О некоторых нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с некомпактными операторами на положительной полупрямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 2 (2013). С. 31-42.

УДК 517.968.4+517.968.74

О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ НА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ПОЛУПРЯМОЙ

М.Ф. БРОЯН, Х.А. ХАЧАТРЯН

Аннотация. Статья посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с некомпактными операторами Гаммерштейнского типа. Указанные уравнения имеют важное применение в кинетической теории газов и в теории распределения дохода в однопродуктовой экономике.

Ключевые слова: интегральное уравнение, оператор Гаммерштейна, пространство Соболева, сходимость, монотонность.

1. Введение

Работа посвящена вопросу разрешимости в определенных функциональных пространствах для следующих классов нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с некомпактным оператором типа Гаммерштейна-Винера-Хопфа:

СО СЮ

/ (х) = У К0(х — ¿)Ж0(^,/(¿))-£ + J К1(х + 1)М1(1,/(£))-£, х> 0 (1)

о о

СЮ СЮ

-^ + \<р(х) = J Т(х — Ь)И(¿,<^(£))-£ + У Т1(х + ¿)Я1(£, ^(¿))-£, х> 0, (2)

р(0) = 0 0 0 (3)

относительно искомых функций /(х) и <^(х) соответственно.

Указанные классы уравнений, кроме самостоятельного математического интереса, имеют непосредственное применение в кинетической теории газов (уравнение (1)), в эконометрике (задача (2)-(3)) (см. [1]-[4]).

В уравнении (1)

+ Ю

К0(х) > 0, х Е К, К0 Е L1(R) П ЬО(Е), / К0(х)-х = 1, (4)

K\(x) > 0, K\ = 0, / К\(т)dr ^ / К0(т)dr, x Е R+ = (0, +то).

M.F. Broyan, Kh.A. Khaohatryan, On some nonlinear integral and integro-differential equations with nonoompaot operators on positive semi axis.

© Броян М.Ф., Хачатрян Х.А. 2013.

Поступила 25 января 2012 г.

В задаче (2)-(3): Л — положительный числовой параметр уравнения (2), а ядра Т и Т1 удовлетворяют следующим условиям:

Т1(х) > 0, Т1 ф 0, х Е К+, Т1 Е ¿1(К+), (6)

T(x) > 0, x Е R, T Е Ll

T (x)dx = Л,

Ti(z)dz ^ / T(z)dz, x Е R+

v(T) ф tT(т)dr < — 1, I |т|jT(т)dr < +то, j = 1, 2.

N0, N1, Н и Н1— определенные на множестве К+ х К веществозначные функции, удовлетворяющие определенным условиям (см. Теоремы 1-3).

В линейном случае, когда Щ^,г) ф N1(t,z) ф г, изучению и решению уравнения (1) были посвящены многочисленные работы (см. [5]-[8] и ссылки в них).

1 _ 2

В случае, когда К0(х) = К1(х) = е х и Щ^,г) = ^^,г) = гр, р Е (0,1), урав-

\/п

нение (1) в связи с важным применением в р—адической теории струны исследовалось в работах (см. [9]-[12]).

В том случае, когда N0(t, z) ф G(z), N1 (t, z) ф Gl(z), Wt Е R+ (где G, G1 Е C[0, rj],

G(z) > z, Gl(z) > 0, z Е [0,n], G,Gl t на [0,n] и G(n) = Gl(n) = n при неко-

тором n > 0,) уравнение (1) исследовалось в работе [13], и там доказано существование положительного и ограниченного решения с пределом n в бесконечности.

