CC BY
36
MSC 45A05
О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ И УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
А.С. Калитвин, В.А. Калитвин
Липецкий государственный педагогический университет, ул. Ленина, 42, Липецк, 398020, Россия, e-mail: [email protected],[email protected]
Аннотация. Выделены четыре класса линейных операторов и уравнений с частными интегралами и переменными пределами интегрирования. В пространстве непрерывных на квадрате функций изучаются спектр и части спектра операторов из этих классов и вопросы разрешимости интегральных уравнений с такими операторами.
Ключевые слова: операторы и уравнения с частными интегралами, операторы и уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами, спектр.
1. Введение. В работе рассматриваются операторы
pt ps pu pv
(Vix)(t,s) = / l(t,s,r)x(r,s)dr + / m(t, s,a)x(t,a)da + I / n(t, s,r,a)x(r,a)dadr ,
*J a *J a *J a *J a
(i)
ps pt pu pv
(yix){t,s)= / l(t,s,r)x(r,s)dr + m(t, s,a)x(t,a)da + / n(t, s,r,a)x(r,a)dadr ,
J a J a J a J a
(2)
pt pt pu pv
(Wix)(t,s) = l(t,s,r)x(r,s)dr + m(t, s,a)x(t,a)da + / n(t, s,r,a)x(r,a)dadr ,
J a J a J a J a
(3)
s s u v
(\Vix)(t,s) = l(t,s,r)x(r,s)dr + m(t, s,a)x(t,a)da + / n(t, s,r,a)x(r,a)dadr
J a J a J a J a
(4)
(i = 1,..., 4) с частными интегралами, где (t, s) £ D = [a, b] x[a,b], l : G = D x [a, b] ^ R, m : G ^ R, n : D x D ^ R — заданные измеримые функции, интегралы понимаются в смысле Лебега, (u,v) = (t,s) при i = 1, (u,v) = (t,t) при i = 2, (u,v) = (s,s) при i = 3,
(u,v) = (s,t) при i = 4, и интегральные уравнения
(Xx)(t,s) = (Vix)(t,s) + f (t, s') , (5)
(Xx)(t,s) = (Vix)(t,s) + f (t, s') , (6)
(Xx)(t,s) = (Wix)(t,s) + f (t, s'), (7)
(Xx)(t,s) = (Wix)(t,s) + f (t,s) (8)
Работа поддержана Минобрнауки России (проект № 1.4407.2011).
(г = 1,..., 4), где заданная функция f непрерывна на О, а решения уравнений (5)-(8) рассматриваются в С (О).
Условия разрешимости и свойства решений уравнений (5)-(8) с частными интегралами, содержащими переменные пределы интегрирования, зависят от свойств операторов (1)-(4) в этих пространствах и существенно отличаются друг от друга [1,2].
2. Операторы У и уравнения Ах = УгХ + f. Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве. Через г(А),а(А), а+(А), а-(А), аек(А), аеш(А), ае8(А), аеЬ(А), ап(А) и а$(А) будем обозначать его спектральный радиус, спектр, существенные спектры в смысле Густавссона-Вайдмана, Като, Вольфа, Шехтера, Браудера, предельный и дефектный спектры соответственно (определения и свойства названных частей спектра приведены в [3,4]).
В [5,6] приведены критерии действия, следовательно, и непрерывности оператора Вольтерра
(У1х)(Ь,в) = 1(Ь,в,г )х(т,в)<1т+
, 8 ^ , Ь , 8 (9)
+ I т(Ь, в,а)х(Ь,а)йа + I / и(Ь, в,т,а)х(т,а)йайт
V а V а V а
и более общих классов линейных операторов с частными интегралами. В этих же работах получены и условия равенства нулю спектрального радиуса г(У\) оператора У1, рассматриваемого в С (О). В частности, г(У1) = 0, если ядра 1(1, в, т), т(Ь, в, а) и и(Ь, 8, т, а) принадлежат С(Ь1([а,Ь])) и С(Ь1(О)) соответственно, т.е. непрерывны по (Ь,в) € О как функции со значениями в Ь1([а,Ь]) и Ь1(О) соответственно.
