О разрешимости одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка с некомпактным интегральным оператором типа Гаммерштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 103-112.

УДК 517.968

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С НЕКОМПАКТНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА

Х.А. ХАЧАТРЯН

Аннотация. В настоящей заметке исследуется вопрос разрешимости в пространстве Соболева Ш^(0, +то) одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений N-го порядка с некомпактным интегральным оператором типа Гаммерштей-на на полуоси. Доказывается существование положительного решения в пространстве Ш^(0, +то) и вычисляется предел этого решения в бесконечности. Полученные результаты обобщаются для более общих нелинейных уравнений с суммарно-разностными ядрами.

Ключевые слова: Факторизация, многочлен, предел итераций, пространство Соболева.

1. Постановка задачи и введение

В настоящей работе рассматривается следующий класс нелинейных интегро-дифференциальных уравнений:

АТ

^N / ^ dN—3 / Г

^ + ^ а3~Хм—3 + А(х)/ К(х - ^)С(/(*))Т* = 0, х € Е+’ N - 2 (1)

3=1 0

относительно искомой вещественной функции /(х), где а3-= 1, 2, 3,... , N) вещественные коэффициенты, причем

а^ < 0, (2)

N

а соответствующий многочлен Р(х) = xN + ^2 а3-xN—3 имеет только действительные корни.

3=1

В (1) А(х) и К(х) — измеримые функции на множествах (0, +то) и (-то, +то), соответственно, причем

а) А(х) | по хна (0, +то), 0 ^ А(х) ^ 1, х € (0, +то), , .

1 - А € £1(0, +то), А € WN(0, +то) (3)

Ь) К(х) — 0, х € (-то, +то), aN + J К(т)Тт = 0,

—~ (4)

К € С(Е), [ |т|К(т)Тт < +то.

Kh.A. Khaohatryan, On solvability of one class high-order nonlinear integro-differential equations with Hammerstein type noncompact integral operator.

© Хачатрян Х.А. 2011.

Поступила 03 сентября 2010 г.

С(х) — определенная на (-то, +то) измеримая функция, причем предполагается, что существует число п > 0, такое, что

с) С € С[0, п], С Т по хна отрезке [0,п], (5)

С(х) > х, х Е [0,п], С(п) = п.

Искомое решение уравнения (1) удовлетворяет следующим граничным условиям:

/(0) = 0, / € (0, +то) = |^(х) : € Ью(0, +то), к = 0,1,...,Ж}, (6)

где через — обозначена к-тая производная функции <^(х).

Первые результаты исследования нелинейных интегральных уравнений с компактными операторами Урысона и Гаммерштейна были получены в работах М.А.Красносельского и его учеников ([1-5]). В этих работах даны различные необходимые и достаточные условия, обеспечивающие полную непрерывность операторов Урысона и Гаммерштейна. В работах ([6-8]) были доказаны теоремы существования решения в предположении полной непрерывности соответствующего нелинейного интегрального оператора.

В том частном случае, когда С(х) = х, А(х) = 1, N = 2, уравнение (1) ранее было исследовано в работе [9]. Сравнительно недавно автором настоящей работы доказаны структуральные теоремы существования в том случае, когда N = 2, А(х) = 1, а С(х) удовлетворяет условиям (5) (см. [10]).

В настоящей работе с использованием методов классической теории функций вещественной переменной, с помощью некоторых результатов из теории линейных интегральных уравнений типа свертки, удается доказать существование нетривиального решения задачи (1),(6) и описать его структуру. Более того, вычисляется предел построенного решения в бесконечности. Полученные результаты обобщаются для следующего класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений:

дт сю сю

dN-з / Г Го

^х^ +Х! а^-з + А(х)у К(х - ^)С(/(*))т* + у к(х + *)С0(/(*))т* = 0, N > 2, (7)

3=1 о о

где

ю ю

0 ^ К € Ь1(0, +то) и J К(т)Тт ^ У К(т)Тт, х € Е+, (8)

а С0 — определенная на (-то, +то) измеримая функция, причем

(8')

С0 € С[0,п], С0(х) > 0, х € [0,п], С0 Т по хна [0,п] Со(П) = П.

