Научная статья на тему 'О некоторых нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с некомпактными операторами на положительной полупрямой'

О некоторых нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с некомпактными операторами на положительной полупрямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
169
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ / ОПЕРАТОР ГАММЕРШТЕЙНА / ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА / СХОДИМОСТЬ / МОНОТОННОСТЬ / INTEGRAL EQUATION / HAMMERSTEIN OPERATOR / SOBOLEV SPACE / CONVERGENCE / MONOTONICITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Броян Марине Фирдусовна, Хачатрян Хачатур Агавардович

Статья посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с некомпактными операторами Гаммерштейнского типа. Указанные уравнения имеют важное применение в кинетической теории газов и в теории распределения дохода в однопродуктовой экономике.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Броян Марине Фирдусовна, Хачатрян Хачатур Агавардович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On some nonlinear integral and integro-differential equations with noncompact operators on positive semi axis

The paper is devoted to the study of certain classes of nonlinear integral and integro-differential with non-compact Hammerstein type operators. These equations have important applications in kinetic theory of gases and in wealth distribution theory of one product economics

Текст научной работы на тему «О некоторых нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с некомпактными операторами на положительной полупрямой»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 31-42.

УДК 517.968.4+517.968.74

О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПОЛУПРЯМОЙ

М.Ф. БРОЯН, Х.А. ХАЧАТРЯН

Аннотация. Статья посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с некомпактными операторами Гаммерштейнского типа. Указанные уравнения имеют важное применение в кинетической теории газов и в теории распределения дохода в однопродуктовой экономике.

Ключевые слова: интегральное уравнение, оператор Гаммерштейна, пространство Соболева, сходимость, монотонность.

1. Введение

Работа посвящена вопросу разрешимости в определенных функциональных пространствах для следующих классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с некомпактным оператором типа Гаммерштейна-Винера-Хопфа:

СО СЮ

/ (х) = У К0(х — ¿)Ж0(^,/(¿))-£ + J К1(х + 1)М1(1,/(£))-£, х> 0 (1)

о о

СЮ СЮ

-^ + \<р(х) = J Т(х — Ь)И(¿,<^(£))-£ + У Т1(х + ¿)Я1(£, ^(¿))-£, х> 0, (2)

р(0) = 0 0 0 (3)

относительно искомых функций /(х) и <^(х) соответственно.

Указанные классы уравнений, кроме самостоятельного математического интереса, имеют непосредственное применение в кинетической теории газов (уравнение (1)), в эконометрике (задача (2)-(3)) (см. [1]-[4]).

В уравнении (1)

+ Ю

К0(х) > 0, х Е К, К0 Е L1(R) П ЬО(Е), / К0(х)-х = 1, (4)

K\(x) > 0, K\ = 0, / К\(т)dr ^ / К0(т)dr, x Е R+ = (0, +то).

M.F. Broyan, Kh.A. Khaohatryan, On some nonlinear integral and integro-differential equations with nonoompaot operators on positive semi axis.

© Броян М.Ф., Хачатрян Х.А. 2013.

Поступила 25 января 2012 г.

В задаче (2)-(3): Л — положительный числовой параметр уравнения (2), а ядра Т и Т1 удовлетворяют следующим условиям:

Т1(х) > 0, Т1 ф 0, х Е К+, Т1 Е ¿1(К+), (6)

T(x) > 0, x Е R, T Е Ll

T (x)dx = Л,

Ti(z)dz ^ / T(z)dz, x Е R+

v(T) ф tT(т)dr < — 1, I |т|jT(т)dr < +то, j = 1, 2.

N0, N1, Н и Н1— определенные на множестве К+ х К веществозначные функции, удовлетворяющие определенным условиям (см. Теоремы 1-3).

В линейном случае, когда Щ^,г) ф N1(t,z) ф г, изучению и решению уравнения (1) были посвящены многочисленные работы (см. [5]-[8] и ссылки в них).

1 _ 2

В случае, когда К0(х) = К1(х) = е х и Щ^,г) = ^^,г) = гр, р Е (0,1), урав-

\/п

нение (1) в связи с важным применением в р—адической теории струны исследовалось в работах (см. [9]-[12]).

