Оператор-функции с многомерными частными интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 45А05

ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ С МНОГОМЕРНЫМИ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

А.С. Калитвин, А.И. Иноземцев

Липецкий государственный педагогический университет,

ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, Россия, e-mail: kalitvirias@mail.ru. iriozemcev.a.i@gmail.com

Аннотация. Получены критерии в пространствах C(D), L1(D), L^ (D) и достаточные условия в пространстве Lp(D) (1 < p < ж) сильной и равномерной непрерывности оператор-функций с многомерными частными интегралами, где D = [ai,bi] х [«2,62] х ••• х [an ,bn].

Ключевые слова: оператор с частными интегралами, многомерные частные интегралы, сильная и равномерная непрерывность, пространства со смешанной нормой, регулярный и двойственный оператор.

1. Введение. Статья содержит условия сильной непрерывности и непрерывности но норме оператор-функций с многомерными частными интегралами в пространствах C(D), где D = [а1,Ь1] х [а2,Ь2] х ••• х [an,bn], и Lp(D), где 1 < p < ж, В случае D = [а, Ь] х [c, d] такие условия изучались в работах Ю, Аппелля, П. П. Забрейко, А. С. Калитвина, В.А. Калнтвииа, Е.В. Фроловой и содержатся в работах |1-4|, В работе установлены критерии сильной и равномерной непрерывности оператор-функций с многомерными частными интегралами в пространствах C(D), L1(D) и L™(D) и приведены достаточные условия в Lp(D) (1 < p < ж), оде D = [аа1, Ь1] х [а2,Ь2] х ■ ■ ■ х [an, bn]. Существенную роль при этом играют критерии и достаточные условия действия операторов с многомерными частными интегралами в заданных пространствах |1-4|,

2. Критерии действия операторов с многомерными частными интегралами в пространствах C(D), L™(D) и L1(D).

Определение 1. Линейным оператором с многомерными частными интегралами называется оператор

где a = (a1,a2,..., an) — мультииндекс, причем aj £ {0,1} при j = 1,... ,n, t £ Rn, Sa С {Т1, T2,... ,Tn}, dSa С {dT1,dT2, . . . , dTn} ■

(1)

Работа поддержана Минобрнауки России (проект №2014/351. НИР №1815.)

Вектор ва получается заменой компонент вектора Ь соответствующими элементами

Ба, 3 = 1,... ,п, Оа = Л [а,],Ь3]а — измеримые множества, а интегралы понимаются в

смысле Лебега. В случае ак = 0 получим [ак, Ьк]0, тогда отрезок [ак ,Ьк] исключается из декартова произведения.

где к*а(Ь,Ба) = ка(ва,Ьа), Ьа — набор координат ], для которых а] = 1.

Достаточные условия и критерий действия оператора (1) в пространстве С (О) приведены в работе |5|,

Критерии действия оператора (1) в пространствах ЬР(О), при р = 1 или р = то содержатся в теоремах 1 и 2. Доказательства лемм 1 и 2 аналогично доказательствам, приведенным в работе |2|,

Пусть (О, Е) — пространство с о - конечной полной мерой, М = М(О, Е) — пространство всех вещественных измеримых почти всюду конечных функций на О, Эквивалентные функции отождествляются. Пространство М линейно, в нем естественно вводится полуупорядоченность: для х, у € М х < у, если х(Ь) < у(Ь) почти всюду О

Идеальным пространством (ИП) на О называется линейное множество X в М такое, что из х € X, у € М, |у| < |х| следует у € X. Для каждой функции х определяется носитель виррх = {Ь € О: х(Ь) = 0}, а для пространства X носитель определяется как наименьшее измеримое множество, вне которого все функции из X равны нулю. В дальнейшем считаем, что О — носитель пространства X и пользуемся записью X(О). Носители определяются с точностью до множества нулевой меры. ИП с монотонной нормой (||х|| < ||у||, если х, у € X и |х| < |у|) называется нормированным идеальным пространством (НИП), полное нормированное идеальное пространство называется банаховым идеальным пространством (БИП),

Определение 2. Линейный оператор А: X ^ У называется регулярным, если существует такой положительный оператор А, действующий из БИП X в БИП У, что |Ах| < А|х| (х € X). (Оператор А называется положительным, если Ах > в при х > в). Оператор А называют мажорантой оператора А. Наименьшую мажоранту (в смысле шщуцировашюй упорядоченности пространства линейных операторов) называют абсолютной величиной А и обозначают через |А|.

