О реализации случайных графов графами диаметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4 + 519.174.7

А. А. Кокоткин1, А. М. Райгородский1,2,3

1 Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; 2 Кафедра математической статистики механико-математического факультета

МГУ им. М. В. Ломоносова;

3 Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»

О реализации случайных графов графами диаметров

Работа находится на стыке комбинаторной геометрии и теории случайных графов. Мы изучаем условия, при которых случайный граф в модели Эрдеша—Реньи содержит подграфы, изоморфные графам диаметров на плоскости с хроматическим числом З. Для соответствующей экстремальной характеристики случайного графа удается получить точные по порядку оценки и даже асимптотики.

Ключевые слова: случайный граф, граф диаметров, хроматическое число.

1. Введение

Настоящая работа лежит на стыке комбинаторной геометрии и теории случайных графов. С точки зрения комбинаторной геометрии речь идет о некоторых аспектах проблемы Борсука для случая двумерной плоскости R2. Назовем граф G = (V, E) (двумерным) графом диаметров, если V С R2, IVI < то, и

E = {{x, y} : Ix — y I = diam V := max Ix — y I}.

x,y€V

Хорошо известно, что у любого графа диаметров хроматическое число не превосходит трех: x(G) ^ 3. Этот факт можно легко доказать по индукции (см. [1, 2]) с учетом оценки IE I ^ IVI, которая также доказывается с помощью индукции.

Рассмотрение графов диаметров напрямую связано с классической гипотезой Борсука

о разбиении множеств на части меньшего диаметра (см. [3—7]). В частности, большую роль играют графы диаметров с максимальным хроматическим числом. Как мы уже говорили, на плоскости это графы с хроматическим числом З.

В этой работе мы изучим вопрос о том, как часто встречаются на плоскости графы диаметров с хроматическим числом З. Аналогичный вопрос для графов расстояний уже изучался в статьях [11—13].

Будем исследовать задачу в терминах модели Эрдеша—Реньи случайного графа (см. [8—10]). А именно, пусть Vn = {1,...,n}, p = p(n) Є [0,1] и G(n,p) = (Qn, Fn, Pn,p) — вероятностное пространство, в котором Qn — множество всех графов на Vn без петель, кратных ребер и ориентации (так что IQnI = 2Cn), Fn = 2°n,

Pn,p(G) = p|E|(1 — p)cn-|E|.

Иными словами, берутся случайные графы на n вершинах, в которых ребра проводятся взаимно независимо с одной и той же вероятностью p.

Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683, гранта Президента РФ № ЫД-666.2012.1 и гранта НШ-2519.2012.1 поддержки ведущих научных школ.

Положим

(n,p) = maxjk : Pra,p(3 H = (W, F) С G : |W| = k,

Н = С\ц/, Н — граф диаметров, х(-^) = 3) > ^

Таким образом, мы ищем максимальное количество вершин в индуцированном подграфе случайного графа, который одновременно реализуется графом диаметров на плоскости и имеет наибольшее возможное в этом случае хроматическое число. Если для любого к

Рп,р{3 Н = (И7, И) С С : \\У\ = к, Н = С|и/, Я—граф диаметров, х(Н) = 3) ^

то полагаем и(п,р) = 0.

В следующем разделе мы сформулируем основные результаты для и(п,р).

2. Формулировки результатов

Если функция р = р(п) вероятности ребра очень близка к нулю или к единице, то величина и(п,р) совсем мала. А именно, справедливы следующие три теоремы.

Теорема 1. Пусть р = о . Тогда при всех достаточно больших гг € N выполнено и(п,р) = 0.

Теорема 2. Пусть д := 1 — р = о • Тогда при всех достаточно больших гг € N

выполнено и(п,р) = 3.

Теорема 3. Пусть д = но пРи этом дп1'5 —> оо. Тогда при всех достаточно

больших п € N выполнено и(п,р) = 4.

Если и р, и д более существенно отделены от нуля, то функция и растет. В большинстве ситуаций удается найти точный порядок ее роста и даже ее асимптотику.

Теорема 4. Положим т(п) = рп и а(п) = д 1п п. Пусть т(п) и а(п) стремятся к бесконечности с ростом п. Тогда для любого £ > 0 существует такое п0, что при п ^ п0 выполнено

и(п,р) ^ (2 + в) кж 1 (?гр).