В том случае, когда N0(t, z) ф G(z), N1 (t, z) ф Gl(z), Wt Е R+ (где G, G1 Е C[0, rj],

G(z) > z, Gl(z) > 0, z Е [0,n], G,Gl t на [0,n] и G(n) = Gl(n) = n при неко-

тором n > 0,) уравнение (1) исследовалось в работе [13], и там доказано существование положительного и ограниченного решения с пределом n в бесконечности.

В случае, когда N0(t, z) ф z — u(z), Nl(t, z) ф 0, а K0(—x) = K0(x), x > 0,

f |x|jK0(x)dx<+TO, j = 1, 2, где 0 ^ и l по z на [A, +ro), A> 0,

— ^

и Е C[A, +то) П Ll(0, +ro), в работе [14] было доказано существование однопараметрического семейства положительных решений с асимптотическим поведением O(x) при x ^ +то. В дальнейшем этот результат был обобщен сперва на случай v(K0) ^ 0, N0(t,z) ф ß(t)(z — и(t,z)), Nl(t,z) ф z (где 0 < ß(t) ^ 1, t Е R+, 1 — ^ Е Ll(R+), и(t,z) > 0, и(t,z) ^ u(z), (t,z) Е R+ x [A, +то), и l по z на [A, +ro)) в работах

[15, 16], а после этого, в случаях N0(t, z) ф ß(t)(G(z) — и(t, z)), Nl(t, z) ф Gl(z) в [17, 18].

Задача (2)-(3), в том случае, когда H(t,z) = G(z), Hl ф 0, сравнительно недавно была изучена в работе [19]. В [19] построено неотрицательное и монотонно возрастающее ненулевое решение из пространства Соболева Wl (R+).

В настоящей работе мы будем заниматься построением ненулевых и неотрицательных решений для уравнений (1) и (2) при совершенно других условиях на N0,Nl,H и Hl. Отметим также, что решение уравнения (1) при различных значениях v(K0) строится в пространствах Ll(R+) П L°,(R+) и L°,(R+) ф {p(x) : р Е L^(R+), lim p(x) = 0}, а

решение задачи (2)-(3) при условиях (6)-(9)-в пространстве Соболева Wll(R+).

2. Разрешимость уравнения (1) в случае отрицательности первого

момента ядра К0

Пусть для функций М0(г, г) и N1(1, г) существуют числа п > 0 и п0 Е (0, п), такие, что

1) Щ(Ь,г),^(Ь,г) | по г на [ФП0(Ь),п], при каждом фиксированном Ь Е К+, где

СЮ

фчо(*) = По j Кг(г)йт, Ь Е Е+. (10)

£

2) N0 и N1 удовлетворяют условию Каратеодори на множестве К+ х [0, п], по аргументу г. Это условие в дальнейшем вкратце запишем в следующем виде:

Щ,^ Е СатаЬг(Е+ х [0,п]), (11)

3) N0^, 0) = 0, N1^, 0) = 0, Ь Е Е+ (12)

4) 0 ^ N0^, г) ^ г, (Ь,г) Е Е+ х [ФЧо(Ь),п] (13)

5) Nl(t, фпо(Ь)) > ^, ЩЬ,П) < П. (14)

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть ядра К0 и К1 удовлетворяют условиям (4)-(5), причем

+ю +ю

V(К0)= / тК0(т)в,т < 0, / |т 1 К0(т)в,т < +то, ] = 1, 2. Тогда уравнение (1) в про-

— СЮ —СЮ

странстве Li(M+) П L0,(R+) имеет положительное решение.

Доказательство. Сперва рассмотрим интегральное уравнение Винера-Хопфа:

СЮ

S(x) = J K0(x — t)S(t)dt, x > 0 (15)

0

относительно искомой вещественной и измеримой функции S (x), ядро К0 которого удовлетворяет условиям теоремы 1.