2. Задача факторизации. Сведение к основному нелинейному

интегральному уравнению

Введем следующий класс нелинейных интегральных операторов: Ка Е П, если существует измеримая функция К * (х,£), ((х,£) Е К+ х К+), такая, что

ю

(Ко/)(х)^К*(х,*)С(/(«))*, / € 1ю(К+), (9)

С : Ью(К+) ^ Ью(К+),

причем ядро К*(х,*) > 0 — удовлетворяет следующим оценкам: существуют функции 0 ^ К € Ь1(М), 0 ^ А(х) ^ 1, такие, что

К * (х, *) > А(х)К (х - *), (х, *) € Е+ х Е+. (9')

вир / К*(я,і)^і< +то. (9")

х>0 J 0

Из условий (9), (9") следует, что : ЬЮ(К+) ^ ЬЮ(Е+). Пусть а^ а2,... , ап (п Є N) —

положительные корни многочлена Р(ж). Из условия (2), с учетом теоремы Виета, следует, что п — нечетное число. Обозначим через — вь —в2,... , — вт — отрицательные корни Р (ж) (т + п = N).

Введем дифференциальный оператор

Р (Я) = + аіЯм-1 + «2^^-2 + ... + ам-іЯ + ам I,

действующий из пространства (0, +то) в £Ю(0, +го), где Я — оператор дифференци-

рования, а I — единичный оператор.

Из выше сказанного следует,что

Р(Я) = (Я — аіі)(Я — «2І)... (Я — апі)(Я + вії)(Я + в2І)... (Я + вті). (10)

Обозначим через ^а. (^ = 1,2,...,п) обратные операторы операторов (а.,-1 — Я) в пространстве Щі(0, +то).

Тогда легко можно убедиться, что

СЮ

а (

У„,/)(*)=/ е-“■(‘-х)/(()<Й, / € Ью(К+),

Х 3 = 1, 2,..., п.

Справедлива

Лемма 1. Если Ко € П и А(х) Т по х, то Ко € П, 3 = 1, 2,..., п.

Доказательство. Пусть / € Ью(К+) — произвольная функция. Тогда будем иметь:

11)

^оо V

го сю

(^, Кс/)(ж)= / е-а(*-х) / К*(£, т)С(/(т))М

СЮ СЮ \ СЮ

е-«1 (І-Ж)К*(^,т)^ I С(/(т))^ = / Т*(ж,т)С(/(т))^г,

где Т *(ж,т ) = / е а £ К *(ж + г,т )^г.

о© о©

Заметим также, что / Т*(х, т)Тт ^ О- йиР / К*(х, т)Тт < +то. С использованием оценки

0 3 Х>0 0

(9') и монотонность функции А получим:

СЮ СЮ

_ — а і £ л / „ і .ч ту' ( ^ і __ ч _7 —а і ^

Т*(х, т) > j е “3*А(х + г)К(х + г — т)Тг > А(х)у е “3*К(х + г — т)Тг = А(х)Т(х — т), 00 +ю + ю

причем Т € Ь1(М) и / Т(х)Тх ^ / К(х)Тх. Лемма доказана.

—ю 3 —ю

Уравнение (1) запишем в операторной форме

(Р (Я) + Кс)/ = 0, (12)

14)

15)

где

ю

(Ка/)(х) = А(х^У К(х - г)С(/(г))Тг,

0

а функции А, К и С удовлетворяют условиям а), Ь), с).

