О классах функций, замкнутых относительно специальной операции суперпозиции Текст научной статьи по специальности «Математика»

54

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

УДК 511

О КЛАССАХ ФУНКЦИЙ, ЗАМКНУТЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕЦИАЛЬНОЙ ОПЕРАЦИИ СУПЕРПОЗИЦИИ

Д. К. Подолько1

Изучаются свойства функций k-значной логики, где k — 2m, m > 1. На основе кодирования функций многозначной логики в двоичной системе счисления определяется специальная операция суперпозиции. Показывается, что семейство классов, содержащих только функции, принимающие не более двух значений, и замкнутых относительно рассматриваемой операции и операции введения несущественной переменной, является счетным.

Ключевые слова: многозначная логика, суперпозиция, замкнутые классы.

Functions of the k-valued logic with k = 2m, m > 1 are studied in the paper. Such functions are encoded in the binary number system and a special operation of binary superposition is defined. It is shown that the set of classes containing only the functions taking not more than two values and closed under the operations of binary superposition and adding of fictitious variables is countable.

Key words: multivalued logic, superposition, closed classes.

Известно [1], что множество всех классов функций k-значной логики, замкнутых относительно операции суперпозиции, континуально при k ^ 3. Поэтому в ряде работ (например, [2-7]) рассматривались некоторые усиления операции суперпозиции, позволяющие получать семейства замкнутых классов счетной или конечной мощности. Настоящая работа относится к данному направлению исследований. Основные определения, используемые в работе, приведены в [8].

Пусть k ^ 2, n ^ 1. Обозначим через Ek множество {0,1, ... ,k — 1}, а через En множество всех наборов длины n, все компоненты которых принадлежат Ek. Через Pk обозначим множество всех функций k-значной логики.

Далее будем считать, что k = 2m, m > 1. Каждое число а из Ek запишем в двоичной системе счисления. Таким образом, числу а из Ek сопоставляется двоичный вектор (ai, а2, ... , ат) из Em. Для этого вектора будем использовать также обозначения < ai,a2, ... ,am > или а. Переменной x, принимающей значения из Ek, поставим в соответствие вектор-переменную < xi,x2, ••• , xm >, где xi, ... , xm являются переменными, принимающими значения из множества E2, таким образом, что каждому значению а переменной ж ставится в соответствие значение < а1,а2, ... , ат > вектор-переменной < xi,x2, ... , xm >. Будем обозначать эту вектор-переменную через ж и говорить, что xi, ... , xm являются ее компонентами.

Произвольной n-местной функции F(x1 ,x2, ... , xn) k-значной логики сопоставим булеву вектор-функцию < fi, /2, ... , fm >, где fi, ... , fm — функции алгебры логики, каждая из которых зависит от переменных xj, ... , xJm (где < x 1, ... , xm > — x"j ), j — 1, ... ,n. Для этой вектор-функции будем также использовать обозначения < fi, f2, ... , fm > (ж1, ж2, ... , xn), F или < fi,f2, ... , fm >. Вышеописанные представления называются двоичным представлением числа а, переменной x и функции F.

Пусть F £ Pk и F — < fi, f2, ... , fm >. Каждую из функций f 1, f2, ... , fm будем называть компонентой вектор-функции F. Эти функции также будем называть компонентами функции F. Положим b(F) — { f 1, f2, ... , fm }.

Пусть AC Pk. Определим понятия вектор-формулы и компоненты вектор-формулы над A.

1. Пусть x — переменная, компонентами которой являются переменные xi, ... ,xm. Тогда выражение

< xi, ... ,xm > является вектор-формулой над A, а выражение xi — компонентой вектор-формулы

< xi, ... ,xm >, i — 1, ... , m. Такие вектор-формулы и их компоненты называются тривиальными.

2. Если < fi, ... , fm > (F1, ... ,F") — двоичное представление функции F из A, зависящей от переменных x1, ... , xn, n ^ 1, а fi, f2, ... , fn-m — компоненты некоторых вектор-формул над A, то выражение Ф вида

< fi(f 1 , f 2, ... , fn-m ), ... ,fm(fi , f 2, ... , fn-m )>

1 Подолько Дмитрий Константинович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

55

является вектор-формулой над A. При этом выражение /¿(V1, V2, ••• , Vп-т) является компонентой вектор-формулы Ф, i = 1, 2, ••• ,m.

Пусть Ф — вектор-формула над A, а V — ее компонента. Пусть {xj, ••• , xjp } (где 1 ^ jq ^ m для всех q = 1, ••• — множество всех тривиальных компонент вектор-формул, которые содержатся в V. Тогда будем обозначать V через V(xj1, • • • , xjp) и говорить, что в эту компоненту входят переменные xj, ••• , xjp. При этом если множество {xj, ••• , xj} содержится в множестве всех компонент тривиальных вектор-формул < xl, •••

, X|m , ••• , << Хп , •••

,xm >, то будем обозначать Ф через Ф(ж1, • • • ,жп) и говорить, что в эту вектор-формулу входят переменные F1, ••• ,Хп.

