Разрешимость уравнений Урысона с частными интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ УРЫСОНА С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

АЛ.Поволоцкий

Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена, Санкт-Петербург

А.С.Калитвин

Липецкий государственный педагогическим институт

С использованием принципа неподвижной точки в К-метрическом пространстве доказаны новые теоремы о разрешимости уравнений Урысона с частными интегралами.

1. В настоящей работе изучаются условия разрешимости уравнения Урысона с частными интегралами

х=Ах, (1)

где А**В+С,

- /Ь^г^г^г , т

(Сс)(М) - -

^

операторы Урысона с частными интегралами. Предполагается, что Т и 5 — множества конечной положительной лебеговой меры в конечномерных пространствах, интегралы понимаются в смысле Лебега, а функции и с(и,о,и) удовлетворяют условиям Каратеодори: при всех мбИ измеримы по совокупности переменных (г^,т)€Гх5хГ, и почти при всех

(*,1,г)еГх.5хТ, (М,ст)е7'х$х5 соответственно непрерывны по и.

Отметим, что свойства операторов В,С,А в пространствах со смешанными нормами и, в частности, в пространствах ¿р(Тх5) (1<р<оо) достаточно

подробно рассмотрены в [1,2]. Разрешимость отдельных классов уравнений вида (1), а именно уравнений Гаммерштейна с частными интегралами, исследовалась в [2,3,4] методом монотонных в смысле Минти-Браудера операторов и вариационным методом, а в [5] — конусными методами.

Разрешимость уравнения (1) удобно исследовать с использованием метода неподвижной точки в /¿-метрическом пространстве. При этом получаются результаты, не охватываемые классическим принципом сжимающих отображений Банаха-Каччиополли. Напомним основные понятия, относящиеся к /¿-метрическим пространствам [6, 7, 8].

2. Пусть К — конус в линейном пространстве 2. Говорят, что X является К-метрическим пространством, если на ХхХ определена функция (/С-метрика) <!{',■) со значениями в К, обладающая обычными свойствами метрики:

96

1) й{х,у)&К; 2) <*(х,у)=0 *>х=у\ 3) 4) ¿(х,у)5;^(х,г)+ф,у). Линей-

ное пространство X называют К-нормированным линейным пространством, если на X определена функция (/(-норма) || • | : X -» К, причем выполнены обычные свойства нормы:

1) || х\\ гО; 2) || х\\ =0о*=0; 3) || А*|| =|А| || *|| ; 4) || х+уЦ £ | х\\ +|| у\\. ^-нормированное пространство является /(-метрическим пространством с /¡"-метрикой й(ху)= || лг-уЦ. Частным случаем /(-метрических и АГ-нормирован-вых пространств являются обычные метрические и нормированные пространства: в этом случае К= [О; +») и Z—R. Приведем другие примеры /¿-нормированных пространств. Пусть X — пространство измеримых почти всюду конечных функций, и пусть К — конус неотрицательных функций в X. Тогда X является /(-нормированным относительно /(-нормы

II 4011 =1^)1- (2)

Аналогично любое идеальное пространство [9] является /(-нормированным, если /(-норму определить в нем равенством (2).

Пусть X — некоторое /(-метрическое пространство. Последовательность элементов хп&Х называется о-сходящейся к ¿ЕА" (о-фундаментальной), если

существует монотонно сходящаяся к нулю в смысле порядка 'последовательность элементов гп'£К, для которых

5 2п ("=1.2,...> Щхт*п) ^ гч. п=1,2,...;т>п) . При этом элемент х называется о-пределом последовательности (хп). К-метрическое пространство X называется секвенциально полным, если каждая его о-фундаментальная последовательность является о-сходящейся к некоторому элементу из X. Примером секвенциально полного /(-метрического пространства может служить пространство Х-измеримых почти всюду конечных функций с конусом К неотрицательных функций из X, а также любое идеальное пространство Х=*2 с /(-нормой (2). Отметим, что если X — идеальное пространство, а ЕЭХ —пространство измеримых почти всюду конечных функций с конусом неотрицательных функций, то X не является секвенциально полным /(-метрическим пространством [10].

Теорема 1 [10]. Пусть (Х,А) — секвенциально полное К-метри-ческое пространство с К-метрикой йХхХ -* 2, где Z — правильное идеальное пространство [9], Р — действующий « X оператор, удовлетворяющий условию Липшица

й^у) < Ой(ху) (х^еХ), где Q — линейный оператор в К. Пусть спектральный радиус оператора меньше 1: г(0< 1.

Тогда уравнение х = Дг имеет в X единственное решение х^ являющееся пределом последовательных приближений агп+( = (/1=0,1,...).