Лемма 1. Пусть оператор К с многомерными частными интегралами действует из БИП X в БИП У. Тогда он является регулярным оператором в том и только в том случае, когда из X в У действует опер атор ]К [.При этом |К | =]К [.

п

Обозначим

и

□ Достаточность. Очевидное неравенство |Кх| <]К[|х| (х € X), означает, что оператор ]К[ является одной из мажорант оператора К. Получим |К| <]К[. Таким образом оператор К — регулярен.

Необходимость. Пусть К — регулярный оператор из X в У, Для любой неотрицательной функции х из X |К|х = 8ир{|Кг|: |г| < х} € У [6], В множестве (г: |г| < х} существует счетное и плотное по метрике М(Е) множество Е функций, для которого |К|х = 8ир(|Кг|: г € Е} [7]. Построим такие последовательности множеств

те

(к = 1, 2,...), что Иш ) = 0 Ба = У Бак и каждая точка ¿а € Ба принадле-

k=1

жит бесконечной последовательности множеств Dak, оде mes(Dak) — мера множества

Dak- ПуСТЬ Uak = ( П Dß ) X Dak И

ß=a

E* = i y(t) sign k(o.....o](i^ Xuak + J]

«(¿Щ XUak xJ!

Xu' „

где va G E k = 1,2,..., Xu ~ характеристическая функция множества U С D, а U' = D \ U, Так как E С E* С {z: |z| < ж}, то |K|x = sup {|Kz|: z G E*}, а так как E* — счетное множество, то почти при всех t G D

|K|x(t) = sup {|Kz(t)|: z G E*} .

(2)

Пусть t G D — точка, для которой справедливо (2), и kp — подпоследовательность, для которой ta G Dak , и пусть vap — такие последовательности функций из E, для которых v«p(r) ^ sign ka(t, Sa)x(r). Положим

Zp(r) = x(r) sign k(0,...,0](т) Д XU'k (t) + X]

7ap

(TЩ XU'kp (T) хП XU(T)

где Üakp = ( n De I x Dakp. По теореме Лебега о предельном переходе под знаком \ß=a J

интеграла

lim |Kzp(t)| = У* / |fca(i,Sa)|x(sa) =]K[x(t),

i—vra ^—* /

Da

а так как zp G E* (p =1, 2,...), то

]K[x(t) = lim |Kzp(t)| < sup{|Kz|: z G E*}(t).

p—ra

Из полученного неравенства и (2) получим

]K[x(t) < |K| x(t) ,

тогда ]K[x < |K|x и, следовательно, ]K[< |K|, To есть оператор ]K[ неотрицательные функции из X преобразует в функции из У. Но каждою функцию из X можно представить в виде разности неотрицательных функций из X, тогда ]K[ преобразует любые

функции из X в функции из У, т.е. ]К[ действует из X в V. По доказанному ]К[< |К учитывая |К| <]К[, получим |К| =]К[. ■

Теорема 1. Оператор (1) действует в Ь^(Б) тогда и только тогда, когда

\К |

уга^ир в

< оо

□ Ввиду того, что любой непрерывный в Ь^ линейный оператор регулярен, то в

силу леммы 1 достаточно доказать, что ||К|| = уга1вир

в

^ ^ / |ка(^ 5'а)|

Ва

Если

[К] = 8ир{|Кж(Ь)|: ||х| < 1} — абстрактная норма действующего в оператора (1), то [К] = [|К|], где в силу леммы 1 |К| =]К[. Получим ||КЦ^ = ||[К]|^^ = |||К=

|| |К |е||^ = уга1вир в

Е I М* , Б а ) 1 dSa

а Ва

где е(Ь) = 1.

Определение 3. Линейный оператор А' называется двойственным к линейному оператору А, действующему из БИП X в БИП V, если выполняется равенство (Ах, у) = (х,А'у) (х € Х,у € V'), где (Ах, у) — действие функционала Ах на у н (х,А'у) -

х А'у

Аналогично |1,2| доказывается

К

БИП X в БИП V. Тогда он обладает двойственным оператором и К'у = К#у (у € V',К#у € М(Б)), где М(Б) — пространство измеримых но совокупности переменных на Б вещественных или комплексных функций.

