Малые подграфы и расширения в семействе случайных подграфов плотных дистанционных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4

А. В. Буркин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Малые подграфы и расширения в семействе случайных подграфов плотных дистанционных графов

В предыдущих работах были получены результаты, касающиеся распределения малых подграфов и расширений в случайном симметричном дистанционном графе. В настоящей статье мы обобщаем эти утверждения на более широкий класс случайных дистанционных графов.

Ключевые слова: дистанционные графы, случайные графы, малые подграфы, свойства расширений.

А. V. Burkin Lomonosov Moscow State University

Small subgraphs and extensions in a family of random subgraphs of dense distance graphs

Earlier, the results concerning the distribution of small subgraphs and extensions in a random symmetric distance graph were obtained. In this paper, we generalize these statements to a wider family of random distance graphs.

Key words: distance graphs, random graphs, small subgraphs, extension properties.

1. Введение и история задачи

Исторически первая (и наиболее изученная) модель случайного графа G(n,p) была предложена П. Эрдёшом и А. Репьи в 1959-1960 гг. (см. [1,2]). В ней все (неориентированные) ребра проводятся независимо друг от друга с вероятностью р. Если точнее, случайный граф G(n,p) есть случайный элемент, принимающий значения в множестве всех неориентированных графов на п вершинах с распределением P(G(n,p) = (V., Е)) = p\E\l -р)с»-|е| (здесь V — это множество вершин графа — некоторое фиксированное множество мощности n, а Е — множество ребер — множество пар элементов V). Достаточно полное описание результатов, посвященных G(n,p), можно найти в [3-7].

Естественное обобщение этой модели получается, если ребра проводятся не все возможные, а принадлежащие множеству ребер некоторого графа G. Соответствующий случайный элемент в такой постановке называется случайным подграфом Gp граф a G.

Одной из важных проблем в теории случайных графов Эрдёша-Реньи является нахождение предельного распределения малых подграфов в G(n,p). Первые результаты были получены еще самими П. Эрдёшем и А. Репьи [2], а позже этим вопросом занимались Б. Боллобаш [8], А. Ручински, Э. Вине [9] и др. Приведем формулировки основных теорем, но прежде дадим основные определения.

Пусть Л = Л(п) — произвольное свойство графов. Формально под свойством графов для некоторого п понимается любое подмножество множества всех неориентированных графов на п вершинах. Примерами таких свойств являются свойство содержать некоторый

© Вуркин А. В., 2019

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019

фиксированный граф в качестве подграфа, свойство графа быть связным, свойство графа иметь хроматическое число, равное пяти. Пороговой вероятностью свойства Л для случайного графа Ор называется такая функция р* = р*(п), что Р(^-) = 0 при р = о(р*), п ^ го, и РМ-) = 1 при р = ы(р*), п ^ го (или наоборот). Здесь /(п) = о(д(п)) (/(п) = ш(9(п))) означает, что для любого С > 0 существует п0 > 0, такое, что для любого п > По выполнено |/(п)1 < С 1д(п)1 (С 1д(п)1 < |/(п)1). Для этих отношений мы также будем использовать обозначения / (п) ^ д(п) и / (п) ^ д(п) соответственно. Функция р* = р*(п) называется тонной пороговой вероятностью, если для любого с < 1 при р ^ ср* выполнено Р(^) = 0 и для любого с > 1 при р ^ ср* выполнено Р(^) = 1 (или наоборот).

Будем обозначать ь(Р) и е(Р) количество вершин и количество ребер графа Р соответственно. Напомним, что граф Р называется строго сбалансированным, если

р(Н) < р(Р)

для любого собственного непустого подграфа Н С Р, где р(Н) = е(Н)/ь(Н) — плотность графа Н. Граф называется сбалансированным, если неравенство нестрогое.

Максимальной плотностью графа Р называется величина

„шах/ттЛ _

е(Н)

р (£) = шах .

яс^ у(Н)

Теорема 1 (Б. Боллобаш [8]; А. Ручински, Э. Вине [9]). Пусть Р — произвольный фиксированный граф. Тогда, функция р* = п-1/ртах(Е) является пороговой вероятностью свойства содержать копию Р для случайного графа С(п,р). Выполнен, также закон больших чисел для числа, копий Хр графа Р в С(п,р): пр и р ^ р* для любо го е > 0

Р

-1

ЕХ

< £ ->■ 1.

Теорема 2 (Б. Боллобаш [8]). Пусть Р — строго сбалансированный граф с к вершинами и I ребрами и а — количество его автоморфизмов. Пусть р ~ сп-к/1, с > 0. Тогда, распределение величины, Хр слабо сходится к пуассоновскому с параметром X = с1 /а.

В настоящей работе мы получили ряд результатов об асимптотическом распределении малых подграфов в семействе других моделей случайного графа, называемых случайными дистанционными графами, определение которых будет дано в следующем разделе. Эти результаты распространяют утверждения, доказанные в [10], на более широкий класс графов.

Перейдем к описанию свойств расширений, являющихся обобщениями свойства содержать некоторый фиксированный граф.

Пусть Н — граф с вершинами г1,..., га,у1,... ,Ук: где Я = {^1,..., га} — множество корней. Сетью называется пара (Я,Н). Говорят, что граф С удовлетворяет свойству расширения Ех1(Я, Н), если для лю бых у1,...,ул € V (С) найдутся такие ■ш1,...,,шк € V (С) \ {у1,..., г^}, что {zi,yj} € Е (Н) ^ {vi,Wj} € Е (С) для любых г € {1,..., (!}, ] € {1,... ,к} и {уг, у^} € Е (Н) ^ {■Шг, Wj } € Е(С) для любых г,] € {1,..., к}.

Пусть I = е(Н) — е (Н|д), где Н|д — подграф Н, индуцированный на множестве Д. В общем случае величины к и I будем обозначать ь(Я,Н) и е(Я,Н) соответственно. Величина р(Я,Н) = //к называется плотностью сети (Я,Н). Подсетью называется сеть (Я, в) := (Я,Н), где Я С Б С V(Н). В собственной подсети Б = V(Н). Сеть (Я,Н) называется строго сбалансированной, если р(Я, Б) < р(Я, Н) для всех собственных подсетей (Я, Б). Она называется сбалансированной, если неравенства нестрогие. Сеть (Я,Н) называют нетривиальной, если каждая корневая вершина г соединена ребром вЯс хотя бы одной вершиной у € V(Н) \ Я.