Как известно (см.[20]), для уравнения (15) существует положительное и ограниченное решение со следующими свойствами:

S(x) > n(1 — Y+), S(x) I по x на R+ (16)

lim S(x) = п, (17)

Х^Ю

Ю

Y+ = J v+(x)dx Е (0,1). (18)

0

Здесь функции v±(x) > 0 v±(x) Е L1(R+)— определяются из нелинейных уравнений факторизации Н.Б. Енгибаряна:

Ю

v±(x) = K0(±x) + J %(t)v±(x + t)dt, x> 0, (19)

0

причем

Ю

Y- = J v-(x)dx =1, y+ Е (0,1). (20)

0

В недавней работе автора (см.[21]), в качестве вспомогательного утверждения, доказаны следующие дополнительные свойства функции Б(х) :

п — Б(х) Е 11 (К+) П ЬЮ(*+). (21)

п — Б(х) > п ! К0(т)в,т, х Е Е+. (22)

X

Включение (21) и неравенство (22) в дальнейших рассуждениях нам понадобятся. Теперь введем следующие последовательные приближения:

/0(х) = п — Б (х), (23)

24)

fn+1 = / Ко(x — t)No(t, fn(t))dt + / Ki(x + t)Ni(t, fn(t))dt, 00 n = 0,1, 2,..., x Е R+.

Индукцией по n докажем следующие свойства последовательности {fn(x) }Ю!=0 :

а) fn(x) | по n, b) fn(x) > Фпо(x), n = 0,1,2,.... (25)

Заметим, что из (22) с учетом того, что щ Е (0,п), непосредственно следует

Ю Ю

П > fo(x) > п J Ко(т)dr > по J Ki(t)dr = Ф^(x). (26)

ХХ

В силу свойств функций N0 и N1 с учетом (26), в (24) получим

Ю Ю

f1(x) = J K0(x — t)N0(t,n — S(t))dt + J K1(x + t)N1(t,n — S(t))dt ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

00 Ю Ю

K0(x — t)(n — S(t))dt + J K1(x + t)N1(t,n)dt ^

00 Х Ю Ю

^ П J K0(r)dr — J K0(x — t)S(t)dt + nj K1(r)dr ^ п — S(x) = f0(x),

—ю 0 x

Ю Ю

f1(x) > J K1 (x + t)N1(t,f0(t))dt > J K1(x + t)N1(t, Фпо(t))dt >

00

Ю

> п0 J K1(r)dr = Фпо (x).

Х

Предположим теперь, что ФПо(x) ^ fn(x) ^ fn—1(x) при некотором n Е N, x Е R+. Тогда, из (24) с учетом монотонности N0 и N1 и свойства (14), будем иметь:

Ю Ю

fn+1 (x) K0(x — t)N0(t,fn—1(t))dt + J K1(x + t)N1(t,fn—1(t))dt = fn(x),

00

Ю

fn+1 (x) > J K1(x + t)N1(t, Фпо(t))dt > Фпо(x).

0

Следовательно, последовательность функций {fn(x)}Ю=0 имеет поточечный предел, когда n ^ то : lim fn(x) = f (x).

n

Из условия (11), с учетом предельной теоремы Лебега (см.[22]), следует, что f (x) удовлетворяет уравнению (1). Кроме того, свойства (25) влекут следующие неравенства для предельной функции f (x) :

ФП0(x) ^ f (x) ^ п — S(x). (27)

Так как п — S(x) G Li(R+) П L^(R+), то из (27) получаем, что f (x) > 0, f G L1(R+) П L^(R+). Теорема доказана.

3. Разрешимость уравнения (1) в случае четного ядра К0

Теперь займемся решением уравнения (1) при других предположениях относительно функций N0 и N1, в случае, когда

К0(—x) = K0(x), x G R+. (28)

Имеет место

Теорема 2. Пусть для некоторой измеримой функции Q : R ^ R, ( и п— пер-

вые положительные корни уравнений Q(x) = 2x и Q(x) = x соответственно, причем

2( <п, Q G C[0,п], Q(x) Т по x на [0,п]. Предположим, что

a) 0 ^ N0(t, z) ^ п — Q(n — z), при (t, z) G R+ x [0, п],

b) N0,N1 G Caratz(R+ x [0,п]),

c) N0,N1 Т по z на отрезке [0,п] при каждом фиксированном t G R+,

d) существует щ G (0,п), такое что

N1(t, фпо(t)) > п0, Nl(t,п) > п.

