CC BY
73
УДК 519.175.4
Ослабленный закон «нуля или единицы» для случайных дистанционных графов
М. Е. Жуковский
Кафедра теории вероятностей Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Ленинские горы, д.1, корп. А, ГСП-1, Москва, Россия 119991
В этой работе изучается ослабленный ^'-закон нуля или единицы. Для случайных дистанционных графов получены результаты, схожие с утверждениями, касающимися закона нуля или единицы для случайных графов.
Ключевые слова: закон нуля или единицы, дистанционные графы, игра Эрен-фойхта.
1. Введение и история задачи
В работе речь пойдёт об одной известной задаче, которая лежит на стыке теории случайных графов, логики и комбинаторной геометрии. Прежде всего введём основные объекты.
1.1. Формулы первого порядка и игра Эренфойхта
Пусть и — конечное множество. Функция К : и хи х.. .хи ^ {0,1} от а аргументов называется предикатом, величина а — арность предиката К. Сигнатура Б — это конечное множество предикатных символов ,..., К8, каждый с фиксированной арностью щ (см. [1]). Конечная Б-структура А = (ил,К~1,...,К-^, с^,..., с^) состоит из:
— конечного пространства и
— предикатов К-^ арности а» над и
— элементов с^ множества и
Формулы первого порядка над сигнатурой 5 строятся индуктивно с помощью
— символов из 5;
— символа отношения =;
— логических связок — , V, Л;
— переменных х, у,х1 ...;
— кванторов V, 3.
Опишем построение формул подробнее (см. [2]). Для начала заметим, что свободной называется переменная, от которой может зависеть истинность формулы. В противном случае переменная называется связанной. Кроме того, введём понятие атома. Это объект, который либо имеет вид К^х1,... ,ха1), либо имеет вид х = у, где х,у,х\,... ,ха1 — переменные. Атом является формулой. Пусть А — некоторая ¿'-структура. Рассмотрим произвольный набор элементов с^,... .
Если ,..., ) = 1, то будем говорить, что формула Щ(х1,..., ха1) истин-
на на структуре А на наборе (с£,... ,с^а ). В противном случае будем говорить,
что формула ложна. Формула х = у истинна только на наборах, состоящих из двух одинаковых элементов структуры, т.е. на наборах (с^). Каждая из переменных х,у,х\,..., ха€ является свободной. Пусть р, <^1,<^2 — формулы, X, Х1,Х2 и У,У\,У2 — соответствующие множества свободных и связанных переменных, переменная х принадлежит X. Пусть также Х\ П У2 = 0, Х2 П У\ = 0. Конструкции (р1 V <р2, Л ф2, ^ ^ , Vхр, 3х(р являются формулами. При
Статья поступила в редакцию 26 сентября 2009 г.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ N 09-01-00294.
этом X \ {х} — множество свободных переменных формул Ух <р, Зх<р, а У и [х] — множество связанных. Так же, как и в случае атома, формула является истинной на некотором наборе элементов, если предикат, выражаемый этой формулой, принимает значение 1 на этом наборе. Замкнутыми называются формулы, не содержащие свободных переменных. Замкнутая формула либо всегда истинна на структуре А, либо всегда ложна.
Если замкнутая формула (р первого порядка истинна на структуре А, то будем говорить, что структура А удовлетворяет этой формуле, и писать А N <р. Формула 'р определяет класс С конечных 5-структур, если А £ С тогда и только тогда, когда А N <р. В этом случае будем также говорить, что на сигнатуре 5 задано свойство Ь первого порядка, которое определяет класс С, и что это свойство определено формулой <р.
Две формулы <р и <р' называются эквивалентными, если для любой ¿'-структуры А выполнено А N <р ^ А N <р'.
Говорят, что формула находится в предварённой нормальной форме, если все кванторы у неё вынесены налево. Известно, что всякая формула эквивалентна некоторой формуле в предварённой нормальной форме.
Пусть на сигнатуре 5 задана некоторая структура А. Пусть, кроме того, W С иЛ. Тогда индуцированной подструктурой А I W будем называть ¿-струк-туру, состоящую из множества Ш, элементов этого множества и предикатов д^^, определённых на Ш х Ш х ... х Ш, если выполнено
У УЛ,... ^ (сл,..., с^ е ^ ^ К?'™ (4,..., ) = К?(4,..., )) .
Две Б-структуры А = (иЛ, К^,..., К^, и В = (ив, К1? ,
) называются изоморфными (пишем А = В), если выполнено условие
Определим игру ЕНИ,(Д, В, к) на двух ¿-структурах А и В с двумя игроками, Новатором и Консерватором, и с фиксированным числом раундов к. Она носит название игры Эренфойхта (см. [2,3]). На ^-ом ходу (1 < V < к) Новатор выбирает элемент в любой из структур (он выбирает либо с^, либо с® ). Затем Консерватор выбирает элемент из другой оставшейся структуры. Если Новатор выбирает на ом ходу, скажем, элемент с^ , ^ = (и < то Консерватор должен выбрать с® . Если же на этом ходу Новатор выбирает, скажем, элемент с^ , £ {]1,... ,]^-1}, то и Консерватор должен выбрать такой элемент с® , что ^ £ {.¿г,..., 1}. Если он не может этого сделать, то игру выигрывает Новатор. К концу игры выбраны элементы с^,... ,с^к структуры А, а также элементы с® ,..., структуры В. Некоторые из этих элементов могут совпадать. Выберем из них только различные: с£,... ,с£1; с®, ,... ,с®,, I ^ к. Консерватор побеждает тогда и только тогда, когда
А1{СА ,...,с^1 } = В1{свК ,...,свк }.
В 1960 году А. Эренфойхт (см. [3]) сформулировал и доказал следующую теорему.