Рассмотрим следующую задачу факторизации: для заданных операторов Р(С) и Ка € П найти такой интегральный оператор Та € П, чтобы

п / т \

Р(С) + Ка = П(Я - азI) П<В + взI) - Та . (13)

з=1 з=1

Для решения этой задачи сначала рассмотрим произведение операторов ^а1 и

Ка : Т1,а = ^а1 Ка.

Имеем

ю ю

(Т1,о/)(х) = /е—“1(*—х)А(£) ^К(* - т)С(/(т))М =

х 0

ю ю сю

= J С(/(т)^У е—“121 К(х + г1 - т)А(г1 + х)Тг1Тт = J Т1(х,т)С(/(т))Тт, где 0 0 0

ю

Т‘(х'т > = / е—“1а К (х +г1 - т )А(х +^ >

0

ю

> А(х^ У е—“121 К(х + г1 - т)Тг1 = А(х)Т-*(х - т),

0

ю

Т1*(х)^У К (х + г1)е—0121 Тг1. (16)

0

Из леммы 1 следует также, что Т2,а = Ка € П. Построим его ядро также:

ю ю

(Т2,а/)(*)=/ e-”2»-X^ Т,((,т )С(/(т ))** =

х 0

ю ю ю

= J С(/(т))^ е—а2(*—х)Т1(^,т)ТЫт = J Т2(х,т)С(/(т))Тт, где

0 х 0

ю ю

Т2(х,т) = J е—022:2 У е—“121 К(х + г1 + г2 - т)А(х + г1 + г2)Тг1Тг2 > А(х)Т2*(х - т), 00

где

ю ю

Т2*(х) = J е—а222 У е—а121 К(х + г1 + г2)Тг1Тг2.

00

п

Индукцией по п нетрудно убедиться, что Тп,а = Тп—1,а = П ^«3Ка € П и задается

з=1

посредством следующих формул:

(Тп,с/)(ж) = Тп(ж,т)О(/(т))гіт, / Є М(Е+)

0

с

Тп(ж, т) = у е-а"г^ е-ап-1 £п-1 у 0 0 0

СЮ

Є а1£1 к (ж + гі + ... + гп — т )А(ж + гі + ... + гп)^і . . . ^£п >

> А(ж)Тп(ж — т),

СЮ СЮ СЮ СЮ

ТЛж) = / е-ап2п / е-0*-1*"-1 / ... [ е-а1£1 К (ж + гі + ... + ^п)^гі... ^ (18)

:і7)

0

где

0 0 0 0 Следовательно, так как п — нечетное число, то в качестве оператора То можно взять: То = Тпо Таким образом установлена следующая

Лемма 2. Пусть функции А, К и О удовлетворяют условиям а),Ь),с) и О : ЬЮ(К+) ^ ЬЮ(К+). Тогда оператор Р(Я) + Ко допускает факторизацию (13), где То = Тп, о Є П задается согласно формуле (17).

С учетом факторизации (13) решение задачи (1),(6) равносильно последовательному решению следующих связанных уравнений:

П(Я — а,1 ^ = 0, (19)

з=1

Д(С + вз I) - Та) / = р. (20)

з=1

Рассмотрим уравнение (19):

(С - )(С - 0^1)... (С - ап1 )<£ = 0. (21)

Так как / € (0, +то), то ^ € Щп(0, +то). Следовательно нетрудно заметить, что

<^(х) = 0. Таким образом, решение задачи (1), (6) сводится к следующему интегро-дифференциальному уравнению:

ОО

т ю

П<С + взI)/ - Тп(х, т)С(/(т))йт = 0, (22)

з=1 0

с граничными условиями

/(0) = 0, / € И'£(0, +то). (23)

Обозначим через

Р(х) = (С + вт1 )(С + вт—11) ... (С + в11)/(х).

Тогда, с учетом (23) нетрудно убедиться, что

Р € шп(0, +то)

и

/(ж) = / е-в1(х-Т1) / е-в2(т1-т2)... / е-вт(Тт-1-Тт)Р(тт)^тт ... ^ті. (24)

ю Т Т1

Р (х) = У Тп(х,т)^^ е—в1(т—Т1) ^ е—в2(т1—Т2) ...