Дж. Спенсером в [11] была доказана следующая теорема.

Теорема 3 (Дж. Спенсер [11]). Пусть (R,H) — нетривиальная строго сбалансированная сеть. Тогда существуют т,акие числа, 0 < е < К, что

если р ^ еп -k/l(lnп)1/1, то lim P(Ext(R,H)) = 0; если р ^ Kn-k/l(lnn)l/l, то lim P(Ext(R,H)) = 1.

п^-те

Верно и более сильное утверждение. Пусть С\ есть число автоморфизмов графа Н, оставляющих корни на своих местах. Пусть, кром,е того, с2 обозначает количество биективных отображений R на себя, которые можно продолжить до некоторого автоморфизма Н. Если X = const > 0 и для, р = р(п) выполнено

nkpl/ci = ln (nd/(C2\j) ,

то

lim P(Ext(R,H)) = e-x.

п^-те

2. Описание модели и новые результаты

В этом разделе мы определим случайные дистанционные графы, и приведем формулировки доказанных нами теорем для этой модели, аналогичных теоремам 1-3 из предыдущего раздела.

2.1. Основные понятия и формулировки теорем

В настоящей работе рассматривается семейство полных дистанционных графов

G = G(n,an,a2n) = (V, Е), а = —, а1,а2 Е N, НОД(«1,а2) = 1, п = 0 mod а%,

а2

в которых

V = {x е {0,1}га : (x, x) = an), Е = {{x, y} : (x, y) = a2n} ,

где (х, у) обозначает евклидово скалярное произведение.

Эти графы называются дистанционными, поскольку их ребра соответствуют парам вершин, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. Подобные графы играют важную роль в различных задачах комбинаторной геометрии (см., например, [12-16]).

Количество вершин этого графа будем обозначать N = N(п), а его степень (граф, очевидно, является регулярным) — = N1(4). Заметим, что в силу формулы Стирлинга

„Н (а)п

N = С%п ~

п у/2па@п

о „ рН(а)п

АТ г~1аопг~1арп

У/Зп 2ка3/202п

где @ = 1 — а, а Н(а) = —а 1п а — @ 1п @ — функция энтропии.

Нас интересуют случайные подграфы С(п, ап, а2п), которые мы будем далее называть случайными дистанционными графами Ср(п,ап,а2п). Не опасаясь путаницы, в дальнейшем мы часто будем записывать С и Ср вместо С(п, ап, а2п) и Ср(п, ап, а2п) соответственно.

В статье [10] были получены результаты для С(п,п/2,п/4), аналогичные приведенным результатам для случайного графа С(п,р). В настоящей работе мы обобщаем эти теоремы на случай произвольного а. Будем использовать обозначение Хр для числа копий графа Е в случайном графе Ср. Сформулируем полученные результаты.

Теорема 4. Пусть Р — произвольным фиксированный граф. Тогда функция

Р —1

является пороговой вероятностью свойства Ор(п,ап,а2п) содержать копию Р. При р ^ р* для любо го е > 0

ХР

P

EX

- 1

F

Теорема 5. Пусть F — строго сбалансированный граф с к вершинами и I ребрами и а есть число автоморфизмов F. Пусть

р „ cN-k/i N,

1 Ni

где с = const > 0. Тогда распределение Xp слабо сходится, к пуассоновскому с параметром X = с1 /а, где Xp — число копий графа F в Gp(n,an,a2n).

Перейдем к свойствам расширений. Такие свойства являются монотонными (см., например, [4]) и поэтому для них существуют пороговые вероятности (см. [4]). Тем не менее, как показано в [10], для многих сетей ( R, Н) и для любых р свойства Ext(R, Н) с вероятностями, 1

станционных графов Gp(n,n/2,n/4). Аналогичные наблюдения могут быть сделаны и для графов G(n, an, a2n). Поэтому для подобных свойств расширений пороговую вероятность не удается представить в удобном виде, как это сделано в теореме 3 для случайного графа G(n,p). В этой связи, действуя аналогично случаю a = 1/2 из [10], мы модифицировали определение свойств расширений для «дистанционного случая», сузив семейство множеств корней. Определим эти свойства.

Пусть f = f(n) — произвольная последовательность положительных чисел. Также пусть ( R,H) — нетривиальная строго сбалансированная сеть с V(Н) = {zi,..., Zd, yi,..., Ук} R = {%i,..., Zd] и e(R,H) = l. Рассмотрим произвольные вершины v1 = (v\,..., v^),..., vd = (vf,..., v^) £ V. Обозначим 5i,..., 52d £ {0,1]d различные ^-последовательности из нулей и единиц, упорядоченные лексикографически: ¿1 = (1,..., 1) > ... > (0,...,0) = 52d. Разобьем множество {1,... ,n] на подмножества В\,..., B2d следующим образом: i £ Bj тогда и только тогда, когда (v\,..., vf) = Sj. Положим

Xj = Xj (v1,..., v^ = В | -w'j (d + 1) при j £ {1,..., 2d} , (1)

где w'j(d + j £ {1,..., 2d], определяются рекуррентно:

vj[ (2) = an, w2 (2) = fin,

w'2 k-i(i + 1)= [auj'k (i)] , w'2k (i + 1)=w'k (i) - [aw'k (г)] , к £ {1,..., 2i-i} ,i £{1,...,d].

Здесь и далее [■] обозначает целую часть числа (с округлением в меньшую сторону).

Обозначим ^множество всех d-последовательностей вершин из V, для которых IxjI ^ f(n), j £ {1,..., 2d], Будем говорить, что остовный подграф G' дистанционного графа G обладает свойством Ext'dlst(R, Н), если для любого (vi,..., vd) £ Vd найдутся такие wi,..., wfc £ V \{vi,..., vd], что {Zi, yj ] £ E (H) ^ {v%, wJ ] £ E(G') для любых i £ {1,... ,d], j £ {1,...,к] и {yi, yj ] £ E(H) ^ {wl, wJ ] £ E (G') для любых i,j £ {1,..., к]. Иными словами, свойство Ext'dlst(R, Н) получается из Ext(R, Н) рассмотрением только тех d-последовательностей вершин из V, которые принадлежит Vf. Таким

{ 1 , . . . , n]

части, приблизительно равные w'(d + j £ {1,..., 2d], Теорема, сформулированная ниже, выполнена при условии f ^ n2/3 и является обобщением соответствующей теоремы

a

Теорема 6. Пусть с1 есть число автоморфизмов графа, Н, которые оставляют, на, месте каждый корень XI € Я. Пусть р = р(п) удовлетворяет равенству

N^ р1 /сЛ = (11п N.