Теорема 1. Пусть С — класс структур над некоторой сигнатурой Б, определяемый замкнутой формулой <р первого порядка. Существует такое к, что если А £ С и В £ С, то у Новатора есть выигрышная стратегия в игре ЕНИ,(Д, В, к).
1.2. Случайные графы и законы «нуля или единицы»
Пусть N является натуральным числом, 0 ^ р ^ 1. Рассмотрим множество Qn = [G = (V, Е)} всех неориентированных графов без петель и кратных рёбер с множеством вершин V = {1,...,N}. Назовём случайным графом вероятностное пространство G(N,p) = (Qn, Fn, Vn,p), где Fn = 2Qn, Vn,p(G) = p\E\(1 — p)°N-|B|. Иными словами, любые две различные вершины графа в пространстве G(N,p) соединены ребром с вероятностью р независимо от любых двух других (см. [4]). В дальнейшем мы будем рассматривать модели, в которых вероятность р зависит от количества вершин N, причём нас будет интересовать асимптотическое поведение вероятностей свойств случайных графов при N ^ то.
Свойства графов первого порядка (классы С С QN) определяются формулами первого порядка, которые строятся описанным выше способом с помощью:
— символов отношения =;
— логических связок — , V, Л;
— переменных х, у,х\ ...;
— кванторов V, 3.
Рассматриваются, опять же, только замкнутые формулы. Символ отношения ~ арности 2 выражает свойство двух вершин быть связанными ребром. Будем говорить о событии «граф G обладает свойством L», понимая под этим элемент Fn , являющийся множеством всех графов из Qn, которые обладают свойством L. Будем обозначать это событие G \ L. Также в дальнейшем, если
lim Vn,p(G \ L) = 1, то будем говорить, что случайный граф почти наверное N ^тс '
обладает свойством L.
Случайный граф подчиняется .закону «нуля или единицы»(см. [5-8]), если для любого свойства L первого порядка выполняется одно из двух условий
1) limN^ Vn,p(G \ L) = 0,
2) limN^ Vn,p(G \ L) = 1.
В 1969 году Ю.В. Глебский, Д.И. Коган, М.И. Легонький и В.А. Таланов (см. [6]) получили следующий закон «нуля или единицы», который в 1976 году был независимо доказан Р. Фагиным (см. [7]).
Теорема 2. Пусть функция р = p(N) такова, что pNа ^ то при N ^ то и (1—p)Nа ^ то при N ^ то для любого а > 0, тогда случайный граф подчиняется закону «нуля или единицы».
Также в статье [8] С. Шелла и Дж. Спенсера описан результат, в котором расширен класс функций, подчиняющихся закону «нуля или единицы».
Теорема 3. Пусть p(N) = N-а, где а — иррациональное, 0 < а < 1, тогда, случайный граф подчиняется закону «нуля или единицы».
В следующем разделе сформулируем ещё одну задачу подобного типа, которая мотивирована классическими вопросами комбинаторной геометрии (см. [9,10]) и которой будем заниматься в дальнейшем.
2. Постановка новой задачи
2.1. Формулы с одним квантором и новая игра
Пусть определена некоторая сигнатура S = (Ri,..., Rs). Рассмотрим формулы над сигнатурой S, построенные обычным способом с помощью:
— символов из S;
— символа отношения =;
— логических связок — , V, Л;
— переменных х, у,х1 ...;
— квантора (либо V, либо 3).
Таким образом, в записи формулы участвует только один квантор (хотя встречаться один и тот же квантор может сколько угодно раз). Примером такой формулы может послужить УхУу ((R1(x,y) Л R2(x,z)) ^ R1(x,z)). Пусть (р1 — подобная формула. Пусть X1 — множество свободных переменных этой формулы, Y1 — множество связанных переменных. Пусть также IXх| = а1, \Y11 = ß1.
Пусть Л и В — две S-структуры. Определим ослабленную игру Эренфойхта EHR1 (Л, В, к) с двумя игроками, Новатором и Консерватором, и фиксированным числом раундов к. Она будет отличаться от игры EHR(^, В, к) только тем, что Новатор не имеет права в каждом раунде выбирать структуру, из которой затем он будет выбирать элемент. Он волен выбирать структуру, из которой впоследствии будет выбирать (произвольные) элементы, только в первом раунде. Во всех последующих раундах он обязан выбирать элемент только из выбранной в первом раунде структуры.
2.2. Дистанционные графы и ослабленный закон «нуля
или единицы»
Если при определении случайного графа считать, что разные пары вершин соединены независимо друг от друга с различными вероятностями, т.е. ребро {xi,xj}, 1 < i,j < N, проведено с вероятностью pij £ [0,1], то будем обозначать такое вероятностное пространство G(N,pij). Одним из важнейших примеров этого случайного графа является случайный граф G(Qn,р), где Qn = (Vn, £n) — неориентированный граф на N вершинах без петель и кратных рёбер, а именно, G(Qn ,р) = G(N,pij), коль скоро
р, {xi,xj }<ESN; 0, {xi,xj}£ £n.
Иными словами, G(Qn,р) — это вероятностное пространство
G(gN ,Р) = (ügN , FgN , VgN ,р) ,
где
^Gn = {<3n = Wn, ) : ^n = ^n, ^ b FGn = 2q°n , VQn,p(G°n) = p1 £N'(1 - p)\£nI-1 £N I.
Пусть к £ N, n = 4k. Положим N = Cn/2. Рассмотрим граф Gfst = Ef}st),
в котором V$lst = {x = (ж1,... ,xn) : Xi £ {0,1}, x1 + ... + xn = n/2}, Eflst = {{x, y} £ V$lst x V$lst : (x, y) = к} , где (x, y) — евклидово скалярное произведение векторов x и y. Заметим, что |Vjyst| = N. Рассматриваемые графы называются дистанционными, поскольку их ребра отвечают тем парам их вершин, которые отстоят друг от друга на некоторое наперёд заданное расстояние в Rn. Рассмотрение такого рода графов мотивировано классической задачей комбинаторной геометрии о хроматическом числе пространства (см. [9,10]).
