Замечания о задаче Фаньяно Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938

ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧЕ ФАНЬЯНО

А. И. Рубинштейн, Д. С. Теляковский

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Москва; профессор кафедры высшей математики, Московский государственный университет

леса, [email protected]

2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Национальный исследовательский

ядерный университет «МИФИ», Москва, [email protected]

Даются два решения задачи Фаньяно о нахождении трёхзвенной биллиардной траектории в треугольнике.

Ключевые слова: биллиардная траектория, задача Фаньяно.

Пусть G — плоская область с гладкой или кусочно-гладкой границей dG. Биллиардной траекторией в G называется неограниченно продолжаемая ломаная, вершины (узлы) которой лежат на dG, все остальные точки — внутри G, а два звена с общей вершиной M е dG образуют равные углы с касательной, проведённой к dG в точке M — правило биллиардного отражения: «угол падения равен углу отражения». Биллиардное отражение в угловых точках dG считается невозможным, и траектория, попавшая в угловую точку, заканчивается в ней.

В общем случае биллиардная траектория состоит из бесконечной последовательности звеньев, но могут существовать и периодические траектории, которые представляются ломаными с конечным числом звеньев, проходимыми бесконечно много раз. В статье с элементарной точки зрения рассматривается вопрос о существовании периодических биллиардных траекторий в треугольниках.

Одной из первых задач о периодических биллиардных траекториях фактически является поставленная в 1775 г. задача Фаньяно (см. напр. [1, с. 99]), хотя в её исходной формулировке о биллиардах не упоминается.

Задача Фаньяно 1. Найти треугольник минимального периметра, вписанный в данный треугольник ABC.

Поскольку AABC является ограниченным и замкнутым множеством, а периметр вписанного треугольника непрерывно зависит от расположения его вершин на сторонах AABC, существуют вписанные треугольники максимального и минимального периметров. Треугольником максимального периметра является сам AABC. Треугольник минимального периметра может вырождаться в отрезок, исходящий из одной из вершин AABC, в этом случае длина этого отрезка считается два раза.

Покажем, что если невырожденный вписанный треугольник минимального периметра существует, то он является трёхзвенной биллиардной траекторией, вписанной в треугольник ABC.

Действительно, сумма расстояний от точек P и Q, лежащих с одной стороны от прямой EF до точки T этой прямой минимальна, если ZPTE = ZQTF (рис. 1, а). Поэтому T — это такая точка прямой EF, что исходящий из P луч после биллиардного отражения от EF в точке T пройдёт через точку Q.

Пусть MiM2M3 — невырожденный треугольник минимального периметра, вписанный в AABC

© Рубинштейн А. И., Теляковский Д. С., 2014

точки Mi на стороне AB, периметр △M1M2M3 можно было бы уменьшить, что противоречит предположению о минимальности периметра △M1M2M3. Значит, луч M1M2 является биллиардным отражением луча M3M1 от стороны AB. Рассматривая аналогично остальные вершины △M1M2M3, видим, что M1M2M3 — замкнутая трёхзвенная биллиардная траектория, вписанная в △ABC. Поэтому задачу Фаньяно можно переформулировать следующим образом.

Задача Фаньяно 2. Найти трёхзвенную биллиардную траекторию, вписанную в данный треугольник ABC.

То, что трёхзвенная биллиардная траектория в треугольнике ABC имеет минимальную длину среди треугольников, вписанных в △ABC, является проявлением свойства экстремальности длин биллиардных траекторий — вписанная в dG ломаная экстремальной длины (имеющая локальный максимум или минимум) является периодической биллиардной траекторией [1, с. 97-98].

Если биллиардная траектория отражается от прямолинейного участка границы области G, то при симметричном отображении области G относительно этого участка границы dG образ отражённого звена траектории лежит на продолжении звена траектории до отражения. На рис. 1, а отрезок TQ', симметричный отражённому звену TQ, лежит на продолжении звена PT. Это называется распрямлением биллиардной траектории. Рассматривать распрямлённые траектории, особенно для биллиардов внутри многоугольников, часто бывает удобнее, чем траектории в исходной области.

Наиболее известными решениями задачи Фаньяно являются решения Г. А. Шварца и Л. Фейера [2, с. 36-44]. Эти решения существенно используют свойство экстремальности длины биллиардной траектории. Приведём два решения задачи Фаньяно, не использующие свойства экстремальности длины периодической биллиардной траектории. Одно решение основано на методе распрямления биллиардной траектории, другое является чисто геометрическим.