Тогда, р является точной пороговой вероятностью для, свойства Н).

С точностью до используемых вспомогательных утверждений теоремы 4-6 доказываются так же, как и в случае а = 1/2, рассмотренном в [10]. Эти сформулированные в п. 2.2 утверждения, интересные и сами по себе, в случае произвольного а требуют другого подхода. В силу схожести доказательств лемм со случаем а = 1/2, мы ограничимся доказательством только первой из них в разделе 3, детали которого достаточно сильно отличаются в случае произвольного а.

2.2. Формулировки основных лемм

Пусть /(п) — произвольная последовательность положительных чисел, причем / ^ п2/3. Пусть, кроме того, (К, Н) — произвольная сеть с V(Н) = {г1,..., га,у1,..., Ук}, Я = {г1,..., и е(К, Н) = I. Для различпых V1,..., vd € V обозначим М(К Н..., Vй) количество инъективных отображений из V(Н) в V, переводящих г% ъ Vх, г € {1,...,(!}, и сохраняющих ребра между вершинами, среди которых хотя бы одна не является корнем. Поскольку величина Н..., vd) не зависит от выбора конкретных вершин, а лишь от значений 1В^| (см. параграф 2.1), ] € {1,..., 2а}, которые, в свою очередь, зависят только от чисел Х1,..., будем обозначать = М^д)^1,..., V11), где вектор ж := (х1,..., х2л) определен в (1).

Лемма 1. Найдется такая функция М'ян) = М'ян)(п), не зависящая от, х, что н) = М{кн) (1 + О {(/(п))3/п2)) при п ^ ж равномерно по всем х с условием

(п), з €{1,..., 2Л}.

В следующем утверждении была получена асимптотика числа вхождений произвольного графа Р в дистанционный граф С, которая выражается таким же образом, как и в случае а = 1/2.

Лемма 2. Пусть Мр — количество моном,орфизмов графа Р с к вершинами и I ребрами в О. Тогда

Мр - М(к,1) := ^ .

Как и в случае а = 1/2, мы получили формулу для н) из леммы 1.

Лемма 3. В обозначениях леммы 1 в качестве М(иН) м,ожно выбрать М(к,1).

Доказательства последних двух лемм проходят так же, как в случае а = 1/2, отличаясь лишь использованием вспомогательных утверждений настоящей статьи. Поэтому здесь мы их не приводим.

3. Доказательства лемм

В пп. 3.1-3.2 мы введем дополнительные обозначения и сформулируем и докажем некоторые вспомогательные утверждения. В п. 3.3 будет доказана лемма 1, сформулированная в предыдущем разделе.

3.1. Дополнительные определения и предварительные замечания

В дальнейших рассуждениях нам понадобятся вспомогательные обозначения. Пусть ( К, Н) — произвольная сеть с V (Н) = {х \,..., ха,у\,..., Ук}, К = {% 1,..., ¿Л и е(К, Н) = Ь , vd £ V — произвольные различные вершины. В обозначениях из раздела 2 поло-

"Х(1) = и)[ (й + 1) + XI, ... (1) = "й'^л (й + 1) + Х2<!.

Рассмотрим произвольное 8 £ {1,..., к} и такие различные вершины ..., ш5 £ V, что {Хг, Уз} £ Е(Н) ^ {Vг,'} £ Е (С) для любых г £ {1,...,й}, ] £ {1,..., 8} и {Уг, Уз} £ Е (Н) ^ {'г, } £ Е(С) для любых г,] £ {1,...,Для вер-

а V1,

жим

шин V1,..., VЛ,',...,' 1 рассмотрим разбиение мн ожества {1,... ,п} на подмножества

В\,... (см. раздел 2), мощности которых, как несложно видеть, зависят от чисел

Х1, . . . , Х2<1, и положим

= *>Х(*) = \В3\,

В3 =

{г31 , ]£ I1,

,2'

Посмотрим теперь на вершину ш5 и на ее координаты как вектора в V. Для каж-

дого ^ £ {1,..., 2а+я -1} обозначим Vх (в) количество единиц среди чисел

(мы обозначили ,..., координаты ш5). В силу определения дистанционного графа С(п, ап, а2п) ясно, что наличие ребра между вершиной ш5 и некоторой вершиной V из V1,..., vd, ш1,..., ш5-1, представляется в виде равенства скалярного произведения этих

а2 п

2а+-в~2 величин их (в) с единичными коэффициентами (где индексы входящих в выражение величин суть индексы множеств В^, для которых координаты вершины V с номерами из В^ равны 1). Кроме того, для вершины ш5 справедливо равенство (ш5, ш5) = ап. Этот скалярный квадрат, очевидно, записывается в виде суммы всех их(з), ] £ {1,..., 2а+'в~1}.

Предположим, что в графе Н среди вершин Х1,... ,Ха, у1,..., у3-1 только вершины х¡1(3),..., Хг1г У[2(3),..., У12/ соединены ребрами с вер шиной у3 (здесь а(в) — коли-

чество вершин среди Х1,..., хл, соединенных с у3, Ь(,в) — среди у1,... ,у3-1)- Обозначим с(1, г), г £ {¿{(8 ),..., 1ф)(в с(2, г), г £ {12($),..., ^ь(з)(в )}> последовательности индексов

переменных их(8), входящих в уравнения, соответствующие наличию ребер между вершинами у3 ъ Хг, г £ {I}(«),..., ¿^(з)}, и между верши нами у3 и уг, г £ {12(,з),..., ^^(я)}, соответственно. Заметим, что длины всех таких последовательностей совпадают и равны т(з) = 2а+'в~2. Тогда для того, чтобы вершина ш5 была соединена с вершинами v^l(s),..., VII (3), ш12(3),..., '¡2 (3), необходимо и достаточно, чтобы были справедливы равенства и неравенства системы

и

С1

(1,Ч(*))

(.в) + ... + их

(1,4(8))

( ) = а2 п,

иХ (л ,1 / Л (,§) + ... + и

и

С1

(2,11(8))

(8) + ... + иХ

(2,4(8))

( ) = а2 п, ( ) = а2 п,

и

( о \ (я) + ... + их ( „ \($) = а2п,

щ(з) + и2(в) + ... + и2а+я-1 (в) = ап, У] £ {1, 2, 3,..., 2(1+3~1} 0 ^уЙ(З) ^"¿(.в).

