CC BY
38
Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 4- С. 421-437.
УДК 519.176 DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13404
МАКСИМАЛЬНЫЕ ВНЕШНЕПЛОСКИЕ ГРАФЫ С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ДИАМЕТРА
Ю. Л. Носов
Guardian Software Inc., Калгари, Канада; удалённый офис: Липецк, Россия yl.nosov@yandex.ru
Рассматриваются максимальные внешнеплоские графы (МВП-графы) с экстремальными значениями диаметра. Определены нижняя и верхняя оценки диаметра произвольных МВП-графов. Для решётчатых МВП-графов (т. е. для графов, уложенных на решётке из равносторонних треугольников без «дыр» и пересечений) доказано, что верхняя оценка диаметра совпадает с верхней оценкой диаметра произвольных МВП-графов; получена предварительная нижняя оценка диаметра. Для нижней и верхней оценок диаметра произвольных и решётчатых МВП-графов определены экстремальные графы, на которых эти оценки достигаются. Экстремальные графы с максимальным диаметром для произвольных и решётчатых МВП-графов совпадают. Полученные результаты могут быть использованы для классификации изображений, представленных МВП-графами, и для классификации изомеров сопряжённых полиеновых углеводородов.
Ключевые слова: максимальные внешнеплоские графы, диаметр, экстремальные графы, графы экстремальные по диаметру.
Введение
Рассматриваются конечные связные неориентированные графы G = (V, E) без петель и кратных рёбер с множеством вершин V(G) и множеством рёбер E(G). Число | V| вершин графа G называется его порядком и обозначается через n(G). Расстоянием d(u,v|G) (или просто d(u,v), если ясно, о каком графе G идёт речь) между вершинами u и v графа G называется длина кратчайшей по числу рёбер простой цепи, соединяющей вершины u и v в графе G. Эксцентриситетом e(v) вершины v графа G называется величина e(v) = maxueV(G) d(v,u). Диаметром diam(G) графа G называется максимальное расстояние между двумя вершинами G. Кратчайшая простая цепь между вершинами u, v графа G, длина которой равна диаметру G, называется диаметральной цепью, а её концевые вершины u,v — диаметральными вершинами. Все неопределяемые ниже термины можно найти в [1; 2].
Работа посвящена определению нижней и верхней оценок диаметра максимальных внешнеплоских графов (МВП-графов) и экстремальных МВП-графов, на которых эти оценки достигаются. Напомним, что внешнеплоским графом называется плоский граф, все вершины которого принадлежат одной (обычно внешней) грани. Максимальным внешнеплоским графом называется такой внешнеплоский граф, который при добавлении хотя бы одного ребра перестаёт быть внешнеплоским [2]. Основные свойства МВП-графов представлены в [3-6].
Графы этого вида, входящие в класс хордальных графов, являются триангуля-циями выпуклого многоугольника и находят широкое применение [7; 8]. В частности, такие графы применяются для перечисления изомеров сопряжённых полиено-
вых углеводородов [7] и в системах искусственного интеллекта для обнаружения фигур в изображениях [8].
Диаметр графа является его топологическим инвариантом и отражает структурные свойства графа («компактность» и «разветвлённость»), поэтому его, как и любой другой топологический инвариант, можно использовать для классификации и распознавания объектов, представленных графовыми моделями. Однако наибольшее применение диаметр нашел в химии, где он обычно используется вместе с другими топологическими инвариантами для классификации и распознавания молекулярных графов, т. е. графов, вершины и рёбра которых соответствуют атомам и валентным связям молекулы химического соединения (см., например, работу [9] и её обширную библиографию).
Особенно перспективным выглядит использование диаметра МВП-графов для классификации и распознавания молекулярных графов изомеров сопряжённых по-лиеновых углеводородов (СПУ). Это объясняется следующими факторами: молекулярные графы изомеров СПУ являются слабыми двойственными графами к МВП-графам, уложенным на треугольной решётке из равносторонних треугольников; большинство изомеров СПУ отличается друг от друга только формой, поэтому для их классификации и распознавания обычные топологические инварианты молекулярных графов не пригодны.
«Разветвлённость» молекулы химического соединения влияет на его физические свойства. Поэтому диаметр молекулярного графа химического соединения является важным классифицирующим признаком, от которого зависят свойства этого соединения. Для химических приложений важно знать, какой вид имеют молекулярные графы с экстремальными значениями классифицирующего признака. Однако в силу двойственности молекулярных графов изомеров СПУ к МВП-графам экстремальные значения их диаметра определяются экстремальными значениями диаметра соответствующих МВП-графов. Таким образом, определение минимального и максимального значений диаметра МВП-графов и МВП-графов с экстремальными значениями диаметра является актуальной задачей.
Настоящая работа является продолжением работ [10; 11] по МВП-графам и содержит полное решение поставленной задачи для произвольных МВП-графов. Для МВП-графов, уложенных на треугольной решётке, доказано, что верхняя оценка их диаметра совпадает с верхней оценкой диаметра произвольных МВП-графов; получена предварительная нижняя оценка диаметра.
1. Предварительные сведения и результаты
Приведём необходимые определения и известные результаты по МВП-гра-фам [1-5].
Используются следующие обозначения: Кп — полный п-вершинный граф; к-вершинный полный граф (подграф) называется к-полным графом (подграфом); Рп — простая цепь с п вершинами; Сп — простой цикл с п вершинами; С3 называется треугольником; 0[У'] — подграф графа О, индуцированный (порождённый) подмножеством V' вершин графа О; degv — степень вершины V в графе О; А (О), ё(О) — максимальная и минимальная степени вершин графа О.
Граф к-дерево определяется рекурсивно следующим образом: полный граф из к + 1 вершин есть к-дерево; к-дерево с п +1 вершиной получается из к-дерева с п вершинами путём добавления в него вершины V и к рёбер, соединяющих вершину V со всеми вершинами некоторого к-полного подграфа [5]. Простым к-деревом на-
зывается к-дерево, в котором любой его к-полный подграф является подграфом не более двух (к + 1)-полных подграфов [5].
МВП-графы, как и к-деревья, рекурсивно определимы. Это означает, что любой МВП-граф Оп порядка п ^ 3 или является графом К3, или получается из графа К3 в результате последовательного к-кратного (к = п — 3) выполнения операции элементарного расширения [3]. При этом под элементарным расширением понимается операция добавления вершины и двух рёбер, соединяющих её с вершинами внешнего ребра [3].
