CC BY
13Таким образом, показано, что семейство всех в-замкнутых классов функций k-значной логики, содержащих только функции из Pk,2, счетно. Следует отметить [9], что семейство классов, содержащих только функции из Pk,2 и замкнутых относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной, имеет мощность континуума.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.
2. Кузнецов А.В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. 5-33.
3. Соловьев В.Д. Замкнутые классы в k-значной логике с операцией разветвления по предикатам // Дискрет. матем. 1990. 2, вып. 4. 18-25.
4. Нгуен Ван Хоа. О семействах замкнутых классов k-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Дискрет. матем. 1993. 5, вып. 4. 87-108.
5. Марченков С.С. S-классификация функций многозначной логики // Дискрет. матем. 1997. 9, вып. 3. 125-152.
6. Тарасова О. С. Классы функций k-значной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13: Сб. статей. М.: Физматлит, 2004. 59-112.
7. Акулов Я.В. О полноте систем функций для классов расширенной суперпозиции // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 1. 36-41.
8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.
9. Lau D. Function algebras on finite sets. N.Y.: Springer, 2006.
Поступила в редакцию 03.04.2013
УДК 511.34
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В. Г. Чирский1, В.Ю. Матвеев2
Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида актуальна в теории чисел и ее приложениях. Интерес представляет среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений. В статье рассмотрены разложения с двойной базой, цепи с двойной базой, полиадическое (факто-риальное) разложение натуральных чисел.
Ключевые слова: представления натуральных чисел суммами слагаемых определенного вида.
The problem of representing integers as sums of terms of a certain type is actual in number theory and its applications. We are interested in the average length of these expansions and the required number of auxiliary calculations. The paper deals with DBNS, chains and the polyadic (factorial) expansions of positive integers.
Key words: representations of positive integers as sums.
Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида изучалась многими авторами (см., например, [1-5]). В ней рассматривается среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений.
1 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgchirskii@yandex.ru.
2Матвеев Владимир Юрьевич — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: salomaa@mail.ru.
В настоящей работе проводится сравнение следующих способов представления натуральных чисел. Во-первых, это разложение чисел с использованием двух оснований, т.е. представление чисел в виде суммы слагаемых вида 2а3ь, где а, Ь — неотрицательные целые числа.
Во-вторых, это представление чисел с помощью цепи с двойным основанием, т.е. представление числа N в виде
N = Si2ai3Ь*, где вг е{—1;1}, а1 ^ а2 ^ ... ^ ат ^ 0, Ь: ^ Ь2 ^ ... ^ Ьт ^ 0.
г=1
Любое натуральное число N допускает единственное разложение в виде
к
N = ап • п!, а,а е {0; 1;...; п}.
п= 1
Это разложение назовем полиадическим (или факториальным). Термин "полиадическое разложение" связан с теорией полиадических чисел [1].
Что касается представления числа N в виде суммы слагаемых вида 2а3Ь, то известна [6] асимптотическая оценка длины такого разложения числа N:
Со,
1о§2 N
1о§2 1о§2 N'
где для любого е > 0 при N > N(е) имеем Со = 5, 70996 + 4,125 • е.
Для цепи с двойной базой оценки длины разложения вида О ^ ь^о^ТУ) не Доказаны [4].
Для получения разложения с двойной базой и для получения разложения в цепь с двойной базой требуется сравнительно большое количество вычислений элементов вида 2а3ь. При этом показатели получающихся чисел 2а3Ь распределены, как показывают примеры, несколько хаотично. Известно также [3], что существуют числа N, такие, что длина их представления с помощью двойной базы не меньше, чем
_Со _
Оценим асимптотическую длину к разложения числа N. Справедливы соотношения к! ^ N < (к + 1)!, 1пк! ^ 1пN< 1п(к + 1)!, к 1п к - к ^ 1п N ^ (к + 1) 1п к, к 1п к - 1п N, N ^ то, 1п к - 1п1пN, N ^ то,
откуда к ~
Таблица чисел вида ап • п!, ап = 1, 2,... , п, для каждого п состоит из п чисел. Размер таблицы чисел вида ап ■ п\, ап = 0,1, 2,... ,п, п ^ к, равен 1 + ... + к = Составить ее можно, используя только
операцию сложения: если известно число п!, то 2п! = п! + п!, 3п! = 2п! + п!,...,п • п! = (п — 1) • п! + п!, (п + 1)! = п • п! + п!.