Предположим, что M1M2M3 — трёхзвенная биллиардная траектория в треугольнике ABC (рис. 2, а). Распрямим эту траекторию начиная со звена M1M2. Для этого потребуются выполнить две симметрии: сначала относительно отрезка CB, а потом относительно отрезка CA' (△A'BC — образ △ABC при первой симметрии, а △A'B'C — образ △A'BC при второй). Ясно, что △A'B'C получается при повороте △ABC вокруг точки C на угол 2ÁBCA. Распрямлённая траектория является отрезком, соединяющим начальную точку траектории M1 и точку M1 — образ M1 при повороте.

Покажем сначала, что трёхзвенная биллиардная траектория может существовать только в остроугольных треугольниках. Распрямлённая траектория M1M1, должна целиком лежать в объединении △ABC U △A'BC U △A'B'C и пересекать отрезки CB и CA'. Если угол ZBCA прямой, то точка M1 лежит на CM1, и, значит, траектория M1M2M3 должна пройти через вершину C (рис. 2, б), если же угол ZBCA тупой, то точка M1 и отрезок CB лежат по разные стороны от прямой CM1 (рис. 2, в). Ни в одном из этих случаев биллиардная траектория существовать не может.

а б в

Рис. 2

Значит, искать трёхзвенные биллиардные траектории имеет смысл только в остроугольных треугольниках. Пусть отрезок М1 М[ — распрямление периодической биллиардной траектории М1М2 М3 (рис. 3, а). Поскольку М{ — образ точки М1 при повороте △АБС вокруг точки С, то длины отрезков СМ1 и СМ1 равны, треугольник СМ1М1 равнобедренный и, значит, углы АСМ1М'1 и ZCM1М1 равны. Углы ZM3M1А и /М2М1Б равны, поскольку траектория М1М2М3 биллиардная. Угол /М^М1 А' образ угла ZM3M1А при повороте вокруг точки С. Поэтому углы /М2М1Б и ZM'3M'1 А' равны. Отсюда и из равенства /М1М1С = ZM1M1C следует равенство углов ZCM1Б и ZCM1A'. Но угол ZCM1A' — образ угла ZCM1A при повороте вокруг С. Таким образом, углы ZCM1А и ZCM1Б

равны и, значит, они прямые. Следовательно, точка Mi — основание высоты, опущенной из вершины C на сторону AB. Аналогично доказываем, что точки M2 и M3 являются основаниями высот, опущенных из A на BC и из B на CA соответственно. Значит, трёхзвенная биллиардная траектория, если она существует, соединяет основания высот треугольника AABC. Отсюда, в частности, следует единственность решения задачи Фаньяно.

Теперь покажем, что в произвольном остроугольном треугольнике ABC существует трёхзвенная биллиардная траектория. Пусть M — основание высоты, опущенной из вершины C треугольника ABC на сторону AB (рис. 3, б). Пусть, как и раньше, AA'B'C получается из AABC при двух последовательных симметриях, при этом точка M' треугольника A'B'C соответствует точке M е AABC. Начнём биллиардную траекторию из точки M в направлении MM'. Отрезок MM' является распрямлением этой траектории после двух последовательных отражений от сторон BC и CA, и поскольку точка M' соответствует точке M, то после двух отражений траектория возвращается в исходную точку M. Для того чтобы показать, что эта траектория является биллиардной, достаточно проверить, что в точке M угол падения равен углу отражения, т.е. надо установить равенство углов ZM'MB и ZMM'A' (угол в AABC, соответствующий углу ZMM'A', является углом, под которым траектория возвращается в точку M после двух отражений). Но эти углы равны, так как они дополняют до прямых углов равные углы равнобедренного треугольника CMM'. Этим существование трёхзвенной биллиардной траектории в произвольном остроугольном треугольнике доказано.

Что касается задачи Фаньяно в первоначальной формулировке, то в прямоугольных и тупоугольных треугольниках вписанный треугольник минимального периметра (а он существует всегда в отличие от вписанной биллиардной траектории) вырождается в отрезок, исходящий из одной из вершин AABC, длина которого считается два раза. Ясно, что таким отрезком минимальной длины является высота, опущенная из вершины тупого или прямого угла треугольника.

Теперь приведём второе, чисто геометрическое решение задачи Фаньяно. Пусть A1B1C1 — трёхзвенная биллиардная траектория в остроугольном треугольнике ABC, точки A1, B1 и C1 лежат на сторонах AABC, противоположных соответственно вершинам A, B и C.

В AABC обозначим а, в и y величины углов при вершинах A, B и C, a, b и c — длины противоположных этим вершинам сторон. Пусть ^ и 9 — величины углов, которые образуют звенья траектории A1B1C1 со сторонами AABC в точках A1, B1 и C1 соответственно (рис. 4, а).