1-р

Теорема 5. Положим т{п) = и а(п) = д\пп. Пусть т{п) и а(п) стремятся к

бесконечности с ростом п. Тогда для любого £ > 0 существует такое п0, что при п ^ п0 выполнено

и(п’д>(2-е + щ^)1о*тЬм-

Поскольку в теореме 5 при больших п заведомо р > ~^=, а также с учетом р ^ 1, имеем

\/п

In (пр) In (пр) |1п п 3

Значит, во всяком случае

и(п,р) ^ log_J_(п'р),

и это лишь в константу раз хуже оценки из теоремы 4. Более того, если для любого а > 0

а 41п р

выполнено рп —> оо при п —> оо, то —у —>• 0, т.е. из теорем 4 и 5 мы имеем асимптотику

и(п, р) 21ogl(np).

1-р

3. Доказательства результатов

3.1. Доказательство теоремы 1

Хорошо известно, что при р = о случайный граф является лесом (т.е. все его компоненты суть деревья) с асимптотической вероятностью 1. Но индуцированный подграф леса на любых к вершинах и с любым к € {1,..., п} сам является лесом, т.е., в частности, имеет хроматическое число не больше двух. Значит, при достаточно больших п и всех к

Рп,р(А(п,р, к)) =

= Рп,р{3 Н = (\¥,Р) С С : \\У\ = к, Н = Я —граф диаметров, х(Н) = 3) ^

так что и(п, р) = 0 при больших п. Теорема доказана.

3.2. Доказательство теоремы 2

При ^ = о с асимптотической вероятностью 1 дополнение С случайного гра-

фа О до полного графа Кп является паросочетанием (набором изолированных ребер и вершин). Значит, при больших п с вероятностью больше £ граф С содержит треугольник, т.е. обладает свойством А(п,р, 3). Однако при к ^ 4 с той же вероятностью любой к-вершинный индуцированный подграф Н случайного графа либо является циклом на четырех вершинах (при к = 4), либо имеет строго больше, чем к, ребер. В первом случае х(Н) = 2; во втором случае Н нельзя реализовать графом диаметров на плоскости (см. введение). Значит, при к ^ 4 свойство А(п,р, к) не выполнено с нужной вероятностью. Теорема доказана.

3.3. Доказательство теоремы 3

Сперва покажем, что и(п,р) ^ 4. Поскольку д = о , то с асимптотической вероятностью 1 дополнение О случайного графа О до полного графа Кп является лесом. Значит, у С с большой вероятностью на любых к вершинах не более к — 1 ребер. Соответственно, у О наоборот на каждых к вершинах не менее — (к — 1) = С|_1 ребер. Но из введения мы знаем, что у любого графа диаметров на плоскости, имеющего к вершин, не более к ребер. Следовательно, свойство А(п,р, к) может иметь большую вероятность лишь при условии, что С\_х ^ к, откуда к ^ 4.

Покажем теперь, что и(п,р) ^ 4. Для этого достаточно взять какой-нибудь подходящий граф диаметров с четырьмя вершинами, который имеет хроматическое число 3 и с большой вероятностью содержится в случайном графе. Возьмем граф А4, представляющий собой треугольник, к одной вершине которого прицеплено третье ребро. На рис. 1 представлена реализация А4 в виде графа диаметров на плоскости.

Дополнением до А4 в полном графе служит граф, компоненты которого суть цепь Р2 длины 2 и одна изолированная вершина. Докажем, стало быть, что при наших условиях

случайный граф О с большой вероятностью содержит одновременно и указанную цепь, и указанную вершину.

Поскольку ^ = о , то изолированная вершина с асимптотической вероятностью 1

есть (см. [8]). На самом деле здесь хватило бы даже условия д = с любым с < 1.

Пусть теперь Х — случайная величина, равная количеству индуцированных копий Р2 в случайном графе С. Нам достаточно установить асимптотику РПуЯ(Х ^1)—>-1,гг—>то. Применим неравенство Чебышева:

Рп,д(Х ^ 1) = 1 - Рп,д{Х ^ 0) = 1 - Рп,д{МХ МХ) ^ 1 - ВХ

(МХ)2'

Обозначим через М2Х второй факториальный момент величины X. Тогда ДХ = М2Х + + МХ - (МХ)2, т.е.

1 РХ _х Щх 1 и

(МХ)2 (МХ)2 МХ ^ •

Если мы проверим, что МХ ^ то и М2Х ~ (МХ)2, то правая часть последнего равенства будет асимптотически равна единице и теорема будет доказана.

