналогичных ситуациях: есть последовательность графов на N вершинах, N ^ то, и есть такая константа 7 Є (0,1), что в графе (возможно, при N ^ N0) присутствует компонента размера не меньше ,yN.

Теорема 4. Пусть р* —пороговая вероятность из теоремы 1. Если существует такое с > 1/2, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели С^,р) а.п.н. состоит из гигантской компоненты и, возможно, из изолированных вершин.

Другими словами, условие теоремы 4 (совместно с теоремой 1) можно переформулировать как совпадение моментов возникновения связности и исчезновения изолированных вершин.

Теорема 5. Предположим, существует константа с Є К, с которой р = (1п N + с + + о(1))^. Тогда

Ри,р(О связен) ехр(— ехр( —с)) при N ^ то.

Комментарий. Если пункт 4 теоремы 2 доказать для к ^ 1, то этот пункт при к = 1 совместно с теоремой 4 даст нам теорему 5.

1.2. Постановка основной задачи

Введем новое вероятностное пространство, которое будем называть пространством случайных дистанционных графов. Для этого положим п = 4к, к Е N N = СП/2 и рас-

смотрим полный дистанционный граф 3М = (Ум, Ем), у которого

Ум = {х = (хь... ,Хп): Хг Е {0,1},Х1 + ... + Хп = 2к = п/2},

Ем = {{х, у} Е УМ х Ум: (х, у) = к = п/4},

где (х, у) — евклидово скалярное произведение векторов х, у.

Таким образом, вершины полного дистанционного графа являются точками из {0,1}п и этих вершин ровно N. При этом ребра графа %?м суть пары его вершин, удаленных друг от друга на расстояние у/п/2. Именно этим и обусловлено название графа. Рассмотрение подобных графов глубоко мотивировано задачами комбинаторной геометрии (см. [6, 7]). Определим новое вероятностное пространство

з агз*(м,р) = (п*5*, ^Мгз*, &>М£),

где П*5* — множество всех остовных подграфов С = (У*, Е) полного дистанционного графа 3м, = 2П^‘,

Р*,р(С)= Р|Е|(1 - Р)1<% НЕ|, где р Е (0,1).

Несмотря на близость модели, рассматриваемой в данной работе, и классической модели Эрдеша—Реньи случайных графов между ними имеются существенные различия.

2. Формулировки результатов

Сделаем несколько предварительных замечаний.

В соответствии с формулой Стирлинга общее число вершин в полном дистанционном графе 3М есть

м = с“/2 = V?' 7='п =

Граф 3М — регулярный. Обозначим через М1 степень каждой из его вершин. В соответствии с формулой Стирлинга

^ = к»? = ■ -/= - (1+о(1)>.

1 уп утN

Сформулируем результаты для модели 3Лгз*(М,р), аналогичные результатам в классической модели.

Теорема 6. Пусть р* = Тогда

1^1

а) если существует такое с > 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели 3*5*(^р) а.п.н. связен;

б) если существует такое с < 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели 3*5*(^р) а.п.н. не связен.

Теорема 6 доказана в [8].

Теорема 7. Пусть к ^ 2, а Хы,к —число к-вершинных древесных компонент в случайном графе в модели 3Лгзі^,р). Тогда имеют место следующие утверждения:

1) если р = о(Ы-1/(к-1) ■ Ы-1), то а.п.н. выполнено равенство Хм,к = 0;

\ 1 і ’

2) если существует такое с > 0; что р ~ с ■ N ь-1 ■ при N —>• оо; то величина

ХИ>к имеет асимптотически пуассоновское распределение с параметром

л _ Ск~1кк~2

М — '

к!

3) если р ■ +оо и ркМ1 — 1пМ — (к — 1) 1п1п]У —> — то при N то, то для

любого I Е К а.п.н. имеет место неравенство Хм,к ^ I;

4) если существует такое с Е К, что ркN — 1п N — (к — 1)1п1п N ^ с при N ^ то, то величина Хм>к имеет асимптотически пуассоновское распределение с параметром

Л

2 =

к-к!:

5) если ркЫ1 — 1пN — (к — 1)1п1пN ^ +то при N ^ то, то а.п.н. имеет место равенство Х^,к = 0.

Теорема 7 доказана в [9].

Теорема 8. Пусть р* = Тогда

«1

а) если существует такое с > 1, что при всех достаточно больших N выполнено равенство р = ср*, то найдутся такие функции в1 и в2, равные о(1) при N ^ то, что случайный граф в модели 3Лгзі^,р) а.п.н. будет содержать ровно одну гигантскую компоненту, имеющую размер

кк-1 / -с\к

лчі-У(і + 0і(лО).

к=1

и еще несколько компонент, размер каждой из которых не превосходит N ■ 62^);

б) если существует такое с < 1, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то найдется такая константа в > 0, что случайный граф в модели 3агзі^,р) а.п .н. будет состоять из компонент, размер каждой из которых не превышает в 1п N.

Теорема 8 доказана в [10].

Теорема 9. Пусть вероятность р* такая же, как в теореме 6. Если существует такое с> 2/3, что при всех достаточно больших N выполнено неравенство р ^ ср*, то случайный граф в модели 3Лгзі^,р) а.п.н. состоит из гигантской компоненты и, возможно, из изолированных вершин.

Теорема 9 доказана в разделе 3.

Теорема 10. Предположим, существует такая константа с Є К, что р = (1п N + + с + о(1))/^. Тогда

Рм&(^ связен) ^ ехр(— ехр(—с)) при N ^ то.

