Неразложимые нелинейные операторы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ч Стеценко В.Я., Семилетов В.А. \ ■ | «Неразложимые нелинейные операторы»

МАМАША

НЕРАЗЛОЖИМЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В.Я. Стеценко, В.А. Семилетов

Отправляясь от ранних работ П.С. Урысона по нелинейным интегральным операторам и теории линейных и0 -положительных операторов,

М.А. Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин и др.) построили весьма содержательную теорию некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория вогнутых операторов [1]. Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных вогнутых операторов, но тем не менее обладают основными свойствами нелинейных вогнутых операторов.

Пусть Е = банахово пространство, полуупорядоченное телесным нормальным конусом К [2].

Определение 1. Положительный оператор А, определенный в Е или по крайней мере на К и действующий в Е, будем называть неразложимым оператором, если из неравенств х > аАх , х > в, а> 0 следует, что х = внутренний элемент конуса К .

Определение 2. Положительный оператор А, определяемый в Е или по крайней мере на К и действующий в Е, будем называть вогнутым, если для Ух >в

А(рс) > Ах (0 < г < 1). (1)

Вогнутый оператор, являющийся одновременно неразложимым оператором, будем называть неразложимым вогнутым оператором.

Отметим, что класс неразложимых вогнутых операторов не является частью класса вогнутых операторов в смысле М.А. Красносельского [1]. Ниже установим, что основные факты теории вогнутых операторов являются справедливыми и для неразложимых вогнутых операторов. Далее неразложимость и вогнутость оператора А понимается, соответственно, в смысле определений 1 и 2.

Теорема 1. Пусть оператор А неразложим, вогнут и монотонен. Пусть х1 и х2 = положительные решения уравнения

Ах = Ях, (2)

соответствующие различным значениям Л1 и Л2 параметра Л:

Ах1 =Лх (I = 1,2). (3)

Тогда из неравенства Л1 < Л2 следует х1 > х2 .

Доказательство. Предположим противное, пусть х1 > х2. Т.к. А = неразложим, то из (3) следует х1, х2 - внутренние элементы К . Поэтому Зг > 0: х1 > гх2. Обозначим через г0 наибольшее из всех чисел г, для которых выполняется неравенство х1 > гх2. Очевидно, 0 < г0 < 1 и

34/2003

Вестник Ставропольского государственного университета

1:1_1:1

х1 > х2 • Из монотонности и вогнутости оператора А следует

х1 = 1 Ах1 > А(?0 х2 ) > Ах2 = лл х2 •

Из максимальности t0 и последнего неравенства следует \ >Л2, а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Замечание. Пусть выполняется условие теоремы 1. Рассмотрим конусный отрезок (х2,ху) • Если Ле(Л1,Л2), то оператор А(Л) =1А преобразует этот отрезок в Л

себя, т.к. А(Л)

монотонен, а

А(Л)х2 = -Л Ах2 = Л х2 > х2 и

А(Л)х1 =1 Ах = —- ху < ху •

1 Л 1 Л 1

Последнее замечание позволяет применить для доказательства существования собственных векторов у оператора А, соответствующих собственным значениям Ле(Л1,Л2 ), теоремы о существовании неподвижных точек у операторов, оставляющих инвариантным конусный отрезок. В частности, из теоремы 4Л 9] вытекает

Теорема 2. Пусть уравнение (2) с неразложимым, вогнутым и монотонным оператором А имеет положительные решения х1 и х2 при положительных значениях Л и Л2 параметра Л.

Пусть выполнено дополнительно одно из следующих условий:

(а) конус К сильно миниэдрален,

(б) конус К правилен, оператор А непрерывен,

(в) конус К нормален, оператор А вполне непрерывен,

(г) конус К нормален, пространство Е слабо полно, единичный шар в Е слабо компактен, А = слабо непрерывен.

Тогда уравнение (2) имеет положительное решение при всех Ле(Л1,Л2 ).

Прежде чем сформулировать теорему единственности, напомним определение: вогнутый оператор А называется

сильно вогнутым, если условие (1) заменено более жестким ограничением: для каждого t0 е (0,1) 3 п = п(х, ^):

х) >(1 + Ах • Теорема 3. Если оператор А неразложим, монотонен и сильно вогнут, то уравнение (2) ни при каком значении параметра Л не имеет двух различных ненулевых решений в конусе К пространства Е.

