CC BY
81
УДК 517.968 -
ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ. I
АС.Калитвин, ЕЗЛикелевич
Липецкий государственный педагогический институт
Доказано, что действие линейного оператора с частными интегралами в С(А) равносильно его непрерывности. Приведены достаточные условия действия.
1. В статье рассматриваются некоторые классы линейных операторов с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. Такие операторы используются при исследовании интегральных уравнений, к которым приводятся различные задачи теории упругих оболочек [1], задачи механики сплошных сред [2], астрофизики [3] и другие. В пространстве суммируемых функций и в идеальных пространствах операторы с частными интегралами и некоторые классы соответствующих интегральных уравнений изучались в работах [4-8]. Детальное исследование операторов и уравнений с частными интегралами в случаях симметричных, вырожденных и жордановых ядер в пространстве суммируемых с квадратом функций проведено в [5-11]. Отметим также работы [1,12], в которых изучались операторы и уравнения с частными интегралами и переменными пределами интегрирования, и работы [2,13], содержащие вопросы разрешимости уравнений с частными интегралами типа Вольтерра-
9* Зак. 3732
61
Фредгольма. В ряде работ исследовались сингулярные операторы и уравнения с частными интегралами, уравнения с ядрами, зависящими от разности аргументов, и приближенные методы решения различных классов уравнений с частными интегралами. Линейные интегральные уравнения с частными интегралами и непрерывными ядрами в случае пространства непрерывных функций подробно изучались в работе [14]. Мы же будем рассматривать операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций в случаях, когда ядра могут оказаться разрывными.
2. Линейным, оператором с частными интегралами назовем оператор
вида
K~C+L+M+N, (1)
где операторы определяются равенствами:
Oc(M)=c(í^)x(M) , (2)
d
LxQyS)=/l(tj,o)x(t,o)do, (3)
с b
Mx(t,s)=jm^r^r^r, (4)
a
Nx(tj)= ffn(t,T¿,o)x(j,a)dTdo ; (5)
&
здесь c(/,i), x(t¿), l(t¿,o), m(t,T¿),'n(i,T¿,o) — функции, измеримые по совокупности переменных, í,re [а,Ь], í,a€ lc,d], Д= \a,h] х lc,d]. а интегралы понимаются в смысле Лебега.
Отметим, что даже при c(f^)=0 и непрерывных по совокупности переменных ядрах /,т,п оператор 1-К, где I -единичный оператор, не является, вообще говоря, не только фредгольмовым, но и нетеровым, и это обстоятельство существенно усложняет исследование соответствующих интегральных уравнений.
3. С использованием теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается Теорема 1. Если оператор К действует в С(Д), то он непрерывен. Доказательство. Рассмотрим оператор
]Kí-]C{+]L[ + ]Ml + ]N[,
где
d
]Ux(t¿)=f |/(f^,a) | x(t,a)da,
с b
]M[x(tj)=f\m(t,T,s)\x{T¿)dT,
a
]N\x(t¿)=jJ\n{t,i^a)\x(x,a)dzda . л
Пусп. jc€C(á). По условию функция y(t,s)« Kx(t,s) также принадлежит С(Д). Отсюда следует, что функции /(М> a) x(t, a), m(t,xr<;) x(t¿), n(t,z,s, а) х(т, о) интегрируемы для почти всех (t¿)€A на [c,¿l, [й,й], А соответственно. В силу хорошо известных свойств интеграла Лебега это же верно для функций
|/(/д,а)| \хЦ,о)\, |лг(г,ст)| и \п(1,г^,а) \ |лг(г,а)|. Отсюда вытекает, что
на С(А) определен оператор При этом, в силу теоремы Фубини,
]£[д:е5(Д) , где 5(Л) — пространство измеримых и почти всюду конечных функций на А .
Покажем, что оператор К замкнут. Пусть последовательность функций хяеС(А) сходится по норме С(А) к х'ЕС(А) и последовательность (Кхп) сходится
по норме С(А) к/€С(Д). Покажем, что Кх'=у\ Выберем подпоследовательность (л^ натуральных чисел так, чтобы
из непрерывных функций сходится равномерно на А. Тогда его сумма z(t,s) является непрерывной на А функцией. Таким образом, почти при всех (t,s) сходящиеся соответственно к функциям
l(t¿,o) x'(t,o) , m(t,rj¡) x'(t¿) , n(t,t,s,a) х'(т,а) последовательности функций l{tj,o) xn (t,a) , m(t,r¿) xn{r¿) , n(t,Tj,o) xn (r,0) ограничены интегрируемыми
соответственно на [c,d], [a,b], А функциями
|/(М.®)1 z(t,a) , |m(f,r,s)| z(r¿) , z(x,o). В силу теоремы Лебега о
предельном переходе под знаком интеграла, последовательности (Lxn (М)) t iMxn С»5)) и (Nxn (М)) сходятся почти при всех (t,s) к функциям
Lx'(t¿) , Mx*(t¿) и Nx*(tj), а значит, последовательность функций Кхп (t¿) —
к функции Kx'(t¿). Но, по предположению, последняя последовательность сходится в С(А) к y'(t¿)- Так как С(А) С S(А) и в метрическом пространстве S(A) Кхя — Кх* и Кхп — у*, то, в силу единственности предела, Кх' = у'.