Тогда при условях (4), (5), (28) уравнение (1) в пространстве Ь°, (К+) имеет положительное решение

Доказательство. Сначала рассмотрим следующее вспомогательное нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейновского типа:

Ю

^(x) = J K0(x — t)Q(^(t))dt, x Е R+ (29)

0

относительно искомой функции ^>(x). Введем следующие итерации:

Ю

фn+l(x) = J K0(x — t)Q(i>n(t))dt, i>0(x) = п, n = 0,1, 2,... (30)

0

В силу свойств функций Q и K0 индукцией по n нетрудно убедиться, что

^n(x) | по n, ^n(x) > Z, n = 0,1, 2,..., x Е R+.

Следовательно, последовательность функций {'0n(x)}Ю=o имеет поточечный предел: lim ^n(x) = 4,(x), причем предельная функция по теореме Б. Леви будет удовлетворять

n—— <Ю

уравнению (29) и соотношению

Z ^ ^(x) ^ п, x Е R+. (31)

Индукцией также можно доказать, что

^n(x) I по x на R+, n = 0,1,2,..., (32)

если итерации (30) записать в следующем виде:

Х

i>n+1(x)= [ K0(r)Q(i>n(x — r))dr, ^(x) ф п, n = 0,1, 2,.... (33)

Следовательно, с учетом (32) получаем, что

^>(x) | по x на R+. (34)

Таким образом, в силу (31) и (34) можем утверждать, что существует

lim ^(x) ф п* ^ п, п* > 0. (35)

Х — Ю

В обеих частях в (29), переходя к пределу когда x ^ то, с использованием известного свойства операций в свертках, с учетом формулы (4) получим п* = Q(^). Так как п— первый положительный корень уравнения Q(x) = x и 0 < п* ^ п, то п* = п. Следовательно,

0 ^ п — Ф Е L°x(R+). (36)

Теперь докажем следующее вспомогательное неравенство:

п — ф(x) > п J K0(r)dr, x Е R+.

Х

Из (29), с учетом (4) и свойств функции Q имеем

Ю Ю Х

п — t^(x) = п — J K0(x — t)Q^(t))dt = K0(r)dr + п j K0(r)dr—

(37)

— / K0(x — = W Äo(t)dr + i K0(x — t)(Q(n) — Q{4’(t)))dt > W K0(t)dt.

0 х 0 х

Теперь для уравнения (1) рассмотрим следующие итерации:

fn+1 (x) = / K0(x — t)N)(t, fn(t))dt + / K1(x + t)N^t, f(t))dt, 00 f0(x) = ФП0(x), n = 0,1, 2,... x Е R+.

Сперва по индукции докажем, что

fn(x) I по n.

Так как

Ю Ю

0 ^ f0(x) ^ п J K1(z)dz ^ п J K0(z)dz,

ХХ

то

Ю

f1 (x) > J K1(x + t)N1(t, f0(t))dt > Фпо (x) ф fa(x),

0

Ю Ю Х

f1(x) K0(x — t)No(t,n)dt + J K1(x + t)Nl(t,n)dt ^ п J K0(r)dr+

0 0 —Ю

(38)

(39)

(40)

+п K1(r)dr ^ п.

Предполагая, что п > ¡п(х) > ¡п-1(х) при некотором п € М, из (38), в силу условий е) и будем иметь:

СЮ СЮ

¡п+\(х) > ! Ко(х — Ь)Мо(Ь,/п-1(Ь))& + J К\(х + ЬЩ^/п-гШЬ = ¡п(х) о о

и

Ю Ю

¡п+\(х) Ко(х — Ь)Мо(Ь,г])сИ + ! К\(х + г)М1(г,п)(М ^ п.