В настоящей работе будем рассматривать случайные дистанционные графы G(G'jlst,p). В дальнейшем покажем, что аналог теоремы 2 для него не выполнен. Однако получены и положительные результаты. Для их формулировки нам потребуется определение ослабленного .закона «нуля или единицы».
Скажем, что случайный граф С(С^,р) подчиняется ослабленному закону «нуля или единицы», если для любого свойства L1, определённого замкнутой формулой (р1 с одним квантором, выполняется одно из двух условий
1) Ш VGN!stiP(G \ L1) = 0,
N N '1
2) lim Vrdist n(G \ L1) = 1.
Вообще, пусть {Qn}neN — последовательность неориентированных графов без петель и кратных рёбер, |У(Qn)| = N. Будем говорить, что последовательность случайных графов {G(Qn,p(N))}neN подчиняется ослабленному закону «нуля или единицы», если для любого свойства L1, определённого замкнутой формулой р1 с одним квантором, выполняется одно из двух условий
1) ¿im VgN,P(Q \ L1 ) = 0,
2) lim VgN,P(Q \ L1 ) = 1.
N — тс
3. Формулировки результатов
Прежде всего приведём аналог теоремы 1.
Теорема 4. Пусть С — класс структур над некоторой сигнатурой S, определяемый замкнутой формулой р1 из пункта 2.1. Существует такое к, что если ЛеС и В £ С, то у Новатора есть выигрышная стратегия в игре EHR1 (Л, В, к).
Теперь дадим формулировку теоремы, аналогичной теореме 2.
Теорема 5. Пусть функция р = p(N) такова, что pNа ^ то при N ^ то и (1 — p)Nа ^ то при N ^ то для любого а > 0, тогда для случайных дистанционных графов С(С^,р) выполняется ослабленный закон «нуля или единицы».
Сформулируем, наконец, результат, позволяющий отойти от условия замкнутости формулы, с которой мы работаем.
Теорема 6. Пусть функция р = p(N) такова, что pNа ^ то при N ^ то и (1 — p)Nа ^ то при N ^ то для любого а > 0. Пусть 'р1 — некоторая, незамкнутая формула из пункта 2.1, определяющая свойство L1. Тогда либо почти навер-
1 -|
N22(a1++ß+) индуцированных подграфов графа С(С^,р) на а1
вершинах, которые (вершины) можно занумеровать так, что если подставить их вместо свободных переменных в формулу (р1, то полученные замкнутые формулы Lp1 будут выражать свойства графов L1, для которых будет выполнено
ное существует
N 2&1+ß1+4
ин-
^Иш *Рамвь>р(0 \ Ь1) = 1, либо почти наверное существует 2{а1+р1)
дуцированных подграфов на а1 вершинах, которые (вершины) можно .занумеровать так, что если подставить их вместо свободных переменных в формулу р1, то полученные .замкнутые формулы Рр1 будут выражать свойства графов Ь1, для которых будет выполнено ^Иш Т0влвь,р(С \= Ь1) = 0.
Наиболее значимым в теореме является тот факт, что упомянутые в ней индуцированные подграфы не просто существуют, но что количество их стремится к бесконечности с ростом N.
В следующем разделе покажем, почему пришлось ослабить классические законы «нуля или единицы». В разделе 5 приведём доказательства теорем 4-6.
4. Опровержение закона «нуля или единицы» для дистанционных графов
Рассмотрим случайный граф р). Докажем, что для него не выполнен
закон «нуля или единицы» ни при каком р = р^) с условием pNа ^ то при любом положительном а, т.е. не выполнена теорема 2. Пусть С1^ — граф на N1
вершинах, N1 = Сп1/2, Щ = 4к1 и к1 — нечётное число. Пусть также количество вершин графа С^ равно N2, N2 = Сп^2, п2 = 4к2 и к2 — чётное число.
Рассмотрим три вершины графа Сд^ :
Х1 = (1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0, 0,..., 0),
Х2 = (1,..., 1, 0,..., 0, 1,..., 1, 0,..., 0), х3 = (1,..., 1, 0,..., 0, 0,..., 0, 1,..., 1).
Предположим, что найдётся вершина Х4, соединённая ребром с каждой из х^ х2, х3. Тогда она должна иметь к1 единиц как среди первых 2к1 координат, так и среди оставшихся. Предположим, что она имеет единиц среди первых к1 координат. В силу того, что она соединена с Х2 и Х3, она должна иметь к1 — у единиц как среди координат с номерами 2 к1 + 1,..., 3 к1, так и среди координат с номерами 3 к1 + 1,..., 4к1. Следовательно, к1 = 2(к1 — у). Но число к1 — нечётное. Получили противоречие. Таким образом, не найдётся вершины, соединённой с каждой из х^ х2, х3.
Пусть теперь х^ х2, х3 — три произвольные вершины графа Сд^. Перенумеруем их координаты следующим образом:
х1 = (1,..., 1, 1,..., 1, 1,..., 1, 1,..., 1, 0,..., 0, 0,..., 0, 0,..., 0, 0,..., 0),
Х2 Х3
(1,...,1, 1,..., 1, 0, (1,...,1, 0,..., 0, 1,
, 0, 0, . . . , 0, 1, , 1, 0, . . . , 0, 1,
, 1, 1 , . . . , 1, 0, . , 1, 0,...,0, 1,.
,0, 0,...,0), ,1, 0,...,0).
