CC BY
28
УДК 517.983.2
ОБ УСЛОВИИ s-РЕГУЛЯРНОСТИ Н. П. КУПЦОВА
В. П. Скляров
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Исследуется условие s-регулярности для оператора Qy =
= —y"(x) + x2y(x) в пространствах Lp(-то, то).
Ключевые слова: многочлены и функции Эрмита, s-регу-лярность.
The Condition of N. P. Kuptsov s-regularity V. P. Sklyarov
We investigate the condition of s-regularity for the operator
Qy = -y''(x) + x2y(x) in the spaces Lp(-to, to).
Keywords: polynomials and Hermite functions, s-regularity.
Предполагается, что линейный оператор Q действует из банахова пространства X в X, ^ = ^ — 1. Следующее понятие было введено Н. П. Купцовым [1, с. 137] в 1968 г. Определение. Оператор Q будем называть в-регулярным, если при некотором натуральном 5 существует действительное число 9 такое, что
Ra( Qs
<
C
|ImA| '
где С не зависит от А.
Пусть Qy = —у''(х) + х2у(х), а в роли пространства X выступает Ьр(—то, то) с нормой
1 /р
I= < I 1/(х)Г 4 , р > 1.
В 1976 г. Н. П. Купцовым был поставлен вопрос о в-регулярности оператора Q в пространстве Со(—то, то). Ответ оказался отрицательным [2]. Ниже исследуется в-регулярность оператора Q в пространствах Ьр(—то, то).
Известно [3, ^ 114], что ортонормированную систему функций этого оператора образуют функции Эрмита, определяемые равенством
р(ж)Н (х)
(x) =
V и/п
Здесь Hv(x) — полином Эрмита:
Hv(x) = (-l)vex2 ddv
p(x) = e
= e-x2/2
Собственные числа оператора задает последовательность Av = 2v + l, v = 0, l, 2,..., следовательно,
Q^v = Av ^v.
то av то
Нетрудно заметить, что при p = 2 имеем R/ = ^
^=о — А
собственные значения А^ вещественные, поэтому легко получаем оценку
^v(x), где av = f /(x) ^v(x) dx. Все
R / У2 = E
a
<
l
2
v=0 riv
|Av - A|2 | Im A|2
Таким образом, в пространстве ^ рассматриваемый оператор 1-регулярен.
n
Пусть Snf = J2 av(ж), известно [1, с. 151, следствие 2.1.1], что в этом случае наличие s-регу-
v=0
лярности влечет порядковое равенство ||Sn|| = O(ln(n + 1)), а в [4, p. 189, theorem 2] было доказано: существует натуральная подпоследовательность nk такая, что
_2__1
К ) 3p 2
IS.
nk ||Lp ) > C1 S l,
( — O , oo) 1
(nk )1 ^
l < p < 4/3, 4/3 < p < 4, 4 < p < то.
v
© Скляров В. П., 2013
В. П. Скляров. Об условии s-регулярности Н. П. Купцова
Отсюда заключаем, если р е [4/3,4], то оператор Q не может быть в-регулярным при любом 5. Одновременно с этим справедливо утверждение.
Теорема. Если р е (4/3,4), то при любом натуральном в оператор Qy = —у'' + х2у будет в-регулярным в пространстве Ьр(—го, го).
п
Доказательство. В [5] было доказано, что в этом случае нормы операторов Бп/ = ^ а;(/) (х)
;=0
-р
ограничены числом, не зависящим от п. Поскольку область определения DQ всюду плотна в £(_те те), то на DQ резольвента оператора Q3 будет задаваться равенством
те
av
Да^)/ = ^ — ЛЯ)-1/ = £ —(х).
л; — Л
;=0 ;
Применив преобразование Абеля в правой части, получим
те
Л« _ лв
Да№3)/ = 5 (л;+1 -л)(л-' — л)/'
Последнее представление резольвенты влечет оценку
те \« \ в л„. 1 — л,
ЦЯа^)/||< С/"+1 ;
¿=0 Кл;+1 — л) (л; — л)|-
Пусть Ие л = а, 1т л = в = 0 и а е [л;а, л;а+1), тогда
те л« л« ;а_1 л« _ те
^ лу+1 л; = -I__лУ° +1 лУд__I •= Т + Т + Т
¿0 !(лг+1 — л (л; — л)| ^ +1(л;.+, — л (л;„ — лI + ^' 1 + 2 + "
Независимо от того в левой или правой половине промежутка [л;а, л;а+1) оказывается а, справедливо неравенство /2 < 2/|в|, а для каждой из сумм имеем:
;а_1 и __те _
11 ТТТ+1—772, < £ ^.
