Критерий определенности на c(d) линейных операторов с многомерными частными интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 31В10

КРИТЕРИЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА C(D) ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ С МНОГОМЕРНЫМИ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

А.И. Иноземцев

Липецкий государственный педагогический университет, ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, РФ, e-mail: inozemcev.a.i@gmail.com

Аннотация. Получен критерий определенности .линейных операторов с мнш'омерными частными интегралами на пространстве непрерывных функций определенных на параллелепипедах D = [a1, b1] x [a2, b2] x ■ ■ ■ x [an, bn].

Ключевые слова: мноі'омерньїй интеї'рал Стильтьееа, теорема Радона, оператор с частными интеї'ралами, непрерывность операторов.

1. Введение. Статья содержит условия определенности линейных операторов с мнш'омерными частными интегралами на пространстве C(D), где D = [ai,bi] х [02,^2] х ••• х [an, bn]. Свойства операторов с частными интегралами в различных функциональных пространствах изучались в работах Ю. Аппелля, П. П. Забрейко, А. С. Калитвина, В.А. Калитвина, Е.В. Фроловой и других авторов. Достаточные условия действия в C(T х S) операторов содержатся в работах [1, 2-4], где T и S — компактные множества в Rm и Rn. Критерии действия линейных операторов с частными интегралами в C([a, b] х [c, d]) приведены в [1, 2, 4], а в общем случае пространства C(T х S) неизвестны. Неизвестны они и в случае C(Di х D2 х ■ ■ ■ х Dn), где Dj

компактные множества. Тем не менее, в настоящей статье критерий действия операторов установлен в случае Dj = [aj, bj], а при его получении существенную роль играет теорема Ра-

C(D)

в виде многомерного интеграла Стилыъееа.

2. Многомерный интеграл Стильтьеса. Теоремы Рисса и Радона. Пусть в п мерном пространстве задан параллелепипед [a1,b1] х [a2,b2] х ••• х [an,bn]. Определим вершину v данного параллелепипеда как точку т, для которой каждая координата равна ли-

бо aj5 либо bj. Параллелепипед [a1,b1] х [a2,b2] х ••• х [an,bn] можно задать по двум точкам a = (01, a2,..., an) и b = (b1,62,..., bn) с наименьшими и наибольшими координатами соответственно, поэтому обозначим его Dab = D. Пусть на D заданы две ограниченные функции /(т) и д(т), где т = (т\, т2, ■ ■ ■, тп), где Ti € [a,i,bi], V?’ = 1,11. Разобьем параллелепипед произвольным образом на части Dk гиперплоскостями yj = т^, проходящими через точки aj = Tj0 < Tj1 < ... < Tjmi = bjt i = 1 ^ n, где k = (k1,k2,..., kn) — мультииндекс, kj — номер точки разбиения Tjki i-го отрезка, kj = 1,2, ...,mj, число всех параллелепипедов Dk равно Y\.mj- Положим Л = maxAk, где Ak — диаметр параллелепипеда

j

n

Dk = П [Tj(ki-1),Tjki ] = Dr.(fc._1) Tik,, kj = 1, 2, ...,mj. Л назовем диаметром разбиения. Обо-j=1

значим Nk(v) количество координат вида т^_1) (левые концы отрезков [Tj(ki-1),Tjk.]) среди компонент вектора v. Величи па Ak д(т) = XX—1)Nk (v)g(v) — приращение функции д(т) на

V

Dk 2n

Работа поддержана Минобрнауки России (проект №1.4407.2011).

Выберем в каждом параллелепипеде Dk точкv {k = ({щ, {2k2, • • •, Cnfcn) > гДе {ik G [т^-1), ]

и составим n- мерную интегральную сумму Стильтьеса

mi m2 mn

£ = ••• f ({k) Akg(T).

ki = 1 k2 = 1 kn = 1

Конечный предел интегральных сумм £ при Л ^ 0 называется интегралом Стильтьеса функции f (т) по фупкции g(r) и обозначается

bi b2 bn

J /•••/f (т) dg(T) = lim £ = J (1)

ai a2 an

Функция f (т) в прямоугольном параллелепипеде D интегрируема по функции g(T), если интеграл (1) существует.