Таким образом, при выполнении приведенных условий спектр, рассматриваемого в С (О) оператора У1, состоит из нуля: а(У\) = {0}. При этом нуль является не только единственной точкой спектра оператора У1, но и точкой существенных спектров а+ (У\): а-(У1), аек(У1), аеш(У\), аез(У1), аеЬ(У1) в смысле Густавссона-Вайдмана, Като, Вольфа, Шехтера, Браудера соответственно, точкой предельного спектра ап(А) и точкой дефектного спектра а^(А).
В силу равенства г(У\) = 0 справедлива
Теорема 1. Если функции 1,т € С(Ь1([а,Ь])),и € С(Ь1(О)), f — произвольная функция из О и А = 0, то уравнение
(Ах)(1, в) = (У1х)(1, в) + f (1,в) (10)
имеет единственное решение в С (О) и его можно найти по итерационной формуле
#„+1 = ^УгХп + ^/, п = 0,1,... , (11)
где х0 — произвольная функция из С(О).
Непрерывные или слабо сингулярные ядра 1,т и и принадлежат пространствам С(Ь1([а,Ь])) и С(Ь1(О)) соответственно [3-6]. Поэтому для оператора У1 с такими ядрами имеют место приведенные выше спектральные свойства, а утверждение теоремы справедливо для уравнения (10).
Через С(ЬР([а,Ь])) и С(ЬР(Б)) (1 < р < то) обозначим множество непрерывных по (Ь, в) € Б функций со значениями в Ьр([а, Ь]) и ЬР(Б) соответственно.
Из непрерывности вложений С(ЬР([а,Ь])) С С(Ь1([а,Ь])) и С(ЬР(Б)) С С(Ь1(Б)) (1 < р < то) следует, что для оператора У1 с ядрами 1,т € С(Ьр([а, Ь])) и п € С(ЬР(Б)) имеют место свойства спектра и частей спектра, приведенные выше, а для уравнения (10) утверждение теоремы 1.
В условии теоремы 1 оператор XI — У1, где I — единичный оператор, обратим в С (Б), а обратный оператор (XI — У\)-1 допускает представление
((Х1 — ух)-1!)(Ь,8) = f (г,8)+ [ п(г,8,т; х)1'(т,8)ё.т+
, «/ а (12)
рв рТ рв V )
+ / тт(Ь,8,а; X)f (Ь,а)йа + / гп(Ь, 8,т,а; X)f (г,а)йгйа ,
V а V а V а
где f € С (Б), резольвентные ядра тг(Ь, 8, т; X), гт(Ь, 8, а; X) и гп(Ь, 8, т, а; X) оператора У1 принадлежат С(Ь1 ([а,Ь])) и С(Ь1(Б)) соответственно при каждом X = 0 и строятся по ядрам X-1l(t, 8, т), X-1m(t, 8, а) и X-1n(t, 8, т, а). При X = 1 формулы для Т[(Ь, 8, т; X) = Т[(Ь, 8, т), гт(Ь, 8, а; X) = гт(Ь, 8, а) и гп(Ь, 8, т, а; X) = гп(Ь, 8, т, а) можно найти в [3-5].
Отметим, что построение непрерывных решений уравнения (10) с непрерывными ядрами изучалось в [7-9], в [10] (см. также [3-6]) рассматривались уравнения Воль-терра с частными интегралами, к частным случаям которых приводятся некоторые задачи теории тонких упругих оболочек и задача о деформации тонкой пластинки, а в [11] изучались линейные уравнения Вольтерра с частными интегралами некоторых задач математической биологии. Библиография работ по теории линейных операторов и уравнений Вольтерра с частными интегралами приведена в [5,6].
Из условия теоремы 1 вытекает равенство г(У\) = 0. В общем случае спектральный радиус г(У\) может быть отличен от нуля.
Действительно, пусть в равенстве (9) т(Ь, 8, а) = 0 и п(Ь, 8, т, а) = 0, а ядро 1(Ь, 8, т) = 1(Ь,т) выбрано так, что интегральный оператор Вольтерра
(Ьх)(Ь) = ( 1(Ь,т )х(т )dт (13)
о а
действует в С([а,Ь]) и имеет ненулевой спектральный радиус г(Ь) (хорошо известно
[12], что такие операторы существуют). Тогда в С (Б) действует оператор
(У1х)(Ь,8)= ( 1(Ь,т )x(т,8)dт
а
и его спектральный радиус г(У\) = г(Ь) = 0 [3,4].