Во-первых, МХ = 3СПд2р. Далее, МХ = 0(п3д2), поскольку р ^ 1. Но по условию теоремы дп1'5 ^ то, и, стало быть, п3д2 ^ то. Первая асимптотика проверена.

Во-вторых,

М|Х = ^ МХЯ1,я2,

Ях,Я2

где суммирование ведется по всем упорядоченным парам различных графов Н1, Н2 С Кп, изоморфных графу Р2, а Хяья2 —индикатор одновременного попадания графов Н1,Н2 в случайный граф С в качестве индуцированных подграфов. Если выделить те слагаемые, в которых графы Н1, Н2 имеют непересекающиеся множества вершин, то получится величина 9СПСП_3(д2р)2 ~ (МХ)2. Нетрудно видеть, учитывая асимптотику дп1'5 ^ то, что остальные слагаемые бесконечно малы по сравнению с указанной величиной. Таким образом, мы действительно имеем М2Х ~ (МХ)2.

Теорема доказана.

3.4. Доказательство теоремы 4

Сперва докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Пусть в графе О, имеющем п вершин, для некоторого к < п выполнено следующее условие: у любого индуцированного подграфа Н графа О, имеющего к вершин, число ребер строго больше к. Тогда для любого I > к выполнено то же самое, т.е. у любого индуцированного подграфа Н графа О, имеющего I вершин, число ребер строго больше I.

Доказательство леммы 1. Достаточно доказать утверждение леммы при I = к + 1. Пусть О = ({1,...,п},Е). Пусть также Ш = {^1,..., и>к+1} С V. Рассмотрим = = {^1,...,^к}. По условию леммы |Е(С|^/)| > к. Если |Е(С|^/)| ^ к + 2 = I + 1,

то тем более |Е(О|^)| ^ I + 1, и нужный факт установлен. Предположим, стало быть, что |Е(О|^/)| = к + 1. Если теперь хотя бы одно ребро идет из и>к+1 в Ш', то снова |Е(О|^)| ^ к + 2 = I + 1, и все в порядке. Допустим, однако, что из и>к+1 ни одно ребро не идет в Ш'. Поскольку |Е(О|^/)| = к + 1, в Ш' есть хотя бы одна вершина графа О|^/ степени не меньше двух. Без ограничения общности это иі Рассмотрим Ш" = |^2,..., ^к+і}. С одной стороны, сделанное выше допущение означает, что |Е(О| ^” )| ^ |Е(О|^;)| —2 = к — 1. С другой стороны, |Ш;| = к, так что по условию леммы |Е(О|^п)| ^ к + 1. Противоречие, и лемма доказана.

Зафиксируем є > 0 (см. условие теоремы 4) и положим

к = к(п) = (2 + в) 1с^ і (пр)

1-р

Р

Прежде всего покажем, что к —> то. В самом деле, с учетом неравенства — 1п(1 — р) < ------------

1 - р

имеем

. , . 1п(пр) (1 — р) 1п(пр)

юг і (пр) = —г—------------------------г > -.

— 1п(1 -р) Р

Значит, если р ^ 1, то, поскольку пр ^ то, получаем к ^ то. Если же р ^ 1, то заменяем

овие теоремы) и получае

(1 — р) 1п(пр) а(п) 1п(пр)

1 ст(п) г ^

I — р = д на ^ (см. условие теоремы; и получаем, в свою очередь,

р 1п п

Далее, снова воспользуемся тем фактом, что у любого графа диаметров на плоскости, имеющего к вершин, число ребер не больше к.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что у любого индуцированного подграфа Н случайного графа О, имеющего к вершин, число ребер строго больше к. Положим Рк = Рщр{^к)- Если найдется такое Щ = щ(є), ЧТО при всех п ^ По выполнено Рд; > то с вероятностью, большей половины, в случайном графе О не найдется индуцированного подграфа Н, представимого как граф диаметров и имеющего к вершин. А по лемме 1 не найдется и такого подграфа большего размера, т.е. и(п,р) < к.

В дальнейшем мы покажем, что Рк ^ 1 при п ^ то, и это завершит доказательство теоремы 4.