оо Теперь убедимся в справедливости следующего неравенства

/п(х) ^ п — Ф(х), п = 0,1, 2,..., х € Е+. (41)

Действительно, при п = 0— (41) сразу следует из (37). Пусть /п(х) ^ п — Ф(х) при некотором п € N. Тогда из (38), с учетом условий а) и ^ теоремы 2, получим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ю Ю

¡п+\(х) ^ I Ко(х — ь)щ(ь,п — Ф(ь))& + I К\(х + ь)^(ь,п — Ф(ь))м ^

Ko(x — t)(n — Q(^(t)))dt + J Ki(x + t)Ni(t,n)dt ^

0 0

X СЮ

^ П J K0(t)dr — ф(х) + n j K1 (t)dr ^ n — ф(х).

— Ю x

Следовательно, из (40) и (41) получаем поточечную сходимость последовательности {fn(x)}m= о '■ lim fn(x) = f (x), причем

П^Ю

0 ^ ФП0(x) ^ f (x) ^ n — Ф(x) € L°^R+), x > 0. (42)

По теореме Б. Леви f (x) удовлетворяет уравнению (1). Из (42) следует, что f € L^(R+). Теорема доказана.

Замечание 1. Результаты теоремы 2 остаются в силе, если вместо условия (28) потре-

о 1

бовать более слабое условие: K0 (r)dr > -.

_2

4. Примеры Функций ^^1 и Q

Ниже приведем несколько примеров функций Мо, N1 и Q в зависимости от условий выше доказанных теорем.

Примеры для теоремы 1.

I) N<3(1, г) = Н(Ь,г)!Я(г), где функция Н— непрерывна по совокупности своих аргументов на множестве М+ х [0,п], 0 ^ Н(Ь,г) ^ 1, (Ь,г) € К+ х [0,п], Н |

по г на [0,п], N € С[0,п], N | по г на [0,п], 0 ^ N (г) ^ г, г € [0,п]. В

качестве функций Н и N можно выбрать следующие примеры:

• Н(Ь, г) = ге-г ■ вгпН, N (г) = гр, р > 1, п = 1.

• Н(Ь,г) = пе п-1, N (г) = вгпг.

ах

^ х) = х + (а -1)%о (г), п>а> по > 0 <43а)

ах 1

N1(1, х) = —гт^----------------------1и + о 1 хр, Р> 1, п — 2а, а > По. (43Ь)

^ По

Примеры для теоремы 2.

III) (Э(х) = -£г, а е (0,1)

х + (По - 1)фпо(г) ' 2пр-1 /

IV) Q(z) = пеп

V) Q(z) = /хех-1, п =1

Т,п (П - - х))в

VI) Щ(г,/) =-----------------, в - 1

VII) Ио(г, х) = вги(п - Q(п - /))

В качестве Ы1(г,х) в теореме 2 можно рассматривать примеры (43а) и (43Ь).

5. О разрешимости задачи (2)-(3) в пространстве Соболева (М+)

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть функция Н(г,х) в уравнении (2) удовлетворяет всем условиям функции Щ(г, х) теоремы 1, а Н1(г, х) — определенная на множестве М+ х М вещественная функция, причем существуют положительные числа п > 0, п0 е (0,п), С е (0, ^), в е (0,1) такие, что

г1) Н1(г,&°о(г)) — по, Н1(г,п) < п, (44)

где

СЮ

11

Р0о(г) = по ] Tl(z)dz, а = —1и 1 - ^ (45)

1+0

г2) Н1(г, 0) ф 0, Н1 е Сагагг(М+ х [0,п]). (46)

г3) Н1(г,х) | по х на [0,п] при каждом фиксированном г е М+.

Тогда при условях (6)-(9) задача (2)-(3) в пространстве Соболева Ш1(К+) имеет неотрицательное и нетривиальное решение.

Доказательство. Введем следующую функцию:

СЮ

Ко(х)=1е-А*т(х -хНх'х е М (47)

о

В силу теоремы Фубини, функция К0(х) обладает следующими "замечательными" свойствами:

+ Ю

К0(х) — 0, J K0(x)dx = 1, К0 е Ь1(М) П £Ю(М), (48)

V(К0) < 0, I т2К0(т)dт < +то. (49)

Докажем справедливость следующего неравенства для х е М+ :

Ю СЮ

J K0(t)dt — — У Т(t)dt, х е М+. (50)

X X

Имеем

Ю ЮЮ Ю Ю

J K0(t)dt = ! J е—ХхТ^ — z)dzdt = J е—Хх J Т^ — z)dtdz =

х х 0 0 х

СЮ СЮ Ю

= J е—Хх У Т(y)dydz — — У Т(t)dt.