Итак, оператор К замкнут. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике, он непрерывен. Теорема доказана.
4. Доказанная теорема означает, что действие оператора К в С(А) равносильно его непрерывности. Поэтому рассмотрим простые достаточные условия действия оператора К в С(А) .
Измеримые по совокупности переменных функции /((¿.а) , m(t,r¿) , n(t,T¿,o) назовем непрерывными в целом, если V é > 0 3 <5 > О такое, что из неравенств
|/( - í2¡ < <3,1.5, — sJ < д вытекают неравенства:
со
2 И \ <
*-0
По признаку Вейерштрасса функциональный ряд
2 \хп (м) - mi к
(6)
63
// ¡«('i^i.tf) - n(t2,rj2,o)\drdo < e,
и интегрально ограниченными, если
d
sup J |/(M,a)|d<7 = P < +00,
sup J6 \m(t,tj))dr=Q < +00, (7)
sup Jj ^n(t,xj,o)^drdo=R < +00,
Теорема 2. Пусть функция c(t,s) непрерывна no совокупности
переменных на Д, а ядра i(t$,o) , m(i,r,s) и n(t,rj,o) измеримы по совокупности
переменных, непрерывны в целом и интегрально ограничены. Тогда К является
непрерывным линейным оператором на С(Л) причем
d
Я * "f (l^l + / +
ь
+ / jm(w)ldr + J J |n(t,r^)ldrdor^ • (8)
о A
Доказательство. Прежде всего покажем, что интегралы в равенствах (2)-(5) существуют и конечны. Пусть x(t,s) — произвольная функция из С(Д). Тогда при каждом фиксированном значении одной переменной она является непрерывной функцией другой переменной. Отсюда и из условия теоремы вытекает, что при всех (tj) £ Д функции 2(tj,o) x(t,a) , m(t,rj)x(rj) и n(t,v^,d)x(x,o) суммируемы по о , г, (г,о) на Ic,d], [а,Ь], А соответственно. Следовательно, при всех ((¿) € А интегралы в равенствах (2) -(5) конечны и выражение, стоящее в правой части этого равенства, определено.
Теперь покаядем, что оператор К действует в С(А) ,т.е. непрерывные функции переводит в непрерывные. Для этого достаточно доказать, что функция Kx(tj)=c(tj)x(tj) +Lx(tj)+Mx(tj) +Nx(tj) (9)
непрерывна на Д, если на А непрерывна функция x(t,s). Непрерывность функции c(t,s) x(t,s) очевидна. Докажем непрерывность функции Lx(t,s). Так как x(t,s) непрерывна по совокупности переменных на компактном множестве А, то она равномерно непрерывна на А, т.е.
V е > О В д > 0 - < ¿.Ij, - ja| < д) »
Отсюда и из условий (б) и (7) имеем
d Л
| J Ktxjvo)x(tva)da - / l(t^va)x(tva)da | £
64
з / | - х{гг,а)\йа +
с
Л Л
+ / - \*(Ьа)\а° * 4 / | +
е Л
// (пОрГ^раХт,») - п{гг,х^а)х{х,а))йт<1а jj |дг(г,<7) | [л^.Г^рО) - и(/2,Г^2,а)|^£Г 5
+ 1*1 / ¡'С',*.*) - | ¿а £ еР + е| *|| -«(/»+ | х| ). (10)
с
Поскольку £ — произвольное положительное число, то неравенство (10) означает, что функция равномерно непрерывна, а значит, и непрерывна.
Аналогично показывается непрерывность функции Мх^.э). Непрерывность функции Ых О,в) вытекает из следующих оценок:
. ^ I 1 - - ' - - . - * - ■ " ^
д
Д
5 И // - П{1гх^а)^хйа 5 е|| дг|| .
Таким образом, все слагаемые в правой части равенства (9) — непрерывные функции, следовательно, функция (Кх) О.б) — непрерывна, а значит, оператор К действует в С(Д).
Линейность оператора К очевидна. Тогда по теореме 1 К является непрерывным оператором на С(Д).
Докажем неравенство (8). Пусть х е С(Д). Тогда
|| Ал || = шах |с(м) х(и) + Ьх(и) + + Лйг(/,0| 5
¡А
£ 5цр(|с(*д)| гаах|д:(Г^)| + / |/(м,о)|тах|х(*,ст)|Л7 + ь
+J | | тах | х(х^) | с1т +
+ // | п(1,гл,о) | шах |д:(г,а) |</п/<7 5
л ь
£ лр(|с(М)| + / |/(м,£7)|Л; + / |т(г,т,г)|Л +
+ // КЛглоЯАЛг |*| = А\\х ||.
Отсюда следует, что || 5 А. Теорема доказана.