Так как асимптотические закономерности могут давать искаженное представление об истинном характере поведения величин, в заданном интервале были проведены соответствующие численные эксперименты со случайными числами. Было проведено 10 выборок по 100 чисел каждая. Разрядность каждого из чисел выборки колеблется от 159 до 160 разрядов. В табл. 1, 2, в первых столбцах которых указаны типы разложений, приведены средние значения длин этих разложений.
Таблица 1
Таблица 2
Разложение Выборка
1 2 3 4 5
ак ■ к\ 81 81 81 81 81
2а ■ Зь 62 61 62 61 62
Цепь 2а ■ 3" 98 96 96 95 100
Разложение Выборка
6 7 8 9 10
ак ■ к\ 81 81 81 81 81
2а ■ Зь 62 61 62 62 62
Цепь 2а ■ 3" 92 98 94 92 102
В этих пределах требуются таблицы следующего размера: 5151 для ак • к!, 175839 для 2а • 3Ь, 175839 для цепи 2а • 3Ь.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.
2. Dimitrov V.S., Jullien G.A., Miller W.C. An algorithm for modular exponentiation // Inform. Process. Lett. 1998. 66, N 3. 155-159.
3. Dimitrov V.S., Rowe E. W. Lower bounds on the lenghts of double base representations // Proc. Amer. Math. Soc. 2011. 159, N 10. 3423-3430.
4. Doche Ch., Imbert L. Extended double-base number system with application to elliptic curve cryptography // Proc. Conf. INDOCRYPT 2006. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. 335-348.
5. Burger E.B., Clyde D.C., Colbert C.H., Gea Hyun Shin, Zhaoning Wang. A generalization of a theorem of Lekkerkerker to Ostrowski's decomposition of natural numbers // Acta Arithmetica. 2012. 153, N 3. 217-249.
6. Чирский В.Г., Шакиров Р.Ф. О представлении натуральных чисел с использованием нескольких оснований // Чебышевский сб. 2013. № 1.
В статье рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аналитически показано, что решения этой системы обладают свойством изохронности, что нехарактерно для нелинейных систем. Установлено, что в пределе при возрастании амплитуды решение представляет собой периодическую дельта-функцию.
Ключевые слова: нелинейная система, изохронные колебания.
A system of nonlinear ordinal differential equations of second order is considered. It is shown analytically that the solutions of this system are isochronous, which is not characteristic for nonlinear systems. It is also shown that the periodic delta-function is a limiting case for the solution if the amplitude tends to infinity.
Key words: nonlinear system, isochronous oscillations.
Введение. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений представляют несомненный практический и теоретический интерес, поскольку многие физические объекты только при определенных ограничениях могут описываться системами линейных уравнений. Элементарным примером является уравнение физического маятника X + sin x = 0.
В линеаризованном варианте получается уравнение гармонического осциллятора, решение которого записывается в элементарных функциях, период колебаний не зависит от амплитуды, относительно просто анализируются вынужденные колебания. Для уравнения физического маятника ситуация резко меняется: решение в элементарных функциях не записывается, период колебаний зависит от амплитуды, появляется дополнительный тип движения — ротация, в случае вынужденных колебаний (задача Дуффинга) возникают скачкообразные изменения амплитуды при плавном изменении параметров возмущающего воздействия.
Эта ситуация характерна для нелинейных систем. Даже в простых системах могут возникать сложные движения, вплоть до хаотических (аттрактор Лоренца).
В настоящей статье рассматривается следующая система:
Поступила в редакцию 27.02.2013
УДК 514.85
ОБ одной изохроннои нелинейной системе
В.М. Буданов
1
U + 2 uv = 0, V - u2 + v2 + 1 = 0.
(1)
1 Буданов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ,
e-mail: vlbudanov@gmail.com.