0 х—х х

Рассмотрим однородное уравнение Винера-Хопфа:

Ю

Б(х) = J К0(х — ^Б(t)dt, х е М+ (51)

о

с ядром вида (47). Как уже было отмечено из (48), (49) следует существование положительного решения со свойствами (16), (17), (21), (22).

Обозначим через

Г (х) = ~т + Мх). (52)

dx

Тогда уравнение (2)(с начальным условием (3)) примет следующий вид:

ю / £

Г(х) = [ Т(х — {)Н | t, [ е—х(£—т^ Г(т)dт I dt+

(53)

+ j Т1(х + ^Н1 | t, I е х(£ т^Г(т)dт | dt, х е М+. Рассмотрим следующие итерации:

Гп+1(х) = Т(х - ^Н ( t, е х(£ т')Гп(т)dт I dt+

(х) = Т(х

о \ о

го / £

+ Т1(х + {)Н1 I t, е х(£ т^Еп(т)dт I dt

(54)

(х + t)nl I t, J е оо

Го(х) = Х(п - Б (х)), и = 0,1, 2,..., х е М+.

Ниже докажем, что

31) Гп(х) I по и, (55)

32) Гп(х) — р0о (х), и = 0,1,2,..., х е М+. (56) В силу (22) и (50) имеем

Ю Ю Ю

Го(х) = Х(п - Б(х)) — Хп K0(t)dt — п Т(t)dt — п Т^^ —

— по J Т^^ = Р0о (х).

х+о

Отсюда, в частности, следует также, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Р1 (х) ^ Хп, х е М+. Используя свойства функций Н, Н1 , Т и Т1 , будем иметь:

СЮ

t

Fi(x) ^ J T(x — t)H ( t, n — А I e x(t T)S(t)dr | dt + j Ti(x + t)Hi(t, n)dt ^

СЮ

n — AI e

0

ю t

^ П T(x — t)dt — A T(x — t) e x(t T\S(t)dTdt + n T1(z)dz ^

^ An — A K0(x — t)S(t)dT = A(n — S(x)) = F0(x).

Пусть Гп(х) — р0 (х) при некотором и е N.

Тогда, с учетом (44), (45), г3) и монотонности Н^,х), из (54) получим

ю / £

Гп+1(х) — ! Т(х - ^Н и, J е—х(г—т)р0о (т^т I dt+

оо

+ I Т1(х + Ь)Н1 ( t, [ е—х(г—т)р(01о(т)dт 1 dt —

> / Ti(x + t)Hi ( t, e x(t T^pZ0(t)dT I dt >

1 ll,]e Pno'

0

( t

> / Ti(x + t)Hi

> / Ti(x + t)Hi

\

Ъ J e X(t T]Pvo (T)dT

\ (i-d)a )

( - \

t,Pl0 (t) i e-x(a - T)dT

\

(i-0)a

dt

dt

> I Ti(x + t)HA t,pa (t) ——e----------------------1 ) dt

A

Ti(x + t)Hi {t,Cp^0(t)) dt > По Ti(V)dV = P-0(x).

x+a

Пусть Fn(x) ^ Fn-i(x) при некотором n E N. Тогда из монотонности H и Hi сразу следует, что Fn+i ^ Fn. Следовательно, существует

lim Fn(x) = F(x), (58)

причем F(x)— удовлетворяет уравнению (53) и оценкам

р;(x) ^ F(x) ^ A(n — s(x)) E Li(R+) П Ь°ю(Ш+). Из (59) следует,что F E Li(R+) П L^(R+).

t

Решая следующую простейшую задачу Коши:

dX + Мх) = F{x), х Є R+ (60)

т = о

приходим к завершению доказательства. Теорема доказана. Замечание 2. Поскольку решение задачи (60) имеет вид

X

ф) = [ е—х(х—£)Г(Ь^Ь,

о

то из (59) для '-р(х) получаем следующую двойную оценку:

X X

1е—Чх—,)р°т * *(х) * Х1е—Чх—,){п - 3№

о о

В конце работы приведем два примера Н1(Ь, г) :

аг

1 ^ ]= г + (- -1)^ (Ь)' ’<>а>’<° > 0

аг 1

2) Н1(Ь, г) =----—------г-- +------- гр, р > 1, п — 2а, а > п0.