;=0 |л;+1 — л| ;=;а +1 |л; л|
Поскольку л; = 2^ + 1, то теорема Лагранжа дает равенства л;+1 — л; = 2в(С;)(з 1, где С; е (л;+1, л;), поэтому
л;+1— л; > 1 л; — л;_1 - •
С другой стороны, л;+1 = л; + 2, следовательно
л;+1— л; л;— л; _1
л;
л;_1
в
1 + .4 — 1
а- <
1 + т^М — 1
1 ^
и — 2 J
< 3"
Отсюда приходим к двухсторонней оценке:
^ л; — л;_1
К л;+1 л; < З« .
Возвращаясь к величинам /1, /3, заключаем
; _1 а
а л;+1 _ л; л;+2_ л;+1 , г ^х
11 < \ —^ . —<
1 — / ,\е \с I. -|2 —
~0 л;+2— л;+1 |л;+1 — л|2 0 (х—а)2+в2
те
т < ^ л;+1— л; _л;— л;_1 < 3 8 / 3 - ^ 3 2
;=;« + 1 ' ;
л; — л;_1 |л; — л|2 " ^ (х — а)2 + в2
Математика
85
Таким образом,
Ii + /з < 2-3
dx
(x - а)2 + в2
. < 2 -3s
dx
4п -3s
x2 + в2
Теорема доказана. □
Следствие.Оператор Qy = — y" + x2y будет s-регулярным при любом натуральном s в пространстве ^ тогда и только тогда, когда p е (4/3,4).
Доказательство. Выше уже отмечалось, что при p е [4/3,4] оператор Q не может быть s-регулярным, поэтому для доказательства следствия достаточно убедиться в отсутствии s-регулярности при p = 4/3, 4.
Предположив противное, с помощью [1, с. 140, лемма 2.4] заключаем, что нормы операторов res Ra должны быть ограничены величиной, не зависящей от номера собственного значения. Легко
заметить, что при любом f е L(—го, то) имеет место оценка
res RA
А=А„
>
/ f (s)^n(s) ds
(1)
L p
)
Естественно, величина правой части в неравенстве (1) существенно зависит от выбора элемента /. Воспользуемся асимптотическим соотношением для £р-нормы функции Эрмита из [4, р. 190, (2.6)]
и
n ||Lp ) ~ <
n 2p 4, 1 < p < 4,
n-8 (ln(n))1, p = 4, __i___i_
^n 6p 12, 4 < p < то.
Знак /(п) ~ д(п) здесь означает наличие двусторонней оценки Ад(п) < /(п) < Вд(п), в которой величины А, В не зависят от п. Очевидно, одновременно с этим справедливо
|^n(s)|p ds - <
n 2 4 , 1 < p< 4,
n -1 ln(n), p = 4,
-1--P- и ^ ^
^n 6 12, 4 < p < то.
Вернемся к (1), положив p = 4/3 и f (x) = ^П(x), это влечет цепочку неравенств:
res Ra
А=Ап
4
L з
4
> Сз _n8 • n -2 • ln(n_) 3 > С8 ■ n -2 ■ ln(n3) = C4 ■ In4 (n). (2)
/ |^n(s)|4 ds
n 2
2 ■ ln(n)
oo
s
oo
При p = 4 полагаем f (x) = ^П (x) и получаем
res Ra
A=An
L(-'X>,<x)^L(-<x,<x)
> C5n~8 • ln(n)]4 • ni13 > C6n-8 • ln(n)]41' n2-3 = С ■ ln4(n). (3)
/ |^n (s)| 4 ds
1 — 1 I 4 n 2 3
4
Отсюда следует, что нормы операторов res Ra не могут быть ограничены величиной, не зависящей
А=А^
от номера собственного значения. Полученное противоречие доказывает следствие. □
Библиографический список
1. Купцов Н. П. Прямые и обратные теоремы тео- Direct and converse theorems of approximation theory рии приближений и полугруппы операторов // УМН. and semigroups of operators // Russ. Math. Surv. 1968. 1968. Т. 23, № 4(142). С. 117-178. [Kuptsov N. P. Vol. 23, № 4. P. 115-177.]