Используя сходство рекурсивных определений 2-деревьев и МВП-графов, легко показать, что МВП-графы являются простыми 2-деревьями [5, лемма 1], входят в класс хордальных графов и представляют собой триангуляции выпуклого многоугольника.
Отсюда следует, что любой п-вершинный МВП-граф имеет внешнюю грань, ограниченную гамильтоновым циклом, п — 2 внутренних треугольных граней и не менее двух вершин степени 2, являющихся симплициальными вершинами [2]. Внутренние грани МВП-графа разделяются на три типа по числу смежных граней: концевые, промежуточные и грани ветвления. Грань ветвления соседствует с тремя внутренними гранями, промежуточная грань — с двумя гранями, а концевая грань — с одной внутренней гранью. В дальнейшем под гранью мы будем понимать простой цикл, являющийся границей этой грани.
В соответствиии с [4] 2-цепью графа мы будем называть чередующуюся последовательность Р = (во, ¿1, в1, ¿2,... , ¿р, вр) рёбер и треугольников (С3), в которой каждый треугольник ^ содержит точно два ребра в^-1 и в^, (1 ^ г ^ р); р называется размером 2-цепи.
Более удобно такую цепь понимать как последовательность попарно смежных треугольных граней и обозначать как Р = (¿1, ¿2,... , ¿р) [5]. Далее грани ¿1, мы будем называть концевыми гранями 2-цепи Р и говорить, что она 2-соединяет грани ¿1, ¿р. В [5] было доказано, что в любом МВП-графе О для любых его двух граней есть единственная 2-цепь, которая их 2-соединяет.
Определение 1. Стволом МВП-графа Оп называется его подграф Н = иР=1 индуцированный вершинами 2-цепи Р = (¿1, ¿2,... , ¿р), концевые грани ¿1, ¿р которой являются концевыми гранями графа Оп и симплициальные вершины граней ¿1 , ¿р являются диаметральными.
Определение 2. Сегментом МВП-графа Оп называется его подграф 5 = иР=1 индуцированный вершинами 2-цепи Р = (¿1, ¿2,... , ¿р), у которой концевые грани ¿1, ¿р являются или гранями ветвления, или концевыми гранями графа Оп, или одна из граней ¿1, ¿р является концевой гранью графа Оп, а другая — гранью ветвления.
Имеется три вида сегментов: магистральный сегмент (грани — конце-
вые), промежуточный сегмент (грани — грани ветвления) и ответвитель-ный сегмент, соединяющий грань ветвления с концевой гранью графа. Размером сегмента называется число его граней. Ясно, что число ответвительных сегментов МВП-графа определяет меру его «разветвлённости».
Далее степенью р(Оп) разветвлённости МВП-графа Оп мы будем называть число Nsв его ответвительных сегментов, которое равно числу ^рв граней ветвления, т.е. р(Оп) = Nsв = NFв. Нетрудно заметить, что число граней ветвления равно числу NFT концевых граней за вычетом двух концевых граней ствола. Таким образом, степень разветвлённости Оп можно определить как р(Оп) = NFT — 2.
Определение 3. Внутренним графом Int(Gn) МВП-графа Gn называется его связный подграф, полученный из Gn удалением всех внешних рёбер с последующим удалением изолированных вершин (в Gn эти вершины были симплициальными вершинами) [11].
В соответствии с [11] МВП-графы с двумя симплициальными вершинами будем называть МВП-графами класса «2-цепь», а МВП-графы, имеющие не менее трёх симплициальных вершин — МВП-графами класса «<2-дерево».
Любой МВП-граф Gn класса «2-цепь» обладает следующими свойствами [11]:
1) внутренний граф Int(Gn) графа Gn является двудольным графом с долями
X, Y, т.е. Int(Gn) = (X,Y; E);
2) гамильтонов цикл Cn графа Gpn разделяется симплициальными вершинами si,s2 на две цепи Pa = (si, xi, x2,..., xa, s2) и Pb = (si, yi, y2,..., yb, s2), причём X = {xi,x2, ...,xa} и Y = {yi,y2,..., yb};
3) граф Gn можно уложить на плоскости так, что все вершины цепей Pa, Pb будут размещены на двух параллельных линиях A, B без пересечений рёбер и каждое ребро является отрезком прямой.
Полное описание и классификация МВП-графов класса «2-цепь» даны в работе [11]. В классификацию входят три типа МВП-графов класса «2-цепь», различающихся по своей структуре, полностью определяемой их внутренним графом.
Графы этих трёх типов получили название МВП-графов типов «веер», «лестница» и «цепь». Образцы МВП-графов класса «2-дерево» и графов типа «цепь», «лестница» и «веер» приведены на рис. 1, а,б,в,г.
2 4 5 6 г
Рис. 1. МВП-графы: а — класса «2-дерево»; б — типа «цепь»; в — типа «лестница»; г — типа «веер»
При работе с МВП-графами класса «2-цепь» более удобна их рекурсивная ха-рактеризация, введённая в [11]. В этой рекурсивной характеризации используется понятие элементарного расширения s-типа как элементарного расширения, при котором новая вершина соединяется рёбрами с вершинами ребра, инцидентного симплициальной вершине.
Определение 4. МВП-граф порядка 4, полученный из полного графа K4 удалением одного ребра, называется графом алмаз и обозначается через D4. (В англоязычной математической литературе такой граф называется графом diamond).
Утверждение 1. Любой n-вершинный (n ^ 5) МВП-граф класса «2-цепь» может, быть получен из графа алмаз D4 в результате последовательного k-кратного (k = n — 4) выполнения операции элементарного расширения s-типа.
Таким образом, свойства МВП-графа Gn класса «2-цепь» определяются последовательностью (hi,h2,... ,hk) k операций элементарного расширения s-типа. Каждая операция элементарного расширения s-типа может быть выполнена со стороны любого из двух рёбер, инцидентных симплициальной вершине, т. е. имеется два варианта добавления новой вершины. Следовательно, каждому n-вершинному
в,1
2 3 G 2 4 5 10
m i'ад
L
2 4 6 8
11 1
6
а
3 6 7 8 9 б
3 5 7 9 в
ZB 10 A
(п = 4 + к) МВП-графу Оп класса «2-цепь» можно поставить в соответствие некоторый двоичный кортеж Б(Оп) = (61,62,..., ), в котором элемент Ь» описывает свойство операции Л» элементарного расширения и принимает значение 0 или 1 в зависимости от того, на ребре какой цепи (Рв или Ра) выполняется операция Л». (Далее кортеж Б(Оп) мы будем называть кортежем свойств). Например МВП-граф О11 типа «цепь» имеет кортеж свойств Б(О11) = (1,1, 0, 0, 0, 0,1), МВП-граф ¿10 типа «лестница» имеет кортеж свойств Б(¿10) = (1, 0,1, 0,1, 0), а МВП-граф типа «веер» — кортеж свойств Б(Р7) = (0, 0,0) (см. рис. 1, б,в,г соответственно).