Пусть функция $(т) определена на некотором n-мерпом параллелепипеде D. Разобьем прямоугольный параллелепипед произвольным образом на части плоскостями, проходящими через точки ai = Ti0 < Ti1 < • • • < Ti(ki-1) < Tiki < • • • < Timi = bi5 i = 1 ^ n. Из абсолютных

величин приращений функции g(T), отвечающих отдельным частям, образуем сумму

mi m2 mn

и = Y1 Ё ••• Е |Akg(T)| ’ (2)

ki = 1 k2 = 1 kn = 1

где Akg(T) = Х(—1)Nk(v)g(v). Если множество сумм (2) ограничено сверху, то функция д(т) в

v

D

этого множества называют полным изменением функции в указанном прямоугольном параллелепипеде и обозначают g = sup{u}.

n

свойствам функций одной и двух переменных с ограниченным изменением. n

там для одномерного и двумерного интеграла Стильтьеса: теоремы о среднем, оценки, теоремы

о предельном переходе под знаком интеграла и другие.

Следующие две теоремы доказываются так же как в [5, 6] при n = 1 При n = 2 доказательства теоремы Радона приведено в [2, 4|.

Пусть Da? = [a1, {1] х [a2, {2] х ••• х [a„,{„], где { = ({1, {2, • • • ,{n) G D, а D = [abb! x

[a2,b2] x ■ ■ ■ x [an, bn].

Теорема 1. Всякий линейный функционал f (x), определенный на C (D) может быть определен для разрывных функций

«£ (T ) = j1’ T G D”? ’

5' \0, т G D\D„S

и для всех линейных комбинаций из них,

p

^^a^(т) (ai - постоянные)’

i=1

так, что будут соблюдены условия:

1. Функционал сохраняет свойство дистрибутивности для линейных комбинаций из 0^(т).

2. Функционал сохраняет свойство непрерывности в следующей форме: если линейные комбинации из 0^(т) равномерно сходятся к непрерывной функции ж(т), то и значения функционала для этих линейных комбинаций стремятся к /(ж).

Теорема 2 (Рисс). Общая форма линейного непрерывного функционала / (ж) в пространстве С (О) дается формулой

в виде интеграла Стильтьеса, где д(т) - функция с ограниченным изменением, причем ||/1| ^

Определение. Функцию д(Ь,т), имеющую ограниченную вариацию по т при каждом Ь € О, назовем слабо непрерывной по Ь, если для любой последовательности Ьр точек из О. сходящейся К Ь, и любой непрерывной функции ж(т), выполняется равенство

Теорема 3 (Радон). Линейный непрерывный оператор А, действующий в пространстве С (О), допускает представление в виде многомерного интеграла Стильтьеса

где д(і, т) — функция с ограниченным изменением по т и слабо непрерывная по і.

□ Необходимость. Если А — линейный непрерывный оператор на С(О) и і = (іі,І2,• • •, іп) Є

О — произвольным образом фиксированная точка, то А(і)ж = (Аж)(і) — линейный непрерывный функционал на С (О), для которого по теореме Рисса существует функция д(і, т) огранит

(3)

Б

Уб 9-

Функцию д(т), для которой ||/1| = Убд(т), можно определить равенством

где

(4)

Б

Б

(5)

Б

А(і)ж = (Аж)(і) = J ж(т) гітд(і, т)

Б

При изменении Ь в О значение непрерывной функции А(Ь)ж определится последним равенством, т.е. линейный непрерывный оператор А допускает представление в виде интеграла Стильтьеса от функции ж(т) с интегрирующей функцией $(Ь, т) ограниченной вариации по т. Осталось показать слабую непрерывность функции $(Ь, т) по Ь. Так как (Аж)(Ь) — непрерывная на О функция, то УЬ, Ьр € О, где Ьр, р € N — последовательность сходящаяся к Ь, имеем

ііш (Аж)(іР) = (Аж)(і), или

ііш / ж(т) ^д(ір,т) = / ж(т) ^д(і,т), р^ж У У

то есть, д(^, т) слабо непрерывна по і.

Достаточность. Пусть в равенстве (5) функция д(і,т) имеет ограниченную вариацию по т и слабо непрерывна по і. Покажем, что А — линейный непрерывный оператор на С(О). Пусть ж(т) — непрерывная на О функция. При каждом і Є О интеграл в правой части (5) конечен, так как функция д(і, т) имеет ограниченное изменение по т при фиксированном і. Тогда равенством (5) определен оператор А на С (О). № слабой непрерыв пости д(і,т) по і, получаем (Аж)(іР) ^ (Аж)(і) при іР ^ і, где іР Є О і Є О Следовательно, оператор А непрерывные функции переводит в непрерывные, т.е. оператор А действует в С (О). Из свойств

АА Пусть снова і Є О — произвольным образом фиксированная точка. Тогда, по теореме Рисса, функционал

А(і)ж = (Аж)(і) ^ У ж(т) д(і,т)

непрерывен на С (О) и найдется фун кция д(і,т) ограниченной вариации по т такая, что

