CC BY
45
О РЯДЕ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
В.Ю. Матвеев, В.Г. Чирский
Аннотация. Доказано что ряд, члены которого являются произведениями членов арифметической прогрессии отличен от 0 в бесконечном множестве ир. Используется полиадический анализ и аппроксимация Эрмита-Паде для обобщенных гипергеометрических рядов.
Ключевые слова: полиадические числа,, аппроксимация Эрмита-Паде.
Summary. The article describes that the number of a certain type is different from 0 in the endless variety of fields. Polyadic analysis and approximation of Hermite-Pade for generalized hypergeometric series is used.
Keywords: polyadic numbers, Hermite-Pade approximation.
Д
ля простого числа p пусть Г, обозначает поле р -адических чисел. Пусть a,b6 □, (a,b) = 1. Рассмотрим задачу об арифметической природе ряда
1+ a( a + b) ...(a + b{n -1)). (1)
Отметим, во-первых, что этот ряд сходится в любом поле Пр, где р \ Ь, так как для любого tе □ из неравенства п > р следует, что а(а + Ь)...(а + Ь(п-1)) делится на р'.
Рассматриваемый ряд (1) можно представить в виде
4 = 1 + ¿1 (1 +1)...(1 + (п-1))Ьп, (2)
п=1
где 1 = а / Ь. В [1] была рассмотрена задача об арифметической природе ряда (2), а в [2] было доказано, что для любого многочлена Р(х), Р(х)е □ [х], отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле □ справедливо неравенство Р(4) * 0 , где ряд 4 рассматривается, как его сумма в поле □ .
В настоящей работе использован другой подход, основанный на применении аппроксимаций Эрмита-Паде, построенных в работе [3] . Аналогичный подход использован в работе [4].
249
Теорема. Существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле □ p выполнено неравенство
1 + £a(a + b)...{a + b(n-1})* 0 . (3)
n=1
Доказательство. Для любого аеО обозначим (а )0 = 1, (а} n = а (а +1} „.(а + (n -1}) ,
n>1.
Как и в работе [3], обозначим
F(а, р,z} = jT (а}n(в }n zn
=0 n!
и рассмотрим
Рассмотрим также
fo( z} = £ (X }nZn = F (X,1, z} .
f1(z} = F(X + 1,1, z}.
(4)
(5)
(6)
250
Вновь используя обозначения из [5], положим а1 = Х , а2 = 1 и для любого N е □ определим числа г и 5 равенствами
N = г + 1, N = 25 + г, где г = 1 или г = 2.
Для любого N>3 положим аN =аг + 5 , что означает, что
а 25 +1 = Х + 5 а 25+2 = 1 + 5 . (7)
Обозначим
fN(г) = Е(а N+1,а N+2, г), (8)
ин (г) =а 1 ...а нгн-1/н (г), N >2, (9)
«о(г) = Мг), Щ(г) = А(г). (10)
Из (7), (8), (9) получаем
и 2 5+1 (г) = а 1... а 2 525 Е (а 2^, а 2 5+3, г) = (X) 5(1 + 5, X +1 + 5, г), (11)
и 2 5+2 (г) = а 1 .а 2 5+2 г2 (а ^3, а 2 5+4, г) = (X) 5+ ■ (5 + 1)! Е (X +1 + 5,2 + 5, г). (12)
Лемма 1. Для любого Nе □ существуют многочлены РЫ0(г), РМ1(г) с целыми коэффициентами такие, что справедливы равенства
UN ( z } = PN ,0 ( z }u 0 ( z } + PN,1 ( z }U1( z } , UN+2 (z} = UN+1(z}-аN+1 zUN(z} , PN+2,i (z} = PN+1,i (z} " аN+1 zPN,i (z} , ' = 0 , 1 ,
(13}
(14}
д„( г) =
Р„,о(г) Р„д( г)
Р«+1,о(г) Рм+1д(г)
(15)
Лемма представляет собой следствие из замечания в конце статьи [3].