(2)

Очевидно,

М;

= > С

■"■1(1)

...С

(1)

( П,Н) ¿^-^----п* (1)

Си1(к) с"*а+к-1(к)

ад* (к)

"2<1+к-1

_1 (к)

(3)

3

1

w

где суммирование в выражении ведется по всем решениям (и^(1),... (1)), ..., (и°1(к),..., и^л+к-1 (к)) систем (2) ев = 1,...,8 = к соответственно. Здесь (8 + 1) = и* (в), (8 + 1) = Ь]0-^) — и? (в) При любых 8 € [1,...,к — 1}, 3 € {1,..., 2Л+3_1}.

3.2. Вспомогательные утверждения

В предложениях ниже будем предполагать, что функция / (п) такова, что п1/2 < /(п) < п2/3.

Предложение 1. Пусть

y [awi]+x ^ [aw2]-x+t

F(w1,w2,x, t) =

r< [awx]r< [aw2]

Пусть также для постоянных 0 < с, С < 1 выполнено сп ^ Wi ^ Сп, г = 1, 2. Кроме того, пусть w1 + w2 = w, сп ^ w ^ С п. Тогда при достаточно больших п для некоторых (зависящих от, а) положительных констант С1,С2

F(w1,w2,x,t) ^ C1etы(13/а^ при |i| ^ f (п) и любых х, F(wi,w2,x,t) < CiefMßM^Mf(п))2/п при |t| ^ f (п) и |ж| > f (,п)

Доказательство. Будем предполагать, что |i| ^ f (п). Пусть сначала также |ж| ^ f (п). Легко видеть, что

С!!1 = J--- exp ( Н п + О ( — +--1—) ) ,т ^ то, п — т ^ то.

у 2кт(п — т) \ \п/ \т п — mJJ

Используя это асимптотическое равенство и раскладывая Н(■) по формуле Тейлора, получим, что

Q[aw!]+xQ[aw2]-x+t = ___/ тт( a)VJ, +

Cw2 =y2K([aWl]+ x)(Wl — [awi] — x) exp (a)W1 +

, [ам1] — aw1 + x 1 . /[aw1] — aw1 + x\2 _ / (f (n))3\\

+H'(ау-1-1-wi + -H (a) \--1-1- wi + v 2'

w1 2 \ w1 ) \ n2 ) I

I W2 (

-exp I

у 2n([aw2] — x + t)(w2 — [aw2] + x — t) l

exp H(a)w2+

+ H' W2 + 1 Н''(а)( M—O^l—l+l) 2 ^ + 0( )

W2 2 \ W2 J V n2 ) )

2ir\f [aw1}[aw2](w1 — [aw1})(w2 — [aw2]) exp (^(a)w+

+ ln (([aw\] + [aw2\ — aw +1) — (- + ^) + О ())

\a J 2ap \w1 w2 ) \ n2 ))

Здесь мы учли, что Н'(х) = 1п((1 — х)/х) и Н''(х) = — ■ Таким образом, Р('Ш1,'Ш2,х, 1) ^ С\е1 при |х| ^ /(п) ^с обозначенными выше условиями на ^1,^2)-

Кроме того, Р(,ш1,,ш2,х, 1) ^ С\е}(а)) /п при |х| = [/(п)]. Для того чтобы получить утверждение, покажем, что, начиная с некоторого п, величина Р^1^2, х, Ь) при

х

X

| ^ f (п) монотонно убывает по ж при х ^ [f (п)] и монотонно возрастает при х ^ — [f (п)]:

F(w1,w2, х + 1, t) ([a^i] + x)!(w1 — [aw1] — x)\

F(w1,w2,x, t) ([awi] + x + 1)!(wi — [aw\] — x — 1)!

([aw2] — x + t)!(w2 — [aw2] + x — t)!

([«№2] — x — 1 + t)!(w2 — [aw2] + x + 1 — t)! (a — x)(b — x + t) ab — (a + b)x + x2 + t(a — x)

(c + x + 1)(d + x + 1 — t) cd + (c + d)(x + 1) + (x + 1)2 — t(c + x + 1) (ab — cd) — (a + b + с + d)x — (c + d) — 2x — 1 + t(a + с +1)

= 1 +

cd + (c + d)(x + 1) + (x + 1)2 — t(c + x + 1)

^^O(n) — wx + O(n) + wit + 0(f (n)) ^ —wx + wi t + O(n)

(c + x + 1)(d + x + 1 — t) (c + x + 1)(d + x + 1 — t)'

Здесь

a = wi — [a№i], b = [aw2], с =[awi], d = w2 — [aw2\. Отсюда при достаточно больших n

F(wi,w2, x + 1, t)

F(wi,w2,x, t)

F(wi, w2,x + 1,t) F(wi, w2,x, t)

Предложение доказано.

< 1, если х ^ [f (n)], > 1, есл и х ^ —[f (п)].

Предложение 2. Пусть v1 = vi(n),...,vl = vl(n) — вершины графа G, разбивающие множество {1,... ,п} на, подм,ножест,ва, В1,..., B2i мощностей w1(i + 1),..., w2i(г + 1), причем при достаточно больших п для любого j £ {1,..., 2г} выполнено en ^ Wj(г + 1) ^ Сп, где 0 < с,С < 1 — некоторые положительные постоянные. Выберем, вершину с номером г + 1, фиксируя в каждом, подм,н,ожест,ве Uj (г + 1) позиций, для, которых соответствующие координаты, искомой вершины,-вект,opa, равны, 1, причем 1 uj(^ + 1) = ап- Множество таких вершин, отвечающих набору и(г + 1) = (и1(г + 1),... ,u2i(г + 1)), будем обозначать Vu^i+1)(v1,..., vl). Тогда, если хот,я, бы для, одного j из {1,..., 2г} выполнено luj(г + 1) — [awj(г + 1)]| > f (п), то при достаточно больших п мощность множест в a, Vu(i+1)(v1,..., v%) не превосходит С\ен (а)п-С2 (f(п)) /п для, некоторых положительных констант С1,С2.

Доказательство. Заметим сначала, что

|т/ ív1 Vi\| = rui(i+1) ru2i (í+1)

\Vu(i+1) (V ,..., v Л = ^Wí(í+1) ...^w2 i (i+1).

