CC BY
12
МНТЕН
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНО ВХОДЯЩИМ ПАРАМЕТРОМ
Т.А. Костенко
APPROXIMATE SOLUTION OF ONE CLASS OPERATOR EQUATION WITH NON-LINER ENTERING PARAMETER
Kostenko T.A.
The paper considers one class of operator equations with non-liner entering parameter, for which sufficient existence conditions have been formulated; the method of forming successive approximations to exact solution has been suggested. Priori estimations of the solution and estimations of approximation proximity to exact solution have been obtained on the each stage of iteration. Proximity estimations of the somehow found approximation to exact solution according to the known discrepancy are presented.
В работе рассмотрен один класс операторных уравнений с нелинейно входящим параметром, для которого сформулированыi достаточные условия существования и единственности решения, указан метод построения последовательных приближений к точному решению, полученыi априорные оценки решения и оценки близости приближений к точному решению на каждом шаге итераций, указаны оценки близости некоторым образом найденного приближения к точному решению по известной невязке.
УДК 517.984.3
Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций в виде операторного уравнения с оператором А, действующим в том или ином банаховом пространстве Е. Подобные задачи возникают и в физических (инженерных) ситуациях. Например, задача о потоке нейтронов в ядерном реакторе. Для задач такого рода, как правило, не удается найти точное решение, поэтому особую актуальность приобретают методы построения приближений к решению операторного уравнения. С вопросом о разрешимости операторного уравнения, а также с вопросом о скорости сходимости последовательных приближений непосредственно связан вопрос о величине спектрального радиуса или о его оценках.
В работе используется терминология функционального анализа [3].
Пусть А - линейный положительный ограниченный оператор, действующий в вещественном банаховом пространстве Е, полуупорядоченном конусом К. Будем рассматривать операторное уравнение вида
Л2х=ЛА2х+Ах+/ (1)
где х - неизвестный элемент, а / - известный (/еЕ). Введем в рассмотрение операторный полином Р(Х)=121-АА2х-Ах. Тогда исходное уравнение (1) можно представить в виде
Р(1)х=/. (2) Известно [5], что если Хёо(Р(Х)), т.е. 1 не является точкой спектра операторного полинома Р(1), то уравнение (2), равно как и уравнение (1), имеет в Е единственное ре-
шение х . Это будет в том случае, когда \Я\>г(Р(Я)), где г(Р(Я)) - спектральный радиус операторного полинома Р(Я). Кроме того, справедлива
Теорема 1 [1]. Пусть А - вполне непрерывный оператор и для некоторого элемента и0еК выполняется неравенство аи0<Аи0<ри0, где а>0. Пусть, кроме того, оператор А и0-ограничен сверху с показателем 1 и и0-ограничен снизу, а конус К воспроизводящий, тогда
г(А) <г(Р(Я))<г2(А)+1. Замечание 1. Если в условиях теоремы 1 точное значение г(А) не известно, то, зная оценки г(А) сверху и снизу: а<г(А)<р, можно получить двусторонние оценки г(Р(Я)): а < г(Р(Я))<р2+1.
Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 \Я\>Т(А)+1, то уравнения (1) и (2) имеют в Е единственное решение при любом / из Е. Если же для спектрального радиуса оператора А известна только оценка г(А)<р, то уравнения (1) и (2) имеют в Е единственное решение при всех Я, удовлетворяющих условию \1\>Ь 2+1, и любом / из Е.
Везде далее будем считать выполненными все условия теоремы 1. Выберем Я таким, чтобы выполнялось неравенство \Я\>г2(А)+1. Построим уравнение, эквивалентное уравнению (1).
1х я Ах ,24яа-^х + —12х- —12
Я х = ЯА х +:
+/,
. .—-х +—12х--12х +
241 4Я 4Я
Я2х = Я| А + — I I х —-12х + / .
