Оценки многочленов от некоторых полиадических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОЦЕНКИ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕКОТОРЫХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

В.Г. Чирский, Е.С. Крупицын

Аннотация. Работа посвящена актуальной задаче теории трансцендентных чисел: оценкам многочленов, принимаемых в точках определенного вида. В статье исследуется новая постановка задачи, в которой объектом исследования являются так называемые полиадические числа. Полученные результаты можно считать одним из первых шагов в решении представляющей интерес задачи.

Ключевые слова: трансцендентные числа, полиадические числа, оценки многочленов.

Summary. The article deals with the current importance task of the theory of transcendental numbers. It also elaborates on the estimation of polynomials, taken at the points of a certain kind. A new formulation of the problem, in which the object of investigation is the so-called polyadic numbers is analyzed. The results can be considered as one of the first steps in solving the problem of interest.

Keywords: Transcendental numbers, polyadic numbers, estimation of polynomials.

Обозначим 2Т - кольцо целых чисел с топологией т, в которой идеалы (т) задают полную систему окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел [1], [2]. На этом кольце вводится расстояние ([1], [3]):

5„

_ fOj еслих = у (modrri), ^

tl, если х i у (mod m). ~

217

Бесконечная последовательность (:*„}, х.п £ Ж называется фундаментальной, если для любого К е N существует Ж £ N такое, что для всехт,п > Ж имеет место сравнение = хп (mod ff!}.

Фундаментальные последовательности элементов 2Т образуют кольцо.

Последовательность {z„} называется нулевой последовательностью, если lirrijj^Zj; = 0, где предел понимается в смысле топологии кольца ZT. Фундаментальные последовательности называются эквивалентными, если их разность является нулевой последовательностью.

Полиадическим числом [1], [3] называется класс эквивалентных фундаментальных последовательностей.

Пополнение Жт приводит к топологическому пространству <5Т, называемому кольцом целых полиадических чисел. Это кольцо можно метризовать следующим образом. Пусть ае 6Т состоит из последовательностей {«¡Л, а Ь е 6Т состоит из последовательностей {@к}. Положим, по определению (см. [1], [4]), полиадическое расстояние р(а, Ь) равным

= Нт р(ак,рк)

к-»со

Элемент а е (Бг можно представить каноническим рядом

00

■71!,

(3)

(4)

где ап е {0,1, ...,п}. Такой ряд сходится в любом поле 9}р, так как степень, в которой простое число р входит в разложение числа п! на простые множители, равна

где 5„ - сумма цифр в р - ичном разложении числа п, при этом

о.

1°п

что является необходимым и достаточным условием сходимости ряда (4) в 1}р.

Представление вида (4) элемента частный случай представления бо-

лее общего вида. Пусть ■п(к') = Ж1 -... ■ Жк, Л^ем, причём = 1,Жк > 1 при к > 1 и тг((г) -40в смысле топологии кольца 2Т. Любое а е (ЬГ можно единственным образом представить в виде

218

а = ^^ ак ■ 0 < ак <

(см. [4]).

Кольцо й.г представляет собой прямое произведение колец по всем простым р,.

Вопросами оценки линейных форм и многочленов от совокупности полиадических чисел посвящена работа В.Г. Чирского [5]. Рассмотрим полиадическое число

а = ^ асг

(6)

где а, Е М.п, - возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим

(7)

Пусть р,.....рп,... - все простые числа, занумерованные в порядке возраста-

ния.

ТЕОРЕМА 1. Пусть Р(х) Ф 0 ~ многочлен с целыми коэффициентами высоты н и степени ¿1 ■ Пусть а ~ полиадическое число вида (6), удовлетворяющее условиям: для любых с,О существует, число к0(С,О) такое, что для любого к>1 выполняется неравенство

р, — 1

(8)

Пусть зс0 = Ж0(с1гН) определено ниже в равенстве (14). Тогда полиадическое расстояние р(р(й},0) удовлетворяет неравенству

р(Р(а),0) > £

где м = а множество жк состоит из натуральных чисел, которые делятся

хотя бы на одно из чисел

где

r(l,d,H) = [logpi(d + + l.

(9)

рШ

р(а) = + о JК№- О"-

(10)

Все величины (а,,.) представляют собой целые числа, так как коэффициенты многочлена тг 00 - целые числа и at е К.

Так как последовательность возрастает, существует число fc, = k^H) такое, что при к > к^Н) выполняется неравенство

ак>Н+1. (11)

Тогда (см. [6], стр. 150, лемма о модуле старшего члена), Ф О и для любого простого числа р выполняется неравенство

219

IPWI. >

(12)

Рассмотрим условие (8) при С = ln(d + 1)Я,D = d. Согласно этому условию, существует число к0 = Ьа(1п(сЛ- l')H,d) такое, что для любого к > 1 выполнено неравенство

Пусть

> ^^ (b«i+if0+i + Hd +1 )Н+

ЭС0 = тах(£, (Н), к 0 (ln( d + 1Ш)).

