Строгие оценки в операторных неравенствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.673

СТРОГИЕ ОЦЕНКИ В ОПЕРАТОРНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ © 2005 г. И.Н. Обласова

In the theory operator of the equations the important role is played by(with) inequalities, which satisfy the decisions appropriate operator of the equation with. Clause is devoted to reception of strict estimations of the decision operator of the equations. In it(her) four theorems are proved at performance of which conditions the existence of strict estimations for cases of corporal and not corporal cones is guaranteed.

Во многих работах разных авторов были получены оценки решений операторных уравнений. Они имели вид либо х * > и (оценка снизу), либо х * < v (оценка сверху); здесь х * - неизвестное решение уравнения, и - конструируемый эффективно элемент. Наряду с такими оценками определенный интерес представляют так называемые строгие оценки, т.е. оценки вида х * > u (строгая оценка снизу) или х * >> u (сильная оценка снизу). Эти оценки соответственно означают, что (х* - и) > в, причем х* ф u и (х* - и) > в , причем (х*-и) является внутренним элементом конуса К . Последнее, конечно, предполагает, что конус К является телесным.

1. Рассмотрим уравнения

х = Ах + / , (1)

У = Ву + / , (2)

где А, В - линейные операторы, действующие в полуупорядоченном банаховом пространстве Е, причем будем считать, что

в< А < В , (3)

г (В) < 1. (4)

Лемма 1. Если С >в и для некоторого внутреннего элемента и конуса К выполняется равенство: Си = в, то С = в .

Доказательство. Так как и - внутренний элемент К , то для каждого х е Е существует такое t = /(х), что - ш < х < ш . Отсюда

в = -10 =-Си < Сх < Си = в = в, или в< Сх <в. Это означает, что Сх = 0 для всех х е Е, т.е. С = в . Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть К - телесный, нормальный, воспроизводящий конус и выполнены условия (3) и (4), причем А ф В . Пусть оператор В - неразложимый. Тогда при / >в решения х * и у * уравнений (1), соответственно (2) связаны неравенством (а) х* < у* и

более того (б) х* << у *.

Доказательство. В силу условий (3) и (4) ясно, что х* < у". Если утверждение теоремы (а) неверно, то это означает, что х* = у *. Имеем

х* = Ах*+ / , (5)

У* = Ву*+ / . (6)

В этом случае равенство (6) можно переписать в виде х = Вх* + f. (7)

Вычитая из (7) почленно (5), получим

Сх *=в, (8)

где С = В - А > в , причем С ф в . Равенство (8) означает, что х* = в, в противном случае из него вытекало бы, что оператор С принимает на внутреннем элементе х* конуса К нулевое значение, что означало бы в силу леммы 1, что С =в , т.е. А = В вопреки условию теоремы.

С другой стороны, х* = у" - решение уравнения (2) с неразложимым оператором В и положительным свободным членом / , следовательно, х* >> в. Итак, получено противоречие: с одной стороны, х* =в , а с другой - х* >>в . Тем самым доказано, что х* < у". Утверждение (а) доказано.

Перейдем к доказательству утверждения (б); очевидно, что у*-х* = В(у* - х*) + (В - А)х*, т.е. (у * - х*) - решение уравнения

и = Ви + g , (9)

где g = (В - А)х*. Ясно, что g > в , так как в противном случае оператор С = (В - А) >в принимал бы на

элементе х нулевое значение, а это невозможно в силу леммы 1.

Но тогда в силу (9) и неразложимости оператора В получим, что и >> в , т.е. х * << у *.

Теорема доказана.

Лемма 2. Пусть А >в, г (А) < 1 и А - неразложимый оператор. Тогда оператор (I - А)сильно положителен. То есть для каждого / > в: (I - А)-1 • / >>в.

Доказательство. Предположим, что х* - решение уравнения х = Ах + / (х* = (I - А)• /). Из положительности оператора А и элемента / следует, что х > Ах*; х > / > в , х ф в .

На основании определения неразложимости вытекает, что х* = (I - А)• / >> в .

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть конус К телесен и нормален. Пусть А > в, / е К и оператор А - линейный неразложимый. Наконец, пусть для некоторого элемента и0 е К выполняется неравенство

Аи0 + / < и„. (10)

Тогда уравнение

х = Ах + g (11)

имеет при любом g е Е единственное решение х* = х* причем х*(g) >0, если g >0 и решение х* (/) уравнения

х = Ах + / (12)

удовлетворяет неравенству х* (/) << и0.

Доказательство. Так как К телесен и нормален, А - линейный положительный оператор, то у сопряженного к А оператора А* число г(А) является собственным значением, т.е.

А% = г(А)/о, (13)

причем /0 - линейный положительный функционал -принимает положительные значения на всех ненулевых элементах К [1]. Поэтому /0(/) > 0 . Применяя к обеим частям неравенства (10) положительный функционал /0, получим /0(Аи0) + /0(/) < /0(и0) или

А*/0(и0) + /0(/) < /0(и0). В силу (13) имеем г(А)/0(и0) + /0(/) </0(и0) .

Это, в частности, означает, что г(А)/0 (и0) < /0 (и0), откуда следует неравенство г (А) < 1.

Последнее неравенство гарантирует однозначную разрешимость уравнения (11) при любом g е Е и в

силу положительности оператора А гарантирует положительность решения х* этого уравнения при положительности правой части.