Замечание 1. МВП-граф О8 на рис. 1, а имеет циклическую нумерацию вершин, когда номер вершины определяется её порядковым номером в гамильтоновом цикле. Графы О11, ¿10, на рис. 1, б, в, г, имеют рекурсивную нумерацию вершин. Такая нумерация возникает при построении п-вершинного МВП-графа из К3 (или Д4) посредством к-кратного выполнения элементарного расширения. Для этого необходимо сначала пронумеровать вершины исходного графа К3(Д4) числами 1, 2, 3, (4), а все остальные вершины нумеровать последовательно в порядке их добавления в граф [10].
Замечание 2. Легко видеть, что при построении графа типа «веер» каждая операция элементарного расширения з-типа всегда выполняется на ребре одной цепи, например цепи Рв (рис. 1, г), а при построении графа типа «лестница» каждая операция элементарного расширения з-типа выполняется поочерёдно то на ребре цепи Рв, то на ребре Рд (рис. 1, в).
Для МВП-графов типа «лестница» длины их цепей Рд = (з1, х1, х2,... , жа, з2) и Рв = (з1, у1, у2,..., уь, з2) при чётном п равны, а при нечётном п отличаются друг от друга на единицу, т. е. при чётном п выполняется равенство а = Ь, а при нечётном п — равенство Ь = а + 1 или а = Ь +1.
Нетрудно заметить, что любой МВП-граф ¿п типа «лестница» имеет «поперечные» рёбра {х1,у1}, {ж2,у2}, ..., {жр,ур} (р = |_(п — 2)/2_|) и «диагональные» рёбра одного из двух видов: диагональные рёбра первого вида {х1,у2}, {ж2,у3}, ..., {жй,уй+1} или диагональные рёбра второго вида {у1,х2}, {у2,ж3}, ..., {уй,жй+1}, причём д = р — 1 при чётном п и д = р при нечётном п.
Подграф ¿п \ {з1, з2} МВП-графа ¿п типа «лестница», полученный после удаления его симплициальных вершин з1,з2, можно представить в виде объединения попарно пересекающихся подграфов ... , ^р-1, (р = |_(п — 2)/2|):
и2р-ь если п чётное;
и2р_1 и если п нечётное,
где Zi — подграф, порождённый множеством вершин {жг,ж»+1 , уг+1,у»}, т.е. Zi = О[{ж», , у»}]; — подграф (треугольник), порождённый множеством вер-
шин {жа, жа-1, уь} или множеством вершин {уь,уь-1,жа}.
Далее подграфы порождённые множеством вершин {ж», у»}, мы бу-
дем называть г-ячейками, а подграф — А-ячейкой.
Все г-ячейки и А-ячейки можно разделить на два вида по виду «диагонального» ребра, принадлежащего ячейке. Ясно, что в МВП-графе типа «лестница» все г-ячейки и А-ячейка являются ячейками одного вида.
Определение 5. Любой МВП-граф Оп типа «цепь» называется ступенчатым МВП-графом, если он имеет «поперечные» рёбра и «диагональные» рёбра двух
¿п \ {31, 32}
и ^и,. . . ^ и ^2и,. . .
видов, образующие два вида z-ячеек Z1, Z2,... , Zp-1 (p = |_(n — 2)/2j) и А-ячейку tab, причём Gn \ {s1 , s2} = Z1 U Z2U,... , UZp-i, если n чётное и Gn \ {s1,s2} = Z1 U Z2U,... , UZp-1 U tab, если n нечётное; в противном случае, граф Gn называется квазиступенчатым МВП-графом.
Любой ступенчатый МВП-граф Gn может быть получен из МВП-графа Ln типа «лестница» посредством замены одного или некольких «диагональных» рёбер одного вида на «диагональные» рёбра другого вида.
а б в г
Рис. 2. МВП-графы: ступенчатые МВП-графы (а,б); квазиступенчатые МВП-графы (в,г); создаваемые вершины степени 6, 7 обозначены зачернёнными кружками; добавленные вершины — пустыми кружками; диаметральные цепи показаны пунктиром
Пример 1. Например, граф Gl, представленный на рис.2, а, имеет 4 «поперечных» ребра и 3 «диагональных» ребра двух видов, образующих 3 г-ячейки. А граф G2, представленный на рис. 2, б, имеет 3 «поперечных» ребра и 3 «диагональных» ребра двух видов, образующих 2 г-ячейки и А-ячейку. (Рёбра г-ячеек и Д-ячейки показаны сплошными линиями, заменяемые рёбра — пунктирными). Оба графа получены из МВП-графов типа «лестница» заменой «диагонального» ребра {у2 , х3} (изображён пунктиром) на «диагональное» ребро {х2,у3}.
Ступенчатые МВП-графы имеют одну или несколько вершин степени 5, каждая из которых инцидентна «диагональным» рёбрам двух разных видов. Например, в графах Gl, G2 такими вершинами являются вершины х2,у3.
Квазиступенчатые МВП-графы имеют одну или несколько вершин степени 5, 6 или более. Из этого следует, что квазиступенчатый МВП-граф может быть получен из МВП-графа типа «лестница» или из ступенчатого МВП-графа созданием д (д ^ 1) вершин w1, -ш2,... , со степенью 5, 6 или более. Для этого в исходный граф посредством гомеоморфных подразбиений внешних рёбер добавляются t1,t2,... ,tq вершин и каждая вершина Wj соединяется рёбрами со всеми tj вершинами. Образцы квазиступенчатых МВП графов представлены на рис. 2, в,г.
Отметим важное для химических приложений свойство МВП-графов. Свойство 1. Пусть Gn — МВП граф, а Т*^п) — слабый двойственый к нему граф. Тогда Т*^п) есть дерево и Д(Т)) = 3.
Вершины Т*^п) степени 3 будем называть вершинами ветвления, степени 2 — промежуточными вершинами, а степени 1 — висячими вершинами. Сегментом дерева Т*^п) называется его простая цепь, концевые вершины которой являются или вершинами ветвления, или висячими вершинами, а все внутренние вершины цепи имеют степень 2 [12]. Различают три вида сегментов: магистральный сегмент (обе концевые вершины являются висячими вершинами), промежуточный сегмент (обе концевые вершины являются вершинами ветвления), ответвитель-ный сегмент (одна вершина — висячая, другая — вершина ветвления).