Следствие 1. Если выполнено условие теоремы 2 и А<1, то для любой непрерывной функции интегральное уравнение х=Кх+/ имеет на С(А) единственное решение. Это решение может быть получено методом последовательных приближений.
65
Условие теоремы 2 и в частности непрерывность в целом ядер Ijnji выполняется, если cJ/nji — непрерывные по совокупности переменных функции. Приведем другие простые достаточные условия непрерывности в целом ядер l,mjn. Пусть для всех (М) € Л
II WA0IL * А, < *> , | m(f,v)lt s Аш < 00 •
II «(W.'.'Oli S Ал < оо , f
где 1 < < <» , Л{ , Ат , /4Я- некоторые постоянные, и пусть ядра
¡(t¿,o) , и /r(í,r^,ff) имеют разрывы только вдоль конечного числа
поверхностей, представимых соответственно уравнениями вида о = , г = , (т,ст) = (^(ía) , ip(t¿)). Тогда ядра l,mji непрерывны в целом.
Докажем непрерывность в целом ядра /. Для простоты ограничимся случаем одной поверхности разрыва о = g(f,$). Пусть (f,^,) — произвольная
точка внутри прямоугольника А, о, = и £ — произвольное
положительное число. Выберем квадрат (г,-у , t2+Y) х , 5,+у) так, чтобы
1 / е 1 1
он содержался в А и чтобы |g(M) - al | < r¡ - —I —I , где — + — = I.
В параллелепипедах Я,=[^-у, í2+y] х [Jj-y, í,+y] х [с, ff,-2»;], Я2= [f,-y, /2+у] X [j, -у, j,+y] X [ст,+27, ядро I непрерывно. Пусть |f2 - < у, - i, | < у. Имеем d <T*I
¡ - l(f^Ta)\da = f |/(f^,,ff) - /(í2A2,a)|do +
e с
ii
+ / ¡'(V.^) - K^ra)\da + / - =
-/,+/,+ /3,
Примени неравенство Гельдера, получим
/ * («*)"'( J s (4?)1" А, < f .
о,-2? ."¡-г?
ees Тогда +
[
В силу непрерывности функции l(tj,o) в параллелепипедах /7, и П2
выберем число д < у так, чтобы при jf2-i, | < б, |s2-s,| < д подынтег-
£
ральная функция в и У2 была меньше, чем . В итоге имеем
¿(а с)
л
/ - l(t2J2,a) \da < e (11)
с
при jf2-/,j < <$, \srs2\ < ö .
Неравенство (11) остается справедливым и в случае расположения точки (i,^,) на границе А. Следовательно, ядро / непрерывно в целом. Непрерывность
в целом ядер man проверяется аналогично.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Векуа И.И. Новые методы решения эллиптических уравнений. ОГИЗ, 1948.
2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.
3. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах заезд и плайет. М.: Госгехиадат, 1956.
4. Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. On the theory of partial operators // Journal of Integral Equations and Applications. 1991. V.3, № 2. P. 349-381.
5. Калитвин A.C. О спектре некоторых классов операторов с частными интегралами // Операторы и их прил.: Приближения функций. Уравнения. Л., 1985. С. 27-35.
6. Калитвин A.C. О спектре оператора с частыми интегралами в пространствах со смешанной нормой // Дифференциальные уравнения в частных производных. Л., 1986. С. 128-131.
7. Калитвин A.C. О спектре линейных операторов с .частными производными и положительными ядрами // Операторы н их прил.: (Аппроксимация функций, спектральная теория). Л., 1988. С. 68-73.
8. Поволоцкий А.И.,Калитвин A.C. Нелинейные операторы с .частными интегралами. JI.: Рос. гос. пед. ун-т им. Л.И.Герцена, 1991.
9. Витова Л.Л Разрешимость интегрального уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами // Функциональный анализ. Ульяновск, 1976. № 7. С. 41-53.
10. Лихтарников Л.М., Витова Л.З. О разрешимости линейного интегрального уравнения с частными интегралами // Укр. мат. журн. 1976. Т. 28, № 1. С. 83-87.
11. Витова Л.З. О разрешимости линейных интегральных уравнений с частными интегралами и жорпаяовыми ядрами / Новгород, 1988. 12 с. Дел. в ВИНИТИ 17.02.89, № 1280-1380.
12. Забрей/со П.П., Ломакович А.Н. Интегральные операторы Вольтерра s пространствах функций двух переменных // Укр. мат. журн. 1990. Т. 42, №9. С. 1187-1191.
13. Калитвин A.C. Об уравнениях с частными интегралами в функциональных пространствах // 16-я Всесоюз. шк. по теории операторов в функц. пространствах: Тез. докл. Нижний Новгород, 1991. С. 90.
14. Околелое О.П. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами / / Материалы 6-й межвуз. физ.-мат. науч. конф. Дальнего Востока: Дифференц. и интегральные уравнения. Т.З. Хабаровск, 1967. С. 142-149.
Получено 17.01.93
67