Пусть х* = х* (/) - решение уравнения (12), х* (/) > 0. Тогда х* = (I - А)- • / . С другой стороны, в силу (10) имеем (I - А)и0 > / .

Применяя к обеим частям последнего неравенства сильно положительный оператор (I - А)-1, получим

и0 = (I - А)-1 (I - А)и0 >> (I - А)-1 / = х* (/).

Теорема доказана.

2. Доказанные утверждения могут быть развиты на случай пространств, конус К которых не обладает свойством телесности.

Пусть К содержит квазивнутренние элементы [2]. Напомним, что элемент и е К называется квазивнутренним элементом К , если для всякого функционала / е К *, / Ф 0 , выполняется неравенство /(и) > 0.

У телесного конуса каждый внутренний элемент является квазивнутренним и наоборот, в силу известной теоремы М.Г.Крейна каждый квазивнутренний элемент конуса К является внутренним элементом К .

Действительно, предположив противное, мы будем иметь хотя бы один элемент и такой, что и -квазивнутренний элемент и и не является внутренним элементом К . Тогда, по теореме М.Г.Крейна, существует линейный положительный функционал /1, /1 ф0, такой, что /1(и) = 0, а это противоречит тому, что и - квазивнутренний элемент конуса К .

В то же время существуют нетелесные конусы, содержащие квазивнутренние элементы.

Классическим примером могут служить конусы неотрицательных последовательностей в пространст-

вах /р (р > 1), а также конусы неотрицательных функций в пространствах Х (р > 1).

Квазивнутренними являются все положительные последовательности из /р и только они, однако ни

одна из этих последовательностей не является внутренним элементом К .

Перейдем к доказательству аналогов теоремы 1 и 2 для случая пространств с нетелесными конусами, имеющими почти внутренние элементы.

Определение 1. Элемент и назовем почти внутренним элементом конуса К , если множество

и - пи, пи} всюду плотно в пространстве Е .

п=1

Если и - почти внутренний элемент конуса К , то этот факт будем записывать в виде неравенства

и >>0.

Лемма 3. Каждый почти внутренний элемент является квазивнутренним.

Доказательство. Предположим противное, существует почти внутренний элемент и , не являющийся квазивнутренним элементом. Это значит, что существует такой функционал / > 0 , что /(и) = 0, тогда для

всякого х е пи,пи} очевидно, что /(х) = 0.

Но тогда / <! и - пи, пи} > = 0, т.е. / обращается в

и=1

нуль на всюду плотном в Е множестве элементов.

В силу непрерывности / функционал / обращается в нуль на каждом элементе х е Е, т.е. это значит, что / = 0 вопреки тому, что / > 0 . Лемма доказана.

Заметим, что квазивнутренний элемент не обязательно является почти внутренним. Соответствующий пример построен Е.А.Лифшицем и приведен в [3].

Определение 2. Пусть Е - банахово пространство, К - конус в Е , содержащий почти внутренние элементы. Оператор А будем называть сильно неразложимым, если для всякого и >0 , удовлетворяющего при некотором а > 0 неравенству и >аАи , следует, что и - почти внутренний элемент конуса К .

Лемма 4. Если С >0 и для некоторого почти внутреннего элемента и конуса К выполняется равенство Си = 0, то С = 0 .

Доказательство. Очевидно, так как оператор С принимает нулевое значение на множестве

и - пи, пи}, всюду плотном в Е , а следовательно,

п=1

для всякого х е Е имеет место Сх = 0, то есть С = 0 . Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть конус К содержит почти внутренние элементы, нормален и воспроизводящий; А, В - линейные положительные операторы, удовлетворяющие условиям (3) и (4), причем А Ф В . Наконец, пусть оператор В сильно неразложимый.

Тогда решения х* и у * уравнений (1), соответственно (2) связаны неравенством х* << у *.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, только вместо леммы 1 нужно использовать лемму 4.

Приведем теперь аналог теоремы 2 для нетелесных конусов.

Теорема 4. Пусть конус К почти телесен и нормален, А > в, А - неразложимый, / е К . Пусть для некоторого элемента и0 е К выполняется неравенство Аи0 + / < и0. Наконец, пусть выполнено одно из следующих условий:

10. А вполне непрерывен, х0 - квазивнутренний элемент К .

20. Оператор А ограничен сверху, конус К воспроизводящий и нормален, х0 - квазивнутренний элемент К .

Тогда уравнение (11) имеет при любом g е Е единственное решение х* = х* (g), причем х* > в, если g >в. И решение х* = х*(/) уравнения (12) удовлетворяет строгому неравенству х* (/) << и0.

Доказательство. Пусть выполнено 10. Согласно теореме Крейна-Рутмана, число г (А) является собственным значением оператора А*, которому отвечает собственный вектор 10 е К , 10 ф в.

Теперь пусть выполнено 20. Тогда, как установлено в [1], г (А) также является позитивным собственным значением оператора А*. Итак аналогичным образом можно доказать теорему 4.

Литература

1. Стеценко В.Я. Исследование по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дис... д-ра физ. -мат. наук. Воронеж, 1968.

2. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969.

1. Красносельский М.А. и др. Позитивные линейные системы. М., 1985.

Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь

6 октября 2004 г.