А(і)ж = (Аж)(і) = J ж(т) гітд(і, т)

и ||А(Ь)|| = Уд<?(Ь, ■) = V(Ь). Из равномерной ограниченности функции V(Ь) по Ь на О, вытекает неравенство V(Ь) < V при УЬ € О. В предположении противного, в прямоугольнике О существует последовательность точек Ьр ^ Ьо € О, в которой V(Ьр) ^ то. Так как при каждом Р

А(Ьр)ж = (Аж)(Ьр) = J ж(т) ^(Ьр, т)

- непрерывный линейный функционал с нормой ||А(Ьр)|| = V(Ьр) ^ то при р ^ то, то, по принципу сгущения особенностей [7], существует непрерывная на О функция ф(т), для которой

ІА(іР)фІ =

У ф(т) йт д(ір,т)

то.

Тогда

/ ф(т) ^тд(ір,т) = / ф(т) йтд(ір,т) ^ то

и

что противоречит слабой непрерывности по Ь в точке £о функции д(Ь,т).

Учитывая, что V(Ь) < V для любой точки Ь € и используя свойства интеграла Стпль-тьеса, получим

|(АХ)(і)| = / х(т) ^(і, т) = т) ( і, т)

и б б

<

< ^д(Ь, -)|М| = V(Ь)||ж|| < V||х||.

Тогда ||Аж|| = тах |(Ах)(Ь)| < V ||ж|| и ограниченность оператора А доказан а. ■

3. Линейные операторы с многомерными частными интегралами.

Определение 3. Линейным оператором с многомерными частными интегралами называется оператор

(Кж)(і) = кі(£)ж(£) + ^ / к (і, Бі)х(ві) ^Бі, і=2 7 Б

(6)

где к: О х Оі ^ Л — измеримые функции, интегралы понимаются в смысле Лебега (п ^ 2).

і = (і1, і2, • • •, іп) Є Лп, Т1, Т2,..., Т2п — подмножества множества т = {т1, т2,..., тп} где Ті = 0, Т2 = {т1},..., Т2п = т. Бі и ^Бі — набор переменных ту яз Ті и их дифференциалов соответственно. Вектор ві получается заменой компонент вектора і соответствующими элементами Ті. Оі — декартово произведение множеств [ау, ], та которых определены ту Є Ті.

Будем использовать и другую форму записи оператора К

(Кж)(і) = к1(і)ж(і) + ка (і, Ба)х(ва) ^Ба , (6*)

а

где а = (аі, а2,..., ап) — мультииндекс, причем а^- принимает значение 0 ми 1 при j =

п

1,...,п, Оа = П [а, Ь^]а'. В случае [ак]0 отрезок [ак] исключен из декартова произ-

з=і _____

ведения. Если в формуле (6) порядок множеств Т>і, (г = 1,2”) условный, то в (6*) порядок определяется мультииндексом а по элементам а^-.

Теорема 4 [1-4]. Если оператор К действует в С (О), то он непрерывен.

Будем говорить,что измеримая функция кі(і, Бі) принадлежит С(^(Оі)), если

вир / |кі (і, Бі)| ^Бі = Ьі < то

Б і

А;

и для любого є > 0 существует 5 > 0 такое, что го неравенства ||і — і0|| <5 следует

[ |кі(і,Бі) — кі(і0, Бі)| ^Бі <є.

Бі

Теорема 5 [1-4]. Пусть функция к^і) непрерывна на О и кі(і, Бі) Є С(Ь1(^і)) при і =

2, 3,... , 2п. Тогда К является непрерывным линейным оператором на С (О).

Теорема 5 справедлива в случае непрерывности функций к(£,5г), ее частным случаем является

Теорема 6 [1, 4]. Пусть ||кг(£, -)||,№ < < то (1 < г < 2п), где £ € Д 1 < < го, Аг —

некоторые постоянные, И пусть ядра кг(£, 5г) имеют разрывы только вдоль конечного числа поверхностей т,% = (£), где т^ — набор ^ из подмножества Тг множества |г1,Т2,... ,тп},

(£) — набор непрерывных функций (£) таких, что Тг Э т? = (^)- Тогда ядра кг(^, )

принадлежат С(Д(Д)).

4. Критерий действия линейных операторов с многомерными частными интегралами. Теоремы 5 и 6 содержат достаточные условия действия в С (Д) оператора К. Приведем необходимые и достаточные условия возможности его действия в С (Д). При получении таких условий существенную роль играет теорема Радона.