Следовательно уравнение (22) примет вид:

ю Т Т1

........ ,е е

Т„-, 0 0 0 (25)

..^п) х € К-.

0

В следующем параграфе мы займемся вопросами разрешимости уравнения (25). Вычислим также предел функции Р(х) на бесконечности.

3. Решение уравнения (25)

Рассмотрим следующие итерации:

ОО Т Т1

Р(р+1)(х)^ Тп(х,т)с(У е—в1(Т—Т1^ е—в2(Т1—Т2)

0 0 0

Тт — 1

е—вт(Тт-1—Тт)Р(р)(тт)ТттТтт—1 . . . Тт^ Тт. (26)

т

-

Р(0)(х) = ]^[ взп, Р = 0,1, 2,..., х € Е-

з=1

Индукцией по р сначала убедимся, что

Р(р)(х) I по Р (27)

В случае р = 1 имеем:

Т1 Тт — 1

т

Р(1)(х) = у Тп(х,т )С (у е—в1(Т—Т1^ е—в2(Т1—Т2) ..^ е—вт(Тт—1 —'Гт)пДвз ТттТтт—1 . . . | Тт ^

0 0 0 0 з=1

ю /т— 1 Т ^ Тт,—2

^ / Тп(х,т )С ( П вз / е—в1 (Т—Т1М е—в2 (Т1—Т2) ... е—вт—1(Тт—2—Тт—1)пТтт—1Ттт—2 . . . | Тт ^

0 з=1 0 0 0

ю ю + ю

^ I Тп(х,т)С(п)Тт = п I Тп(х,т)Тт ^ п I Т*(г)Тг = —= ж (28)

0 0 —■ю П аз

з=1

Из теоремы Виетта сразу следует, что

(-1)^—та1а2 ... апв1в2 ... вт = ам < 0,

или

пт

Паз П вз = - а^,

з=1 з=1

следовательно,

т

ж = п П вз = Р(0)(х), т.е. Р(1)(х) ^ Р(0)(х).

з=1

Далее предполагая, что

Р(р)(х) ^ Р(р—1)(х)

и используя свойства функции С, получим

Р(р+1)(х) ^ Р(р)(х).

Таким образом (27) доказано.

Теперь, наряду с уравнением (25), рассмотрим следующее линейное интегральное уравнение:

ОО Т Т1

5 (х) = А(х) / Тп*(х - т) / е—в1(Т—Т1) / е—в2(Т1—Т2)...

Тщ — 1

(29)

... J е-вт(Тщ—1-Tm)S (rm)drmdrm-i... dndr, x G R+.

0

Это уравнение легко сводится к следующему интегральному уравнению:

СЮ

S(x) = X(x) J Wm(x - Tm)S(тт)^тт, x G R+, (30)

0

где

+oo + oo

0 ^ Wm G Li(R), [ Wm(T)dT = = 1 (31)

-Oo n e -Oo

j—1

(см. цепочку неравенств (28)).

Вид ядер Wj(x), (j = 1, 2,... , m) получается с использованием теоремы Фубини с помощью следующих рекурентных соотношений:

СЮ

Wj(x) = J Wj-1(x — Zj)e-ejdzj, j = 2, 3,..., m,

0 o (32)

Wl(x) = / T:(x — Zl)e-eiz1 dZ1'

0

Предположим, что

+СЮ

v(Wm) = J rWm(r)dr < 0. (33)

-

Абсолютная сходимость последнего интеграла следует из (4) и теоремы Фубини.