Обозначим через Хк случайную величину, равную количеству индуцированных к-вер-шинных подграфов случайного графа, имеющих не более к ребер. Тогда Рк = Рп,р(Хк = 0) и с учетом неравенства Маркова

Рк = Рп,р(Хк = 0) = 1 — Рп,р(Хк ^ 1) ^ 1 — МХк,

так что остается доказать асимптотику МХк ^ 0. За счет линейности математического ожидания получаем

к

МХк = с*£ сс2 р-,,с-г

-=0

Убедимся в том, что в этой сумме максимальным является последнее слагаемое. Для этого разделим (г + 1)-е слагаемое на г-е (0 ^ г ^ к — 1) и проверим, что отношение не меньше единицы:

СС+У+14С2-г-1 а2 - г

'к — * Р

Сс 2 ргдс2~г і + 1 9‘

Р

Понятно, что функция к убывает по г. Значит,

г + 1

С1~г Р>С1-к +1 р С2-к р_к-?) р г + 1 Я ^ к д к д 2 д'

Мы хотим показать, что

к- 3 V > -1 2 ' д ^ ’

а покажем даже, что

к — 3 р , ~2~ ' д ^ °°-

Упростим, стало быть, запись и рассмотрим выражение Поскольку пр —> ос и

— 1п(1 — р) < -у ^ , имеем

kp 2ln(np) p , ,

— > —гт;------г ’ i---> 21п(ггр) —>• оо.

q - ln(1 - p) 1 - p v

Итак, при больших n

MXk ^ (k + 1)СПpkqc2-k.

(o \ b b

И ^ Получаем

(т)‘ < (т)‘ « (f)‘ =

, , , k( k —3) / k —3 \ k

= (3e) n p q 2 = \ 3enpq~) .

Теперь для завершения доказательства теоремы достаточно проверить, что в ее усло-

к — 3

виях величина npq 2 стремится к нулю. Итак,

npq~^~ < exp + §) + 1п(?гр)^ = exp |ln(np)j —> 0.

Теорема доказана.

3.5. Доказательство теоремы 5

Зафиксируем £ > 0 и положим

k=

2-г + ШШ1о8А(пр)

При доказательстве теоремы 4 мы уже, по сути, убедились в том, что к ^ то: в самом деле из раздела 2 мы знаем, что

2 “ £ + 1^) 1о8А("Р) » (I - ') 1°8Д («А

а неограниченный рост последней величины мы установили при доказательстве теоремы

4 даже в более слабых ограничениях на функцию р.

Нам достаточно показать, что при больших п выполнено и(п,р) ^ к. Наличие целой части не играет никакой роли, т.к. к ^ то и при необходимости мы просто можем заменить

£ на £ £ (0, е). В дальнейшем некоторые неравенства будут выполнены лишь при п ^ п0, но мы не будем каждый раз говорить об этом.

Любой цикл с нечетным числом вершин можно реализовать на плоскости как граф диаметров с хроматическим числом 3. Обозначим через Ук случайную величину, равную количеству индуцированных к-вершинных подграфов случайного графа С, являющихся циклами. Если мы докажем, что при больших п выполнено Рга;Р(Ук > 0) > ^, то при тех же п мы получим и(п,р) ^ к. Как всегда, мы докажем еще больше: Рп,р(Ук > 0) ^ 1.

В силу неравенства Чебышева (ср. § 3.3) имеем

Рп.,№к > 0) = Рп.„(У„ > 1) » 1 - (Щ у,-

Как и в параграфе 3.3, остается установить две асимптотики: МУк ^ то и М2Ук ~ (МУк)2. За счет линейности математического ожидания имеем

М¥к = Ск^^-ркдс"~к.

Нетрудно видеть, что

к

Поэтому Скп ~ и

— (fc~ l^vkack-k - r^vkac*-k > — nkvkak2/2 - — k\ 2 “ 2kP Q > 2knp Q ~ 2k

Поскольку k —— то, для обоснования асимптотики MYk — то достаточно найти такое

5 > 0, что

прдк/2 = exp (ln(np) + ^ In qj ^ 1 + 5.

к

Это равносильно существованию такого 5 > 0, что 1п(ггр) -\- ~^\пд^ 5. После подстановки явного выражения для k имеем

1п(пр) + (2-£, + ад)^1п«

= ^1 — ^ ^ g ) 1п(пр) — 21пр = ^ 1п(ггр) — 21пр > ^ 1п(ггр) —>• то,

и все доказано.

Проверим теперь асимптотику М2Ук (МУк)2. Как обычно,

М2Ук = X] МУсьс2,

С1,С2

где суммирование ведется по всем упорядоченным парам различных к-вершинных циклов С1,С2 С Кп, а Ус1,с2 —индикатор одновременного попадания циклов С1, С2 в случайный граф С в качестве индуцированных подграфов. Как и в параграфе 3.3, отдельно рассмотрим слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0 и слагаемые с V(С1) П V(С2) = 0. В первом случае получаем выражение

S, = c*ct*(~ () = (МП)2.