Пусть X — либо пространство £ измеримых почти всюду конечных функций, либо идеальное пространство функций из 2, а К — конус

97

неотрицательных функций из Для оператора Q, определенного на некотором подмножестве К, содержащем нуль, и принимающего значения в К, обозначим через D(Q) множество элементов из К, для которых ряд

«о

Щг) =

л-1

о-сходится. Обобщенным спектральным радиусом p(Q) оператора Q назовем оператор, определенный равенством

p(Q)z(a>) = lira Vq*z(o,).

Ч-мв

Теорема 2 [10). Пусть (X,d) — секвенциально полное К-метри-ческое пространство с К-метрикой dXxX-*X, F —действующий в нем оператор, удовлетворяющий условию Липшица

d(Fx,Fy) s Qd(x#). (S)

Пусть для некоторого х0 из X выполнено одно из условий:

a) p(Q)d(x0,FxJ < 1; б) d(x0, Fx0)GD(Q). (4)

Тогда уравнение х-Fx имеет в X решение х^ являющееся пределом последовательных приближений xn+l=Fxn (л=0,1,...). Это' решение единственно:

а) на множестве (д< 1};

б) на К-шаре 7\хо, Wd(x0,A xjy (S)

Условие секвенциальной полноты в теореме 2 весьма жестко. Если же

К — конус неотрицательных функций в идеальном пространстве ZC2 , то

условие секвенциальной полноты становится достаточно естественным. Однако

условие (4) в теореме 2 становится более сложным.

Определим оператор C(tj,B) равенством

С(у,&) - c(v,û>,(e(«w))-'),

где C(t},w,&) =sup(Qafi(a>))Qn. Osn<»

Теорема 3 [10]. Пусть (X,d) — секвенциально полное К-метри-ческое пространство с К-метрикой diХхХ -» Z, где Z — идеальное пространство, F — действующий в X оператор, удовлетворяющий условию Липшица (3). Если для некоторых xjEX и ©62 выполнены соотношения

РШ{Х0, Fxg) < G < 1, C(d(x0, Fx0 ),в) (1 -0)-'6Z, то уравнение x~Fx имеет в X решение х^ являющееся пределом последовательных приближений xn+1 = Fxn (л=0,1,...). Это решение единственно на множестве (5).

3. Возвратимся к уравнению (1). Будем предполагать, что функции b(tj,TM) и c(tj,o,u) удовлетворяют по переменной и условию Липшица:

иp(tj,x)\u-v\, (6)

\b(tj,oji)-b(tj,o,v)\ sq(tj,p)\u-v\, (7)

98

где p(t£,x) и q{tj,o) — измеримые по совокупности переменных функции. Обозначим через Q оператор, определенный равенством

(QyXtj) = fp(tj,x)y(Tj)dT + fq(tw)y(t,o)da. (8)

т s

Оператор А определен на множестве ХС2. Здесь и в дальнейшем Z — пространство измеримых почти всюду конечных на TxS вещественных функций с конусом неотрицательных функций. Метрика и о-сходимость в X определяются стандартным образом [9, 2]. Множество X состоит из функций х(/д), для которых функции x(tj)) и с(?д,ст, х(!,а)) суммируе-

мы по г и о. Оператор Q определен на множестве УС2 неотрицательных функций y(tj), для которых суммируемы по г и а функции p(t,s,x)y(Trs) и q{tj,o)y(t,d). Если теперь для любых функций х1,х2&С модуль их разности

-х21 6У, то оператор А удовлетворяет /(-условию Липшица

|Axt -Ах2 | £ Q \xt-x2\ (9)

относительно /(-нормы (2). Отсюда и из теоремы 2 вытекает

Теорема 4. Пусть X —■ замкнутое подпространство в X, Y — некоторый конус неотрицательных функций в 2, такой, что из хгх2&Х следует ¡х,—х2|£У, оператор А действует в X и удовлетворяет К-условию

Липшица (9), где оператор (8) действует в Y. Если для некоторой функции хаЕХ р(0|дго(/^)-(Дго)(г^)| < 1, то уравнение (1) имеет решение xm(tj\

которое является пределом последовательных приближений

хп+1 =Ахп [п=0,1,2,...), (10)

причем \хп-х, \ * (1-QY1 Q» \х-Ах0\ («=0,1,...).

Это решение единственно на множестве |лг&А': р (Q) < 1 j.