Из теоремы 1 и леммы 2 вытекает

Теорема 2. Оператор (1) действует в Ь1(Б) тогда и только тогда, когда

К|

уга^ир в

^ ] / 1ка(Ь,Ба)1 dSа

В

<о

2. Оператор-функции с многомерными частными интегралами в С (Б). Определение 4. Оператор-функцией с многомерными частными интегралами называется оператор-функция

К(ф(г) = у / ка(^,г , Ба)х($а) dSа , (3)

'Во

а

где ка — измеримые по совокупности переменных <р € 3, Ьа,та € Ба функции, 3 конечный или бесконечный промежуток в (-о, +о).

При каждом фиксированном ^ оператор-функция вида (3) есть оператор вида (1). Будем рассматривать оператор-функции (3) со значениями в пространстве Kn(X) операторов с многомерными частными интегралами, действующих в пространстве X = Lp(D) (1 < p < оо) или в X = C(D) непрерывных по совокупности переменных на D функций; в любом случае для любого ^ £ J K(<^) £ Kn(X).

Определение 5. Оператор-функция K(<р) со значениями в пространстве Kn(X) называется сильно непрерывной, если lim ||K(^)x — K(^0)x||X = 0 для любого x £ X п

V^Vo

равномерно непрерывной пли непрерывной по норме, если lim ||K(<^) — K(<^0) ||L(X) = 0.

V^Vo

Несмотря на то, что оператор-функция (3) задает в пространстве КП(Х) семейство операторов, зависящих от параметра каждый из которых определяется функциями &а(<£,£,£а), сильная и равномерная непрерывность оператор-функции (3) не характеризуется свойствами непрерывности по ^ заданных функций [1-4]. В связи с этим возникает вопрос о зависимости свойств функций $а) от которая приводит к сильной или равномерной непрерывности оператор-функции (3).

Оценка нормы оператора К(<^) — К(<^0) приводит к условиям равномерной непрерывности оператор- функции (3) в £(Х). Ограниченность нормы оператор-функции (3) на 3 и сходимость К(^)ж — К(^0)ж при ^ — на некотором множестве функций я, линейная оболочка которых всюду плотна в X, с применением теоремы Банаха-Штейигауза приводит к условиям сильной непрерывности. В различных пространствах получим различные условия сильной непрерывности оператор-функции (3).

В теоремах 3 и 4 приведены критерии сильной и равномерной непрерывности соответственно оператор-функции (3) в £(С).

Пусть /Л, = ПК А]"' 0 =

j

B(^,t) = X / dS« , (4)

Da

Xa dg(^,t,T1)dimM J g(^,t,T) dx,

D a D а

(5)

DQ

где

7(M = X) / |ka(^,t,S«)| dSa , (6)

g(^,t,T ) = ^ / Sa) dsSa x(t« , T« )

a D D

Da = ПК,Ti]a% a = 0 или 1; t« = Sa \ Sa, t« = T \ Sa, Sa — набор переменных

1, Vi Ti > ti > щ ил и Ti > t = a,

интегрирования ra, x(t«, t«) — i 0 q- t = t =

0, qi Ti ti ил%i Ti — ti — üi.

В силу критерия действия оператора (3) в пространстве C(D) [5] имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Оператор-функция (3) является сильно иеирерывиой в пространстве L(C) тогда и только тогда, когда функции (4), (5) непрерывны, а функция (6) ограничена на каждом ограниченном подмножестве своей области определения.

□ Пусть K(<) сильно непрерывна в L(C). Из равенств B(<,t) = K(<)1(t), Ba(<,t) =

n

K (<)xa, sup Y(<,t) = ||K (<) И, где xa = П xV. (tj ),c&j = 0 или 1 (j = 1, 2,...,н),и

D j=i

Xj ^^ ) i Çj - tj ИРи a < tj < Ç < bj,

j ] 0 при bj > tj > Çi > aj,

из теоремы Бапаха-Штейигауза следует непрерывность функций (4), (5) и ограниченность (6) на каждом ограниченном множестве своей области определения.