Здесь, разумеется, для вектора к2 = (к2,..., к2) и матрицы
[1110 \ 110 0 1010 10 0 0 0111 0101 0 0 11 0001
А =
выполнено к2А = (2к2, 2к2, 2к2,2к2).
Пусть к2 = Гг (mod 4), 1 < i < 8, п £ {0,..., 3}. Докажем, что найдутся такие Vi £ Z+, что Vi ^ г i и выполняется равенство
2v А = r А,
(1)
где v = (v 1,..., v2), r = (г 1,..., г2). Заметим, что r А = u, при этом u = (и1,..., и4) и щ = 0 (mod 4), 1 < г < 4.
Предположим, что число к2 + к2 чётное, тогда, как не сло^кно заметить, числа к3 + ,к\ + , к\ + к2 тоже чётные. В силу того, что число к\ + Щ + к5 + к72 — чётное, либо каждое из к2,к3,к2,к2 нечётное, либо ровно два их них, либо все чётные. Если некоторое к22'+1 — чётное, то пусть v2j+1 = r2j+1/2, v2j+2 = r2j+2/2. Если все нечётные, то пусть v1 = (г 1 — 1)/2, v2 = (г2 + 1)/2, v3 = (г3 + 1)/2, V4 = (п — 1)/2, V2 = (rs — 1)/2, v6 = (г6 + 1)/2, V2 = (г2 + 1)/2, v8 = (г8 — 1)/2. Если, скажем, к22,к33 — нечётные, а к| и к2 — чётные, то пусть V1 = (г 1 — 1)/2,
к
к
к
к
у2 = (г2 + 1)/2, уз = (гз + 1)/2, у4 = (г4-1)/2. При таких значениях уг равенство (1) будет выполняться.
Пусть теперь к2 + к2 — нечётное. Тогда к2 + к2,к2 + к2,к2 + к2 — тоже нечётные. Опять же либо каждое из к2,к2,к2, к2 нечётное, либо ровно два из них, либо все чётные. Если все чётные, то определяем вектор V следующим образом:
V = (Г1 /2, (г^ - 1)/2, гз/2, (г.4 + 1)/2, гъ/2, (гв + 1)/2, г7/2, (г8 - 1)/2). В случае, когда все нечётные,
V = ((Г1 - 1)/2, г2/2, (гз + 1)/2, г.4/2, (г5 + 1)/2, г6/2, (г7 - 1)/2, г8/2).
Осталось рассмотреть три случая (остальные три им аналогичны):
1) к2,к2 — нечётные, а к2,к2 — чётные. Тогда
V = ((П - 1)/2, Г2/2, (гз + 1)/2, г4/2, гъ/2, (гв + 1)/2, г7/2, (г8 - 1)/2).
2) к2,к2 — нечётные, а к2,к2 — чётные. Тогда
V = ((Г1 - 1)/2, Г2/2, гз/2, (г4 + 1)/2, (г5 + 1)/2, г6/2, г7/2, (г8 - 1)/2).
3) к2,к2 — нечётные, а к2,к2 — чётные. Если г2 = гз = г5 = г8 = 0, то г2 + г4 = П + Гв = Г! + г7 = Г6 + г7 = 4, но такого быть не может. Если же Г2 = 2, то
V = ((п + 1)/2, (Г2 - 2)/2, гз/2, (г4 + 1)/2, г5/2, (гв + 1)/2, (г7 - 1)/2, Г8/2).
Аналогичный подбор осуществляем, если гз = 2 и т.д.
Итак, всегда найдётся такой вектор V, для которого выполняется (1). Пока-
8
жем, что можно подобрать такие числа дг £ Z+, 1 ^ г ^ 8, что дг ^ к~2, дг = 2к2
г=!
и любая вершина, содержащая ровно д2 единиц среди первых к2 координат,..., ровно д8 единиц среди последних к2 координат, соединена ребром с каждой из XI, Х2, Хз. Для этого достаточно положить
Яг = + Уг, 1 < г < 8. (2)
Оценим снизу количество вершин ш3, соединённых ребром с каждой из XI, Х2, Хз.
8
В силу того, что £ к2 = П2, найдётся такое '}, что к2 ^ П2/8. Заметим, что в си-
г=1
лу (2) выполнено неравенство [(к2 - 4)/2] < д2 < [(к2 +4)/2]. Следовательно, при достаточно больших п выполнено неравенство: Шз ^ С^ ^ .
Рассмотрим замкнутую формулу первого порядка
= Ух2 Ух2 Ухз Зх4 ((х2 ~ х4) Л (х2 ~ х4) Л (хз ~ х4)),
которая выражает следующее свойство Ь графов: «для любых трёх вершин найдётся четвёртая, соединённая ребром с каждой из них». Случайные графы 0(0^,р) с вероятностью 1 не обладают этим свойством. Случайный граф 0(0^г,р) обладает этим свойством с вероятностью 'Рц^вь „(С \ Ь), причём
„[^2/32]
1 \ Ь) < (1 - рз) "2/8
Применив формулу Стирлинга, получим
С [
У"2/8 ^2тт[п2/32](п2/8 — [п2/Щ)[п2/Щ[п*Г32](п2/8 — [п2/32])п2/8-[п2/32]' Следовательно, при достаточно больших п2 выполнены неравенства:
С> ,/п/8(п2/8Г2/8_
П2/8 V21гп2/Щ3п2/32)(п2/Щп2/32(3п2/32)3п2/32 ,
С[П2/32] > Г^Г 27п2/32
V 3кп2 33п2132'
Положим с = (128/27)1/32 > 1. Тогда С^¡^ > (с + §1(п2))П2, где 81^2) ^ 0 при п2 ^ то. Далее,
(1—р3)С-22/832] < (1—р3)(с+^2)Г2 ^ ехр (—р3(с + б1(П2))П2) =ехр(—(с + 52(п2))п2)
где 62(п2) ^ 0 при п2 ^ то.