Пусть с02 > 1 + С0, С0 > | X | +1. (16)
Лемма 2. Для любого 5 е □ и для N = 25 + 1, N = 25 + 2 выполнены неравенства Н (Р„, (г)) < С0 м (С0 +1)... (С0 + 5)
(Н(Р(х)) - высота многочлена Р(х)).
Доказательство леммы 2 проведем по индукции. Лемма, очевидно, верна при N = 1 и N = 2.
Предположим, что она верна для некоторого 5 е □ и для N = 25 + 1 и N = 25 + 2 . Проверим справедливость ее утверждения для N = 25 + 3 , N = 25 + 4. Используя (14), (7) и индуктивное предположение получаем
Н (Р2+3,) = Н (Р2,+21 -а
2 5+ 2 гР2 5+ц
< Н (Р2 5+,)+(1 + 5)Н (Р2, + К
<С0252 (С„ + 1)... (С0 + 5) + (1 + 5>С0251 (С0 + 1) ... (С„ + 5)
= С 02 5+1( С0 +1)... (С 0 + 5 +1).
Используя (14), (7), (16), (17) и индуктивное предположение, получаем
Н(Р2,+4,,) = Н (Р25+3,, а2,+3 г Р2,+2>, ) <
^) + (|А|+* + 1)Н (Р2+2. К ^ С02 5+1 (С0 +1)... (С0 + 5 +1) + ( XI + 5 +1) -С025+2 ■ ■( С0 +1)... (С 0 + 5 )<С02 5+1( С0 +1)... (С 0 + 5 +1)(1 + С 0) <С025+3(С0 +1)... (С0 + 5 +1).
(17)
Из неравенств (17), (18) следует утверждение леммы 2. Из (15) следует, что хотя бы один из определителей
1 0
Р^о(Ь) Р„д(Ь)
отличен от 0 . Выберем N так, что
1 0
Р^(Ь) Ры(Ь) Лемма 3. При имеет место неравенство
ПР д(Ь)| р > в -55
1 0 Р*+1,0(Ь) РМ+1д(Ь)
= Рыд(Ь) * 0 .
251
(18)
(19)
(20)
где произведение в левой части (20) взято по всем простым числам р , р \ Ь, удовлетворяющим неравенствам
(21)
e^ < p < a + bs ,
а С1 и о1 - положительные постоянные, зависящие от С0 и Ь .
Доказательство. Ввиду (19) имеет место формула произведения
ПР»д(Ь)!р ■! Р»,1 (Ь) | = 1,
р
Где произведения в левой части (22) взято по всем простым р . Поэтому
П Р-1,Ь)|р=кк
По лемме 2, и при N = 25 + 1, и при N = 25 + 2
| Р»,1 (Ь) | < ЬС»(Со +1).(Со + 5) < Ь*С025+2(Со +1).(Со + 5). Так как при а > 0
(22)
(23)
(a +1) ...(a + s) =
r(a + s +1)
Г(а +1)
1п Г(я + а) = ^^ + а - 2 ) л - л + 1п>/2ж + О ^1 ^, л .
Из (23)-(25) вытекает утверждение леммы 3. Лемма 4. При я^а 2 выполнено неравенство
Пк(b)|p < e
—2 s In s + C,sv In s
(24)
(25)
(26)
где а 2, С2 - положительные постоянные, зависящие от С0 и Ь , а произведение в первой 1Е1 части (26) взято по всем простым р \ Ь, удовлетворяющим (21). 252 Доказательство. Согласно (11), (12) для любого р \ Ь
| «25+1(Ь)|р < |(1)5+1|р | 5 ! |р ,
| «25+2 (Ь) |р < |(1) 5+1 | р|( 5 + 1)!| р .