Обратно. Покажем, что функция K(<)x непрерывна по < на J для некоторого множества M функций x G C, всюду плотного в пространстве C. В качестве M возьмем линейную оболочку функций xa. Тогда любую функцию x G M можно представить в виде линейной комбинации этих функций. Из того, что функции K(<)xa непрерывны по < на Д, следует, что по < на J непрерывна и функция K(<)x(t), которая в силу линейности K(<) является их линейной комбинацией, ■

Теорема 4. Пусть значения оператор-функции (3) при любом < G J принадлежат Kn(C). Тогда она является непрерывной по норме операторов L(C) в том и только в том случае, когда функция k(o,...,o)(<,t) равномерно относительно t непрерывна по < па J, а функции ka обладают следующими свойствами:

lim sup mes {Sa : lka(<,t,Sa) - ka(<0,t,Sa)l >9} = 0 , (7)

V^VQ D

lim sup \ka(<p,t,Sa) - ka(^0,t,Sa)\dSa = 0 (mes(Aa) ^ 0) , (8)

V^Vo d J

Aa

где mes(A) — мера множества A.

□ Пусть K(ф) — непрерывная по норме оператор-функция в пространстве Kn(C). Тогда для любого ф0 G J в силу критерия действия оператора (1) в C(D) [5] получим

lim sup | k(o.....о) (<<, t) - k(o о) (<<o, t) | = 0 , (9)

V^VQ D

из чего следует утверждение теоремы для функции k(0..,0). Равенство

lim sup lka(<,t,Sa) - ka(<0,t,Sa)l dSa = 0 (10)

V^VQ D J Da

и оценки

шее ({50,: (^,¿,50,) - ка(^о,^, 5а)| > 0}) < j |ка5а) ка 5а ) 1 Л5а ;

Да

/ |ка5„) - Дг„ < / К(V, 5„) - в,)1 ¿5,

А а Д а

влекут (8).

Пусть для любого р € 3 К(р) — непрерывный линейный оператор в пространстве С(Д), функция к(0)...)0}(р,¿) равномерно относительно ¿непрерывна по р на 3 и выполнены равенства (7) и (8). В силу критерия действия оператора (1) в С(Д) достаточно показать справедливость равенств (9) и (10).

Равенство (9) очевидно. Докажем равенство (10). Для любого е > 0 в неравенстве

/|каад - ^(р0, &)| ^ < в ■ + /|каом, «о - М^, ад ,

Д а А а

где Аа = {5а: ) - ка(^0,^, )| > в} , ^.(Д*) — мера множества Да, положим

б

В силу (8) lim supmes(Aa) = 0, отсюда и (9) вытекает равенство

lim sup / ) - ka(<£o,t, Sa)| dSa = 0

D J

A а

Следовательно,

вир / - ка((р0,г, £0)| < -¿¿(А,) + - = б

Д 7 2^(Да) 2

Да

при р — ■

Определение 6. Функции ка5а) называются Ь1-непрерывными, если

Иш / |ка5а) - ка(^,¿0,5«)| = 0 , r^0J

Да

п

где г = - р0| + ^ - ¿/0|, и Ь1-огра.ниченнымн при каждом если ^=1

вир / |ка5а)| Л5а = К(р) < ТО . д ,7

Да

Теорема 5. Пусть функция к(0)...,0) непрерывна по совокупности переменных, а функции ка) Ь1-непрерывны и ^-ограничены для любого р. Тогда оператор-функция К(р) непрерывна по норме операторов пространства £(С).

оператора K(р) в C(D) достаточно непрерывности функции k(o,..,o), ^-непрерывности И ^-ограниченности фу НКЦИЙ ка(р, t, Sa) для любо го р. Покажем, что lim ||K(р) — K(р0)|| = 0. Имеем

||K(р) — K(ро)|| = sup ||(K(р) — K(po))xll = sup max |(K(р) — K(po))x(t)l <

l|x||<1 |Ы|<1

D

< У^тах \ка(р^Ба) — ка(ро,г,8а)\ ¿Ба .

а £

и ОС

В силу непрерывности по р функции к(о,...,о)(р, Ь) в точке (р0,Ь) и ^-непрерывности функций ка(р, Ь, Ба) для любо го е > 0 существует 6 > 0 такое, что

J \ка{р,1,8а) - ка{р0,1,8а)\с18а < (\р - р0\ < 8).