В качестве степени разветвлённости р(Т*^п)) графа Т*^п) можно принять число Nsв(Т*^п)) его ответвительных сегментов, которое равно числу Ыув(Т*^п)) вершин ветвления. Очевидно, что в этом случае число Nvв(Т*^п))
вершин ветвления равно числу Nyy(T*(Gn)) висячих вершин за вычетом двух висячих вершин, являющихся диаметральными вершинами. Следовательно, степень разветвлённости p(T*(Gn)) графа T*(Gn) можно определить как p(T*(Gn)) = Nvt(T*(G„)) - 2.
В силу взаимной двойственности МВП-графа Gn и слабого двойственного к нему графа T*(Gn) каждой концевой грани Gn соответствует висячая вершина T*(Gn), каждой грани ветвления Gn соответствует вершина ветвления T*(Gn), а каждому ответительному сегменту Gn — ответвительный сегмент T*(Gn).
Свойство 2. Степень разветвлённости p(Gn) МВП-графа Gn равна степени разветвлённости p(T*(Gn)) слабого двойственного к нему графа T*(Gn), т. е. p(Gn) =
p(T *(Gn)).
2. Изменение диаметра МВП-графов при добавлении симплициальных вершин
Нам понадобятся следующие хорошо известные и очевидные утверждения. Утверждение 2. Пусть u и v — смежные вершины связного графа G, а x — любая другая вершина. Тогда справедливы неравенства
|d(u,x) — d(v,x)| ^ 1,
|e(u) — e(v)| ^ 1. (1)
Утверждение 3. Пусть u и v — смежные вершины МВП-графа G, z — симпли-циальная вершина, смежная с вершинами u и v, а x — любая другая отличная от, них вершина. Тогда справедливы равенства
d(z,x) = min[d(u, x), d(v, x)] + 1,
e(z) = min[e(u), e(v)] + 1. (2)
Из утверждения 1 следует, что любой n-вершинный (n ^ 5) МВП-граф Gn класса «2-цепь», полученный из исходного МВП-графа G0, определяется последовательностью (hi, h2,..., hfc) k операций элементарного расширения s-типа. В процессе выполнения этой последовательности операций будут получены МВП-графы (G1, G2,... , Gk = Gn), где G1 — граф, полученный после выполнения операции h над графом Gi-1. В каждой i-й операции добавляется симплициальная вершина Si и соединяется двумя рёбрами с симплициальной вершиной Si-1, полученной на (i — 1)-м шаге, и с одной из двух вершин, смежных с вершиной Si-1.
Диаметр графа Gi равен эксцентриситету e(Si) вершины Si, который определяется согласно (2), поэтому diam(Gi) = e(Si) = min[e(Si-1), e(vi-1)] + 1; здесь vi-1 — одна из вершин, смежных с Si-1, с которой вершина Si соединяется ребром в i-й операции. Величина e(Si) и, следовательно, величина диаметра Gi зависит от соотношения величин эксцентриситетов e(Si-1), e(vi-1).
В случае, когда e(Si-1) = e(vi-1), эксцентриситет e(Si) увеличивается на единицу, т.е. e(Si) = e(Si-1) + 1. Если же e(Si-1) > e(vi-1), то эксцентриситет не изменяется, т.е. e(Si) = e(Si-1).
Операцию hi, в которой происходит увеличение эксцентриситета (диаметра), мы будем называть активной операцией, а операцию, в которой эксцентриситет (диаметр) не изменяется, — пассивной операцией.
Таким образом, МВП-графу Gn соответствуют кортеж свойств B(Gn) = (b1, b2,..., ) и кортеж активностей A(Gn) = (а1, а2,..., ak), где a — активность
операции Л» элементарного расширения; причём а» = 1, если операция Л» активная и а» = 0, если операция Л» пассивная.
Обозначим через АД» величину увеличения диаметра при выполнении г-й операции. Тогда диаметр графа Ок определяется через диаметр ^аш(О°) исходного графа О0 по следующему выражению &ат(Ой) = &ат(О0) + АД». Ясно, что АД» = 1, если операция Л» активная, и АД» = 0, если операция Л» пассивная. Следовательно, диаметр графа определяется числом NA активных операций и диаметром исходного графа О°, т. е. ^ат(Ой) = diam(О0) +
Предложение 1. Пусть О0 — МВП-граф класса «2-цепь», имеющий 4 вершины, а Оп — МВП-граф класса «2-цепь» порядка п (п = 4 + к), полученный из О0 последовательностью (Л1, Л2,..., ) операций элементарного расширения в-типа. Тогда
а) первая операция Л1 является пассивной независимо от варианта её исполнения ;
б) если операция Л» активна, то следующая за ней операция будет пассивной операцией независимо от варианта её исполнения;
в) если операция Л» — пассивная и операции Л», имеют одинаковые свойства, т. е. если Ь» = Ь»+1, то операция также является пассивной; в противном случае, когда Ь» = Ь»+1, операция является активной.
Доказательство. а) В графе О0 его симплициальная вершина 50 имеет эксцентриситет, равный 2, а смежные с ней вершины ж0, у0 имеют одинаковые эксцентриситеты, равные 1. Отсюда следует, что эксцентриситеты вершин 51,50 равны независимо от варианта исполнения операции Л1 (см. рис. 3, а,б).
^ Л
^ а у«
• ГГ ;
х 0 х е
л п ,
а
б
1+1
в
г
Рис. 3. Элементарные расширения МВП-графов: расширение МВП-графа С0 (а,б); расширение произвольного МВП графа (в,г)
б) После выполнения активной операции Л» новая вершина будет соединена рёбрами с вершинами ж» и у». Но тогда в силу (2) и условия активности операции Л» эксцентриситеты вершин ж» и у» должны быть одинаковы, т.е. в(ж») = в(у») < в(5»). Отсюда следует, что эксцентриситет вершины добавленной после выполне-
ния операции независимо от варианта её исполнения (на ребре {5», ж»} или на ребре {5»,у»}), будет равен эксцентриситету вершины 5», т.е. в(5»+1) = в(5») (см. рис. 3, в,г).
У 3 7 ,
1-1 1+1
у,-, S
, -1 а
, -1 б
,+1
S. , S
, -1 1 -1 ,+1
в
I -1
г
, -1
Рис. 4. Разные варианты последовательных элементарных расширений МВП-графа
в) Предположим, что операция h пассивная. Такая ситуация возможна в двух случаях: 1) операция hi-i активная; 2) операция hi-i пассивная.