Теорема 10 следует из пункта 4 теоремы 7 для случая к =1 и теоремы 9.

Замечание. Несмотря на то, что пункт 4 теоремы 7 сформулирован для к ^ 2, нетрудно видеть, что ее доказательство (см. [9]) остается верным и для случая к =1.

е с

3. Доказательство теоремы 9

В соответствии с теоремой 6 можно считать, что р ^ . При этом, конечно, N

N1

достаточно велико и p ^ cp*, где с > 2/3.

Приведем некоторые вспомогательные обозначения из [8]: — число ¿-элементных

компонент связности случайного графа в пространстве Gdist(N,p), f (i, N — i) —минимальное число ребер между подмножеством множества вершин графа Gn из i элементов и его дополнением из N — i элементов, где минимум берется по всем i-элементным подмножествам множества вершин графа Gn .

Положим также

[N/2]+1

Yn = ^ XN,i. i=2

Поскольку из теоремы 8 следует существование гигантской компоненты, то для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что EYn ^ 0 при N ^ то.

Зафиксируем а £ (0,1/10) и в ^ 106. Тогда найдется такое N0, что при всех N ^ N0 верна следующая последовательность неравенств:

[N/2] + 1

EYn = Y. EXNi EXNi + ^ CiN(1 — p)f(i,N-i) +

i=2 i<aNi aNi^i<ftNi

+ E cn (i—p)f <iN-i) = El+£.2+E3-

^Ni^i^[N/2] + 1

Утверждение 1. В условиях теоремы 9 и при фиксированном выше а имеем Y11 ^ 0, коль скоро N ^ то.

Доказательство. Воспользуемся частью 2 утверждения 1 из [10]. Как нетрудно видеть, доказательство этой части утверждения остается прежним, если заменить условие 2 ^ k ^ ^ Nf/4 на условие 2 ^ k ^ N.

Таким образом, при 2 ^ k ^ N имеет место неравенство

Tk,N ^ N • N*-1 •

где Tk,N — число различных k-вершинных деревьев (не обязательно индуцированных) в полном дистанционном графе Gn .

Поскольку в любом связном графе можно так убрать несколько ребер, чтобы вершины вместе с оставшимися ребрами образовывали дерево, то, пользуясь вышесказанным, имеем

[aNi] [aNi] 2

Tk,NPk~\i -p)kNi~2Ci < NNi~l^rPk~\i -p)kNi~2c2k ^ k=2 k=2

(т.к. k ^ [aNi], то 2Ck ^ k2 ^ kaNi)

[^—1 1 k—2 / i at \ (1-a)kNi

<Е*т(2|1Я) (1_x) «

[«Nil [«-Nil ,71

’ " kk-2 (гьлг^-1

/г! д/"с(1—а

k=2 k=2

в ^JVti_!(21„]V)b-1exp(-c(l-«)iln]V)= Ё к‘-2(21пЛГ)‘

kl kl Nc(1-a)k-1

k=2

(при k ^ 2 имеем c(1 — a)k — 1 > 2/3 ■ 9/10 ■ 2 — 1 = 1/5 > 0)

[aNi]

iw + Efc‘"2(21nN)"'

kl Nc(1-a)k-1

k=10

где 8(N) = o(1).

Воспользовавшись неравенством k! ^ (k/e)k и неравенством

c(1 — a)k — 1 ^ k/2 при k ^ 10,

имеем

1«^1] , „ /01 лТ\к— 1 / \ к

е; <ад + £ <ад) + £ ЭД - о - " - »■

к=10 к=10 ' V /

Таким образом, утверждение доказано. □

Утверждение 2. В условиях теоремы 9 и при фиксированных выше а, в имеем^,2 ^ 0, коль скоро N ^ то.

Утверждение 2 непосредственно следует из доказательства утверждения 5 из [8]. Как нетрудно видеть, утверждение 5 из [8] остается верным при с > 2/3 (и даже при с > 1/2), а также ^2 < ^22, где ^22 из [8].

Утверждение 3. В условиях теоремы 9 и при фиксированном выше в имеем ^3 ^ 0, коль скоро N то.

Утверждение 3 непосредственно следует из доказательства утверждения 6 из [8] небольшим его изменением. Как нетрудно видеть, 3 < ^23, где £3 из [8].

Таким образом, из утверждений 1, 2 и 3 следует, что ЕУм ^ 0 при N ^ то. Теорема 9 доказана.

Литература

1. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод.— М.: Бином, 2007.

2. Erdos P., Renyi A. On random graphs 1 // Publ. Math.— 1959.— Debrecen 6.— P. 290— 297.

3. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci.—1960.—V 5.—P. 17—61.

4. Erdos P., Renyi A.. On the strength of connectedness of a random graph // Acta Math. Acad. Sci. Hungar.— 1961.— V. 12.— P. 261—267.

5. Bollobas B.. Random Graphs.— New York: Academic Press., 2001.

6. Райгородский А. М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике.— М.: МЦНМО, 2007.

7. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств // УМН. — 2001.— Т. 56, вып. 1 (337).— С. 107—146.

8. Ярмухаметов А. Р. О связности случайных дистанционных графов специального вида // Чебышевский сборник.— 2009.— Т. X, вып. 1 (29).— С. 95—108.

9. Ярмухаметов А. Р. Древесные компоненты в случайных дистанционных графах спе-цаильного вида // Современная математика и ее приложения.— 2011.— Т. XX.— С. 98-110.

10. Ярмухаметов А. Р. Гигантская компонента в случайных дистанционных графах специального вида // Математические заметки, в печати.

Поступила в редакцию 15.06.2011