]_
2Я~ У 4Я Так как Яф0, то равносильное уравнение имеет вид
1 ( 1 У /
Ях +—- х = | А +— I I х + — 4Я I 2Я 0 Я
или
4Я3 +1 „ /
-—х = Вх + —,
4Я Я '
1
(3)
где В = ^А + 211 ^ . По построению решение уравнения (3) также является решением уравнения (1). Найдем спектральный радиус
г(В) оператора В. Пусть ф - собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению ¡ц, тогда этот вектор является, очевидно, и собственным вектором операторов I и В. По теореме Крейна-Рутмана [4] существует собственный вектор ф оператора А, отвечающий г(А), имеем ¡ф=Вф=
1 У 2 1 1 2
А + 2Я11 ф = А ф + Я А1ф + ф =
= ( т + Я1 т + 412 У =( т + 21 ] ф<
4г (А)+2Я I ф,
поэтому
г(В) = 8ИР| <| г(А) + 211 I .
т <|г (А)+"21
Сравним г(В) и 4Я3 +1
4Я3 +1
4Я2
- г (В) =
4Я2 4Я3 +1
4Я2
-| г (А)+* 1>
>Я-Л-(г2(А) + ГЯ)+4 I,
1 ' 4|Я|2 I Я 4Я 0
> Я -Л - г 2( А) - ^
1 1 4 Я2 Я 4Я '
учитывая выбор \Я\, имеем
4Я3 +1
4Я
- г (В) > 1 -
г (А) -
2|Я|(1 - г(А))-1
21
Определим знак последнего неравенства, совпадающий со знаком числителя. Для этого найдем промежутки знакопосто-янства функции
/(х) =2х2-2хг(А)-1.
- г(А) + ^1 г2(А) + 2
> 0,
2
2
2
2
х1 =
r(A) -у!r2(A) + 2 2
< 0.
f(x)>0 при xe(-¥;x2)u(x1; + ¥)■
Сравним \1\ с x1 и с x2. Имеем
|1| - x > r2(A) +1 -
- r (A) + yj r 2( A) + 2
_ 2r2(A) + 2-д/r2(A) + 2 + r(A) _ _ 2 _ д/r2(A) + 2r2(A) + 2 - 1 j + r2(A) + r(A)
> 0;
1 - x2 > r \A) +1 -
1 - r(A) + Уr2(A) + 2
д/r2(A) + 2r2(A) + 2 -1| + r2(A) - r(A) _ 2 _ _ 1/2^/r2(A) + 2(д/r2(A) + 2 -10 +
+ (r(A) - 0,5)2 - 0,25)>
(r(A)- 0,5)2 +7r2(A) + 2Оr2(A) + 2 -1,25)
>-^-0>
2
> 0.
Если 1>0, то 1=\1\>x1, если Я<0, то 1<x2, поэтому \1\ принадлежит области значений, при которых функция f(x) положительна. Следовательно,
413 +1 - т > 0
41
и уравнение (3) имеет единственное решение х , к которому сходятся последовательные приближения
413 +1 _ д / 4Я2 ^+1 _ п + 1' начиная с любого начального приближения х0. Отсюда
412 Г В /1
хп+1 _ —3-1 Вхп + — I.
"+1 41 +1 ^ " 10
В качестве нулевого приближения выберем
f б 412
x0 _ — и обозначим c _ —;-
0 1 41 +1
,тогда
x _ c|Bx0 + f |_ c|B^ + ±г\_Ш + f),
1
f
ff
+ -
1 1) 1
x2 _ c| Bx1 + ^|_ c B\^-(Bf + f)| + f
1
1
1
2
_ 1 (b 2f + Bf + f),
_ 12 Bkf.
