Теоремы о разрешимости нелинейных операторных уравнений в банаховых алгебрах с конусом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 10, 2003

УДК 517

ТЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ С КОНУСОМ

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

В работе устанавливаются достаточные условия разрешимости нелинейных уравнений с монотонными операторами в банаховых алгебрах с конусом.

Пусть (А, || • ||) — вещественная банахова алгебра с единицей 1 и в — ее нулевой элемент.

Определение 1. Замкнутое выпуклое множество К с А называется конусом, если для любого элемента х из К, не равного О, и любого числа а ах Є К и —х (£ К.

Конус К называется алгебраическим (см. [2]), если 1 Є К и из х, у Є К следует, что ху Є К.

При помощи алгебраического конуса К можно ввести полуупоря-доченность: считаем х > у, если х — у Є К. Элемент х > О (то есть х Є К) называется положительным.

Введение порядка при помощи алгебраического конуса делает алгебру полу упорядоченной. Действительно, алгебра называется по-луупорядоченной, если она является полуупорядоченным векторным пространством, и если х > у и г > 0, то хг > у г. Но условия х > у и г > 0 означают, что х — у Є К и г Є К. В силу алгебраичности конуса и дистрибутивного закона, хх — ух Є К, то есть хг > уг.

Конус, содержащий внутренние точки, называется телесным. Конус называется воспроизводящим, если каждый элемент х Є А имеет представление х = и — г?, и,у Є К. Всякий телесный конус является воспроизводящим.

© В. В. Мосягин, Б. М. Широков, 2003

Наиболее общие примеры полуупорядоченных вещественных банаховых алгебр конструируются следующим образом. Пусть X — вещественное пространство Банаха, полуупорядоченное телесным конусом Кх• Банахова алгебра Ь(Х) всех линейных непрерывных операторов, действующих в X, полуупорядоченная алгебраическим конусом

Кцх) = {Т Є Ь(Х) : \/ж Є Кх Тх > 0},

является вещественной полуупорядоченной банаховой алгеброй с единицей. Элементы конуса КЬ^Х) называются положительными линейными операторами.

Конус К а А называется нормальным, если существует такое число И(К), что из 0 < х < у следует ||ж|| < М(К)\\у\\. В этом случае говорят, что норма полу монотонна. Число N (К) называется константой нормальности конуса К. Если М(К) = 1, то конус называется острым, а полумонотонная норма называется монотонной.

Рассмотрим еще некоторые разновидности конусов в банаховой алгебре.

Определение 2. Конус К с А называется:

а) миниэдральным, если любые два элемента алгебры имеют точную верхнюю границу;

б) сильно миниэдральным, если каждое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу;

в) правильным, если каждая неубывающая последовательность, ограниченная сверху некоторым элементом, сходится по норме.

Рассмотрим некоторые разновидности операторов в банаховой алгебре А с конусом К.

Определение 3. Оператор Т : А —А называется:

а) положительным, если он оставляет инвариантным конус К, то есть Тх Є К для любого х Є К;

/3) монотонным на множестве М, если из ж, у Є М и х < у следует Тх < Ту.

Определение 4. Множество элементов х є А, удовлетворяющих неравенствам щ < х < і?о, Є А, называется конусным отрезком и

обозначается

Как и в случае банаховых пространств с конусом [1], для монотонных операторов в банаховой алгебре А с конусом К справедлива

20

В. В. Мосягин, Б. М. Широков

следующая теорема.

Теорема 1. Пусть монотонный на конусном отрезке (uo,vo) С А оператор Т преобразует (uo,vo) в себя, то есть Тщ > щ, Tv о < г?о-Тогда для существования на отрезке (uo,vo), по крайней мере, одной неподвижной точки у оператора Т достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) конус К сильно миниэдрален;

2) конус К правилен, а оператор Т непрерывен;

3) конус К нормален, а оператор Т вполне непрерывен.

В банаховой алгебре А с конусом К мы рассмотрим еще один класс операторов — операторов, обладающих свойством обобщенной сильной монотонности. При определении таких операторов существенно используется наличие произведения в Л и полуупорядочения при помощи конуса.

Теорема 2. Пусть А — вещественная банахова алгебра, полуупоря-доченная острым алгебраическим конусом, а оператор F : А —» А удовлетворяет условиям: для любых х,у е А

(F(x)-F(y))2 <М2(х-у)2, М> 0, (1)

(F(x) -F(y))(x-y) >m(x-y)2, (2)

(х - y)(F(x) - F(y)) > m(x - у)2, (3)

M > m. (4)

Тогда уравнение

F(x) = g (5)

имеет единственное решение для любого g Е А.

Свойство оператора F, выраженное неравенствами (2) и (3), будем называть обощенной сильной монотонностью оператора F.

Доказательство. Из неравенства (1) и свойств произведения элементов в X следует, что F удовлетворяет обычному условию Липшица:

m\\x-y\\2 <\\F(x)-F(y)\\-\\x-y\\.

Следовательно,

над - -РЫН > гп\\х - у\\.

Пусть д Е X и е > 0. Рассмотрим оператор Ае, определенный соотношением

Аех = e(F(x) - д).

Для произвольных из условий теоремы имеем:

(Аех - Аеу)2 = (ж - у)2 - е(х - y)(F(x) - F(y))~

-e(F(x) - F(y))(x -y)+ e2(F(x) - F(y))2 <

< (1 — 2em + e2m2)\\x — y\\2,

тогда

||A£x — ^?/||2 < (1 — 2em + £2m2\\x — у||2.

Если e e (0, 2m/M) и Л = (1 — 2em + г2ш2)1//2, то оператор Ae — сжимающий оператор в банаховой алгебре А. Следовательно, существует единственный элемент х Е А, для которого

А£х = х.

Отсюда следует, что F(x) = д. Теорема доказана. □

Resume

Solvability theorems for nonlinear operator equations in Banach spaces with a cone has given in this paper.

Литература

[1] Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений /М. А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962.

[2] Raubenheimer Н. Cones in Banach algebras/Н. Raubenheimer// Inda-gations Mathematicae. V. 7. No 4. P. 489-502.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: shirokov@mainpgu.karelia.ru