Так как (1) 5+1Ь5+1 = а (а + Ь)... (а + Ь5), все простые делители числа (1 )5+1, так же, как и числа (5 +1)!, не превосходят а + Ь. Поэтому
Пк+М = П|(1)«1 Ч = П |(1)5+1Ч (27)
р,р\Ь р,р\Ь р,р\Ь,р^а+Ьз
и аналогично,
Пu 2s+2 (b)|p = П к)s+1(s + 1)!|p .
p,p\b p,p \b,p^a+bs
Из (27),(28) и формулы произведения вытекают неравенства
П kUI s!|p ^ ((^)s+0—1 (s!)—1■ e^.
p, pfb, p^a+bs
(28) (29) 4 / 2013
и
и
П 1(!)5+11р |(5 + 1)!|р ^ ((!)^+1 )-1 ((5 +1)!)-1 ■
р, р\Ь, р^а+Ьз
Из (29),(30) и (24),(25) при а = X получаем, что
((X)5+1 )-1 (5!)-1 ес'5 < е"251п55
((X)5+1 )-1 ((5 +1)!)-1 еС45 < е-25. Оценим теперь величину
П|а(а + Ь)...(а + Ь5)|р |(5 +1)||р ,
(30)
(31)
(32)
(33)
где произведение в (33) взято по простым числам р , р \ Ь, удовлетворяющим неравенству
р < е .
Известно что число р входит в к! в степени
к - 5к
р-1
где Sk - сумма цифр р -ичного разложения числа к. Поэтому степень, в кото-
5 +1
рой р входит в (5 + 1)!, не больше, чем ——^. Следовательно,
-5+1 -(5+1) X рр -(5+1) Г ^
р-1 _ „ ,<.Ж7р 1 р-1 -(5+1)л/1п7
П |(5+ 4 > П
р г = е
>е
>е-
(34)
Выше мы выяснили, что среди чисел а,а + Ь,...,а + Ьэ на число р' делятся
" 5 +1]
ровно —— чисел. Поэтому
253
| а(а + Ь)...(а + Ь.5)|р = р
, (5+ч Iр
Так как
1оёр ( 5+1)
5 +1
^ (5 + 1) X Л ^ (5 + !)■ ,
1<'<10§ (5 +1) р Р 1
из (35),(36) аналогично (34) получаем
П |а(а + Ь). (а + Ь5) |р 5+1),/1П7.
р<е
Из (31), (32), (34), (37) вытекает утверждение леммы. Из (4), (5), (6) следует что
и г) = 1 + ! г Д г).
(35)
(36)
(37)
(38)
Если предположить, что для всех p , p \ b, удовлетворяющих (21), не выполняется (3), т.е. в поле □ имеет место равенство f0(b) = 0 , то из (38) следует, что для всех таких p выполняется неравенство f(b) Ф 0 в поле □ . Тогда, по лемме 3, при
ПР»д(*Ш*)| p > e-shs—c-s, (39)
где произведение в левой части (39) взято по всем простым p , p \ b, удовлетворяющим (21).
Так как, ввиду (10), (13),
Un (b) = PN,o(b)fo(b) + Pn,1 (b) f1(b)
и по лемме 4 при s^o 2
Пи»(b)|plns+, (40)
где произведение в левой части взято по всем p , удовлетворяющим условиям (21), при s^o3 из (39), (40) следует, что при некотором p , удовлетворяющем (21), p \ b имеет место неравенство
| P»,o(b) fo(b)| p Ф 0
вопреки сделанному предположению.
Итак, доказано, что если s^o3, то в промежутке ^e41"", a + bsJ есть простое число p такое, что в поле □ выполнено неравенство (3).
Рассматриваем теперь последовательность sk 6 □ такую, что 3 и для каждого k^1 выполняются неравенства
Ai ^ , 1
> a + bsk.
254
При этом отрезки
не пересекаются и в каждом из них есть простое число p такое, что выполнено неравенство (3).
Теорема доказана.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чирский В.Г. О глобальных соотношениях // Матем. заметки. - Т. 48. - Вып. 2. - 1990. -С. 123-127.
2. Bertrand D., Chirskii V.G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler - type series // Annal. Fac. Sci Toulouse. - V. XIII. - № 2. - 2004. - P. 241-260.
3. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций // Матем. сборник. - Т. 185. - 1994. - № 10. - С. 48-72.
4. Чирский В.Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та. - Сер. 1. матем., механ. ■