Из результатов работ [11, 12] следует, что при выполнении условий (31) и (33), уравнение (30) имеет монотонно возрастающее нетривиальное ограниченное решение 0 ^ S(x). Обозначим через

m

П &nS(x)

S :(x) = —-, c = sup S (x). (34)

c ж>0

Ниже по индукции докажем, что последовательность {F(p)(x)}0° снизу удовлетворяет следующей оценке:

F(p)(x) > S:(x), p = 0,1, 2,... (35)

В случае p = 0 — это очевидно, ибо

m

F(0)(x) = п П в = sup S:(x) > S:(x) > 0. (36)

A , x>0

J—1

Предположим, что

Рр—1)(х) > 5*(х).

Тогда из (26), с учетом (29), (30), (34), (5), (17) будем иметь:

ю Т Т1

Р(р)(х) >1 Тп(х,т )С^| е—в1(Т—'Т1) I е—в2(Т1—Т2) ... 0 0 0

Тт — 1

е вт(Тт 1 Тт)5*(тт)ТттТтт—1... Тт^ Тт >

0

Т Т1 Тт — 1

> А(хМ Т*(х - т ) / е—в1(Т—Т1М е—в2(Т1—Т2)... е—вт(Тт—1—Тт) 5*(тт)ТттТтт—1 ... Тт^т =

0

сю

= А(х) ^ Шт(х - тт)5*(тт)Ттт = 5*(х).

0

Итак, из (27) и (35) следует, что последовательность функций {рр^х)}^ имеет точечный предел:

Иш Р(р)(х) = Р(х),

р——сю

а из теоремы Б.Леви (см.[13]) следует, что этот предел удовлетворяет уравнению (25).

Теперь докажем, что Р € Щп(0, +то). Действительно, поскольку Л,з-(х,т) = д3), (3 = 1, 2,... , п) — непрерывная на (0, +то) х (0, +то) и суммируемая функция при каждом фиксированном т € (0, +то), причем интегралы

сТ1

з (х,< , е , е

0 0 0

Тт — 1

вт (Тт —1 Тт )

е вт(Тт 1 Тт)Р (тт)ТттТтт—1... Тт^ Тт, 3 = 1, 2, ...,п

0

равномерно сходятся, а Р € М(Е+), то с учетом теоремы о дифференцировании под

Тз Р

знаком интеграла (см.[14]), из (25) следует, что ——т € М (0, +то), 3 = 0,1, 2, ...,п,

Тхз

т.е. Р € Щп(0, +то).

т

С другой стороны, так как 5* (х) Т п П вз (см. (34) и работу [12]), то из следующего

з=1

тт

неравенства 5*(х) ^ Р(х) ^ п П вз сразу следует, что 3 Иш Р(х) = п П вз.

з=1 х—ю з=1

Из (24), с учетом известных операций свертки (см.[15]), следует существование предела

Иш /(х) = п.

х—

Так как Р € Щп(0, +то), то из (24) следует, что / € (0, +то).

Итак, нами доказана следующая

Теорема 1. Пусть многочлен Р(х) имеет лишь действительные корни и а^ < 0. Тогда, при условии (3)-(5) и V(Щт) < 0, задача (1), (6) имеет ненулевое, неотрицательное решение с пределом п в бесконечности.

Аналогичными рассуждениями можно убедиться в достоверности следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы1. Тогда, если функции Ko и Go удовлетворяют условиями (8) и (8'), то задача (Т), (б) имеет ненулевое, неотрицательное решение с пределом: lim f (x) = п.

X—— СЮ

4. Примеры функций G и Go

Ниже приведем несколько примеров функции G :

a) G(x) = xa, п =1, 0 <а< 1, x є R+,

b) G(x) = x + sinx, п = n, x є R+,

c) G(x) = Vxex—1, п =1, x є R+.

d) G(x) = x + sin2x, x є R+, п = nk, k = 1, 2, 3,....

Докажем, что G(x) = Vxex—1 удовлетворяет всем требованием теоремы1. Действительно,

G(0) = 0, G(l) = 1, G(x) | по x, ибо G'(x) = —,1 (ex—1 + xex—1) > 0, x > 0.