Будем доказывать утверждение по индукции. Пусть г = 1. Представляя Uj(2) = awj(2) + tj(2), j £ {1,2}, получаем, что t1(2) = х = —t2(2). Поэтому количество способов выбрать вершину с |¿i(2)| > f (п) (и, соответственно, с таким же условием на t2(2)) в силу предложения 1 не превосходит CieH(a)n-G2(í(п))

Предположим, что предложение доказано для всех г ^ ^ — 1, докажем его для i = /л. Пусть для некоторого к £ {1,..., 2^-1} выполнено lu2k-i(^ + 1) + и2к(ц- + 1) — [aw2k-i(^ + 1)] — [aw2k(v + 1)]| > f(п)- Образуем вектор u'(ij) = (и1(ц),.. .,v!2— (и)) по правилу и'к(ц) = U2k-i(^ + 1) + U2k(ц- + к £ {1,..., 2^-1}. Рассмотрим первые у — 1 вершин и множество Vu/(^)(v1,..., v^-1) вершин графа G, отвечающих набору и'(р). Заметим, что Vu/(^)(v1,..., v^-1) не зависит от v^ и vu(^i+1)(v1, ..., VV) с Vu/(^)(v1, ..., v^-1). Поскольку для некоторого к £ {1,..., 2^-1} выполнено lu'k(ц) — [aw'k(^)]| > f (п) — ^ с с1 = const > ^^ вде wk(ц) = w2k-1(^ + 1) + w2k(ц, + 1),

и

по предположению индукции |Vu'(^)(v1,..., v^ 1)| < С\ен(а)п (п))2/п; а следовательно, \Vu^+i)(vl,..., vM)| < С1 ен(a)n-C'2(f (п))2/п^ Здесь с1 ,С2, как и раньше, — некоторые положительные константы.

Таким образом, можно далее считать, что для всех k G {1,..., 2^-1} выполнено Iu2k-i(v + 1) +U2k(l + 1) - [aw2k-1(l^ + 1)] - [aw2k(l + 1)]| ^ f(n). Представим Uj(l + 1) в следующем виде:

U2k-1(l + 1) = [aw2k-1(l + 1)] + Qk (l + 1),

U2k(l + 1) = [aw2k(l + 1)] - qk(l + 1) + Sk(I + 1).

Ясно, что для всех k G {1,..., 2^-1} выполнено | s к (l + 1)| ^ f(n). Поэтому можно применить предложение 1 для соответствующих пар последовательных множителей в выражении Для IVu(^+1)(vl., v)|:

IVu(p+1)(V1, ■ ■ ■ , Vм)| ^ С1 е^2к=-± Н(a)wk(^)+T,2k=l1 sk(v+1)\n(P/a)-C2(f(п))2/п_ ^ Поскольку

2lÂ

y^^Uj (l + 1) = an,

выполнено

3 = 1 2

(¡л + 1) = о(1).

3=1

Таким образом, последнее выражение в (4) не превосходит С еН {ъ)п_С2и (п))2/п

, где С\, (С2

— некоторые положительные постоянные. Предложение доказано.

3.3. Доказательство леммы 1

Без ограничения общности будем считать, что £ ^ п0'6. Будем также предполагать, что £(п) ^ п0'6 при всех п.

Доказательство проходит по той же схеме, что и в случае, разобранном в [10]. Для полноты картины мы, как и в [10], сначала обозначим основные идеи доказательства, а затем все строго докажем, не ссылаясь на доказательство соответствующей леммы из [10].

Идея доказательства. В разделе 3.1 мы свели задачу нахождения числа расширений ^(пн) к П0ИСКУ асимптотики для некоторой суммы (3) по решениям к систем уравнений (2). В такой формулировке достаточно доказать, что эта асимптотика не зависит от х\,..., х2<1 и равномерна по ним при |х^| ^ ¡(п), г € {1,..., 2а}.

Как будет видно далее, максимум суммы (3) достигается при и^(в) = [а"М?(8)} + 0(1), п ^ то. Также будет показано, что если в сумме (3) проводить суммирование не по всем и3-(в), удовлетворяющим соответствующим системам уравнений (2), а лишь по таким, что

1и?(в) — [ а'Ш^в)]| ^ п0'6, то асимптотика суммы не поменяется, причем сохранится и равномерность по х\,..., х2<1 (при достаточно малых х¿). Для такой «укороченной» суммы уже гораздо легче, вводя для удобства новые переменные и обозначения, доказать равномерность ее асимптотики.

Доказательство. В силу определения чисел х\,..., х2<1 существуют такая константа с > 0 и такие I целых чисел а\,..., а^, что |аj | ^ с для всех ] € {1,..., I} и вектор (х\,..., х2<1) является решением системы (2), в которой 8 = 1, а(1) = I и правая часть заменена на столбец (а\,..., а0)т. Покажем, что существует такая константа С > 0, не зависящая от (х\,..., х2<1), что для всех ] € {1,..., 2Л} найдутся числа у^ = у^(п) € Ъ и г^ € Ъ,

I rj | <С,

(5)

для которых

х3 = ачУз + Г],

(6)

а вектор (у 1,..., у2<!) является решением системы (2), в которой 5 = 1 а(1) = й и правая часть заменена на столбец (0,..., 0)т. Обозначим последнюю систему следующим образом: Ау = 0. Подставив вместо у вектор ([хх/а^],..., /О,]), получим в правой части некоторый вектор ( Ьх,..., Ьа+\)т, абсолютное значение каждого элемента которого не превосходит некоторой константы с > 0. Заметим, что для любого г € {1,... ,й +1} в г-ой строке матрицы А = (а^)21+1 содержится ненулевой коэффициент: а^2<1-2<1-1 = 1 (если г € {1,... ,й}) и а<1+\ 2Л = 1-1 ПРИ этом соответствующие коэффициенты в остальных строках (кроме последней) равны нулю: а^ 2л-2л-1 = 0 (если г € {1,..., й}, ,] € {1,...,г — 1,г + 1,..., й}) и а^ 2л = 0 (если j € {1,..., й}). Следовательно, положив

У2<1-2<!-

Х2^_2^-г

а

— Ьг при г € {1,..., й},

У2*

Х2^

а

2

+ ^ Ь — ъ,

г=1

Уз

а

2

при 3 € |1,..., \ |

2<1_2^-1 2а_2^-2

у

Введем для удобства новые обозначения:

Ь (в) = Щ^) — а (в) — £] ф)

2& _ 1 2Л

(7)