Доказательство. Допустим противное: пусть х1, х2 е К, х1 Ф х2 и для некоторого Л выполняются: Ах1 = Лх1, Ах2 = Лх2 • Из неразложимости оператора А следует, что х1, х2 = внутренние элементы конуса К .Не ограничивая общности, можно считать, что х1 > х2, ясно, что 3^ > 0: х1 > ^х2, и если х1 > щ ($ > 0), то t0 > t • Поэтому А%х2) >(1 + п)кАх2, где П> 0 • Из монотонности оператора А следует

— Ах1 > А{^0 х2) > Ах2 —

Л

Л

Л

= (1 + ПХ х2-

Последнее неравенство противоречит максимальности t0. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть оператор А неразложим, вогнут, монотонен и уравнение

х = Ах (4)

имеет в К с Е единственное ненулевое решение х*. Пусть выполняется одно из двух следующих условий:

а) конус К правилен, оператор А непрерывен,

б) конус К нормален, оператор А вполне непрерывен.

Тогда последовательные приближе-

ния

х„ = Ахп_1 (п = 1,2,...)

(5)

сходятся по норме пространства Е к х* при любом х0, являющимся внутренним

элементом конуса К.

Доказательство. Рассмотрим конусные отрезки (у0, и1^ , где

1 1

i -

Стеценко В.Я., Семилетов В.А. «Неразложимые нелинейные операторы»

у0 = г1 х*, w0 = г2х* (о < г1 < 1 < г2).

Так как оператор А неразложим и х = внутренним элемент конуса К , то у0 и w0 = также внутренние элементы К . В силу вогнутости оператора А имеем Ау0 = А^х*) > г1 Ах* = у0 и

Aw0 = Ах* )< г2Ах* = w0.

По теореме 4.4 монографии М.А. Красносельского [1] получаем, что последовательные приближения (5) сходятся к х*, если начальные приближения принадлежат одному из конусных отрезков (у0, w0). Очевидно, найдутся такие

(0 < а0 < 1 < в0), что а0 х* < х0 < в0 х *. Поэтому х0 w1), где у1 =а0х*, w1 = в0 х *. Значит, последовательные приближения (5), начатые с х0, будут

сходиться к х*. Теорема доказана.

Рассмотрим сходимость последовательных приближений для сильно вогнутого оператора. В предыдущей теореме был поставлен вопрос о сходимости метода последовательных приближений (5 к

решению х* Ф в, х* е К уравнения (4) в

*

предположении, что такое решение х существует. Было показано, что при дополнительных предположениях о полной непрерывности оператора А или о правильности конуса К последовательные приближения (5) с начальным приближением, являющимся внутренним элементом конуса К, сходятся к решению х*.

Теорема 5. Пусть непрерывный оператор А неразложим, монотонен и сильно вогнут. Пусть А переводит внутреннюю часть К в себя и уравнение (4) имеет в К ненулевое решение х*. Тогда последовательные приближения (5) сходятся по норме пространства Е к ненулевому решению х* уравнения (4) при любом х0, являющимся внутренним элементом конуса К .

Доказательство. Ясно, что х* = внутренний элемент K . Пусть вначале vn = Av„_!, Vo = Ххх (0 < tx < l) (n = 1,2,...).

(6)

Последовательность vn не убывает, причем

г1х'< vn < х* (n = 1,2,...). (7)

Действительно,

v1 = A(t1x*)< Ах* = х*. С другой стороны,

А(г1х* ) > (1 + г]\х* > г1х*,

поэтому

г1х* < v1 < х*. (8)

Соотношение (7) можно доказать методом математической индукции. Обозначим через рп (n = 1,2,...) максимальное из чисел р, для которых выполняется неравенство рх* < vn. Очевидно, что

рпх* < Vn. (9)

Из того, что последовательность {vn} не убывает, имеем, что последовательность {рп} также не убывает, при том в силу (8), очевидно, справедливо неравенство

0 < t1 =ро <р1 <р2 <... <рп <... < 1.

Докажем, что

lim Pn = 1. (10)

niro

Последнее будет означать в силу (8) и (9), что последовательность (6) сходится

к х* по х* -норме [3], а т.к. конус K нор* ^

мален и телесен, х = внутренний элемент K, то это будет означать, что последовательность (6) сходится к х* по норме пространства E.