Так как N2 - у^ ■ ^, то (N2)3 = (8 + о(1))П2. Поэтому
С32 = в(Ш3) = (8 + ЬЫТ2,
где 63(п2) ^ 0 при п2 ^ то. В силу этого при достаточно больших п2 выполнено неравенство
3 Л^Т' (8 + 63 (п2))П2
Ск (1 — Р3) <
exp((c + 82 (п2))П2)'
Следовательно, lim Vr<diBt „(G \= L) = 1.
к—тс, 2\к 'ру '
Таким образом, не существует предела у последовательности {VGdiBt,p(G \ L)}keN, т.е. теорема 2 для случайных дистанционных графов не выполнена.
5. Доказательства теорем
Доказательство (теоремы 4). Сформулируем и докажем лемму, которая понадобится нам для доказательства теоремы 4.
Пусть задана сигнатура 5 = (Н1,..., Н8). Рассмотрим формулу р1, множества X1, У1 и числа а1, /З1, определённые в пункте 2.1. Пусть Л, В — две ¿"-структуры.
Лемма 1. Если Консерватор побеждает в игре ЕНИ^Д, В, а1 + З1), то для, любых (не обязательно различных) элементов с^,..., . (элементов с? ,..., с? )
а1 У1 У а1
найдутся такие элементы с? ,..., с? (элементы ,..., , ), что формула р1
У1 Уа1 1 а1
либо одновременно истинна на структуре Л на наборе с^,..., с^ 1 и на структуре В на наборе с? ,..., с? , либо одновременно ложна на этих двух структурах
1 а1
и наборах.
Доказательство. Предположим, что формула р1 содержит только кванторы 3, т.е. имеет вид 3ха1+1 3ха1+2 ... 3ха1+р1 р0(х1,... ,ха1 ,ха1+1,... ,ха1+/31), где р0 — формула, не содержащая связанных переменных. Пусть р1 истинна на структуре Л на наборе с:£,..., .. Тогда найдутся такие ,..., , что
и1 и а1 ^ а1 +1 У а1 + З1
формула >р1 истинна на наборе = с^,... ,...,с£ . Пусть Но-
У Л иа1 иа1+1 иа1+
ватор в первом раунде выбирает структуру А и элемент с^, а в последующих раундах выбирает все оставшиеся элементы набора с-Ч Тогда Консерватор, в силу условия леммы, сможет выбрать такие элементы с®,,...,с® ,с®, ,..., с®,
_ °1 °а1 °а1+1 _°а1+р1
структуры В, образующие набор с®,, что формула ^ истинна на наборе с®. Следовательно, формула р>1 истинна на структуре В на наборе с®,,... ,с®, . Если же
1 а1
формула 'р1 ложна на структуре А на наборе с^,...,с^ 1, то в силу определения игры ЕИК1(Д, В, а1 + Р1) и эквивалентных структур она будет ложна и на
В
И'
Если формула <р1 имеет вид Уха1 + Q Уха1+2 . . . V%ai+ßi <Ро(х1, . . . , Ха' , Xa' + l, . ■
'31 ,..., cja1 ■
структуре В на наборе сВ'
1 +1 Уха1+2 ... УХа'+ßi >р{ ,.1+ ßi) и, скажем, истинна на структуре А на наборе с^ ,...,с^г, то можно
рассмотреть формулу —р1 = 3xai+i 3xai+2 ... 3xai+ßi —<pl(xi,... ,xai ,xai+i,..., xai+ ßi), и проделать те же самые рассуждения. Лемма доказана. □
Завершим доказательство теоремы 4. Пусть <р1 — замкнутая формула, а С — класс структур, определяемый этой формулой. Будем считать, что выполнено равенство <р1 = 3х{3х2 ... Зхк 'Ро(х1,... ,хк), где все переменные формулы <рq являются свободными (в противном случае можно рассмотреть формулу —<р1). Пусть А, В — две ¿-структуры и, вопреки утверждению теоремы 4, Консерватор побеждает в игре EHR1 (А, В, к). Тогда для формулы <pQ выполнено условие леммы 1 с а1 = к, ß1 = 0, а следовательно, выполнено свойство ((Л Ф С) Л (В Ф С)) V ((Д ф С) Л (В ф С)). Имеем противоречие с условием теоремы 4, которая, тем самым, доказана. □
5.1. Доказательство теоремы 5 и теоремы 6
5.1.1. Вспомогательные леммы и конструкции
Пусть {Qi}igN — последовательность неориентированных графов без петель и кратных рёбер, IV(Qi)I = i, при этом для любых различных i,j ф N выполнено V(Qi) П V(Qj) = 0. Пусть задана некоторая функция р : N ^ [0,1]. Рассмотрим вероятностное пространство
G(gN ,p(N)) X G(gM ,р(М)) = (ÜgN X ügM , FgN xFgM , VgN, ^,p) ,
где VgN, Gm,P((S°N, )) = VGn,p(S°N) ' VGm,p($M) для любых графов GN и ,
принадлежащих множествам QgN и QgM соответственно. Под X x Y понимается декартово произведение множеств X и Y. Под событием «Консерватор победит в EHR(G,H,t)» будем понимать подмножество в QgN x QgM всех пар графов, на которых Консерватор в игре с t раундами побеждает.
Лемма 2. Если для любого натурального t выполнено
lim VgN, gM ,p (Консерватор победит в EHR1(G,H,t)) = 1,
N, M^тс ' '
то для случайного графа G(QN,р) выполнен ослабленный .закон «нуля или единицы».