1 случай. Так как операция hi-1 активная, то в силу (1), (2) выполняется равенство e(yi-1) = e(xi-1). Следовательно, если 6 = 1, то e(Si-1) > e(xi-1) и e(Si) = e(Si-1), а если 6 = 0, то e(Si-1) > e(yi-1) и e(Si) = e(Si-1).
Но тогда, если 6 =1 и 6i+1 = 0, то e(Si+1) = min[e(Sj), e(Si-1)] + 1 = e(Sj) + 1, следовательно, hi+1 — активная операция (рис.4, а).
А если 6 = 1 и 6i+1 = 1, то для e(Si+1) имеем e(Si+1) = min[e(Sj), e(xi-1)] + 1 = e(Sj), поэтому hi+1 — пассивная операция (рис. 4, б).
Также если 6 = 0 и 6i+1 = 1, то e(Si+1) = min[e(Si), e(Si-1)] + 1 = ) + 1, следовательно, hi+1 — активная операция (рис.4, в).
Но если 6 = 0 и 6i+1 = 0, то e(Si+1) = min[e(Si), e(yi-1)] + 1 = e(Si), поэтому hi+1 — пассивная операция (рис. 4, г).
2 случай. Так как операция hi-1 пассивная, то e(xi-1) = e(yi-1). Положим e(yi-1) > e(xi-1 ). Откуда, используя (1), (2), для 6 = 1 получим e(Si-1) > e(xi-1) и e(Si) = e(Si-1). Вариант с 6i = 0 не подходит, поскольку в этом случае e(Si-1) = e(yi-1) и, следовательно, операция hi будет активной, что противоречит принятому предположению об её пассивности.
Теперь положим e(xi-1) > e(yi-1). С помощью (1), (2) для 6i = 0 получим e(Si-1) > e(yi-1) и e(Si) = e(Si-1). Вариант с 6i = 1 не подходит, поскольку в этом случае e(Si-1) = e(xi-1) и поэтому операция hi будет активной, что противоречит предположению.
Дальнейший ход доказательства полностью совпадает с ходом доказательства для случая 1. □
3. МВП-графы с экстремальными значениями диаметра
Теорема 1. Пусть Gn — МВП-граф класса «2-цепь» порядка n ^ 6 с диаметром diam(Gn). Тогда 2 ^ diam(Gn) ^ [n/2j, причём левое неравенство превращается в равенство, если граф Gn есть МВП-граф типа «веер», а правое неравенство станет равенством, если Gn является ступенчатым МВП-графом или МВП-графом типа «лестница».
Доказательство. Левое равенство для МВП-графов типа «веер» и минимальность их диаметра очевидны (рис. 1, г). Докажем правое неравенство. Из утверждения 1 следует, что любой n-вершинный (n ^ 5) МВП-граф Gn класса «2-цепь» получается из графа алмаз D4 посредством выполнения последовательности (h1, h2,..., hk) k (k = n — 4) операций элементарного расширения s-типа. В силу предложения 1 (б) после активной операции обязательно следует пассивная операция. Следовательно, с учётом предложения 1 (а) число Na активных операций равно числу пассивно-активных пар операций, т. е. — числу пар операций hi, hi+1 (i G {1, 2,..., k — 1}), в которых операция hi пассивная, а операция hi+1 активная.
Ясно, что кортеж активностей МВП-графа Gn класса «2-цепь» с максимальным диаметром имеет вид A(Gn) = (0,1, 0,1,... ). Но тогда максимально возможное число Nmax пассивно-активных пар операций определяется по выражению Nmax = |_k/2_|. Отсюда максимальный диаметр МВП-графа класса «2-цепь» определяется по выражению max[diam(Gn)] = diam(D4) + [(n — 4)/2|. Окончательно, подставляя значение diam(D4) = 2, получаем max[diam(Gn)] = [n/2j.
Из замечания 2 и предложения 1 следует, что n-вершинный МВП-граф типа «лестница» обладает кортежем активностей A(Ln) = (0,1, 0,1,... ) и, следователь-
но, максимальным диаметром
diam(Ln )= [п/2]. (3)
Докажем, что ступенчатый МВП-граф Оп, полученный из МВП графа ¿п типа «лестница», имеет диаметр diam(Gn) = diam(Ln). Легко видеть (рис.2, а,б), что в любом ступенчатом МВП-графе Оп, как и в МВП-графе типа «лестница», кратчайшая цепь между двумя симплициальными вершинами проходит в каждой ячейке по одному ребру (внешнему или «диагональному»). Поэтому её длина d(Pfcr) определяется через число N ячеек d(Pkr) = N + 2. При чётном п имеем N + 1 = |Х| = |У| = (п — 2)/2. Следовательно, d(Pfcr) = ^Рд) = ^(Рв) = п/2.
При нечётном п число ячеек определяется числом вершин более короткой цепи, например Рв (рис.2, б), по выражению N + 1 = |У| = (п — 3)/2. Следовательно, d(Pfcr) = ^(Рв) = (п—1)/2. Таким образом, для диаметров этих графов выполняется равенство diam(Gn) = diam(Ln) = [п/2].
Пусть — квазиступенчатый МВП-граф порядка п, полученный из р-вершин-ного (р > 6) МВП-графа ¿р типа «лестница» (или из ступенчатого МВП-графа Ор) созданием д вершин и^, и2,... , со степенями 5, 6 или более. Число вершин определяется как п = р + к, где к = ¿1 + ¿2 + ■ ■ ■ + , а ^ = deg(uj) — 4.
Из-за добавления новых вершин длина цепи Рд и (или) Рв увеличивается. Однако при этом диаметр графа или не увеличивается, или увеличивается очень незначительно. Это объясняется тем, что диаметральная цепь между симплициальными вершинами в1 и в2 будет проходить через каждую вершину и^- по одному или по двум (рис. 2, в,г) инцидентным ей рёбрам, в обход добавленных вершин.
Сравним диаметры МВП-графов ¿п. Легко показать, что диаметры МВП-графов ¿п определяются по следующим выражениям:
diam(Qn) = diam(Gp) + АД(^п), diam(Ln) = diam(Lp) + АД(Ьп),
где АД(^п) = ^^=с1 АД», АД(Ьп) = [к/2], еслир — чётное, и АД(Ьп) = [к/2], если р — нечётное.