Предпоследний переход сделан за счет к = о (\/п). Если покажем теперь, что

& =£] УСЬС2 - & = о((МП)2),

Сі,С2

то завершим доказательство теоремы.

Для каждой пары циклов С1, С2, которые различны, но пересекаются хотя бы по одной вершине (именно такие пары задают &2) можно найти число общих вершин (обозначим его через т = т(С1, С2)) и число общих ребер (обозначим его через / = /(Сі, С2)). Очевидно, что т Є {1,..., к — 1}, / Є {0,..., т — 1}. Таким образом,

т=1 1=0

Допустим, мы доказали, что при всех т, /

с;£с1к(йхл)2р2‘‘,2<сг'‘) °

Тогда

«2« 2Л2(с‘-в

и теорема доказана. Итак, имеем

к(к-1)-...-(к-т + 1) , с1+1

(п — 2к + 1) • ... • (п — 2к + т) к ^

^ 2к2тп-тр-1д-ст +1 ^ 2к2тп-т'р-т+1д-ст.

Остается показать, что при всех т Є {1,..., к — 1} выполнено

к2к2тп-тр-т+1д-Ст = ехр ((2т + 2) 1п к — т 1п п — (т — 1) 1пр — С^, 1п д) ^ 0.

Если рассмотреть выражение в показателе экспоненты как функцию от т, то ввиду неравенства 1п д < 0 это квадратичная функция с положительным коэффициентом при т2. Значит, ее максимум по т достигается либо при т =1, либо при т = к — 1. При т = 1 имеем (с учетом к = о (\/п))

41пк — \пп = 1п = 1п(°(1)) ~^ —оо,

<7і'с‘:гсг (т111) р“-у<с2-«-«,+< <*С**

0|і,

= о((ЛВД2),

о

р2к-1д2(с2-к)-ст +1

2

и все доказано. При m = к — 1 имеем

2Ып к — (к — 1) Inn — (к — 2) Inр — Cl_± Inq ^ к (\п(к2) — ^ ^ 2 In(пр) — ^ Inqj ^

«к (1п<*'2) - Ч1 ln<n!,> - (2 -£' + ад) ^laq)=

= к 2 g In (пр) + (| — In (пр) + In (к2) + 2 lnpj =

7 1/ л / 2 - є' . 2 . ln(kP)2\

kln(np) ( - 1 + j- +

2

Ясно, что -г —)• 0. Более того, k

In(кр)2 ^ ln(i-p)^) In (361n2(np)) In 36 + 2 In \п(пр)

ln(np) ln(np) ln(np) ln(np)

В итоге

и снова все в порядке. Теорема доказана.

Литература

1. Erdos P. On sets of distances of n points // Amer. Math. Monthly.— 1946.— V. 53.— P. 248-250.

2. Хадвигер Г., Дебруннер Г. Комбинаторная геометрия плоскости.— М.: Наука, 1965.

3. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // УМН. — 2001.— Т. 56, вып. 1.— С. 107—146.

4. Raigorodskii A. M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. — 2007. — V. 347.— P. 202—248.

5. Raigorodskii A. M. The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary // Mathematical Intelligencer. — 2004. — V. 26, N 3. —P. 4—12.

6. Райгородский А. М. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники.— Сер. «Современная математика».— 2007.— Т. 23.— С. 147—164.

7. Райгородский А. М. Проблема Борсука.—М.: МЦНМО, 2006.

8. Bollobas B. Random Graphs.—Cambridge Univ. Press, 2001.

9. Колчин В. Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2002.

10. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs.—New York: Wiley, 2000.

11. Райгородский А.М. Проблема Нелсона—Эрдеша—Хадвигера и реализация случайных графов в пространстве // УМН. — 2006.— Т. 61, вып. 4.— С. 195—196.

12. Нагаева С. В., Райгородский А.М. О вложимости конечных графов расстояний с большим хроматическим числом в случайные графы // Итоги науки и техники.— Сер. «Современная математика».— 2009.— Т. 62.— С. 47—66.

13. Нагаева С. В., Райгородский А. М. О реализации случайных графов графами расстояний в пространствах фиксированной размерности // Доклады РАН. — 2009.— Т. 424, № 3.—С. 315-317.

Поступила в редакцию 07.07.2011