1 k _0
(4)
Таким образом, решение исходного уравнения (1) представимо в виде (4), где
1
В _| А + — I { 21
Теорема 2. Пусть А - вполне непрерывный оператор и для некоторого элемента и0еК выполняется неравенство аи0<Аи0<риа где а > 0. Пусть, кроме того, оператор А и0 -ограничен сверху с показателем 1 и и0 -ограничен снизу, а конус К воспроизводящий, и пусть \1\>г2 (А)+1, тогда уравнение (1) имеет единственное решение х , к которому сходятся последовательные приближе-
ния x„+1 _
412
Bxn + f
начиная с
413 +1 Г"" ' 1.
любого начального приближения х0еЕ. В частности, решение этого уравнения пред-ставимо в виде
(
x * _ lim
41
2 V
413 +1
1 n
12 Bkf■
1 k _0
у , 1.0
Очевидно, оператор В является линейным положительным оператором, действующим в Е. Введем обозначение
. 413 +1 /
1о _ 412 ' /0 _ 1> тогда уравнение (3) примет вид
1дх=Вх+/а. (5)
Оценим близость п-го приближения, полученного с помощью формулы (4), к точному решению х уравнений (1) и (5). Для этого воспользуемся известной [2] теоремой: пусть А - линейный положительный оператор и для некоторого элемента и0>0 выполняется неравенство Аи0<ди0, где 0<д<1 а элемент />0 удовлетворяет нера-
x2
2
nn
x
n
>
2
венству /<ри0. Пусть конус К нормальный, тогда при всех указанных /рассматриваемое уравнение имеет в К решение х , к которому сходятся последовательные приближения Яхп+1=Ахп+/, (п=0,1,2,...) при любом начальном приближении х0>в, удовлетворяющем неравенству х0<аи0 (а>0). Кроме того, для решения х этого уравнения
справедливы оценки х* - хп < ри° ' д
Я-д (Я
* ^ / рд
х < — + и°.
Я Я-д Пусть Аи0<риа тогда
2 1 1
Ви° = А и° +— Аи° +--- и° <
0 ° Я 4Я
£| +Яа+=(а+-к 1 и°,
т.е. Ви0<р0Щ где Ь° = (Ь + ^' . Пусть,
кроме того, справедливо неравенство /<ри0, / р р
тогда /° = — < Яи° = р°и°, где р° = —. Установим условия, гарантирующие выполнение неравенства 0<р0< Я0:
а 1 I2 4Я3 +1
2Я 0 4Я2 '
а2+я а-я< °,
а =
А =
-1 + V 4Я3 +1 2Я
-1 -V 4Я3 +1 2Я
С учетом положительности имеем ° <а < ± (^ -1),
тогда по сформулированной выше теореме справедлива оценка
* р°и° х - хп <
° - д°
п
а
°
<
<
ри°
( л
я
4Я +1 4Я2
1
а
- а2
1
Я 4Я2
Л
а + 2ЯI 41
4Я3 +1
п
= ри°
4
4Я +1 - 4^ Я2 - 4рЯ -1
+2Я
2п
4
2п
4Я +1
Кроме того,
х*< + и° =
Я Я - а°
+
р|а+
4 Я/
4Я3 +1 4Я3 +1
2
-I а+
4
/+
4Я (^ ' 2Я 4 Яр(2а +1)2
4Я3 + ^ ' 4Я3 +1 -1(2^ +1)2 Таким образом, доказана теорема: Теорема 3. Пусть А - линейный положительный вполне непрерывный оператор и для некоторого элемента и0>в выполняется неравенство аи0<Аи0<ри0, где а>0. Пусть оператор А и0-ограничен сверху с показателем 1 и и0-ограничен снизу, а конус К воспроизводящий и нормальный. Тогда при всех 1, удовлетворяющих условиям: Я>г2(А)+1,
1 -1'
° < а < 2Я (^ -')
уравнение (1) при />в имеет в конусе К
*
единственное решение х , к которому сходятся последовательные приближения
хп+1 = — ( Вхп + ^
°
Я
(п=°,1,2,...) при лю-
бом начальном приближении х0>в, удовлетворяющем неравенству х0< аи0 (а > °).