Ясно, что если диаметральная цепь Рд.р проходит по г-й ячейке через одно ребро (рис. 2, в), инцидентное одной или двум вершинам и^, то увеличение диаметра не происходит, т. е. величина изменения АД» диаметра графа равна 0.
Если же диаметральная цепь Рд.р проходит по г-й ячейке через вершины и^, и^+1 по двум рёбрам, из которых одно ребро «поперечное» (рис. 2, г), то диаметр графа увеличивается на 1, т.е. АД» = 1. Отсюда следует, что АД(^п) = N < Д., где N — число ячеек, для которых АД» = 1.
Легко видеть, что на каждую единицу увеличения длины диаметральной цепи приходится по двум или более новых вершин, добавленных в одну ячейку (рис. 2, г) или в две соседние ячейки (рис. 2, в).
Следовательно, АД(Ьп) > N > АД(^п) и diam(Qn) < diam(Ln). □
Следствие 1. Для диаметров МВП-графов ¿п и ¿п-1 типа «лестница» порядка п и п — 1 соответственно выполняется одно из следущих равенств:
diam(Ln-1) = diam(Ln) — 1 при чётном п, diam(Ln-1) = diam(Ln) при нечётном п.
Определение 6. МВП-граф класса «2-дерево», полученный из р-вершинного МВП-графа типа «веер» посредством элементарных расширений на к рёбрах, ни
одно из которых не инцидентно ни одной симплициальной вершине Рр, называется МВП-графом типа «гребень» и обозначается через Нр,к, (р ^ 5, к ^ 1).
Определение 7. МВП-граф Нр,к, (р ^ 6, к ^ 2) называется МВП-графом Б-гребень и обозначается через Нр^, если для любых двух добавленных симплициальных вершин з»,^ выполняется неравенство ^з»,^) ^ 3, если же , ^) ^ 4, то граф Нр,к называется МВП-графом Ь-гребень и обозначается как Нр^.
Примеры построения МВП-графов Н5д,Нрд и Нр^Нр^ изображены на рис. 5, а,б,в,г.
Рис. 5. МВП-графы класса «2-дерево» с малым диаметром: Н5д (а); МВП-граф Нрд (б); МВП-граф Нр2 (в); МВП-граф Нр3 (г); пунктиром показана последовательность попарно смежных вершин МВП-графа типа «веер»; пустыми кружками — добавленные симплициальные вершины
Определение 8. Ствол, являющийся МВП-графом типа «лестница» (ступенчатым МВП-графом), называется Ь-ст,воло.м (Б-стволом).
Теорема 2. Пусть Сга — МВП-граф класса «2-дерево» порядка п ^ 6. Тогда
^аш(Сб) = ^ат(Н5д) = 2, если п = 6, (4)
3 ^ ^ат(Сга) ^ ^ат(Ьга), если п ^ 7 , (5)
причём равенство (4) выполняется, если граф есть МВП-граф Н5д, изображённый на рис. 5, а; левое неравенство в (5) обращается в равенство тогда и только тогда, когда граф Сга есть один из МВП-графов Нр1, Нр2, Нр3, изображённых на рис. 5, б,в,г, а правое неравенство в (5) обращается в равенство тогда и только тогда, когда граф Сга имеет нечётное число вершин, Ь-ствол или Б-ствол и один ответвительный сегмент размера 2.
Доказательство. Доказательства равенства (4) и левого неравенства в (5) очевидны и вытекают из построения МВП-графов Н5д, Нр1, Нр2, Нр3.
Докажем правое неравенство в (5). По определению, любой МВП-граф Сга класса «2-дерево» имеет ствол Н из пн вершин и пв, (пв = п — пн) вершин, не принадлежащих стволу. Ясно, что любая цепь между диаметральными вершинами, проходящая через вершины ствола и через вершины, не входящие в ствол, будет длиннее, чем диаметральная цепь. Поэтому диаметральная цепь (как самая короткая) проходит только через вершины и рёбра ствола. Отсюда следует, что диаметр ^ат(Сга) графа Сга равен диаметру ^ат(Н) его ствола Н, т.е. ^ат(Сга) = ^ат(Н).
Тогда если в Сга число пв вершин, не входящих в ствол, больше 1 (т. е. пв > 1), то всегда выполняется неравенство ^ат(Ьга) > ^ат(Сга). Если в Сга есть всего одна вершина, не входящая в ствол, т.е. пв = 1, то в случае, когда ствол есть квазиступенчатый МВП-граф, выполняется неравенство ^ат(Ьга) > ^ат(Сга).
В других случаях, когда ствол есть ступенчатый МВП-граф или МВП-граф типа «лестница» в силу следствия 1 при нечётном п выполняется равенство ^ат(Ьга) = ^ат(Сга), а при чётном п — неравенство ^ат(Ьга) > ^ат(Сга). □
Пример 2. Например, МВП-граф О8, представленный на рис. 1, а, имеет диаметр 3 и две диаметральные вершины 1 и 5. Ствол графа (с вершинами 1,2,4,5,6,7,8) есть МВП-граф ¿7 типа «лестница»; ответвительный сегмент — размера 2 с вершинами 3,4,7,2. Число п вершин графа О8 чётное. Следовательно, ^аш(Ь8) > ^аш(С8).
4. Диаметр МВП-графов, уложенных на треугольной решётке из равносторонних треугольников
Довольно привлекательной областью применения МВП-графов является их использование для распознавания и классификации геометрических изомеров сопряжённых полиеновых углеводородов (СПУ). Молекулярные графы СПУ представляют собой деревья, в которых любые два смежных ребра образуют угол 120°. Причём каждый молекулярный граф СПУ является слабым двойственным графом некоторого МВП-графа [7]. Отсюда следует, что молекулярные графы СПУ вписаны как двойственные в МВП-графы, вершины и рёбра которых располагаются на узлах и рёбрах решётки из равносторонних треугольников без образования «дыр» и пересечений (см. рис.6).
Поэтому для того, чтобы ранее полученные оценки диаметра нашли свое применение в химических приложениях, их необходимо скорректировать с учётом следующих ограничений: (а) вершины и рёбра МВП-графов должны располагаться на узлах и рёбрах решётки из равносторонних треугольников без образования «дыр» и пересечений; (б) максимальная степень Д(О) вершин МВП-графа О ограничена
Рис. 6. Взаимно однозначное соответствие МВП-графов и слабых двойственных к ним деревьев: ступенчатый МВП-граф (а); МВП-граф типа «лестница» (г); МВП-графы с от-ветвительным сегментом (б,в,д); рёбра деревьев, слабых двойственных к МВП-графам, показаны пунктиром, а вершины — пустыми кружками
Далее МВП-граф, удовлетворяющий вышеуказанным ограничениям, мы будем называть МВП-графом, уложенным на треугольной решётке, или для краткости решётчатым МВП-графом.