Более общие условия обращения в нуль г(У\) содержит следующая теорема [5,6].
Теорема 2. Пусть операторы
(Ь1х)(Ь,8)= 1(Ь, 8, т)x(т,8)dт, (М1х)(Ь,8) = т(Ь, 8,a)x(t,a)da ,
52 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2013. №19(162). Вып. 32
(Міх)(ї,в) = / и{Ь, 8,т,а)х{т,а]йтйа
о а о а
действуют в С (Б),
/ І1(і,в,т)^т ^ 0, Іш(ї,в,о)^о ^ 0, / [и(ї, в,т, o)|dтdo ^ 0 (14)
•/її ІЯ1 ІТ^ Я1
равномерно по (ї, в) при шевТі ^ 0, шевБі ^ 0, где отрезки Ті и Бі содержатся в [а, Ь]. Тогда г(У\) = г(Ьі) = г(Мі) = т(Ы1) = 0. Если, дополнительно, / — произвольная функция из С (Б), то при любом X = 0 уравнение (10) имеет единственное решение и его можно найти по итерационной формуле (11).
Условие теоремы 2 выполняется для оператора У1 с ядрами 1,ш Є С(Ь1 ([а,Ь])) и и Є С (Ь1(Б)), так как оператор У1 с такимим ядрами действует в С (Б) и для таких ядер выполняется условие (14). Поэтому из условия теоремы 1 вытекает условие теоремы 2. Обратное утверждение неверно. Это показывает пример оператора У1 = Ь1, у которого ограничено ядро 1(ї, в, т) = 1(ї, т), а оператор (13) с таким ядром действует в С (Б) и не является компактным, так как при выполнении включения І Є С(Ь1 ([а,Ь])) оператор
(13) является компактным в С([а,Ь]) [12].
Другие условия, при которых спектральный радиус действующего в С (Б) оператора
У1 равен нулю, можно найти в [6].
Оператор У1 хорошо изучен в С (Б). В [13] приведен пример линейного оператора У1 с частными интегралами и непрерывными ядрами, который имеет равный нулю спектральный радиус г(У\) в С (Б) и в ЬР(Б) (1 < р < то), и построены банаховы идеальные пространства, в которых г(У\) > 0. Поэтому для рассматриваемого в построенных пространствах оператора У1 его спектр о(У\) = {0}.
Операторы У2 и У3 обладают свойствами, аналогичными приведенным выше свойствам для оператора У1. В частности, если 1,ш Є С(Ь1([а,Ь])) и и Є С(Ь1(Б)), то
0(У2) = Оа(У2) = {0}, о(Уз) = Оа(Уз) = {0} , (15)
где а Є {+, —, ек, в'ш, ев, еЬ, п ,5}, а равенство (12) и теорема 1 остаются справедливыми, если в них заменить У1 на У2 или на У3. Теорема 2 также останется справедливой, если в ее формулировке оператор У1 заменить оператором У2 или У3, а предположение о действии в С (Б) оператора У1 заменить предположением о действии в С (Б) оператора
(Ы2х)(г,в)= / и(t,в,т,o)x(т,o)dтdo
или оператора
(М3х)(ї,в) = / и(ї, в,т,o)x(т,o)dтdo
соответственно.
Свойства оператора У4 с ядрами 1,ш Є С(Ь1([а,Ь])) и и Є С(Ь1(Б)) существенно отличаются от свойств операторов У1,У2,У3 с такими же ядрами. В частности, спектральный радиус этого оператора может быть отличен от нуля даже в случае непрерывных ядер, хотя в этом случае г(У\) = г(У2) = г(У3) = {0}.
Пример 1. Пусть 1(ї, в, т) = 0, ш(ї, в, о) = 0 и и(ї, в, т.о) = 1. Тогда (У4х)(ї,в) = / x(т,o)dтdo = / I / x(т,o)do\dт.
а а а а
С применением формулы для вычисления нормы линейных операторов с частными интегралами [3-6] устанавливается равенство ||"Т4|| = (Ь — а)2. Непосредственно проверяется (см. также [5]), что X = (в0 — а)(ї0 — а), где в0,ї0 Є [а,Ь], является точкой предельного спектра оператора У4. Тогда (Ь — а)2 < г(У4) < 11У41 < (Ь — а)2. Поэтому
г(У4) = (Ь — а)2 > 0.