Предположим, что (10) не имеет места. Тогда

lim рп =а< 1. (11)

niro

Из сильной вогнутости оператора А вытекает, что 3 п > 0:

а{ОХ*) > (1 + п)оАх* = (1 + п)ах*, и,следовательно,

34/2003

Вестник Ставропольского государственного университета

i:l_l:i

А^х*)= А\— ах* I> — а(оос*)>{1 + ц)х* ) а

(0 < t < а).

Откуда, полагая t = рп, получим

аРпх)>(1 + пКх (п = 1,2,...) • (12)

В силу (9) и монотонности оператора А имеем

^п+1 = \Ч > А(Рпх*). Из последнего неравенства и (12)

следует, что (1 + п)р„х* < уп+1 . Значит,

(1 + п)рп <Рп+1 (п = 0,1,2,. ),

откуда

Рп >(1 + пП Р0 (п = 1,2,...), что противоречит (11). Итак,

Ит Рп =1 •

Образуем теперь последовательность

Ип = Аип_1 , Н>0 = х ($2 > 1) (п = 1,2,...) • (13)

Эта последовательность очевидно не возрастает:

и0 > > и2 >... > ип >... > х* • (14) Обозначим через #п минимальное из чисел #, для которого выполняется неравенство ип <#х*:

Ип <#пх*, (п = 1,2,...). (15) Из того, что последовательность {ип} не возрастает и из (14) следует

#0 >£1 >#2 > ... >#п > ... > 1 •

Докажем, что Ит#п = 1 •

Действительно, предположив противное # ^в> 1 , из сильной вогнутости оператора А найдется такое п0 > 0, что

Ах* = А^ в в ) > А(р),

откуда

А(рх)<-^ Ах =-вх— •

1+ П0 1+ П0

Из последнего неравенства для t > в следует неравенство

^ А( в в) <вА(в'')< тп-

В частности, полагая t = #п, полу-

чим

Atx)<^- и

w,

n+1

= Awn < A(t„x*)<^ (n = 0,1,2,...).

1 + По

f *

Lx

1+ П0

Из определения последовательности [4} и последнего неравенства следует, что

4

Значит,

4+1 (n = 0,1,2,...).

1 + По

4 <—— (n = 0,1,2,..),

(1 + По)п

а это противоречит неравенству 4 ^ ß •

Рассмотрим теперь последовательность (5) при произвольном начальном приближении x0, являющимся внутренним элементом конуса K . Так как x* = внутренний элемент конуса K , то 3t2 > 1:

x1 = Ax0 < t2x* = w0. (16) Так как x1 = внутренний элемент K, то 3t1 < 1:

Vo = tx < x1 • (17)

Из (16) и (17) вытекает, что последовательные приближения (5) удовлетворяют неравенствам

Vn < xn+1 < wn (n = 1,2,...) ,

где vn и wn определены формулами (6) и (13). Из (9) и (15 следует, что

pnx < xn1 <4x (n = 1,2,...). (18) Но по доказанному

lim рп = Hrn^n =1 •

Поэтому в силу (18)

lim x* - xj ^ = 0.

n^J llx*

А т.к. x* -норма эквивалентна норме пространства E, то xn сходится по норме

1 1

i -

Стеценко В.Я., Семилетов В.А. «Неразложимые нелинейные операторы»

пространства E к элементу x*. Теорема полностью доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Физматгиз, 1962. -394с.

2. Красносельский М.А, Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные нелинейные системы: Метод положительных операторов. -М.: Наука, 1985. -256с.

3. Стеценко В.Я, Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. - Ставрополь: СГУ, 1998. - 168с.

Об авторах

Стеценко Владислав Яковлевич, доктор физико-математических наук, профессор, академик МАИ, член-корр. АН Республики Таджикистан. Профессор-консультант Ставропольского государственного университета. Область научных интересов = функциональный анализ, теория приближенных методов решения операторных уравнений, математическая экономика. Опубликовал более 150 научных работ, в том числе 6 монографий. Семилетов Владимир Андреевич, аспирант кафедры математического анализа СГУ. Область научных интересов = функциональный анализ, теория приближенных методов решения операторных уравнений, математическая экономика. Имеет 10 публикаций.