Нетрудно заметить, что для верхней оценки диаметра решётчатых МВП-графов справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Максимальное значение диаметра решётчатых МВП-графов совпадает с максимальным значением диаметра произвольных МВП-графов.
Доказательство. Действительно, имеется четыре вида МВП-графов с максимальным диаметром: МВП-графы типа «лестница»; ступенчатые МВП-графы; МВП-графы с нечётным числом вершин, имеющие ¿-ствол или ¿"-ствол и один ответви-тельный сегмент размера 2. Но все эти графы имеют максимальную степень вершин Д(О) < 6 и могут быть уложены на треугольной решётке без «дыр» и пересечений. Образцы решётчатых МВП-графов этих видов и двойственные им молекулярные графы представлены на рис. 6. □
и Д(О) < 6.
В силу теорем 1, 2 максимальный диаметр имеют МВП-графы, ствол которых является МВП-графом типа «лестница» или ступенчатым МВП-графом и не имеют ответвительных сегментов. С увеличением числа ответвительных сегментов и, следовательно, с увеличением «разветвлённости» диаметр МВП-графа уменьшается. В пределе МВП-граф с максимальным числом ответвительных сегментов (с максимальной «разветвлённостью») будет иметь минимальное, или близкое к нему, значение диаметра.
Определение 9. Редукцией называется удаление симплициальной вершины ствола МВП-графа (при этом образуется новый ствол) с последующим добавлением симплициальной вершины, смежной с вершинами внешнего ребра (нового ствола), не инцидентного ни одной симплициальной вершине нового ствола.
Теорема 4. Пусть — п-вершинный МВП-граф класса «2-дерево», имеющий Ь-ствол и максимальное число Я ответвительных сегментов размера 2, а — МВП-граф такого же типа, что и С^, но с меньшим числом Р ответвительных сегментов. Тогда
<11ат(Ср) > ^ат(С^), если Я - Р > 2, (6)
<11ат(СР) > ^ат(С^), если Я - Р =1, (7)
1 I (п + 4)/4 при чётном п;
<1ат(Сп)=^
(п + 5)/4 при нечетном п.
Доказательство. Пусть имеем п-вершинный МВП-граф Ьп типа «лестница». Повторив 1, 2,..., Я раз операцию редукции, получим МВП-графы класса «2-дерево», причём любой граф СП (к = 1, 2,..., Я) имеет Ь-ствол Ь^ из Б = п — к вершин и к вершин, не входящих в ствол. Максимальное число Я новых симплициальных вершин при чётном п определяется как Я = Б — 4, а при нечётном п — как Я = Б — 5. Откуда, подставляя значения Я в выражение числа вершин п = Б + Я, получим Б = (п + 4)/2, Я = (п — 4)/2 при чётном п и Б = (п + 5)/2, Я = (п — 5) /2 при нечётном п.
Диаметр МВП-графа СП равен диаметру его Ь-ствола, т. е. диаметру МВП-графа типа «лестница», который определяется по формуле (3). Следовательно, <1ат(СП) = |_Б/2_|. Отсюда с учётом следствия 1 получаем неравенства (6), (7), а подставляя значения Б при к = Я, получим выражение (8) для диаметра графа
а^ □
Ясно, что из графа после выполнения ещё одной или нескольких операций переноса симплициальных вершин, не входящих в ствол, можно получить множество подобных МВП-графов с тем же диаметром. При переносе, как и при редукции, удаляется симплициальная вершина, взамен добавляется новая и соединяется парой рёбер с вершинами ребра, не входящего в ствол. Причём основным критерием для выполнения операции является сохранение диаметра.
В качестве примера на рис. 7 показаны МВП-графы, полученные из МВП-графа ¿12 методом многократной редукции и операций переноса .
Формулы (6)-(8) задают нижнюю оценку диаметра решётчатых МВП-графов класса «2-дерево», имеющих Ь-ствол и максимальное число ответвительных сегментов размера 2, 3, которую можно принять в качестве предварительной нижней оценки диаметра всех решётчатых МВП-графов.
Рис. 7. МВП-графы, полученные посредством многократной редукции и переноса симплициальных вершин из МВП-графа Ь12 типа «лестница»: многократная редукция (а); варианты выполнения операций переноса (б,в,г)
Из теорем 1, 2, 3 следует, что диаметр произвольных и решётчатых МВП-гра-фов порядка п изменяется в узком диапазоне, поскольку он ограничен сверху величиной |_п/2_|. Однако несмотря на эти ограничения, с помощью диаметра можно выполнить классификацию МВП-графов, т. е. разделение их на небольшое число классов по величине диаметра.
Полученные результаты (теоремы 1, 2) дают нижнюю и верхнюю оценки диаметра произвольных МВП-графов и, следовательно, могут быть использованы для классификации фигур по их диаметру в изображениях, представляемых в виде МВП-графов [8].
Как следует из неравенств (6), (7) теоремы 4, диаметр МВП-графа класса «2-дерево» тесно связан со степенью его разветвлённости, определяемой через число ответвительных сегментов. А в силу свойства 2 степени разветвлённости МВП-графа и слабого двойственного к нему графа равны. Таким образом, классификация решётчатых МВП-графов по диаметру фактически позволяет классифицировать двойственные им молекулярные графы изомеров СПУ по степени их разветв-лённости.
Отсюда следует необходимость продолжения исследований по уточнению нижней оценки диаметра и определению экстремальных решётчатых МВП-графов, на которых эта оценка достигается.
5. Заключение
Исследованы особенности изменения диаметра МВП-графов при добавлении новых симплициальных вершин. Определены свойства операций элементарного расширения з-типа при построении МВП-графов класса «2-цепь» (предложение 1, следствие 1).
Получены нижняя и верхняя оценки диаметра произвольных МВП-графов и экстремальные графы, на которых эти оценки достигаются. Определены соотношения между диаметрами разных классов графов.
Для решётчатых МВП-графов доказано, что верхняя оценка их диаметра совпадает с верхней оценкой диаметра произвольных МВП-графов; в качестве предварительной нижней оценки диаметра принят диаметр решётчатых МВП-графов, имеющих ¿-ствол и максимальное число ответвительных сегментов. Представляется актуальным продолжение исследований по уточнению нижней оценки диаметра и определению экстремальных решётчатых МВП-графов, на которых эта оценка достигается.