Оператор У4 получается возмущением оператора Уі с частными интегралами компактным оператором
гв пі РІ гв
/ / и(ї, в,т,o)x(т,o)dтdo — / и(t,в,т,o)x(т,o)dтdo.
о а о а о а о а
Учитывая, что при компактных возмущениях области и-нормальности, d-нормальности. нетеровости и фредгольмовости не изменяются [14,15], существенные спектры Густавс-сона-Вайдмана, Вольфа и Шехтера являются, соответственно, дополнениями этих областей и оек(У4) = о+(У4) П о-(У4), получим равенство
оа(У4) = {0},а Є {+, — ,ек,ет,ев} . (16)
Формула (16) отличается от формулы (15). Из (16) следует, что для уравнения Хх = У4х + /, где / Є С (Б), альтернатива Фредгольма справедлива точно тогда, когда X = 0, а теоремы 1 и 2 вообще говоря не имеют места.
Если оператор XI — У4 имеет обратный оператор (XI — У4)-1, то оператор (XI — У4)-1 допускает представление (12), в котором У1 заменяется на У4.
3. Операторы Т/і и уравнения Xx = Уіх + /. Изучаемые в этом разделе операторы и уравнения с частными интегралами и переменными пределами интегрирования принципиально отличаются от операторов и уравнений, рассмотренных в разделе 2.
Из действия операторов (і = 1,... , 4) в С (Б) вытекает их непрерывность [3-6]. Со спектральными свойствами этих операторов ситуация значительно сложнее, чем с рассмотренными в предыдущем разделе операторами.
Будем предполагать, что 1,ш Є С(Ь1([а,Ь])), а и Є С(Ь1(Б)). В силу [5, 16] фред-гольмовость операторов XI — Уц (фредгольмовость уравнений Xx = Уц + /),і = 1,..., 4, равносильна обратимости в С([а,Ь]) операторов XI — Ь(в) и XI — М(ї) при каждом ї, в Є [а, Ь], где
(Ь(в)х)(ї) = ( 1(ї,в,т)х(т)dт, (М(ї)х)(в) = ( ш(ї, в, o)x(o)do .
аа
В силу теоремы 3.4 из [3] оеш (Т/'і) = ое3(Т/,). Тогда для действующего в С (Б) оператора Уі справедливо равенство
Оет (Уі) = Оев(Уі) = и о(Ь(в)) и и о(М (ї)),і =1,..., 4 . (17)
в£[а,Ь] і£[а,Ь]
В силу равенства (17) справедлива
Теорема 3. Пусть функции 1,т Е С(Ь1([а,Ь])), функция п Е С(Ь1(Б)), f — произвольная функция из С (Б) и X = 0. Тогда в С (Б) нетеровость и фредгольмовость операторов XI — Уг и альтернатива Фредгольма для уравнений XI = Уг + f,i = 1,, 4, имеют место точно тогда, когда X не принадлежит множеству (17).
Следующий пример показывает, что даже в случае простейших ядер существенные спектры аеш (Уг) и &ез(У) отличны от нуля.
Пример 2. Пусть в (2) 1(Ь, в, т) = 1,т(Ь, в,а) = 0 и п(Ь, в, т, а) = 0. Тогда (Угх)(Ь, в) = I х(т,в)йт.
о а
Аналогично примеру 1, ||у|| = Ь — а, а число X = во — а, где во Е [а,Ь], — точка предельного спектра оператора Уг. Тогда Ь — а < г (У) < ||у|| = Ь — а, следовательно, г(Уг) = Ь — а > 0. В силу (17) а^ш(У) = аез(Уг) = {0}.
Теорема 3 и пример 2 показывают, что операторы У ^ = 1,..., 4) с частными интегралами и переменными пределами интегрирования не являются операторами Вольтер-ра с частными интегралами. Поэтому для изучения в С (Б) операторов у и уравнений XX = ух + f ^ = 1,..., 4) следует применять общую теорию линейных операторов и уравнений с частными интегралами в С (Б), но не теорию линейных операторов и уравнений Вольтерра с частными интегралами.