Доказательство леммы 2 опирается на утверждение теоремы 4 и дословно повторяет доказательство аналогичной леммы для не ослабленного закона «нуля или единицы» (см. [5]).
Определим также свойство графов, которое понадобится для доказательства теоремы 5 и теоремы 6. Граф G обладает свойством расширения полного уровня, s, если для любых различных вершин uQ,..., u а, vQ,..., v^ графа G, где а + b ^ s,
найдётся вершина х такая, что {х, и^} £ Е(О), 1 ^ г ^ а, и {х, V} ф Е(О), 1 ^ 3 < Ь (см. [5]).
Утверждение 1. Если графы О и Н обладают свойством расширения полного уровня в — 1, то Консерватор победит в ЕНИ,( О, Н, в).
Доказательство. Консерватору надо придерживаться следующей простой стратегии. На г-ом раунде, если Х1,...,х»-1,у1,...,у^1 уже выбраны, и Новатор выбирает х^, Консерватор, в силу свойства расширения полного уровня 8 — 1, сможет найти вершину у^, смежную с теми же yj, ] < %, что и Хi — с х^, ] <
Сформулируем похожее утверждения для игры ЕНИ1( О,Н, в).
Утверждение 2. Пусть в некоторых графах О,Н мы можем выбрать соответственно такие индуцированные подграфы С, Н, для которых выполнено свойство расширения полного уровня 8 — 1. Тогда Консерватор победит в игре ЕНИ1( О,Н, в).
Доказательство. Консерватор сможет на каждом шаге выбрать вершину по алгоритму из утверждения 1, соединённую с нужными ему, выбирая её из
множества V(О) (или V(Н)), т.е. победит. □
Лемма 3. В графе О^ найдётся полный индуцированный подграф на [log2 к] вершинах.
Прежде чем перейти к доказательству, сделаем замечание.
Замечание 1. На самом деле, существует сколько угодно большое N, для которого в графе О1^ найдётся полный индуцированный подграф на п вершинах (см. [11]). Наша лемма не является следствием этого утверждения, потому что в ней мы находим полный индуцированный подграф для каждого N.
Перейдём теперь к доказательству леммы.
Доказательство. Определим две вершины, соединённые друг с другом: х1 = (1,................................, 1,0,................................, 0),
"-V-' 4-V-'
2к 2к
х2 = (1,............, 1, 0,.
,0,1,
1,0,
, 0),
к к к к хз = (1,..., 1, 0,..., 0,1,..., 1, 0,..., 0,1,..., 1,0,..., 0,1,..., 1, 0,..., 0).
щ т т щ т т т т
У первой вершины набор координат разбивается на два блока — блок нулей и блок единиц, у второй — на четыре. В дальнейшем мы определим ещё к] — 3 вершины, причём у j-ой вершины набор координат будет разбит на 2] блоков. Если занумеровать блоки в порядке их следования, тоу]' + 1-ой вершины суммарное количество координат, стоящих в 2% — 1-ом и в 2л-ом блоке (для любого %), будет равно количеству координат, стоящих в г-ом блоке j-ой вершины. Можно сказать, что при построении следующей после -ой вершины каждый блок будет разбиваться на два — блок нулей и блок единиц. Поэтому далее будем писать в каждом блоке только количество единиц.
х4
к 1 к + 1 1 к + 2 1 к + 3 1 к + 3 1 к + 2 1 к + 1 1 к
4 1 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4
х.-
' к ' 1 'к + 1" 1 | 'к + 2^-2 — 1 1 'к + 2^2 — 1 1 | 'к + 1" 1 " к
2з-2 | 2з-2 |... | 2з-2 | 2з-2 |... | 2з-2 | 2з-2
Очевидно, что все такие вершины будут попарно соединены. Заметим, что неравенство [57=2] > 0 выполнено тогда и только тогда, когда к ^ 2^-2, т.е. 3 ^ к + 2. Таким образом, лемма доказана. □
Пусть по = 4 • 23+2, N0 = С
па/2
^2 /(П,8) =
2 3+Ч
(3)
Лемма 4. Для любого натурального 8 в графе О^ при N > М0 найдется, такой индуцированный подграф Нм,3>, что для каждого индуцированного под-
графа Н в Нна 8 вершинах найдется индуцированный подграф Р в Нна / = /(п, в) вершинах со свойством: любые две вершины х е V(Ё) и у С V(Н) соединены ребром в О^.
Доказательство. Пусть 8 — произвольное натуральное число.
1) N = N0. Тогда в силу леммы 3 найдутся 8 + 2 вершины, образующие полный индуцированный подграф в . Функция /(п, 8) при п = п0 равна
= 1. Но среди рассмотренных 8 + 2 вершин любая одна будет соединена рёбрами с любыми другими 8 вершинами. Таким образом, в этом случае утверждение леммы доказано.
2) Пусть теперь п > п0, N = СП./2 > Щ. Определим натуральное число 3 из неравенства < 23+2 < [. Разобьём у каждой вершины набор координат на группы: в первой — 4 координат, во второй — 4 координат, ..., в
последней — 4
к+27 -1 2 7
координат. Действительно,
Г к ] 'к + 1" к + 21 - 1
- + +.. ... +
[ 2^ \ [ 2з \
= к.
Всего таких групп 2^. Рассмотрим дистанционный граф где Ni = СЩ1/2,
П1 =4 [к+^-~1] и его полный индуцированный подграф на [к+2~1 ]] ^
8 + 2 вершинах. Пусть х0 — некоторая вершина этого подграфа. Из векто-
ров Хд = (х (х
1
0,1,
''0,п1
),
х
27
= (х
27 0, 1,
„27 0, п
) составим вектор х0 =
1
0, 1,
0, п1 ,
2 7 , 0,1,
>х0 п ). Таких векторов мы сможем составить не менее, чем (в + 2)23. Докажем, что построенный на выбранных вершинах индуцированный подграф Н-м,3> и есть искомый. Если взять произвольные 8 вершин, то в каждой группе останется по крайней мере по два набора, а следовательно, мы сможем найти 2?3 вершин, соединённых с каждой из 8 выбранных. При этом выполнены неравенства:
227 > 22+3 > 2[}.