Автор благодарит профессора И. Б. Кожухова за ценные замечания по тексту статьи.
Список литературы
1. Евстигнеев, В. А. Словарь по графам в информатике / В.А.Евстигнеев,
B.Н.Касьянов. — Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. — 300 с.
2. Харари, Ф. Теория графов / Ф.Харари. — М.: Мир, 1973. — 300 с.
3. Asratian, A. S. Graphs with hamiltonian balls / A. S. Asratian, N.Oksimets // The Australian Journal of Combinatorics. — 1998. — Vol. 17, no. 4. — P. 185-198.
4. Proskurowski, A. Subgraphs in k-trees: cables and caterpillars / A. Proskurowski // Discrete Mathematics. — 1984. — Vol. 49, no. 5. — P. 275-278.
5. Markov, M. On the vertex separation of maximal outerplanar graphs / M.Markov // Serdica Journal of Computing. — 2008. — Vol. 154, no. 5. — P. 207-238.
6. Farley, A. M. Computation of the center and diameter of outerplanar graphs / A.M.Farley, A.Proskurowski // Discrete Applied Mathematics. — 1980. — Vol. 2, no. 3. — P. 185-191.
7. Chemical relevance of a pure combinatorial problem: isomers of conjugated polyenes / S.J.Cyvin, E.K.Lloyd, B.N.Cyvin, J. Brunvoll // Structural Chemistry. — 1996. — Vol. 7, no. 3. — P. 183-186.
8. Felzenszwalb, P. F. Representation and detection of deformable shapes / P. F. Felzenszwalb // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. — 2005. — Vol. 27, no. 2. — P. 208-220.
9. Chung, F. R. K. Diameters of graphs: old problems and new results / F. R. F. Chung // Congressus Numerantium. — 1987. — Vol. 60, no. 2. — P. 295-317.
10. Носов, Ю. Л. Индекс Винера максимальных внешнеплоских графов / Ю.Л.Носов // Приклад. дискрет. математика. — 2014. — Т. 26, № 4. — С. 112-122.
11. Носов, Ю. Л. О максимальных внешнеплоских графах с двумя симплициальными вершинами / Ю. Л. Носов // Приклад. дискрет. математика. — 2015. — Т. 29, № 3. —
C. 95-109.
12. Добрынин, А. А. Индекс Винера для деревьев и гексагональных систем / А. А. Добрынин, И. Гутман // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 2. — 1998. — Т. 5, № 2. — С. 34-60.
Поступила в 'редакцию 12.04-2018 После переработки 14-06.2018
Сведения об авторе
Носов Юрий Леонидович, консультант Guardian Software Inc., Калгари, Канада; удалённый офис: Липецк, Россия; e-mail: yl.nosov@yandex.ru.
436
ro. HOCOB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 4. P. 421-437.
DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13404
MAXIMAL OUTERPLANE GRAPHS OF EXTREMAL DIAMETER Yu.L. Nosov
Guardian Software Inc., Calgary, Canada; remote office: Lipetsk, Russia yl.nosov@yandex.ru
We explore the maximal outerplane graphs (MOP-graphs) with extremal values of diameter. For arbitrary MOP-graphs we determine the lower and upper bounds of the diameter. For lattice MOP-graphs (i. e., graphs embedded into the lattice of equilateral triangles without "holes" and intersections) we prove that the upper bound of the diameter matches that of the arbitrary MOP-graphs; a preliminary lower bound of the diameter is determined. For the lower and upper bounds of the diameter of arbitrary and lattice MOP-graphs we determine the extremal graphs where these bounds are reached. Extremal graphs with maximal diameter are the same for both arbitrary and lattice MOP-graphs. The obtained results can be used for classification of images represented by MOP-graphs, and for classification of isomers of conjugated polyene hydrocarbons.
Keywords: maximal outerplane graphs, diameter, extremal graphs, graphs with extremal values of diameter.
References
1. Evstigneev V.A. Slovar' po grafam v informatike [Dictionary of graphs in computer science]. Novosibirsk: Siberian Scientific Publishing House, 2009. 300 p. (In Russ.).
2. Harary F. Graph Theory. Reading, MA, Addison-Wesley, 1969. 274 p.
3. Asratian A.S., Oksimets N. Graphs with hamiltonian balls. The Australian Journal of Combinatorics, 1998, vol. 17, no. 4, pp. 185-198.
4. Proskurowski A. Subgraphs in k-trees: cables and caterpillars. Discrete Mathematics, 1984, vol. 49, no. 5, pp. 275-278.
5. Markov M. On the vertex separation of maximal outerplanar graphs. Serdica Journal of Computing, 2008, vol. 154, no. 5, pp. 207-238.
6. Farley A.M., Proskurowski A. Computation of the center and diameter of outerplanar graphs. Discrete Applied Mathematics, 1980, vol. 2, no. 3, pp. 185-191.
7. CyvinS.J., Lloyd E.K., CyvinB.N., BrunvollJ. Chemical relevance of a pure combinatorial problem: isomers of conjugated polyenes. Structural Chemistry, 1996, vol. 7, no. 3, pp. 183-186.
8. Felzenszwalb P.F Representation and detection of deformable shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2005, vol. 27, no. 2, pp. 208-220.
9. Chung F.R.K. Diameters of graphs: old problems and new results. Congressus Numerantium, 1987, vol. 60, no. 2, pp. 295-317.
10. Nosov Yu.L. O maksimal'nykh vneshneploskikh grafakh s dvumya simplitsial'nymi vershinami [Maximal outerplane graphs with two simplicial vertices]. Prikladnaya diskretnaya matematika [Applied discrete mathematics], 2015, vol. 29, no. 3, pp. 95109. (In Russ.).
11. Nosov Yu.L. Indeks Vinera maksimal'nykh vneshneploskikh grafov [The Wiener index of maximal outerplane graphs]. Prikladnaya diskretnaya matematika [Applied discrete mathematics], 2014, vol. 26, no. 4, pp. 112-122. (In Russ.).
12. Dobrynin А.A., GutmanI. Indeks Vinera dlya derev'yev i geksagonal'nykh sistem [The Wiener index for trees and graphs of hexagonal systems]. Diskretnyy Analiz i Issledovaniye Operatsiy [Discrete analysis and operations research]. Ser. 2, 1998, vol. 5, no. 2, pp. 34-60. (In Russ.).
Accepted article received 12.04-2018 Corrections received 14-06.2018