4. Операторы Шг,\¥г и уравнения XX = Шгх + f, XX = \¥гх + f. Операторы
и ]Уг ^ = 1,..., 4) при ненулевых ядрах т(Ь,в,а) и 1(Ь,в,т), соответственно, не являются операторами Вольтерра с частными интегралами, но являются операторами Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Поэтому для изучения операторов Шг,\Уг и уравнений Xx = Шгх + f,Xx = \угх + f ^ = 1,..., 4) можно использовать результаты из [5,6] об операторах и уравнениях Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.
В частности, если 1,т Е С (Ь1([а,Ь])) и п € С (Ь1(Б)), то в С (Б) обратимость и фредгольмовость уравнений Xx = Шгх + f и Xx = \Угх + f ^ = 1,... , 4) равносильна обратимости операторов XI — М и XI — Ь соответственно, где операторы М и Ь определяются равенствами
(Мх)(Ь,в) = т(Ь, в,а)х(Ь,а)йа, (Ьх)(Ь,в) = 1(Ь,в,т)х(т,в)йт.
аа
Обратимость в С (Б) операторов XI—М и XI—Ь, в свою очередь, равносильна обратимости при каждом Ь Е [а,Ь] и при каждом в Е [а,Ь] операторов М(Ь) и Ь(в) соответственно из раздела 3. Отсюда вытекают равенства
а№) = аеш№) = аеа^)= и а(М(Ь)) , (18)
1&[а,Ъ]
a(Wi) = aew (Wi) = aes(Wi) = U a(L(s))
s&[a,b] v '
(i = 1,..., A).
Аналогично теореме 3 имеет место
Теорема 4. Если функции l,m £ C(L1([a,b])) и функция n £ C(L1(D)), то в C(D) нетеровость и фредгольмовость операторов XI — Wi (XI — Wi) и альтернатива Фред-гольма для уравнений XI = Wi + f (XI = Wi + f), i = 1,..., 4, имеют место точно тогда, когда X не принадлежит множеству (18) ((19) соответственно).
Литература
1. Калитвин А.С. Об интегральных уравнениях с частными интегралами, содержащими переменные пределы интегрирования // Материалы международной конференции „Дифференциальные уравнения и их приложения11 26-31 мая 2013, Белгород / Белгород: По-литерра, 2013. - С. 103-104.
2. Калитвин А.С. О спектре операторов с частными интегралами и переменными пределами интегрирования // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: сб. науч. тр. / Липецк: ЛГПУ, 2013. - С. 58-62.
3. Калитвин А.С. Линейные операторы с частными интегралами / Воронеж: ЦЧКИ, 2000. -C. 252
4. Appell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations / New York-Basel: Marcel Dekker inc., 2000. - 560 p.p.
5. Калитвин А.С., Калитвин В.А. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами / Липецк: ЛГПУ, 2006. — 177 с.
6. Калитвин А.С., Фролова Е.В. Линейные операторы с частными интегралами. C-теория / Липецк: ЛГПУ, 2004. - 195 с.
7. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.3. Ч.2 / ОНТИ, 1934. — 320 с.
8. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1 / ГТТИ, 1934. — 330 с.
9. Околелов О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами: Дисс. ...канд. физ.-матем. наук / Иркутск, 1967. - 147 с.
10. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиз-дат, 1948. - 296 с.
11. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии: Учеб. пособие для университетов /
М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
12. Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения / М.: Наука, 1968. - 448 с.
13. Калитвин А.С. Об операторах и уравнениях Вольтерра с частными интегралами // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2012: материалы международной конференции / Воронеж: ВГУ, 2012. - С.91-94.
14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. - 740 с.
15. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / М.: Наука, 1971. - 104 с.
16. Kalitvin A.S. On a Class of Integral Equations in the Space of Continuous Functions // Differential Equations. - 2006. - 42; 6. - P.1194-2000.
ABOUT LINEAR OPERATORS AND EQUATIONS WITH PARTIAL INTEGRALS AND WITH VARIABLE BOUNDS OF INTEGRATION A.S. Kalitvin, V.A. Kalitvin
Lipetsk State Pedagogical University,
Lenina St., 42, Lipetsk, 398020, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. Four classes of linear operators and equations with partial integrals are selected. It is studied the spectrum and spectrum parts of operators having been defined on the space of continuous functions on a square. The solvability of integral equations with operators pointed out is invetigated.
Key words: operators and equations with partial integrals, Volterra’s and Volterra-Fredholm’s operators and equations with partial integrals, spectrum.