В случае, когда N0(t, z) ф z — u(z), Nl(t, z) ф 0, а K0(—x) = K0(x), x > 0,

f |x|jK0(x)dx<+TO, j = 1, 2, где 0 ^ и l по z на [A, +ro), A> 0,

— ^

и Е C[A, +то) П Ll(0, +ro), в работе [14] было доказано существование однопараметрического семейства положительных решений с асимптотическим поведением O(x) при x ^ +то. В дальнейшем этот результат был обобщен сперва на случай v(K0) ^ 0, N0(t,z) ф ß(t)(z — и(t,z)), Nl(t,z) ф z (где 0 < ß(t) ^ 1, t Е R+, 1 — ^ Е Ll(R+), и(t,z) > 0, и(t,z) ^ u(z), (t,z) Е R+ x [A, +то), и l по z на [A, +ro)) в работах

[15, 16], а после этого, в случаях N0(t, z) ф ß(t)(G(z) — и(t, z)), Nl(t, z) ф Gl(z) в [17, 18].

Задача (2)-(3), в том случае, когда H(t,z) = G(z), Hl ф 0, сравнительно недавно была изучена в работе [19]. В [19] построено неотрицательное и монотонно возрастающее ненулевое решение из пространства Соболева Wl (R+).

В настоящей работе мы будем заниматься построением ненулевых и неотрицательных решений для уравнений (1) и (2) при совершенно других условиях на N0,Nl,H и Hl. Отметим также, что решение уравнения (1) при различных значениях v(K0) строится в пространствах Ll(R+) П L°,(R+) и L°,(R+) ф {p(x) : р Е L^(R+), lim p(x) = 0}, а

решение задачи (2)-(3) при условиях (6)-(9)-в пространстве Соболева Wll(R+).

2. Разрешимость уравнения (1) в случае отрицательности первого

момента ядра К0

Пусть для функций М0(г, г) и N1(1, г) существуют числа п > 0 и п0 Е (0, п), такие, что

1) Щ(Ь,г),^(Ь,г) | по г на [ФП0(Ь),п], при каждом фиксированном Ь Е К+, где

СЮ

фчо(*) = По j Кг(г)йт, Ь Е Е+. (10)

£

2) N0 и N1 удовлетворяют условию Каратеодори на множестве К+ х [0, п], по аргументу г. Это условие в дальнейшем вкратце запишем в следующем виде:

Щ,^ Е СатаЬг(Е+ х [0,п]), (11)

3) N0^, 0) = 0, N1^, 0) = 0, Ь Е Е+ (12)

4) 0 ^ N0^, г) ^ г, (Ь,г) Е Е+ х [ФЧо(Ь),п] (13)

5) Nl(t, фпо(Ь)) > ^, ЩЬ,П) < П. (14)

Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть ядра К0 и К1 удовлетворяют условиям (4)-(5), причем

+ю +ю

V(К0)= / тК0(т)в,т < 0, / |т 1 К0(т)в,т < +то, ] = 1, 2. Тогда уравнение (1) в про-

— СЮ —СЮ

странстве Li(M+) П L0,(R+) имеет положительное решение.

Доказательство. Сперва рассмотрим интегральное уравнение Винера-Хопфа:

СЮ

S(x) = J K0(x — t)S(t)dt, x > 0 (15)

0

относительно искомой вещественной и измеримой функции S (x), ядро К0 которого удовлетворяет условиям теоремы 1.

Как известно (см.[20]), для уравнения (15) существует положительное и ограниченное решение со следующими свойствами:

S(x) > n(1 — Y+), S(x) I по x на R+ (16)

lim S(x) = п, (17)

Х^Ю

Ю

Y+ = J v+(x)dx Е (0,1). (18)

0

Здесь функции v±(x) > 0 v±(x) Е L1(R+)— определяются из нелинейных уравнений факторизации Н.Б. Енгибаряна:

Ю

v±(x) = K0(±x) + J %(t)v±(x + t)dt, x> 0, (19)

0

причем

Ю

Y- = J v-(x)dx =1, y+ Е (0,1). (20)

0

В недавней работе автора (см.[21]), в качестве вспомогательного утверждения, доказаны следующие дополнительные свойства функции Б(х) :

п — Б(х) Е 11 (К+) П ЬЮ(*+). (21)

п — Б(х) > п ! К0(т)в,т, х Е Е+. (22)

X

Включение (21) и неравенство (22) в дальнейших рассуждениях нам понадобятся. Теперь введем следующие последовательные приближения:

/0(х) = п — Б (х), (23)

24)

fn+1 = / Ко(x — t)No(t, fn(t))dt + / Ki(x + t)Ni(t, fn(t))dt, 00 n = 0,1, 2,..., x Е R+.