где е] (1) = при ] € {1,..., 2а}, а при в € {2,... ,к}

£з « = ' ' ^

Гд, если ]=2Я 1д, д € {1,..., 2а}; 0,

Кроме того, пусть в обозначениях раздела 2 ■ (1) = ■ (й + 1) ] € {1,..., 2а}. Далее, Ц («) при 8 € {1,... ,к}, ] € {1, ..., 2Л+3-1} и ■ (з) при 8 € {2, ... ,к}, ] € {1,... , 2Л+3-1} определяются из следующих рекуррентных соотношений:

и'з (в) = \_а™'з + ^з (в),

(8)

■2,-1 (8)=и'3 (8 — 1), ь23 (8)=ь'3 (8 — 1) —и'3 (8 — 1), ] € {1,..., 2(1+°-2} . (9)

Очевидно, (1) = ■(1) + а^Уз + ^ и их^(1) = [аь^(1)] + а1а2 + (1) при ] € {1,..., 2^}. Получим по индукции аналогичные выражения для ■^(в) и и^(в) при в € {2,..., к}, ] € {1,..., 2Л+8-1}. Пусть 8 € {2,..., к}. Предположим, что для любого ] € {1,..., 2^+(5-1)-1} справедливы равенства

ь^(8 — 1) = Ц (8 — 1)+ (в — 1)+ £3 (8 — 1), ц*(8 — 1) = [аь] (8 — 1)]+а53 (в — 1)+ ^ (8 — 1), (10) где ( в), « € {1,..., к}, j € {1,..., 2Л+3-1}, определяются из рекуррентных соотношений:

Ь (1) = ак2у3, 3 € {1,..., 2а] ,

623-1(8) =а53 (8 — 1), 623 (в)=(353 (8 — 1), з€ [1,..., 2Л+3-2] .

к

Тогда в силу (8), (9) и (10) для любого

имеем

ш21-1(з) = их(в - 1) = и(в - 1) + а8^ (в - 1) = ш'2,-1(з) + 823-1(3)

—21 (8) = - 1) - ихЛз - 1) = (з - 1) - и(з - 1) + Р8з (з - 1) + е^ (з - 1) =

= <ш2у (3)+ 82] (3)+ £2] (3).

Окончательно, для любого ] € {1,..., 2а+я 1} выполнено Следовательно, в силу (7)

их(,в) = (8) + а (в) - (в)^ = [аш^] + а8^(в) + tj(в).

(11)

(12)

Таким образом,

М* = Х^С (1)]+«г1(1)+*1(1) С ["Кл (^К^г л (1)+Чл(1)

М(К,Н) =2(1)+Й1(1)+в1 (1) . . . л (1)+^л (1)+е2л (1) Х ... Х

(13)

^^ [а-ш'1 (к)]+аё1(к)+11(к) ^ л+к_1 (к)\+а&2 л+к-1 (к)+12 л+к-1 (к) (к)+&1(к)+£1(к) ... л+к-1 (к)+д2 ¿+к-1 (к)+е2 ¿+к-1 (к) ,

где суммирование ведется по всем наборам (Ь 1(1),..., 12а(1),..., 11(к),..., ^¿+к-1 (к)), таким что числа и?(в), « € {1,..., к}, j € {1,..., 2л+в-1}, определяемые равенством (7), являются решением систем (2) при 8 € {1,... ,к}.

Докажем, что суммирование в (13) можно осуществлять по некоторому такому множеству Т = Т (п) наборов (11(1),..., 12в. (1),..., к),..., 12а+к-1 (к)), не зависящему от Х1,...,Х2<1, что равенство в (13) заменится на асимптотическое равенство и для всех (11(1),..., 12в. (1),..., ^ (к),..., ^¿+к-1 (к)) € Т будет выполнено | tj («)| ^ п0'6 при в €{1,...,к}, ] € {1,..., 2Л+3-1}.

Заметим, что в силу определения вектора (у1,..., У2<1) вектор (81(1),..., 82d (1)) = (у1,..., у2<1) является решением системы (2), в которой = 1, а(1) = й и правая часть заменена на столбец (0,..., 0)т. Произведем замену переменных и^(1) ^ € {1,..., 2а}, в системе (2) в соответствии с (12). Тогда коэффициенты системы при в = 1 без ограничений, записанных в ее последней строке, не зависят от х. Следовательно,

Х п

(Ь 1(1),..., 12<1 (1)) системы (2) при 5 = 1 без ограничений, записанных в ее последней строке, удовлетворяющее неравенствам | (1)| ^ п°'6, ] € {1,..., 2а}, удовлетворяет этим ограничениям, так как шх-(1) ^ [(шт{а, Р })лп] - / (п) при всех ] € {1,..., 2а}. Следовательно, множество всех наборов (Ь1 (1),..., 12а(1)), удовлетворяющих неравенствам 1(1)1 ^ п0'6, ] € {1,..., 2а}, и определяемых равенством (7), совпадает с множеством всех наборов (11(1),..., £ 2в. (1)), удовлетворяющих неравенствам | tj (1)| ^ п0'6, ^ € {1,..., 2а}, и являющихся решениями системы (2) без ограничений, записанных в ее последней строке.

Т(1)

(9) и (11) для любого набора (Ь 1(1),..., 12а(1)) € Т(1) выполнены неравенства

шх(2) ^ (2) -С1 /(п) ^ [шт{а,рЩ(1)] -п

0'6

-С1 /(п) >

>

(шт{а,Р})а+1п -С(2)/(п)

€ {1,

, 2Л+1}, где С1 и С(2) — некоторые положительные константы.

Пусть s Е {2,..., к} и множество Т (s — 1) наборов

(t i(1),..., t2d (1),..., t1(s — 1),..., t2d+s-2 (s — 1)) задано. Рассмотрим произвольный набор

t = (t i(1),..., t2d (1),..., ti(s — 1),..., t2d+s-2 (s — 1)) Е Т (s — 1). Пусть для всех j Е {1,..., 2d+s-1} выполнено

■wf(s) ^ \(min{a, ¡})d+s-1n] — C(s)f(n), (14)