В последней теореме предполагается, что операторы А и Q действуют в подпространствах пространства измеримых и почти всюду конечных функций. Удобные достаточные условия действия этих операторов в различных классах идеальных пространств приведены в [1, 2, 11]. Более того, в [11, 12, 13] получен ряд результатов о спектре и спектральном радиусе операторов типа (8). Поэтому сформулируем теорему о разрешимости уравнения (1) в идеальном пространстве: она непосредственно вытекает из теоремы 1.

Теорема 5. Пусть ХСХ — идеальное пространство функций, оператор А действует в X и удовлетворяет K-условию Липшица (9), а его спектральный радиус r(Q) < 1.

Тогда интегральное уравнение (1) имеет в X единственное решение которое является пределом последовательных приближений (10), причем

К II < || (/-Ö)-' II II QT II II хо-Ахо\\. (11)

В теореме 1 определенные сложности вызывает проверка условия r(Q) < 1. Однако в ряде случаев легко получаются достаточно удобные оценки г (Q).

99

Если, например, p(tj,г) s p(t,t), q(tj,o) < q(s,o), где p(/,r) и q(s,a) -измеримые по совокупности переменных функции, а интегральные операторь

(РЛ)(0 - /Р(Г,г)Л(т) dr, @h){s) = /q(s,o)/i(o)do (12)

т s

действуют в Lp(T), Lp(S) (1 sp si oo) соответственно, то r(Q) < r(P)+r(Q)

[12, 13]. Последнее неравенство позволяет использовать для оценки r(Q) различные оценки спектральных радиусов интегральных операторов с положительными ядрами [14]. Мы не будем на этом останавливаться.

4. Пусть в уравнении (1) T=[a,b], S~[c,d] и ¿(ir$,r,u)=0 для таг, c(f,ï,a,u) = 0 для о S s. Тогда уравнение принимает вид

I »

х(M) = Jb(M,T,x(T,s))dr + fc(tj,ojc{t,o))da . (13)

а с

Предположим, что функции b(tj,r,u) и c(tj,oji) удовлетворяют по переменной и условиям Липшица (6), (7). Тогда оператор А удовлетворяет /(-условию Липшица (9), где Q — линейный оператор с частными интегралами и переменными пределами интегрирования:

I s

(Qx)(tJ) - fp(tj,T)x(tf)dr + fq(trS,cT)x(t,a) do. (14)

a с

Поэтому для изучения условий разрешимости уравнения (13) могут быть использованы теоремы 4 и 5. Применение этих теорем связано с вычислением (оценкой) величины p(Q)d(xo, Ах0) или спектрального радиуса r{Q) оператора

(14). В [11, 12] получены условия, при которых спектральный радиус оператора (14) равен нулю. Тогда, в силу очевидного неравенства, имеем О <, p(Q) z0 < r(ô), где zo €У, p(Q)d(xa, AxJ = 0. Это сразу позволяет

сформулировать условия разрешимости уравнения (13). Приведем некоторые из них для случая пространства L { [«,¿>1 х [с4] ) (1 s р s <*>). Пусть

t

P(s) x(t) = J>(fA,r) x(r) dz , (15)

a s

Q(t) x(s) = fq(t,s,a) x(o) do — (16)

e

семейства линейных интегральных операторов, зависящие от параметров с s £ d, а < t < b соответственно. Допустим, что при всех iG[с4\ (t e[û,fc]) оператор P(s) (Q{t)) действует в ЬДа,Ь]) (в Lp([c,d])).

Тогда при этих s(t) оператор P(s) (Q(t)) непрерывен в Lp([a,b]) (в

Lp([c4))) и

m = il mh ^ < +• (y(o = i ocoIL ^ < +■»)•

r F f Г

Следуя [12], будем говорить, что семейства (15), (16) обладают свойством Андо, если

lim sup II PDP{s)PD\\L^L = О,

mes Û-»0 с s t s d P r

lim sup \PDQ{t)PD\L ,L =0;

mes d-»0 a s t S Ь r r

здесь PD — оператор умножения на характеристическую функцию множества D. Если теперь fiGLM([c,d\), yGLm([ajb\) и семейства (15), (16) обладают свойством Андо, то оператор (14) действует в Lp([a,b] х [с4]) и его

спектральный радиус равен нулю [12]. Таким образом, справедлива

Теорема 6. Пусть выполнены условия Липшица (6) и (7), операторы В и С переводят хотя бы по одной функции из X=Lp([a,b\x.[c4\) в X,

peLx([c,d)), yELw([a,fe]) и семейства операторов (15), (16) обладают

свойством Андо.

Тогда уравнение (13) имеет в X единственное решение х^ которое является пределом последовательных приближений (10), причем выполнено неравенство (11).