Покажем сначала, что ^ = а, ^ = в и 9 = y. Действительно, так как величина угла при вершине A в треугольниках ABC и AB1C1 равна а, то а = п — (в + Y) и а = п — + 9). Углы при вершине A1 в AA1B1C и AA1BC1 равны Поэтому ^ = п — (y + и ^ = п — (в + 9). Из этих выражений для ^ и а получаем:

B'

а

б

Рис. 3

= п — (y + + п — (в + 9) = п — (в + Y) + п — (^ + 9) = 2а.

Равенства ^ = в и О = 7 доказываются аналогично. Поскольку по смыслу задачи углы ^ и О острые, то из равенств а = в = ^ и 7 = О ещё раз, уже из других соображений, чем при первом решении задачи Фаньяно, получаем, что трёхзвенная биллиардная траектория может существовать только в остроугольном треугольнике.

Теперь найдём длины отрезков, на которые узлы биллиардной траектории делят стороны ДАВС (рис. 4, б). По теореме синусов, применённой к ДАВ1С1, ДАВС и ДАВ1С, имеем:

Ъ — у

c — z

у

a — x

sin в sin 7 ' sin 7 sin a ' sin a sin в ' а по теореме синусов, применённой к ДАВС, получаем ещё такие соотношения

abc

sin a sin в sin 7

С

С

a-x

С:

B

С:

c-z

B

(1)

(2)

Рис. 4

Найдём х из системы линейных уравнений (1). Последовательно исключая у и г из этой системы, получаем:

z =

sin a

У = —— x), sin в

Ъ sin в — (a — x) sin a sin 7

, sin 7

Ъ — У = —~Б z = sin в

sin a

c — z =-x

, sin a , , sin 7 Ъ = ——-(a — x) + ——- z,

sin в sin в

Ъ sin в + 2x sin a — a sin a

c=

sin 7

sin 7

Выражаем x из последнего соотношения

1 / sin 7 sin в Л x = - a +--c--b .

2 V sin a sin a /

ТЛ - /o\ sin 7 c sin в b

Из соотношении (2) следует, что -= — и -= —. Поэтому окончательно имеем:

sin a a sin a a

1( c2 b2

x = - a +----

2 \ a a

Теперь найдём длины отрезков, на которые сторону BC делит опущенная на неё из вершины A высота (рис. 5, а). По теореме Пифагора, h2 + a2 = c2 и h2 + a2 = b2. Вычитая из первого равенства второе, получаем:

a2 — (a—ac )2 = c2—Ъ

„2 l2

2a ■ ac—a2 = c2—Ъ2

1 / c2 Ъ2

ac = 2 I a +---

Так как длины отрезков x и ac совпадают, то точка Ai является основанием высоты, опущенной из A на BC. Аналогично доказывается, что точки B1 и C1 находятся в основаниях двух других высот треугольника ABC. Таким образом, если в треугольнике (как было показано, необходимо остроугольном) есть биллиардная траектория, то она соединяет основания высот треугольника.

Теперь проверим, что треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника даёт решение задачи Фаньяно. Прямоугольные треугольники MB1C и MC1B подобны (рис. 5, б), по-

B1M C1M

скольку их углы при вершине M являются вертикальными. Поэтому

CM

BM

. Значит, подобны

z

x

б

а

и ABiMCi и ACMB — их углы при вершине M равны как вертикальные, а прилегающие стороны пропорциональны. Значит, величины углов этих треугольников при вершинах Bi и C равны, но тогда равны и углы ZCBA и ZC1B1A, дополняющие эти углы до прямых. Равенство ZCB1A1 = ZCBA доказывается аналогично. Так как ZCB1A1 = ZC1B1A, то отражение траектории A1B1C1 в точке B1 является биллиардным. Аналогично рассматривая остальные вершины AA1B1C1 получаем, что A1B1C1 — трёхзвенная биллиардная траектория.

С

a= a-a„

С

ByÄ

hA1

/ V

А'-' \ и ß?\

B

A

Cx

B

Рис. 5

Легко видеть, что в произвольном прямоугольном треугольнике существуют шестизвенные биллиардные траектории. Они начинаются перпендикулярно гипотенузе, и каждое их звено проходит на периоде два раза в противоположных направлениях (рис. 6, а, б).

Рис. 6

Если прямоугольный треугольник не является равнобедренным, то биллиардных траекторий с меньшим количеством звеньев не существует. Неизвестно, существуют ли периодические биллиардные траектории в произвольном тупоугольном треугольнике [3, с. 119].