Рассмотрим всюду плотное в С (Д) множество линейных комбинаций функций

IK(т,) > (т,)

j=1

— т, прИ Tj <

0 при т, >

и формулу интегрирования но частям

2n I

j f (т) ^?(т) — ^(—1)dimDi \J 5(т) df (т)

D i=1 I Di

Di

где Д = ПІа-іА'Ь 1 < j < n, D1 = 0, Д = [ai,bi], Д = [a2,b2], •••, Dn+1 = [a„,&„], Дг+2 = [a-i, &i] x [a-2, Ьг] = Д x Д и т.д., Д x Д = Д причем первое слагаемое в равенстве (при

г = 1) имеет вид ($(т)/(т))|д = { ($(т)/(т))|а^ ■ ■ ■ } = Дд(/)• В дальнейших рассуждениях

будем использовать приведенную формулу в виде

/ f (т) ф(т) = £(-1)dlmD“j / г(т) df (т)

Jd а I а

Do

где Д* х _D0 = D. Применение формулы интегрирования по частям дает следующие равенства:

J 1 гі#(т) — Ad #(т) — B,

D

У xa Й£(т)— ^( — 1)dlmD“a« < J 5(т)

D

Dc

(7)

D a

где Daa? — Л [a, ,Cj]aj, Daa? x Daa5 — Da^. Dag — параллелепипед, вершинами с наименьшими j=1

и наибольшими координатами которого являются соответственно точки a и {, координаты остальных 2n — 2 вершин получаются комбинацией координат точек a и {.

Пусть

д([,т )= кі([)х(Ь,т ) + ^ / ка ([,$*) Й£а х(«« \ £а,т \ $*),

а п

паат

(8)

где Д,ат = Л [а/, т/]а', а/ = 0 ми 1; £а — набор переменных интегрирования т/,

/=1

х(»а \ 3„,т \ 5а) = ( 1 УУ т/ £ > а^'ш т/ > = а/■

10, 4? т/ < [^и т/ = і/ = а/.

Очевидно, что д(Ь,^) = 0 (к = 1,..., 2П — 1), где ^ — вершины параллелепипеда V =

П

\ [а», Ь], при к = 2П ^2" = Ь,

і=1

д([, Ь) = кі([) + ^ I ка([, 5а) ^£а

Подставляя функцию (8) в формулы (7), получим

В([) = кі(Г) + ^ У ка([,5а) ^ ,

£«([) = /Ха йд(т) = £(—1)аітП^ М д([,т)

п

а£

П а

Пусть

7([) = |кі([)| У |ка([,5а)| Й£а .

Па

(9)

(10)

Теорема 7. Линейный оператор К действует в пространстве С(V) тогда и только тогда, когда

при каждом фиксированном т функции В(Ь) и Ва(і) непрерывны, а функция 7([) ограничена.

К

11К У = йир 7([). п

(11)

□ Пусть опера тор К действует в С (Д). Тогда по теореме 4 он непр ерывен в С (Д), а по теореме 3 допускает представление в виде многомерного интеграла Стилыъееа

(Кх) (*) = У х(т) ^#(£,т),

где функции $(£, т) определяется равенством (8), имеет ограниченную вариацию по т и слабо непрерывна по £. Так как функция $(£, т) слабо непрерывна по £, то функция (9) непрерывна, а ограниченность ее вариации по т и равенства Уд#(£, т) = 7(£) влечет ограниченность

функции 7. Для доказательства равенства УЬд(Ь, т) = 7(Ь) выберем точки р = (рьр2, • • • ,рп)

и 9 = (91, 92, • • •, 9п) такие, что рг < < дг, где Ь = (^1, , • • •, Ьп) — фиксированная внутренняя

точка из Д т.е. Дар С Да* С Дад, тогда параллелепипед Д точками р и д разбивается на 3п

параллелепипедов: Д, Д, ..., Дп. Полная вариация функции д на Д будет равна сумме

зп

полных ее вариаций на полученных параллелепипедах разбиения УЬд = ^2 УЬк д- Учитывая

к=1

формулу [8]

I

УЬ^ = У |/(т)| ^т, где^(*) = у /(т) ^т;

Ь а

где /(т) — суммируемая функция на Д и вычисляя УЬкд (к = 1, 2, • • • , 3п) при условии, что

рг ^ и, 9г ^ Ьг (р ^ Ь 9 ^ Ь), получим равенство

3п п 11

УЬд = Ит4 ^ УЬк д = |к1(Ь)| + / |к(«>в) (^,5(«,в})| й5(«,в) , (12)

Р’9 к=1 ^=1 а =0 в=0 ь(;,в)

п

где Д(а,в) = П {К,?]а х А']в'}, а = (аьа:2,---,ап), в = (във2,--- ,вп)• При этом ис-

?=1

ключается случай а? = в.? = 1 а также случай У? а? = вк = 0 т-е- существует а^и вк

равное 1, т.к. при всех нулевых значениях а? и вк получим функцию |к1 (^)|.