(13)

(14)

Тогда из (12), (13) и (14) следует, что для любого простого числа р выполняются неравенства

K<wj| г (d + I}-1 ■ И-1 ■ (<w )

(15)

Неравенство (16) перепишем в виде - (Рк ~ 1)1п%+ж„н

(16)

(17)

Р.-1

Обозначим ^ + ^ сумму цифр в рк - ичном разложении числа «д+и^+1. Из (5) и из неравенства (17) следует, что

(18)

В свою очередь, из равенств (6), (7) и неравенств (18) и (15) следует, что

(19)

Как отмечено выше, все величины ^ ) представляют собой целые числа.

Следовательно,

Р{")

< а

(20)

Таким образом, из (10) (с заменой к на к +Жа), (12) (с аналогичной заменой), (9), (19), (20) получаем, что для любого к > 1

220

Пусть теперь к > 1 и 1 < I < к. Имеет место равенство

Действительно,

(21)

(22)

Так как

а»г+ЗГ„ "¡ + 5^, а[+Ж,+1П1+.ЗС, + 1 ' + "^Л+Ж^Й+ЭсЛ

(23)

и так как, согласно (19) (с заменой к на I),

из (23) следует равенство (22).

Тогда из (22) и (21) следует, что

-г(1,ал)

(24)

Неравенства (24) означают, что в разложении числа р(а1:+я. ) на простые множители любое из чисел рг 1<к, к > 1 входит в степени не выше, чем г(1, в., Я)-Следовательно, если т делится хотя бы на одно из чисел 1, то, согласно

Из (1) и определения множества Жк,

Согласно (3), так как -»■ а, к -*<а, теорема доказана. ТЕОРЕМА 2. Пусть

¡=1 к

(26)

где аы Е N. Пусть для любых С,й1,...,0т существует число к0 = к0(С, ...,0т) такое, что для всех г. = 1.. . ,т имеем

"»+*„+1,1 ~ ''ИЬ,.!!, > >

ЬС

(27)

/=1 /=1

Пусть, кроме того, существует к1 = к1(С,01,... ,0ТГ1} такое, что если к > к1г то

(28)

221

Тогда для любого многочлена Р(х) — Р(_х1г ...,л"т) ^ 0, степени, по переменной XI и высоты Н при

имеет место равенство (Р(—) 0) ^ 1

(29)

(30)

где Ж = а множество Жк состоит из натуральных чисел, которые делятся

хотя бы на одно из чисел р^.-Л!^1-1^ I = 1,... гк, где

(31)

Доказательство. Используя формулу Тейлора, получим:

*"■ ЭР

_ _ V 1 0Р _ _

р(е) = р(йд + — - + р*(а — а^,

(32)

где Р*(эг) = Р*(1,, ...,хт) - многочлен с целыми коэффициентами, члены которого имеют степень не ниже второй по совокупности переменныхх = х1г

Установим сначала, что ф о. Для этого представим многочлен в

виде

Р© = У Р^&и-.Хп-1>*

В свою очередь представим многочлен Р017п(х1г...,хт_1) в виде

I

Р (г г ^г0™^

и так далее,

222

где ^^„.„¡с ~ целые числа, причем 1 £ Н.

Тогда из первого из условий (28) вытекает, что

для любого набора ат,... . а2 (использована лемма о модуле старшего члена). Таким образом, любой многочлен

имеет отличные от нуля коэффициенты. Второе из неравенств (28) и лемма о модуле старшего члена позволяет утверждать, что для любого набора ат,... .а3 выполняется неравенство

.

Продолжая этот процесс, получим что

-Ч'+Л^д-' ■■■ ' йк+ЗС„,т

Рассмотрим теперь равенство (32) при ^ = к 4- Ж0. По доказанному, ■Р^+зго) ^ Из неравенств (27), так как ЗСа > ¿0, получаем при С = Н, О, = с1}-, что для любого к е и и любого I = 1, выполняются неравенства

1.1 Як — + + ^ ■ Х

хПпЯ +2^0(ЬСп4+а.л1()

откуда следует, что при £ = 1,..., т

Таким образом, из равенства (32) следует, что

= при к к.

Завершение доказательства теоремы 2 совпадает с завершением доказательства теоремы 1.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. ПостниковА.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. - М.: Наука, 1971.

2. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - М.: Наука, 1984.

3. Новосёлов Е.В. Топологическая теория делимости целых чисел // Ученые записки Елабуж-ского государственного педагогического института. - № 3. - 1960. - С. 3-23.

4. Новосёлов Е.В. Введение в полиадический анализ. - Петрозаводск, 1982. - 112 с.

5. Чирский В.Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник. - 2011. - № 4.

6. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968.

7. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. - М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000. J

223