2v/xex—T

С другой стороны,

ex—1 > x, x є R+,

следовательно,

G(x) > x.

Поскольку условия, накладываемые на функцию Go, более слабые по сравнению с условиями на G, то в качестве Go можно взять функцию G. Однако мы приведем также несколько примеров Go :

d) G0(x) = xa, a = 1, a> 0, п = 1,

e) Go = п sin x, п = 2,

f) Go(x) = пln(x +1), п = e - 1.

Замечание . В линейном случае, когда G(x) = x, в качестве числа п можно выбрать любое положительное число, а из теоремы Ї следует , что в этом случае ( в силу линейности) получаем однопараметрическое семейство положительных решений fn(x), (п є (0, +го)) с пределом п из пространства Соболева WN(0, +го), (N > 2). Если же п одназначно не определяется из условия, накладываемого на функцию G (например, если G(x) = x + sin2 x, то п = nk, k = 1, 2,3,...), то в этом уже нелинейном

случае мы также получаем однопараметрическое семейство неотрицательных ненулевых решений, причем предел каждой функции fk (x) из этого семейства равен числу nk (k = 1, 2, 3,...) соответственно, когда x ^ +то.

В конце работы выражаю благодарность рецензенту за полезные замечания, а также проф. Н.Б.Енгибаряну за обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А., Любарский Г.А. О переходных решениях нелинейных уравнений // Изв. Вузов, Математика, КГУ. № 4. 1962. С. 81-85.

2. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Москва. 1966. 500 с.

3. Красносельский М.А.Положительные решения операторных уравнений. Москва. Изд. физ.мат.лит. 1962. 394 с.

4. Забрейко П.П. О непрерывности нелинейного оператора // Сибирский. мат. журнал. Т. 5, № 4. 1964. С. 958-960.

5. Забрейко П.П. О непрерывности и полной непрерывности операторов П.С. Урысона // Доклады АН СССР. Т. 161, № 5. 1965. С. 1007-1010.

6. J. Banas Integhrable solutions of Hammerstein and Urysohn integral equations // J.Austral. Math. Soc. (A). V. 46. 1989. P. 61-68.

7. H. Brezis, F.E. Browder Existence theorems for nonlinear integral equations of Hammerstein type // Bull. Amer. Math. Soc. V. 81, № 1. 1975. P. 73-78.

8. G. Emmanuele An existense theorem for Hammershtein integral equations. Portugal Mathem // V. 51, № 4. 1994. P. 607-611.

9. Хачатрян Х.А. Некоторые достаточные условия для разрешимости одного класса векторных интегродифференциальных уравнений типа свертки на полупрямой // Известия НАН Армении, Математика. Т. 4, № 5. 2008. С. 57-72.

10. Хачатрян Х.А. Построение нетривиального решения одной системы нелинейных интегродифференциальных уравнений // Известия НАН Армении, математика. Т. 45, № 2. 2010. С. 6776.

11. Арабаджян Л.Г. Об одном интегральном уравнении переноса в неоднородной среде // Дифф. уравнения. Т. 23, № 9. 1987. С. 1618-1622.

12. Хачатрян Х.А. Разрешимость одного класса интегро-дифференциальных уравнений второго порядка с монотонной нелинейностью на полуоси // Известия РАН, сер. математическая. Т. 74, № 5. 2010. С. 191-204.

13. Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука Москва. 1981.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. "Наука Москва. 1977.

15. Геворкян Г.Г., Енгибарян Н.Б. Новые теоремы для интегрального уравнения восстановления // Известия НАН Армении, математика. Т. 32. № 1. 1997. С. 5-20.

Хачатур Агавардович Хачатрян,

Институт математики НАН Армении, пр. Баграмяна 24b ,

0019, г. Ереван, Армения E-mail: Khach82@rambler.ru