х
2
п
X
2
2
1
и
°
2
Кроме того, если элемент / удовлетворяет неравенству /<ри0, то для решения х уравнения (1) справедливы оценки * < 41
х " хп < Ри0л,3,л лп2,2-*
41 +1 - 4р 1 - 4р1 -1
4ь+2т
2п Г 412 ^
41 +1
* ^ х <
41
/+
41р(2р +1)2
413 +1" ' 413 +1 - 1(2Ь +1)2 0' Замечание. Пусть в условиях теоремы 3 для некоторого элемента у0еК выполняются неравенства
Р^0< /, (6) АУ0>д^0,
где 0 < д1 < 21 |л/413 +1 -. Тогда для решения х уравнения (1) справедлива оценка 41 ^ 41р1(2д1 +1)2
*
х >
/+
413 + 1У ' 413 +1 -1(2* +1)2 0' Доказательство. Из условия (6) и определения оператора В имеем
2 1 1
Ву0 _ А у0 +— Ау0 +--- у0 >
0 0 1 0 412 0
Ч*1 +1 * + 41"_(* + 211 у0-
Тогда для оператора В и уравнения (3) имеем [2]:
1
*> 41/ П * + 21 1 У0
х >—~~— + - '
413 +1 413 +1
1
41
/+
41 ( 21 41Р:(2*! +1)2
20
413 +1 413 +1 -1 (2* +1)2 Следствие. Пусть А - линейный положительный вполне непрерывный оператор и для некоторого элемента и0> 0 выполняется неравенство аи0<Аи0<риа где а>0. Пусть оператор А и0-ограничен сверху с показателем 1 и и0-ограничен снизу, а конус К воспроизводящий и нормальный. Тогда при всех 1, удовлетворяющих условиям: 1>г2(А) + 1,
0 < р < ± (Лр+Т-1)
уравнение (1) при />0 имеет в конусе К
*
единственное решение х , к которому сходятся последовательные приближения
хп+1 _ 10[Вхп +10 (п=0,1,2,...) при любом начальном приближении х0>9, удовлетворяющем неравенству х0< аи0 (а>0).
Кроме того, если элемент f удовлетворяет неравенству
Ы>0</< ри0.
то для решения х уравнения (1) справедливы оценки
* < 41
х - хп < Ри0 „,3 , л132,2-*
*|р+2!
41 +1 - 4р 1 - 4р1 -1
2п Г 412 ^
413 +1
ч /
41фа +1)2 и0 413 +1" ' 413 +1 -1 (2а +1)
41
/+
и0 < х* <
20
41
/+
41р(2р +1)2 и0
413 + 1У ' 413 +1 -1 (2р +1)2 0' Пусть ~ - каким-либо образом найденное приближение к решению уравнений (1) и (3). Построим элемент 8:
С» * ~
8 _ х - х ,
*
который назовем невязкой. Так как х - решение уравнения (1), то
12 (х* - ~) _ 12х* - 12х _ _ ЯА2х* + Ах* + / + 8 - 1А2х - Ах - / _ _ 1А2 (х* - ~) + А(х* - ~) + 8 ,
** * х
т.е. элемент х _ х - х является решением уравнения
12х=1А2х+Ах+8. (7)
Последнее уравнение в рассматриваемых условиях имеет единственное решение, которое представимо в виде
Г 412 V
х _ Нш
413 +1
1п
- ^ Вк8.