1 г + (а - 1)юк (ь) 2,г1 ■ р • 1 - ’ 10

В заключение выражаем благодарность проф. Н.Б. Енгибаряну и проф. В.Н. Маргаряну за полезные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Москва Изд."Наука"1962г, 440 с.

2. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О точной линеаризации задач скольжения разреженного газа в БГК модели // ТМФ. T. 119, №2. 2000. C. 339-342.

3. I.D. Sargan The distribution of wealt. Econometrics // 1957. V. 25, №4. P. 568-590.

4. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. Об одном интегро-дифференциальном уравнении в задаче распределения богатства Саны // Экономика и математические методы, ЦЭМИ РАН. 2009. T. 45,№4. C. 84-96.

5. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М. Изд."Наука". 1978. 295 с.

6. Енгибарян Б.Н. Применение многократной факторизации к однородному уравнению свертки // Известия НАН Армении, Математика. 1997. T. 32,№1. C. 38-48.

7. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории // ЖВМ и МФ. 1998. Т. 38, №3. С. 466-482.

8. Енгибарян Н.Б., Арабаджян Л.Г. О некоторых задачах факторизации для интегральных операторов типа свертки // Дифф.уравнения. 1990. Т. 26, №1, С. 1442-1452.

9. Владимиров В.С. Об уравнении p -адической открытой Суны для скалярного поля тахинов // Известия РАН, сер.матем., 2005. Т. 69, №3. С. 55-80.

10. V.S. Vladimirov, Y.I. Volovich Nonlinear Dynamics equation in p-adic string theory // Theoretical and Mathematical physics. 2004. V. 138, №3. P. 355-368.

11. P.H. Framton, Y. Okada Effective scalar field theory of p-adic string // Phys. Rev. D. 2004. V. 37, №10. P. 3077-3079.

12. V.S. Vladimirov The equation of p-adic closed string for the scalar tachyon field // Science in China, ser.A, Mathematics. 2008. V. 51, №4. P. 754-764.

13. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On convolution type nonlinear integral equations, containing singular and discrete probability distributions // Advances and Applications in Mathematical Sciences. India. 2010. V.5, №1, P. 1-16.

14. Арабаджян Л.Г. Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна // Известия НАН Армении, Математика. 1997. Т. 32, №1. С. 21-28.

15. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On solvability of one class Hammerstein nonlinear integral equations // Buletinul Academiei Stinte a Republici Moldova, Mathematica. 2010. V. 63, №2. P. 67-83.

16. Хачатрян Х.А. Существование и асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегральных уравнений Урысона на полуоси // Вестник РАУ. 2009. Т. 3, №2. С.15-25.

17. Хачатрян Х.А. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений с некомпактным оператором // Известия НАН Армении, Математика. 2011. Т. 46, №2. С.71-86.

18. Хачатрян Х.А. Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью // Известия РАН, сер.Математическая. 2012. Т. 76, №1. С. 173-200.

19. Хачатрян Х.А., Хачатрян Э.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с некомпактным оператором // Известия Вузов, Математика. 2011. Т. 54, №1. С. 91-100.

20. Арабаджян Л.Г., Енгибарян Н.Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения. Итоги науки и техники // Математический анализ. 1984. T. 22. C. 175-242.

21. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On Solvability of a nonlinear problem in theoty of income distribution // Eurasian Math. J. 2011. V. 2, №2. P. 75-88.

22. Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, "Наука". 1981. 544 c.

Марине Фирдусовна Броян,

Армянский Гос.Агр.Университета, ул. Ул. Теряна 74,

0019, г. Ереван

E-mail: Broyan@rambler.ru

Хачатур Агавардович Хачатрян,

Институт Математики НАН Армении,

Проспект Маршала Баграмяна 24/5,

0019, г. Ереван

E-mail: Khach82@rambler.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.