Индукцией по n докажем следующие свойства последовательности {fn(x) }Ю!=0 :

а) fn(x) | по n, b) fn(x) > Фпо(x), n = 0,1,2,.... (25)

Заметим, что из (22) с учетом того, что щ Е (0,п), непосредственно следует

Ю Ю

П > fo(x) > п J Ко(т)dr > по J Ki(t)dr = Ф^(x). (26)

ХХ

В силу свойств функций N0 и N1 с учетом (26), в (24) получим

Ю Ю

f1(x) = J K0(x — t)N0(t,n — S(t))dt + J K1(x + t)N1(t,n — S(t))dt ^

00 Ю Ю

K0(x — t)(n — S(t))dt + J K1(x + t)N1(t,n)dt ^

00 Х Ю Ю

^ П J K0(r)dr — J K0(x — t)S(t)dt + nj K1(r)dr ^ п — S(x) = f0(x),

—ю 0 x

Ю Ю

f1(x) > J K1 (x + t)N1(t,f0(t))dt > J K1(x + t)N1(t, Фпо(t))dt >

00

Ю

> п0 J K1(r)dr = Фпо (x).

Х

Предположим теперь, что ФПо(x) ^ fn(x) ^ fn—1(x) при некотором n Е N, x Е R+. Тогда, из (24) с учетом монотонности N0 и N1 и свойства (14), будем иметь:

Ю Ю

fn+1 (x) K0(x — t)N0(t,fn—1(t))dt + J K1(x + t)N1(t,fn—1(t))dt = fn(x),

00

Ю

fn+1 (x) > J K1(x + t)N1(t, Фпо(t))dt > Фпо(x).

0

Следовательно, последовательность функций {fn(x)}Ю=0 имеет поточечный предел, когда n ^ то : lim fn(x) = f (x).

n

Из условия (11), с учетом предельной теоремы Лебега (см.[22]), следует, что f (x) удовлетворяет уравнению (1). Кроме того, свойства (25) влекут следующие неравенства для предельной функции f (x) :

ФП0(x) ^ f (x) ^ п — S(x). (27)

Так как п — S(x) G Li(R+) П L^(R+), то из (27) получаем, что f (x) > 0, f G L1(R+) П L^(R+). Теорема доказана.

3. Разрешимость уравнения (1) в случае четного ядра К0

Теперь займемся решением уравнения (1) при других предположениях относительно функций N0 и N1, в случае, когда

К0(—x) = K0(x), x G R+. (28)

Имеет место

Теорема 2. Пусть для некоторой измеримой функции Q : R ^ R, ( и п— пер-

вые положительные корни уравнений Q(x) = 2x и Q(x) = x соответственно, причем

2( <п, Q G C[0,п], Q(x) Т по x на [0,п]. Предположим, что

a) 0 ^ N0(t, z) ^ п — Q(n — z), при (t, z) G R+ x [0, п],

b) N0,N1 G Caratz(R+ x [0,п]),

c) N0,N1 Т по z на отрезке [0,п] при каждом фиксированном t G R+,

d) существует щ G (0,п), такое что

N1(t, фпо(t)) > п0, Nl(t,п) > п.

Тогда при условях (4), (5), (28) уравнение (1) в пространстве Ь°, (К+) имеет положительное решение

Доказательство. Сначала рассмотрим следующее вспомогательное нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейновского типа:

Ю

^(x) = J K0(x — t)Q(^(t))dt, x Е R+ (29)

0

относительно искомой функции ^>(x). Введем следующие итерации:

Ю

фn+l(x) = J K0(x — t)Q(i>n(t))dt, i>0(x) = п, n = 0,1, 2,... (30)

0

В силу свойств функций Q и K0 индукцией по n нетрудно убедиться, что

^n(x) | по n, ^n(x) > Z, n = 0,1, 2,..., x Е R+.