где C(s) = const > 0. По надогни со случаем s = 1 в силу определения вектора (у1,..., y2d) вектор (51(s),..., §2d+s-1(s)) является решением системы (2), в которой a(s) = d, b(s) = s — 1 и правая часть заменена на столбец (0,..., 0)т. Снова сделаем замену переменных uX(s), j Е {1,..., 2d+s-1}, в соответствии с (12). Поскольку коэффициенты системы без ограничений, записанных в ее последней строке, не зависят от ж и являются функциями от переменных tj (i), j Е {1,..., 2d+%-1}, i Е {1,...,s — 1}, которые также не зависят от х, то и решения такой системы не зависят от х, и при достаточно больших n любое решение (t 1(s),..., 12d+s-1 (s )) системы (2) без ограничений, записанных в ее последней строке, удовлетворяющее неравенствам | tj (s )| ^ j Е {1,..., 2d+s-1}, удовлетворяет этим ограничениям в силу предположения (14). Следовательно, множество всех наборов (t 1(s),..., t2d+s-1 (s)), удовлетворяющих неравенствам | tj (s )| ^ j Е {1,..., 2d+s-1}, и определяемых равенством (7), совпадает с множеством всех наборов (t^s ),..., t2d+s-1 (1)), удовлетворяющих неравенствам | tj (s )| ^ j Е {1,..., 2d+s-1}, и являющихся решениями системы (2) без ограничений, записанных в ее последней строке. Обозначим Т(t) множество всех таких наборов. При s < к, j Е {1,..., 2d+s} и любом (t]_(s),..., t2d+s-1 (s)) Е Т(t) в силу (6), (8), (9), (11) и предположения (14) имеем

wf(s + 1) ^ wj(s + 1) — C1 f(n) ^ [min{a,P}wj(s)] — n0'6 — C1 f(n) ^

>

min{a, ¡3} (wf(s) — Sj(s) — £j(s)) — C2j(n) ^ (min{a, @})d+sn — C(s + 1)f(n)

где C1,C2,C(s + 1) — положительные константы. Положим

т (s) = и {t}х т (t).

t=(t1(1),..,t2d (1),...,t1(s-1),...,t2d+s_ 2 (s-1))ef(s-1) Т Т = Т( к)

Т

По аналогии с доказательством существования чисел у1,..., y2d, для которых выполнено (5) и (6), можно доказать, что для любых Х1,... ,X2d существует такое число с = const > 0 не зависящее от X, и табор (t 1 (1),...,t2d(1),...,t1(k),..., t2d+k-1 (к)) Е Т, что выполнены неравенства tj (s ) ^ с для всех s Е {1,...,к}, j Е {1,..., 2d+s-1}. Соответствующий этому набору элемент суммы из правой части равенства (13), как будет следовать из (16), оценивается снизу величиной ен(a)n/nc для некоторой константы с > 0.

Заметим, что в силу (14) найдется такое с > 0, что для всех Х1,... ,X2d Е [—f (n), f(n)], (t 1(1),..., t2d (1),..., h(k),..., t2d+k-1 (к)) Е Т, s Е {1,...,k} и j Е {1,..., 2d+s-1} при достаточно больших n выполнено cn ^ wX(s) ^ n. Поэтому можно применить предложение 2, откуда следует, что слагаемые в (13), соответствующие наборам ((t 1(1),..., t2d (1),..., 11(к),..., t2d+k-1 (к))), в которых хотя бы одно из tj (г) удовлетворяет неравенству |tj (г)| > n0.6, дают в совокупности

nk2d+k-1 е-П(п°.2) eH(a)kn = 0 (a)kn/nC+1^ .

Здесь д(п) = ^(И(п)) означает, что при достаточно больших п для некоторого С > 0 выполнено д(п) ^ СН(п). Окончательно получаем

М

(к,н) = ^

Ы1),'.',г2 л (1),'"Мк),''^2 а+к-1 (к))еТ

С [а™1(1)]+аЙ1(1)+*1(1)

(1)+Й1(1)+е1(1) ... Х

С [аш2а(1)] +а&2л (1)+Чл(1) С [а-ш^ (&)] +а&1(к)+Ь1(к) Х Ст'2 л (1)+^ л (1)+е2 л (1) . . . (к)+&1(к)+Е1(к) ... Х

С [а™'2<1+к-1 (^]+а&2Л+к-1 (к)+^Л+к-1 (к) / {

Х ^+-1 (к)+*2Л+к-1 (к)+е2л+к-1 (к) ^ + 0 ^пУ ) 1 ]

равномерно по всем х1 ,..., х2в. € [-/(п), /(п)}. Покажем теперь, что

С [аы{ («)]+«Й1 (з)+ъ(з) С [ат2Л+^-1 (,1)}+аг2 <1+°-1 ($)+*2<1+°-1(з) ^

(«)+Й1(«)+£1 (в) ... л+3-1 (з)+г2 ^+8-1 й+а-1 (я)

[аш{ («)] +^(з) 1»™'2 ¿+а-1М] а+8-1 М

С . . . С

(3> т'2 <1 + 8-1 (з)

равномерно по всем х1,...,х2л € [-/(п), /(п)], в € {1,...,к} и ^ 1 (1),..., Цл (1),..., ь(к),..., г2а+к-1 (к)) € Т. 2

Поскольку в силу (14) для всех в € {1,... ,к} ъ ] € {1,..., 2а+я-1} выполне но ш0-^) ^ сп для некоторого с > 0, по формуле Стирлинга найдется такая константа с > 0, что для всех тех же наборов переменных

( С М IС ^Н^' _ п-е. (3)

(з)+^(з)+ъ(з) I (з)+^ (з) ) Р

< с

/(п)

п

Более того, по формуле Стирлинга существует такое М > 0, что для всех ш € [сп, п] П N имеем

ш!

1

М < —.

ш

1 > 0 € {1, . . . , к}

ш € [сп, п], ^ < /(п)

у/ш +У

1

< С1

< ^. /М

п

Заметим, что в силу определения величин Х1,...,Х2<1 и у1,..., У2<1 справедливы равенства ^22= 1 х] = ^22=1 У] = 0 а) следовательно, ^22= 1 гз = 0 в силу (6) и

¿22=1 83(в) = ¿2<2=1 (8) = 0 для любого в € {1,...,к} в силу определения величин 82(в) и е2(в). Наконец,

(з)+&1 (з)

\

ш (*) + 8] (8)

2тт

аш> ф] +а8, (в) + 13 (8)) (ш> (8) - [аш> ф] +р8, (8) - ^ «)

аш^ (в) - аш^ (в) + 13 (5)

х ехр Н(а) (ш'3(.в) + 83(,в)) + Н'(а)

ш (*) + 83 (э)

ш'3 (5)+ 83 (в)) +

+ 1н''(а)

аш(5) - аш(5) + tj (в)

ш(«)+ 83 (з)

{ш> (з) + 83(8)) +0

((/(п))3

V п2

X

2

)