Отметим, что условие Андо проверяется по стандартным схемам [151. В частности, это условие выполнено, если />(/д,г) s p(t,r), q(tj,o) s q(s,o), a операторы (12) действуют в Lp([a,ô]), Lp([crf]) соответственно.

В приведенной теореме r(0 = 0, следовательно, и p(Q) zo-0 для любой

/

неотрицательной функции zJELp( [a,b] х [сД] ). Как уже отмечалось выше, p(Q)zo s r(Q). Приведем пример оператора (14), для которого последнее неравенство является строгим.

Рассмотрим оператор Харди-Литтльвуда с частными интегралами

с ' с 1

= у [x(rj)dT + ~fx(t,o)do , (17)

о 5 о

где c(,cj > 0. Используя неравенство Харди [16], легко проверить, что оператор (17) действует в Lp([a,b] х [c,d]) при I < р s «>. Пусть z0{tyS)=f • где а > 0. Тогда

/ \п С1 +

1 + а

ff (п ш 1,2,...).

с, + с2

Следовательно, p(Q)z0 = ■ ■ . Отсюда и из равенства r(Q)=c, + с2 [13] имеем p{Q) г? < r{Q).

Приведенные соображения позволяют сформулировать не содержащиеся в теореме 5 условия существования решения уравнения (13). 1 Теорема 7. Пусть выполнены условия Липшица:

14 Зак 3732

101

с,

|b(tj,xji)—b(tj,r,v)| s J |u-»| (c, > 0), C2

\c(t£,oji)—c(tj,o,v)| < J |u-v| (c2 > 0),

и пусть

t » I fb(tj,x,0) dx + /c(lj,o,0)do I < Lf ■ sa, о 0

где L и a — некоторые положительные числа, причем с, + с2 < 1 + а.

Тогда уравнение (13) имеет в Lp([аЛ х [с4\) (1 < р ^ 00) решение,

которое является пределом последовательных приближений (10).

Теорема 7 непосредственно вытекает из теоремы 3, если в условии теоремы 3 положить

X-Z-LjUafilxlcA) (1 < р s со),

xB(tj)sо, F=A, е » (с, + cj(l+a)~\

а оператор Q определить равенством (17). Отметим, что при применении классической теоремы Банаха-Каччиополли требуется условие с, + с2 < 1,

так как r(Q)=c, + сг Использование же неравенства p(Q)zo(tj)< 1 требует

условия С, + с2 < 1 + а, что расширяет границы изменения с( и с2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Поволоцкий А.И., Калитвин А.С. О нелинейных операторах с частными интегралами //Функциональный анализ. Ульяновск, 1985. №25. С. 104-115.

2. Поволоцкий А.И., Калитвин А.С. Нелинейные операторы с частными интегралами. Л.: Рос. гос. пед. ун-т им. А.И.Герцека, 1991.

3. Поволоцкий А.И., Калитвин А.С. Об уравнениях Гаммерштейна с частными интегралами / / Операторные уравнения и функции множеств. Сыктывкар: Пермский ун-т, 1985. С.100-107.

4. Поволоцкий А.И., Калитвин А.С. О решениях уравнений Гаммерштейна с частными интегралами / /Упорядоченные пространства и операторные уравнения. Сыктывкар, 1989. С.8-15.

5. Поволоцкий А.И., Калитвин А.С. Разрешимость уравнений типа Гаммерштейна с частными интегралами//Приближение функций специальными классами операторов. Вологда, 1987. С.141-146.

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М., 1961.

7. Забрейко П.П. Принцип сжимающих отображений в /¡"-метрических и локально-выпуклых пространствах / /Докл. АН БССР. 1990. Т.34, №12. С.1065-1068.

8. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.; Л., 1950.

9. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций, 1//Вестн. Ярославского ун-та, 1974. №8. С. 12-52.

10. Макаревич Т.А. Принцип сжимающих отображений Банаха-Каччиополли в Х-метрических пространствах: Дис.....канд. физ.-мат. наук. Минск, 1990. 128 с.

11. KaliMn A.S., Zabrejko P.P. On the theory of partial operators//Journal of Integral Equations and Applications. 1991. V.3, № 2. P.349-381.

12. Забрейко П.П., Ломакович А.Н. Интегральные операторы Вольтерра в пространствах функций двух переменных//Укр. мат. журн. 1990. Т.42, №9. С.1187-1191.

102

13. Калитвин А.С. Исследование операторов с частными интегралами: Дис. ... канд. физ - мат. наук. Л., 1986. 143 с.

14. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

15. Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы / /Труды семинара по функциональному анализу. 1966. №8. С.3-148.

16. Харди Г.Г., Литтльауд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит.,

1948.

Получено 15.09.92