86
Научный отдел
Л. П. Старовойтов. Эрмитовская аппроксимация двух экспонент
2. Скляров В. П. Еще раз о равномерных приближениях функциями Эрмита // Дифференциальные уравнения и теория функций : науч. сб. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1980. Вып. 3. С. 105-113. [Sklyarov V. P. Again on uniform approximation of Hermite functions // Differencial'nie uravneniya i teoriya funkcii : nauch. sb. Saratov, 1980. Iss. 3. P. 105-113.]
3. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М. : ГИФМЛ, 1962. 500 с. [Szego, Gabor, Orthogonal polynomials.
American Mathematical Society (AMS). Colloquium Publ. 23. New York : AMS, 1959. Vol. VIII. 421 p.]
4. Markett C. Norm estimates for (C,S) means of Hermite expansions and bounds for 8eff // Acta Math. Hung. 1984. Vol. 43. P. 187-198.
5. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965. Vol. 87. P. 695-708.
УДК 517.538.52+517.538.53
ЭРМИТОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДВУХ ЭКСПОНЕНТ
А. П. Старовойтов
Гомельский государственный университет E-mail: [email protected]
Для системы, состоящей из функций {eAlz, eA2z}, изучаются асимптотические свойства ее аппроксимаций Эрмита-Паде {nn,m(z; eAj €)}2=i■ В частности, для любого z при n ^ го найдена асимптотика поведения разностей eAj z - пП, m(z; eAj €), j = 1,2. Полученные результаты дополняют аналогичные исследования Эрмита, Паде, Перрона, Д. Браесса, А. И. Аптекарева и других авторов.
Ключевые слова: совершенная система функций, совместные аппроксимации Паде, аппроксимации Эрмита-Паде, асимптотические равенства, интегралы Эрмита.
Hermitian Approximation of Two Exponents A. P. Starovoitov
We study the asymptotic properties of Hermite-Pade approximants {nn,m(z; eXj 6)}2=1 for a system consisting of functions
{e
z Ä2 z
}. In particular, we determine asymptotic behavior of
differences eAj z - j m (z; eAj 6) for j = 1,2 and n ^ ro for any complex number z. The obtained results supplement research of Pade, Perron, D. Braess and A. I. Aptekarev dealing with study of the convergence of joinnt Pade approximants for systems of exponents.
Key words: perffect system of functions, joint Pade approximant, Hermite-Pade approximants, asymptotic equality, Hermite integrals.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим набор
fj (z) = Ë fk, j = 1, 2,..., r
(1)
k=0
голоморфных в нуле функций, или формальных степенных рядов. Зафиксируем произвольные целые
г
неотрицатетельные числа п, Ш1, ш2,..., тг. Обозначим ^ тд = т, п = п + т — тд, $ = 1, 2,..., г.
¿=1
Известно [1], что при $ = 1,2,...,г существуют такие многочлены (г), Р., deg ^ т, deg РД. ^ п, для которых
Rjn,m(z) = Qm(*)fj (Z) - Pj (z) = AjZ n+m+1 + ...
(2)
Если r = 1, то согласно теореме Паде [2, теорема 1.1.1] многочлены Qm(z), P^(z) определяются с точностью до однородной константы, а их отношение задает единственную рациональную функцию nn(z, /i) = P^(z)/Qm(z), которую называют аппроксимацией Паде для / (z). При r ^ 2 дроби (z) = j m (z, /j) = Pj (z)/Qm (z), j = 1, 2,...,r условиями (2) определяются, вообще говоря, не однозначно. В случае единственности множества m}r=i его элементы называют совместными аппроксимациями Паде (аппроксимациями Эрмита-Паде) для системы функций (1). Единственность, в частности, имеет место для совершенных систем функций (определение и примеры совершенных систем см. в [1, 3-7]). Совершенной, в частности, является система экспонент /j (z) = eAj z, j = 1, 2,...,r, где {Aj }r=i — различные комплексные числа [1, теорема 2.1]. Без формального определения этот факт был установлен Ш. Эрмитом (C. Hermite) [8].
Для одной экспоненты ez, т.е. при r = 1, явные выражения для числителя и знаменателя nn(z; e^) получил Паде (H. Pade) [9]. Опираясь на полученные представления, он доказал, что при n/m ^ y, 0 ^ y ^ на компактах C дроби nn(z; e^) равномерно сходятся к ez. О. Перон
( Старовойтов Л. П., 2013
87