Библиографический список

1. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические 3. Табачников С. Геометрия и биллиарды. М. ; Ижевск :

биль>ярды. М. : Наука, 1990. 288 с. НИЦ «регулярная и хаотическая динамика»; Ижевский

2. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. М. : На-

ука, 1964. 264 с.

институт компьютерных исследований, 2011. 180 с.

б

б

а

Remarks on Fagnano Problem

A. I. Rubinstein1, D. S. Telyakovskii2

1 National Research Nuclear University MEPhI, 31, Kashirskoe ave., Moscow, 115409, Russia; Moscow State Forest University, 1,

1st Institutskaya str., Mytischi, Moscow region, 141005, Russia, [email protected]

2National Research Nuclear University MEPhI, 31, Kashirskoe ave., Moscow, 115409, Russia, [email protected]

We provide two solutions to the Fagnano problem on finding a three-link billiard traectory in a triangle.

Keywords: billiard traectory, Fagnano problem.

References

1. Gal'perin A., Countrymen A. N. Matematicheskie bil'iardy [Mathematical Billiards]. Moscow, Nauka, 1990, 288 p. (in Russian).

2. Rademacher H., Toepliz O. Chisla i figury [Numbers and Shapes]. Moscow, Nauka, 1964, 264 p. (in Russian).

3. Tabachnikov S. Geometry and Billiards. Providence, R. I., Amer. Math. Soc., 2005. 176 p. (Rus. ed.: Tabachnikov S. Geometriia i billiardy. Moscow, Izhevsk, NITs «Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika», Izhevskii institut komp'iuternykh issledovanii, 2011, 180 p.)

УДК 517.538.52+517.538.53

КВАДРАТИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТА-ПАДЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

А. П. Старовойтов

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и теории функций, Гомельский государственный университет им. Фр. Скорины, Беларусь, [email protected]

В работе изучаются экстремальные свойства квадратичных диагональных аппроксимаций Эрмита-Паде I типа для системы экспонент {ех^ *}2=0 с произвольными различными действительными показателями Ао, А1, А2. Доказанные теоремы дополняют известные результаты П. Борвейна и Ф. Вилонского.

Ключевые слова: аппроксимации Эрмита-Паде I типа, квадратичные аппроксимации Эрмита-Паде, асимптотические равенства, метод перевала.

ВВЕДЕНИЕ

Диагональными аппроксимациями Эрмита-Паде I типа (Latin type) и (n — 1)-го порядка для набора экспонент {epz}k=0 называют k + 1 многочлен A0(z), Ai(z),..., Ak(z) степени не выше n — 1, для которых

k

J^Ap (z) epz = O(zkn+n-1) , z ^ 0, (1)

p=0

где предполагается, что хотя бы один многочлен Ap(z) тождественно не равен нулю.

Такие аппроксимации введены в рассмотрение Эрмитом (C. Hermite) [1] в 1883 г. Ещё раньше, при доказательстве трансцендентности числа e, Эрмит [2] определил k + 1 многочлен Qkn(z), Pkn(z),..., Pkkn(z) степени, не выше kn, для которых

Rn(z) := Qkn(z) ejz — Pj(z) = O (zkn+n+1) , z ^ 0. (2)

Набор рациональных функций n3kn kn(z; ej5) = Pjn(z)/Qkn(z), j = 1, 2,..., k принято называть диагональными аппроксимациями Эрмита-Паде II типа (German type) n-го порядка (по поводу терминологии см. [3]). В [4] показано, что с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде I типа можно также доказать трансцендентность числа e.

В одномерном случае (k = 1) общая постановка задачи о нахождении многочленов, удовлетворяющих равенствам (1), (2), принадлежит Паде (H. Pade) [5], а построенные в обоих случаях многочлены совпадают. В многомерном случае (k ^ 2) систематическое изучение аппроксимаций Эрмита-Паде I и II типов связано с появлением работы К. Малера (K. Mahler) [4] (об участии других авторов в создании формальной теории см., например, [6]). Оба типа аппроксимаций Эрмита-Паде, явно различные в многомерном случае, имеют множество приложений [6-8].

При k = 1 приходим к классическим аппроксимациям Паде. В этом случае A0(z) = — РП-1 (z), A1 (z) = Qn-1 (z), и хорошо известно, что аппроксимации Паде nn,n(z;e5) = РП(z)/Qn(z) обладают рядом экстремальных свойств, в частности, являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями ez.

В данной статье рассматриваются квадратичные (k = 2) диагональные аппроксимации Эрмита -Паде I типа для системы экспонент {eA°z,eAlz,eA2z} с произвольными различными комплексными

© Старовойтов Л. П., 2014