Определим значение Ф(а1, • • • ,ап) вектор-формулы Ф(ж1, • • • ,жп) для каждого набора (а1, • • • ,ап)

из Е2П'т и значение V(ají, ••• , ajp) компоненты v(xj1, ••• , xj) вектор-формулы Ф, где аг = < al, • • • , am > для i = 1, 2, • • • , n.

1. Пусть Ф(ж) имеет вид < xi, • • • ,xm >. Тогда Ф(а) = а. При этом если v(x¿) — компонента этой вектор-формулы, имеющая вид x¿, 1 ^ i ^ m, то v(a¿) = a¿.

2. Пусть вектор-формула Ф(ж1, • • • ,xn) не является тривиальной и имеет вид

<V1 (xjl, • • • , xjPp ), • • • , Vm (xjl, • • • , xjp ) >

где V1, ••• ,Vm — компоненты этой вектор-формулы. Тогда каждая компонента Vr (xj, • • • , xj), 1 ^ r ^ m, имеет вид

/r (^1(xj1, ••• ,xjp), ••• ,^.m(x , ••• ,xjp)) ,

где /1, ••• ,/m — компоненты некоторой вектор-функции из A, а , ••• , фп.т являются компонентами вектор-формул над A ив них входят переменные xjí, ••• , xj, причем множество компонент , ••• , фп.т является одним и тем же для всех r = 1, ••• ,m. Тогда

Vr (ají, ••• ,ajp) = /r (^1 (ají, ••• ,ajp), ••• ^.m(a j, ••• ,ajp)),

и для вектор-формулы Ф имеет место соотношение

Ф(а, ••• ,an) = < V1(ají, ••• ,ajp), ••• ,Vm(ajl, ••• ,aj) > •

Будем говорить, что функция F(x1, ••• ,xn) k-значной логики реализуется нетривиальной вектор-формулой Ф(ж1, ••• ,xn) над A, если для всех наборов (а1, ••• ,ап) из ЕП'т выполняется соотношение Ф(а1, ••• , an) = F(c¿1, ••• , ап). При этом будем говорить, что функция F получена при помощи операции двоичной суперпозиции из функций системы A. Несложно показать, что операция двоичной суперпозиции является усилением операции (обычной) суперпозиции.

Множество всех функций k-значной логики, которые можно получить из функций системы A при помощи операций двоичной суперпозиции и введения несущественной переменной, будем называть в-замыканием множества A (обозначение [A]e). Множество A будем называть в-замкнутым,, если выполняется равенство A = [A]в. Такие множества будем также называть в-замкнутыми классами.

По построению компонентами каждой нетривиальной вектор-формулы над A реализуются функции алгебры логики. Булевым замыканием множества A (обозначение B(A)) будем называть все функции из P2, которые могут быть реализованы компонентами нетривиальных вектор-формул над A и получены из них при помощи операции введения несущественной булевой переменной. Из данного определения следует, что B(A) = [ IJ b(F)], где через [b(F)] обозначается замыкание множества b(F) булевых функций F еЛ

относительно операции суперпозиции и введения несущественной переменной.

Пусть F — произвольная функция из Pk. Через D(F) будем обозначать множество значений функции F, а через Pk,2 множество всех функций k-значной логики, которые принимают не более двух значений. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Семейство всех в-замкнутых классов функций из Pk,2 счетно.

Для доказательства теоремы нам потребуются некоторые леммы.

Лемма 1. Пусть U, V С Pfc,2 и [U]в = [V]в • Тогда выполняется соотношение B(U) = B(V).

Доказательство данной леммы основывается на введенных ранее определениях вектор-формул и их компонент.

Лемма 2. Пусть F £ Pk,2 и |D(F)| = 2. Тогда существует функция / £ P2, такая, что выполняются соотношения {/} С b(F) С {0, 1, /, /}.

Доказательство леммы проводится следующим образом. Сначала показывается, что если компонентами функции F являются только константы, то |D(F)| = 1, что противоречит условию. Поэтому {/} С b(F) для некоторой функции f & Р2, которая не является константой. Затем предполагается, что если b(F) содержит функцию, отличную от 0, 1, / и /, то \D(F)\ > 2, что также противоречит условию. Поэтому b(F) С {0, 1, /, /}. _

Введем дополнительные определения, используемые для доказательства теоремы. Пусть A С Pfc,2 и [A]e = A. Положим App = {F G A | D(F) = {p}} для всех p G Ek и Apq — {F G A | D(F) — {p, q}} для всех p, q G Ek, p < q. Очевидно, что A = IJ Apq, где объединение берется по всем значениям p, q G Ek, p ^ q. Положим

Ind(A) = {(p, q) | Apq = 0, p, q G Ek, p < q}.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 3. Пусть A С pk,2, [A]в = A и Apq = 0 для некоторых значений p и q, p < q. Тогда выполняется равенство

Apq = {G G P | D(G) = {p, q}, b(G) С B(A)}.

Лемма 4. Пусть A С pk,2, [A]в = A и App = 0 для некоторого значения p. Тогда выполняется равенство

App = {G G p | D(G) = {p}}.