Отсюда получаем \\К(р) — К(р0)|| < 2п • (е/2п) = е при \р — р0\ <6. ■

Условие данной теоремы и ^-непрерывность ядер ка(р,Ь,Ба) выполняются, если ка(р,Ь, Ба) — непрерывные по совокупности переменных функции. Аналогично [4], из приведенного утверждения вытекает

Следствие 1. Пусть для всех р € 3, Ь € Б, \\ка(Ь, < А < то, для любого

а 1 < ра < то, и пусть ядра ка(Ь,Ба) имеют разрывы только вдоль конечного числа поверхностей та = ра(£), где та — набор ту из Ба, ра(Ь) — набор непрерывных функций ра(Ь) таких, что ту = р3а(Ь). Тогда ядра ка(Ь, Ба) Ь1 -непрерывны.

3. Оператор-функции со значениями в Кп(Ь™) и %п(Ь1).

Теорема 6. Оператор-функция (3) сильно непрерывна в пространстве £(Ьтогда и только тогда, когда функция (6) ограничена в существенном на 3 х I для каждого ограниченного промежутка 3 С (—то, + то), вектор-функция р ^ к(0,,,,,0)(р,Ь) непрерывна как функция со значениями в Ь™ (Б), а вектор-функции аргумента р

/ мрлб,) '

Й а

непрерывны по р при каждом измеримом I)а С Ба, как функции со значениями в Ь™((Б).

Аналогично, оператор-функция (3) сильно непрерывна в пространстве £(Ь1) в том и только в том случае, когда:

У] / 1ка(рф^а)1 dSa < const < то

ьа

D,

для почти всех Ь на каждом ограниченном промежутке 3 С (-то, +то); вектор-функция р — &(0,...,0)(р, ¿) непрерывна как функция со значениями в вектор-функции

аргумента р

Да

непрерывны по р при каждом измеримом Д а С Д, как функции со значениями в

□ Заметим, что сильная непрерывность оператор-функции (3) в заданных пространствах равносильна сильной непрерывности оператор-функций

К(р)х(Ь) = У (р,Ь,

Да

Выбирая в качестве всюду плотного множества линейные комбинации функций х(Д, ), где Д С Д — измеримые множества, а х(-С«, ) — их характеристические функции, и используя теоремы 1 и 2 получим требуемые утверждения. ■

Пусть Ха = ), = (1 < р < то), а Зр[Ха] — пространства со смешанной

нормой, состоящие из измеримых по совокупности переменных функций (¿, ), для которых конечны нормы

II ||х« ')1|Ха ||ЬР •

Из теоремы 6 следует критерий непрерывности но норме оператор-функции (3) в £(£~) и в ¿(З1).

Теорема 7. Оператор-функция (3) непрерывна по норме в (в ^(З1)) в том и

только в том случае, когда вектор-функции р — (р,£, ) (р — (р, 5 а)) непрерывны как вектор-функции со значениями в ].

Так как С(Д) С то из теорем 3 и 6 следует еще один критерий сильной

непрерывности оператор-функции (3) в С(Д).

Следствие 2. Пусть оператор-функция (3) принимает значения в КП(С). Тогда она сильно непрерывна в том и только в том случае, когда функция (6) ограничена на 3 х Д для каждого ограниченного промежутка 3 С (-то, +то), вектор-функция р — &(0,...,0) (р, ¿) непрерывна как вектор-функция со значениями в а. вектор-

функции аргумента р

Да

непрерывны по р при каждом С как функции со значениями в

4. Оператор-функции со значениями в Кга(Зр) где 1 < р < то. Критерии сильной непрерывности и непрерывности но норме оператор-функции (3) со значениями в Кга(Зр) (1 < р < то) неизвестны, но со значениями в пространстве Кг(Ьр) (1 < р < то)

регулярных в Ьр операторов (1) с частными интегралами имеются признаки ее сильной непрерывности и непрерывности по норме. Пусть (Ьр) — множество измеримых по совокупности переменных функций ка(Ь,Ба): О х Оа — (-то, +то), для которых конечна норма

11к«1ка т = йир \\х\\ьр <1

|каБа) |х(^а) 3,Ба

йа

ЬР

Аналогично [2], регулярность в Ьр оператора (1) означает, что к(о 0)(Ь) € Ь^, ка(Ь, Ба) € ^а (ЬР)-

Определение 7. Оператор-функция (3) со значениями в Кг (Ьр) абсолютно сильно непрерывна, если при р — р0 || |К(р) — К(р0)|х|| — 0 (х € Ьр) и абсолютно непрерывна по норме, если |||К(р) — К(р0)||| — 0.