Лемма доказана.
□
Замечание 2. В дальнейшем нас будет интересовать лишь асимптотическое поведение определённой в (3) величины. В силу того, что N = (1 + $(п)),
где 5(п) ^ 0 при п ^ <Х), получим
/(п, 8) > 2-- =
( [2 \
\\ к 1 + 5(п))
П
0
где 7(в) = 2^+5. Следовательно,
= о(/(п, в)). (4)
Доказательство (теоремы 5). Пусть в — произвольное натуральное число. Рассмотрим случайный граф О (О^ ,р). В силу утверждения 2, леммы 2 и леммы 4 нужно доказать, что для любого натурального для случайного графа
О(НМ'3, р) = (Пнм,я, , Гн*,.>р)
почти наверное выполняется свойство расширения полного уровня .
Мы знаем, что в графе Н:м,5> для любых з вершин найдется /(п^), з) вершин, соединённых с каждой из них. При этом N"'(s) = о(/(п, з)), где 7(в) не зависит от п и является положительной величиной. Далее поступаем так же, как и в случае случайных графов Ор) (см. [5]).
Для любых различных и1,..., и а, v1,... V;, х £ V(НN's), где а + Ь < 8, определим событие Еи1,._,иа,ч1,_.,чь,х, заключающееся в том, что вершины х и и соединены ребром, если 1 ^ % ^ а, а вершины х и Vj не соединены ребром, если 1 ^ j ^ Ь. Пусть также
£ = Шт(р, 1 — р),
Еи1,...,иа,Ч1,...,Чь = /\ Еи1,...,иа,Ч1,...,чь, х,
Е = \/ Еи1,...,иа^1,...^ь ,
где дизъюнкция берётся по всем различным и1,..., и а, Vl,... V
Наконец, пусть Н^— — индуцированный подграф графа НN,s, причём V(Н^_+1) {и1,..., иа, V!,... V;,}. Мы знаем, что найдется /(п, в) вершин, образующих индуцированный в Н]^,5> подграф Н^ такой, что Н^+ь и Н^,:3 образуют полный двудольный подграф в
. Отсюда имеем
Гн^,Р (Еи1,...,и^1,...^) < (1 — е-5УМ П Ро < (1 — М,
где за 3 обозначено множество индексов вершин, принадлежащих множеству
VН,-)\ (у(Н?,г>) и VН+1)) , р, = Гн^,р(Еии...,иа^..,^).
Тогда
Гн»,,р(Е) < ^(н-^)\(1 — М < (1 — ¿'У(п,-).
В силу (4) и того, что С^ = 0
**(1—^= 0 (е^РШ^)) =0 и
где еNa ^ то при N ^ то для любого а > 0, а следовательно, Тнм,в,р(Е) ^ 0. Теорема доказана. □
Доказательство (теоремы 6). Рассмотрим некоторую формулу р1, определённую в пункте 2.1. Предположим, что она имеет вид
р1 = Зха1 + 1 Зха1+2 . . . Зха1+р1 <Р0(Х1, . . .,ха1 ,Ха1 + 1, . . .,Ха1+р1), (5)
где р0 — формула, не содержащая связанных переменных. Если же формула р1 не представляется в таком виде, то можно рассмотреть формулу — р1. Пусть формула р1, представимая в виде (5), выражает некоторое свойство графов Ь1, а не содержащая свободных переменных формула 3х1 ... Зха1 Зха1+]Зха1+2 ... Зха1+р1р0 — свойство Ьд.
По теореме 5 либо Иш „(С \= Ь\) = 1, либо Иш „(С \= Ь\) =0.
Предположим, что имеет место первый вариант. Пусть На1 + 31 — некоторый граф на а1 + [З1 вершинах, V (На1+з^ = {ъ1,..., ъа1+р1}. Пусть также формула р0 истинна на наборе ъ = (ъ1,..., ъа1+^1), а следовательно, граф Н а1+з1 обладает свойством Ьд.
Всюду далее считаем, что N достаточно велико.
Пусть х1,1 — некоторая вершина графа HN := HN,a +3 , определённого в лемме 4. С вероятностью Р1 найдется такая вершина Х12 случайного графа С(НN, р) С 0(0^,р), что выполнено свойство х1,1 ~ х1,2 ■ ъ1 ~ ъ2.
С вероятностью Р2 найдется вершина х1,3 случайного графа ,р), что
выполнено свойство (х1,1 ~ х1,3 ■ ъ1 ~ ъ3) Л (х^2 ~ х1,3 ■ ъ2 ~ ъ3).
Аналогично вводятся вероятности
Рг, 3 < г < а1 +[1 — 1. Пусть, кроме того, с вероятностью Р(х^) в графе С(НN,р) найдется индуцированный подграф, изоморфный графу На1 +31, причём вершине х1,1 при этом изоморфизме ставится в соответствие вершина Ъ1. Пусть, как и раньше, е = шш(_р, 1 — р). Тогда выполнены неравенства
а1 +31-1 а1+31-1
1 — Р(хМ) < £ (1 —Рг) < £ (1 — £гУП) <
г=1 г=1
, л л \/ (п,а1+31-1)
< (а1 +З1 — 1){1 — еа1+е1-1у " ) .