^2TTa/3w'ex-V (a)wj(s) + H(a)(s) + H(а) ([aw'j(s)] - aw'j(s) + tj(s)) +

(\ 1 \2 \ + у /(аДИ И-awj (s) +fj(s)) +0 (Ш3 V

2 ( ) wj (s) \ n2 J

_ eHM(')C№')]+ti(S) (l + o(Щ

wi (s) V V n2

/

равномерно по всем x1,...,x2d £ [—f (n), f(n)], s £ [l,...,k], j £ {1,..., 2d+S -1} (t i(1),..., t2d (1), ..., h( k),..., 12d+k-i (k)) £ T. Поэтому

C [aw{ (s)]+a<51 (s)+ti(s) c\-aW2d+s-i (s)]+a<52d+s-i (S)+* 2^+^-1 (s) _ w'i (s)+<5i(s)+e i (s) w'2 d+s-1 (s)+S2d+s-i (s)+£2d+s-i (s) _

_ Q- Г2^ ч(S)CHii(s)+ti(s) Q w'1 (S)+<5i(s) . . .

И

x c\.aW2 d+°-i (s)]+a<5 2d+s-i (s)+t 2d+s-i (s) / i+o( f(n)\ \ _ X W2d+s-i (s)+52d+°-i (s) \ П ) ) _

_ H «) ЕЙ'^ &j (S)C H' (s)]+t i(s) c l»W2 d+s-i (s)]+V+-i(S) /1+0 ( (f(n))3 \ wi(s) ... w2d+s-i(s) + \ n2 J

_c«W((s)]+Ms)..к(s)(i+o(Щ-)) (i6)

wi(s) W2d+s-i(s) \ \ n2 ii('1

равномерно по всем х\,...,х£ [—/(п), /(п)], 8 £ [1,...,к] и ^ \ (1),..., (1),..., Ь\(к),..., (к)) £ Т. Тем самым лемма доказана, поскольку множество Т и все ве-

х

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 15-01-03530. Литература

1. Erdos P., Renyi A. On random graphs. I // Publ. Math. Debrecen. 1959. V. 6. P. 290-297.

2. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1960. V. 5. P. 17-61.

3. Bollobas B. Random graphs. Second edition. Cambridge : Cambridge University Press, 2001. V. 73 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. P. xviii+498.

4. Jans on S., Luczak Т., Rucinski A. Random graphs. Wilev-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization. New York : Wilev-Interscience, 2000. P. xii 333.

5. Райгородский A.M. Модели случайных графов. Москва : МЦНМО, 2011. 136 с.

6. Колчгм В.Ф. Случайные графы. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва : Физматлит, 2000.

7. Алон Н., Спенсер Док.. Вероятностный метод. Москва : БИНОМ, 2007.

8. Bollobas В. Threshold functions for small subgraphs // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1981. V. 90, N 2. P. 197-206.

9. Rucinski A., Vince A. Balanced graphs and the problem of subgraphs of random graphs // Proceedings of the sixteenth Southeastern international conference on combinatorics, graph theory and computing. 1985. V. 49. P. 181-190.

10. Буркгм А.В., Жуковский M.E. Малые подграфы и их расширения в случайном дистанционном графе // Матем. сборник. 2018. Т. 209, № 2. С. 22-46.

11. Spencer J. Threshold functions for extension statements //J. Combin. Theory Ser. A. 1990. V. 53, N 2. P. 286-305.

12. Райгородский A.M. Проблема Борсука и хроматические числа некоторых метрических пространств // УМН. 2001. Т. 56, № 1. С. 107-146.

13. Райгородский A.M. Проблема Эрдеша-Хадвигера и хроматические числа конечных геометрических графов // Матем. сборник. 2005. Т. 196, № 1. С. 123-156.

14. Райгородский A.M. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. Москва : МЦНМО, 2007.

15. Raigorodskii A.M. Around borsuk's conjecture // J. of Math. Sci. 2008. V. 154, N 4. P. 604-623.

16. Raigorodskii A.M. On the chromatic numbers of spheres in Rra // Combinatorica. 2012. V. 32, N 1. P. 111-123.

References

1. Erdos P., Renyi A. On random graphs. I. Publ. Math. Debrecen. 1959. V. 6. P. 290-297.

2. Erdos P., R6nyi A. On the evolution of random graphs. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1960. V. 5. P. 17-61.

3. Bollobas B. Random graphs. Second edition. Cambridge : Cambridge University Press, 2001. V. 73 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. P. xviii+498.

4. Janson S., Luczak Т., Rucinski A. Random graphs. Wilev-Inter science Series in Discrete Mathematics and Optimization. New York : Wilev-Interscience, 2000. P. xii+333.

5. Raigorodskii A.M. Models of random graphs. Moscow : MCCME, 2011. 136 p. (in Russian).

6. Kolchin V.F. Random graphs. Moscow : Fizmatlit, 2000 (in Russian).

7. Alon N., Spencer J. Probabilistic method. Moscow : BINOM, 2007 (in Russian).

8. Bollobas B. Threshold functions for small subgraphs. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1981. V. 90, N 2. P. 197-206.

9. Rucinski A., Vince A. Balanced graphs and the problem of subgraphs of random graphs. Proceedings of the sixteenth Southeastern international conference on combinatorics, graph theory and computing. 1985. V. 49. P. 181-190.

10. Burkin A. V., Zhukovskii M.E. Small subgraphs and their extensions in a random distance graph. Sbornik : Mathematics. 2018. V. 209, N 2. P. 22-46 (in Russian).

11. Spencer J. Threshold functions for extension statements. J. Combin. Theory Ser. A. 1990. V. 53, N 2. P. 286-305.

12. Raigorodskii A.M. Borsuk's problem and the chromatic numbers of some metric spaces. Russian Mathematical Surveys. 2001. V. 56, N 1. P. 107-146 (in Russian).

13. Raigorodskii A.M. The Erdos-Hadwiger problem and the chromatic numbers of finite geometric graphs. Sbornik: Mathematics. 2005. V. 196, N 1. P. 123-156 (in Russian).

14. Raigorodskii A.M. Linear-algebraic method in combinatorics. Moscow : MCCME, 2007 (in Russian).

15. Raigorodskii A.M. Around borsuk's conjecture. J. of Math. Sci. 2008. V. 154, N 4. P. 604623.

16. Raigorodskii A.M. On the chromatic numbers of spheres in Rra. Combinatorica. 2012. V. 32, N 1. P. 111-123.

Поступим в редакцию 04-02.2019