1 к _0
Оценим норму элемента х**:
2
х =
< lim
lim
4l
f 4l Y
41 +1
1 n
- V BkS
' k=0
41 +1
Л VI BllklM|. ..........
k=0
Будем считать, что \Я\> \\В\\, тогда последнее неравенство примет вид
4Я2
х < lim
II II П®¥
X n
§ V1 г •
1 Г=о11
4Я3 +1
На основании формулы суммы п-первых членов геометрической прогрессии имеем
2п
„ и 4Я
х < lim ■
§ 1 -1
n®¥ |413 +1| §11
1 1-1
• М < M
|1|-(1|-1)n®m¥|4Яз +1n <|1|-(1|-1)'
Откуда
х - х <i
|Я|-(Я|-1)'
т.е. имеем оценку близости приближения ~ к точному решению х уравнения (1).
Выясним условия, при которых выполняется неравенство
\Я\^:\\В\\. (8)
Оценим сначала \В\\:
в =
л+±I
21
,2 А I А + — +—2 1 41
<1 |А2|| + ^ + -
1
(9)
2
1 4\1\
Отметим, что для любого элемента хеЕ имеем
22
А2х = i|А(Ах)|| < i|а|| • iiАх\ < ||а||
• х
НА2 х|
А2 х = sup-
■< А •
хеЕ х
т.е. неравенство (9) имеет вид
......... А 1
B < А +U +
(
11 4|1|2 v Усилим неравенство (8)
А +-
2|1|
|1|>
А +-
21
учитывая, что \1\>0, последнее неравенство можно переписать в виде
4\1\3-4\\А\\2-\1\2-4\\А\\-\1\-1>0. По предположению \1\>r2(A)+1. Ужесточим условия, потребовав чтобы 111>\\А\\2+1.
Таким образом, имеем систему неравенств
|4|1|3 - 4 а\\2|1|2 - 4 А щ-1 > о,
I |1|>|\А\\2 +1.
Усиливая первое неравенство системы, получим
14|1|3 > 4||А\\2 (А\\2 +1)2 + 41А\\ • (А\\2 +1)+1, 4|1|3 > 4||А\\6 +121 А\\4 +121 А\\2 + 4.
Сравним правые части неравенств системы. Для этого из правой части второго неравенства системы вычтем правую часть первого неравенства, получим
4\А\\4-4\\А\\3+8\А\\2-4\А\\+3=\А\\2(2\А\\-
1)2+(2\\А\\-1)2+2= =(\A\f+1) -(2\\А\\-1)2+2>0 при любом значении WW.
Таким образом, условия \ 1\> \\B\\, \1\>r2(A)+1 выполняются при выполнении неравенства \И\ \\^4 \\2 , и справедлива теорема:
Теорема 4. Пусть А - линейный положительный вполне непрерывный оператор и для некоторого элемента ы0>в выполняется неравенство au0<Au0<pu0 где a>0. Пусть оператор А uo-ограничен сверху с показателем 1 и uo-ограничен снизу, а конус K воспроизводящий. Пусть, наконец, \ И\»\\^4 \\2 ^^ 1, тогда для приближения ~ к решению уравнения (1) справедливо неравенство
IIMII
х - х <
|1|-(1|-1)'
где M - невязка. Кроме того,
х < х +■
1| • (1| -1) '
2
1
n
2
2
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора и ускорение сходимости некоторых итерационных методов решения операторных уравнений: Дисс... кандидата физ.-мат. наук. -Ростов-на-Дону, 1999. - 148 с.
2. Костенко Т.А., Стеценко В.Я. Некоторые итерационные методы решений уравнений ii рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. - Академиз-датцентр «Наука» РАН. - Т. 42. - №6, июль. - 2002. - С. 780-784.
3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Физмат-гиз, 1962. - 394 с.
4. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи мат. наук. -1948. - Т.3. - №1. - С. 3-95.
5. Стеценко В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс... д-ра физ.-мат. наук. - Воронеж, 1968. - 307 с.
Об авторе
Костенко Татьяна Анатольевна, заведующая кафедрой геометрии Ставропольского государственного университета, кандидат физико-математических наук. Сфера научных интересов: функциональный анализ (теория операторов, спектральная теория), математическая экономика, теория приближенных методов. Имеет 29 печатных работ.