Рассмотрим теперь индуцированный подграф графа Н1Ч,а +3 , определённый на множестве вершин V(Н2 ) = V(HN,а +3 ^{х^,х1,2,...,х1а1+з1}. Введём для него аналогично вероятность Р(х2д), в результате чего придём к неравенству
1 1 Л \/(п,а1+31-1)-(а1+31)
1 - Р(х2Л) < (а1 + ß1 - 1) (1 - eal+ßl-iy
Определим аналогичным образом графы HN, для которых выполнено равенство
V (H? ) = V (H^+ß1 )\{X1,1, X1,2, ..., X^1+ß1,..., X-1,1, X.i-1,2 , ..., X-l>ai+ßi },
и вероятности Pxi 1, где 3 ^ i ^ нено неравенство
f (n,a1+ß1-1) 2(a1+ß1)
. При 1 < i <
f (n,a1+ß1-1) 2(a1+ß1)
выпол-
1 1 f. „.1 1 a1 ,\f(n,a1+ß1-1)-(i-1)(a1+ß1)
, 1 1 ^ / ,\f (n,a +ß -1)-(г-1)(а +ß )
1 -P(x,1) < (а1 +ß1 - 1)(1 - £a+ß-1) . (6)
f (ща1 +ß1-1)
2(a1 +ß1)
Пусть PN — вероятность того, что в графе G(HN,a +ß , р) найдется индуцированных подграфов, изоморфных графу ~Hai +ß1. Тогда, очевидно, в силу (6) и (4) выполнены неравенства
f(n,a1+ß1-1) 2(a1+ß1)
1 -pn < £ (1 -р(x,1)) <
г=1
^ ( а1 + ß1 - -
1 1 л/( n,«1+ß1-1)-
2(a1+ß1)
-1 (a1+ß1)
f (п,д1+ ß1 —1) 2(a1+iß1)
L
i=0
-1
(l - £^+ß1-1)
i(a1+ß1)
<
< (a
(a1 +ß1 - 1) (l - ea1+ß1-1)
Найдём Um (l - e« +ß -1 ) n—V /
f (n,«1+ß1 -1)/2
1-1- £ a1+ ß1-1
f (n,«1+ß1-1)/2
1 - (1 - £a1+ß1-1^^1+ß1
f (n,«1+ß1-1)/2
. Имеем в силу (4)
(1 - £«1+ß1-1)
f (n,a1+ß1-i)/2 i -f (n a1 +ß1 - 1)£« +ß -1
~ exp -
2
о ^exp ^
-N^(a1+ß1-1) £a1+ß1-1
exp
1+ß1-1^
-Nl(a1+ß1-1)/2^ 2
Последнее равенство имеет место в силу того, что при любом а > 0 выполнено lim pNa = то. Следовательно, искомый предел равен 0.
N-)>oo
Пусть
Л =
a1 +ß1 - 1
1 - (1 - ^ +ß1-1)«1+ß1
= 1 _ £«1+ß1-1
f (n,«1+ß1-1)/2
Тогда
1 -PN < Л(р -p2).
Следовательно, Р~м ^ 1 при N ^ то. Тогда почти наверное существует ^%+%-1) индуцированных подграфов графа О(О^г, р) на а1 + 31 вершинах, которые (подграфы) удовлетворяют свойству Ь^. Пусть О(0,р) — такой подграф. Пусть, кроме того, Я = (V, £), V = val+f¡l}, причём эти вер-
шины перечислены в том порядке, в котором они шли в ходе построения, описанного выше. Тогда индуцированный подграф О(Н, р) графа О(Я,р), где Н = (^1,...,vQ,l},£|{уъ...,у 1}), удовлетворяет условию теоремы 6.
Если же ^Иш 'Р0влвь,р (О N Ь= 0, то достаточно рассмотреть граф На1+р1,
не удовлетворяющий свойству Ь^, и провести аналогичные рассуждения.
Осталось заметить, что при достаточно больших N в силу (4) выполнено неравенство
¡(п,а1 + /31 — 1У
2( a1 + ß1)
N 2a1+ßß1+4
2( a1 + ß1)
Теорема доказана.
□
f (п,а. +ß1 —1)
X
X
2
р
Литература
1. Shwentick T. On Winning Ehrenfeucht Games and Monadic NP // Ann. Pure Appl. Logic. — 1996. — Vol. 79, No 1. — Pp. 61-92.
2. Верещагин Н. К., Шень А. Языки и исчисления. — М.: МЦНМО, 2000.
3. Ehrenfeucht A. An Application of Games to the Completness Problem for Formalized Theories // Fund. Math. — 1960. — Vol. 49. — Pp. 121-149.
4. Bollobas B. Random Graphs. — 2 edition. — Cambridge University Press, 2001.
5. Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
6. Range of Degree and Realizability of Formulas in the Restricted Predicate Calculus / Ю. В. Глебский, Д. И. Коган, М. И. Легонький, В. А. Таланов // Cybernetics. — 1972. — Vol. 5. — Pp. 142-154.
7. Fagin R. Probabilities in Finite Models // J. Symbolic Logic. — 1976. — Vol. 41. — Pp. 50-58.
8. Shelah S., Spencer J. H. Zero-One Laws for Sparse Random Graphs // J.Amer. Math. Soc. — 1988. — Vol. 1. — Pp. 97-115.
9. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // Успехи Матем. Наук. — 2001. — Т. 56, № 1. — С. 107-146.
10. Райгородский А. М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2007.
11. Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.
UDC 519.175.4
The Weak Zero-One Law for the Random Distance Graphs
M. E. Zhukovskii
Department of Probability Theory Moscow State University Leninskie Gory, 1A, Moscow, Russia 119991
In this paper, the weak zero-one j-law is defined. The results for the random distance graphs similar to the statements for the zero-one law and random graphs are obtained.
Key words and phrases: zero-one law, distance graphs, Ehrenfeucht game.