Из абсолютной сильной непрерывности оператор-функции (3) в Кп(Ьр), следует ее сильная непрерывность, из абсолютной непрерывности но норме следует непрерывность по норме. Обратное утверждение не верно при 1 < р < оо уже для п = 2 [2], Из теоремы Бапаха-Штейпгауза вытекает критерий абсолютной сильной непрерывности оператор-функции (3) со значениями в &(ЬР).

Теорема 8. Пусть 1 < р < то и ка(Ь, Ба) — измеримые по совокупности переменных функции. Оператор-функция (3) со значениями в %.п(Ьр) абсолютно сильно непрерывна тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1. Вектор-функция р — к(0,.,0)(р, Ь) принимает значения в Ь^(О) при любом р € 3, ограничена на каждом отрезке из 3 как вектор-функция со значениями в Ь^ (О) и непрерывна как вектор-функция со значениями в Ь1(О).

2. Вектор-функции р — ка(р,Ь, Ба) при каждом р € 3 принимают значения в

(Ьр) и как вектор-функции со значениями в (Ьр) ограничены на каждом 3.

3. Для любых измеримых множеств Оа С Оа вектор-функции

р—к , Ба

)П х(О

а

со значениями в Ьр[Ха], непрерывны на 3, где х(Оа,Ба) — характеристическая функция множества I)а, а Ьр[Ха] — пространства со смешанной нормой.

Сильная непрерывность оператор-функции (3) со значениями в Кп(Ьр) сохранится, если в теореме условие 3 заменить условием:

О)а С Оа р € 3

Ьр :

/ка(рЛ-Ба) ЛБа.

Ь а

Следующая теорема содержит условия непрерывности но норме оператор-функции (3) со значениями в Kr (Lp)

Теорема 9. Пусть 1 < p < оо и p-1 + q-1 = 1. Пусть, даже, выполнены условия:

1. Функция р — k(o,o,...,o)(^,i) непрерывна как вектор-функция со значениями в L~(D).

2. Функции р — (p,t, ) непрерывна как вектор-функция со значениями в одном из пространств со смешанной нормой L™[Lp[Lq]] или [Lp]], где норма в Lp(Da), (Da), ) вычисляется по переменным ta, t„, соответственно.

3. Функция р — k(1)1)...)1)(p, t, т) непрерывна как вектор-функция со значениями в Lp[Lq] или [Lp], где норма в Lp(D) (Lq(D)) вычисляется по переменным t (т).

Тогда вектор-функция (3) непрерывна по норме пространства Kr (Lp).

□ Доказательство теоремы получается применением неравенства Гельдера и обобщенного неравенства Минковского. ■

Литература

1. Appcll J.M., Ivalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial Integral Operators and Integra-Differential Equations / New York-Basel: Marcel Dekker, 2000. 560 p.

2. Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами / Воронеж: ЦЧКИ, 2000. 252 с.

3. Калитвин А.С., Калитвин В.А. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фред-гольма с частными интегралами / Липецк: ЛГПУ, 2006. 177 с.

4. Калитвин А.С., Фролова Е.В. Линейные уравнения с частными интегралами. C-теория / Липецк: ЛГПУ, 2004. 195 с.

5. Иноземцев А.И. Критерий определенности на C(D) линейных операторов с многомерными частными интегралами /'/' Научные ведомости БелГУ Математика. Физика. 2014.

№5(176). Вып. 34. С.17-26.

6. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Иинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах / М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 548 с.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ / М.: Наука, 1977. 744 с.

OPERATOR-FUNCTIONS WITH MULTIDIMENSIONAL PARTIAL INTEGRALS

A.S. Kalitvin, A.I. Inozemtsev

Lipetsk State Pedagogical University, Lenin St., 42, Lipetsk, 398020, Russia, e-mail: kalitvinas@mail.ru, inozemcev.a.i@gmail.com

Abstract. Criteria on spaces C(D),L1(D), L™(D) and sufficient conditions on the space Lp(D) (1 < p < о) of strong and norm continuity of operator-functions with multidimensional partial integrals are found where D = [a1,b1] x [a2, b2] x ■ ■ ■ x [an, bn].

Key words: operator with partial integrals, multudimensional partial integrals, strongly continuous and norm-continuous operator functions, spaces with mixed norm, regular and associate operator.