Из равенства (12) следует, что УЬ9 = 7(£)- Для доказательства равенства (12) достаточно проверить, что

рИД4 Уьк д = / |к(«,в)(^,5(а,в))1 (13)

Ь(а,в)

п

Например, рассмотрим параллелепипед Дрд = П [рг, дг]. Здесь д(Ь, т) определяется равен-

г=1

ством (8). Для Уе > 0 выберем такое разбиение параллелепипеда па части, что |и—УЬР?д| <

Ш1 ТО2 т„

е/2 где и = ^ ^ ••• ^ |Д&д(т)|. Из абсолютной непрерывности интегралов и определе-

&1 = 1 &2 = 1 кп = 1

ния функций х ИРИ Р, 9 у ^ получим \и — \ к\(£)11 < |. Тогда |Уврч9 — |/г1(£)|| < е. Таким образом

показано, что при а = (0, 0, • • •, 0) и в = (0, 0, • • •, 0) имеет место

Д™* УЬ(а,в)д = |к(а,в)(Ь,5'(«,в))| ^(а,в) = |к1(Ь)| •

Ь

(а,в)

Равенство (13) для оставшихся параллелепипедов Д(а,в) доказывается аналогично. Пусть при

т

ция д(Ь, т) слабо непрерывна по Ь и имеет ограниченную вариацию по т, что по теореме Радона влечет непрерывность действия оператора К в С (Д). Докажем равенство (11). При фиксированном Ь (Кж)(Ь) — функционал на С(Д). По теореме Радона, значение

11КII = зир ||(Кх)(Ь)У

Ь

Покажем, что при фиксированном Ь имеет место УЬд(Ь, т) = ||(Кж)(Ь)||. Пусть

. | 1 при и € Дат .

хт(и) = <

I 0 пр и и € Д \ Дат ,

/ — непрерывный линейный функционал па С (Д) и

д(т) =

/(жг) при a,j < Tj < bj ( j = 1, ??.),

0 при других значениях т .

По теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала на C(D).

/ (ж) = У ж(т) dg(T), причем ||/1| = VDg-

D

При подстановке выше определенных функций жг и д(т) в /(ж) непосредственно проверяется, что при фиксированном t функция д(т), порождающая функционал (Kx)(t), принимает вид

д(т )= ki(t)xi(t,T ) + ^ / fca(t,S«) Xl(s« \ Sa,T \ Sa) ,

а D Daar

, \ a \ с n _ Z1, ПРИ t € =

Xl(s« \ т \ Sa) = < .

I 0, при t € D \ Dar.

n

Сравнивая g(t,T) и д(т) получим, g(t, т) = д(т) — ^ (т^-). Тогда VDg(t, т) = VDд(т). Сле-

j=i

довательно, ||(Kx)(t)|| = VDg(t,т) и, в силу равенства VDg(t,т) = 7(t), ||K|| = sup VDg(t,т) =

D

sup 7(t). ■

D

Представление Радона линейного непрерывного оператора на C(D) не единственно, однако представление оператора K с частными интегралами в виде (6), как следует из доказанной теоремы, единственно.

Литература

1. Appell .J.M., Ivalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial Integral Operators and Integra-Differential

Equations / New York-Basel: Marcel Dckkcr, 2000. 560 p.

2. Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами / Воронеж: ЦЧКИ, 2000.

252 с.

3. Калитвин А.С., Калитвин В.А. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма

с частными интегралами / Липецк: ЛГПУ, 2006. 178 с.

C

Липецк: ЛГПУ, 2004. 196 с.

5. Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса / М.-Л.: ОНТП, 1936. 216 с.

6. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу / М.: Мир, 1979.

588 с.

7. Иосида К. Функциональный анализ / М.: Мир, 1967. 624 с.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / М.: Наука, 1974. 480 с.

CRITERION OF ACTION ON C(D) OF LINEAR OPERATORS WITH

Abstract. Criterion of definiteness of linear integral operators with multidimensional partial integrals on the space of continuous functions is found on the space C(D) where D are parallelepipeds D = [ai,bi] x [o>2,fo] x ■ ■ ■ x [an,bn]-

Key words: multidimensional Stieltjes integral, operator with partial integrals, continuity of operators.

MULTIDIMENSIONAL PARTIAL INTEGRALS

A.I. Inozemtsev

Lipetsk State Pedagogical University,

Lenin St., 42, Lipetsk, 398020, Russia, e-mail: inozemcev.a.i@gmail.com