Доказательство леммы 3 основывается на лемме 2. Сначала доказывается, что множество Apq содержит все функции k-значной логики, которые принимают только значения p и q ив двоичное представление которых входят только функции из B(A). Для этого рассматривается произвольная функция F G Apq. C помощью этой функции путем отождествления булевых переменных и подстановки вместо них функций из B (A) можно получить некоторую функцию G, все компоненты которой существенно зависят не более чем от одной булевой переменной и для которой выполняются равенства D(G) = D(F) = {p, q}. Далее показывается, что применением операции двоичной суперпозиции можно при помощи функции G получить каждую функцию H из Pp2, принимающую только значения p и q и такую, что b(H) С B(A).

Для доказательства того факта, что множество Apq содержит только функции, компонентами которых являются функции из B (A), рассматриваются произвольная вектор-формула над A и функция H из Apq, реализуемая этой вектор-формулой. Показывается, что для этой функции выполняется соотношение b(H) С B(A), что и доказывает лемму 3. Аналогичным образом доказывается и лемма 4.

Лемма 5. Пусть U, V С pk,2, [U]e = U, [V]e = V и B(U) = B(V). Тогда для того, чтобы выполнялось равенство U = V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Ind(U) = Ind(V).

Доказательство леммы основывается на вышеописанных утверждениях. Показывается, что если для двух в-замкнутых классов U, V функций из р,2, таких, что B(U) = B(V), выполняется равенство Ind(U)=Ind(V), то по леммам 3 и 4 будет выполняться равенство Upq = Vpq для всех (p, q) G Ind(U). Поэтому верно соотношение U = V. Обратное утверждение является очевидным, что и доказывает лемму 5.

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

Доказательство. Для доказательства бесконечности семейства всех в-замкнутых классов функций из Pk,2 построим счетное семейство различных классов. Для этого каждому замкнутому классу В алгебры логики поставим в соответствие множество A(B) функций из р,2 следующим образом. Функция F(ж1, ... , жп) принадлежит множеству A(B) тогда и только тогда, когда b(F) = {/} для некоторой функции / из В. То есть множество A(B) содержит только функции, соответствующие двоичным представлениям F = </,...,/> (< ж1, ... , жт >, ... ,< ж™, ... , жт >), где /(ж1, ... , ж^,) G B. В этом случае несложно показать, что B(A(B)) = В и, воспользовавшись леммой 1, получить бесконечное семейство замкнутых классов.

Докажем, что мощность семейства всех в-замкнутых классов функций из р,2 не более чем счетна. Для этого рассмотрим произвольный замкнутый класс ВС P2. Легко видеть, что семейство подмножеств множества {(p, q), p, q G Ek, p ^ q} является конечным. Поэтому по лемме 5 существует не более конечного числа различных в-замкнутых классов A функций из р,2, таких, что B(A) = В. В силу того что семейство замкнутых классов булевых функций является счетным, получаем, что и семейство всех в-замкнутых классов функций из P,2 является счетным.

Теорема доказана.

Таким образом, показано, что семейство всех в-замкнутых классов функций k-значной логики, содержащих только функции из Pk,2, счетно. Следует отметить [9], что семейство классов, содержащих только функции из Pk 2 и замкнутых относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной, имеет мощность континуума.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

2. Кузнецов А.В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. 5-33.

3. Соловьев В.Д. Замкнутые классы в k-значной логике с операцией разветвления по предикатам // Дискрет. матем. 1990. 2, вып. 4. 18-25.

4. Нгуен Ван Хоа. О семействах замкнутых классов k-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Дискрет. матем. 1993. 5, вып. 4. 87-108.

5. Марченков С.С. S-классификация функций многозначной логики // Дискрет. матем. 1997. 9, вып. 3. 125-152.

6. Тарасова О. С. Классы функций k-значной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13: Сб. статей. М.: Физматлит, 2004. 59-112.

7. Акулов Я.В. О полноте систем функций для классов расширенной суперпозиции // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 1. 36-41.

8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

9. Lau D. Function algebras on finite sets. N.Y.: Springer, 2006.

Поступила в редакцию 03.04.2013

УДК 511.34

О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В. Г. Чирский1, В.Ю. Матвеев2

Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида актуальна в теории чисел и ее приложениях. Интерес представляет среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений. В статье рассмотрены разложения с двойной базой, цепи с двойной базой, полиадическое (факто-риальное) разложение натуральных чисел.

Ключевые слова: представления натуральных чисел суммами слагаемых определенного вида.

The problem of representing integers as sums of terms of a certain type is actual in number theory and its applications. We are interested in the average length of these expansions and the required number of auxiliary calculations. The paper deals with DBNS, chains and the polyadic (factorial) expansions of positive integers.

Key words: representations of positive integers as sums.

Задача представления натуральных чисел в виде сумм слагаемых определенного вида изучалась многими авторами (см., например, [1-5]). В ней рассматривается среднее значение длины таких разложений и необходимое количество вспомогательных вычислений.

1 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2Матвеев Владимир Юрьевич — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].