Линейные операторы с частными интегралами в c (d) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В С{Б)

© А.С. Калитвин, Е.В. Фролова (Липецк)

Пусть С {Б) - пространство непрерывных на Б = [а, 6] х [с, с2] функций и К — С + Ь + М + ЛГ,

где (Сх)(Ь, в) = с(£, в)х(Ь, в),

с,1,т:п - заданные измеримые функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. К частным случаям уравнения х = Кх + / приводится ряд прикладных задач. Разрешимость и свойства решений этих уравнений зависят от пространств, в которых они изучаются, и свойств соответствующих операторов. В данной заметке обсуждаются свойства оператора К в С (Б). Пример оператора К с /(£, 5,т) = (Ь — а)-1, т(Ь, я, а) = ((1 — с)-1 и с(£, в) = п(£, в,т, сг) = 0 показывает, что в общем случае оператор К - не интегральный, а оператор I — К - не нётеров.

С применением теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается, что действующий в С (Б) оператор К непрерывен. Действие оператора К в С{Б) вытекает из действия в С {Б) операторов С, Ь, М, N. Обратное утверждение неверно. Критерии действия оператора К в С {В) получаются с применением теоремы Радона о представлении линейного непрерывного в С(Б) оператора в виде двумерного интеграла Стильтьеса. Простым достаточным условием действия оператора К в С (Б) является непрерывность функции с, I/1 -непрерывность и Ь1-ограниченность ядер 1,т,п (измеримая на О х $7 функция ы(£, в,ш) ^-непрерывна, если Уе > 0 3<5 > 0 такое, что при |^1 — £2| < <5, 1^1 — - в2| < 6 ||и(*1,■) - и(г2,52, ОНьЧП) < е И Ь1 -ограничена, если ||и(£,в, ОНь^п) ^ и < оо; здесь П € 6 {[а, Ь], [с, д\, Б} и ш 6 {г, а, (г, сг)}). Применение критериев действия оператора К в С (Б) позволяет доказать единственность представления оператора К в виде С + Ь + М + N и выделить различные подпространства и алгебры операторов с частными интегралами в пространстве действующих в С(В) линейных ограниченных операторов.

Пусть с(£, в) = 0. Если операторы Ь, М, А^, действуют в С(Б), а операторы N + ЬМ и N + МЬ компактны, то нётеровость (фредгольмовость) оператора 1—К равносильна нётеровости (фредголь-мовости) операторов I - Ь ш 1-М ((I — Ь)(1 — М) и (I — М)(/ — Ь))\ если 1,т, п- ^-непрерывные и Ьх -ограниченные ядра, то фредгольмовость оператора 1 — К равносильна обратимости операторов

(N2;)(£,«) = п{Ь,в,т,сг)х(т,(т)(1т(1а, (£,т € [а, 6],в,<т £ [с,(/]),

I — Ь У11 — М.