Следовательно, последовательность функций {'0n(x)}Ю=o имеет поточечный предел: lim ^n(x) = 4,(x), причем предельная функция по теореме Б. Леви будет удовлетворять

n—— <Ю

уравнению (29) и соотношению

Z ^ ^(x) ^ п, x Е R+. (31)

Индукцией также можно доказать, что

^n(x) I по x на R+, n = 0,1,2,..., (32)

если итерации (30) записать в следующем виде:

Х

i>n+1(x)= [ K0(r)Q(i>n(x — r))dr, ^(x) ф п, n = 0,1, 2,.... (33)

Следовательно, с учетом (32) получаем, что

^>(x) | по x на R+. (34)

Таким образом, в силу (31) и (34) можем утверждать, что существует

lim ^(x) ф п* ^ п, п* > 0. (35)

Х — Ю

В обеих частях в (29), переходя к пределу когда x ^ то, с использованием известного свойства операций в свертках, с учетом формулы (4) получим п* = Q(^). Так как п— первый положительный корень уравнения Q(x) = x и 0 < п* ^ п, то п* = п. Следовательно,

0 ^ п — Ф Е L°x(R+). (36)

Теперь докажем следующее вспомогательное неравенство:

п — ф(x) > п J K0(r)dr, x Е R+.

Х

Из (29), с учетом (4) и свойств функции Q имеем

Ю Ю Х

п — t^(x) = п — J K0(x — t)Q^(t))dt = K0(r)dr + п j K0(r)dr—

0Х

(37)

— / K0(x — = W Äo(t)dr + i K0(x — t)(Q(n) — Q{4’(t)))dt > W K0(t)dt.

0 х 0 х

Теперь для уравнения (1) рассмотрим следующие итерации:

fn+1 (x) = / K0(x — t)N)(t, fn(t))dt + / K1(x + t)N^t, f(t))dt, 00 f0(x) = ФП0(x), n = 0,1, 2,... x Е R+.

Сперва по индукции докажем, что

fn(x) I по n.

Так как

Ю Ю

0 ^ f0(x) ^ п J K1(z)dz ^ п J K0(z)dz,

ХХ

то

Ю

f1 (x) > J K1(x + t)N1(t, f0(t))dt > Фпо (x) ф fa(x),

0

Ю Ю Х

f1(x) K0(x — t)No(t,n)dt + J K1(x + t)Nl(t,n)dt ^ п J K0(r)dr+

0 0 —Ю

(38)

(39)

(40)

+п K1(r)dr ^ п.

Предполагая, что п > ¡п(х) > ¡п-1(х) при некотором п € М, из (38), в силу условий е) и будем иметь:

СЮ СЮ

¡п+\(х) > ! Ко(х — Ь)Мо(Ь,/п-1(Ь))& + J К\(х + ЬЩ^/п-гШЬ = ¡п(х) о о

и

Ю Ю

¡п+\(х) Ко(х — Ь)Мо(Ь,г])сИ + ! К\(х + г)М1(г,п)(М ^ п.

оо Теперь убедимся в справедливости следующего неравенства

/п(х) ^ п — Ф(х), п = 0,1, 2,..., х € Е+. (41)

Действительно, при п = 0— (41) сразу следует из (37). Пусть /п(х) ^ п — Ф(х) при некотором п € N. Тогда из (38), с учетом условий а) и ^ теоремы 2, получим

Ю Ю

¡п+\(х) ^ I Ко(х — ь)щ(ь,п — Ф(ь))& + I К\(х + ь)^(ь,п — Ф(ь))м ^

Ko(x — t)(n — Q(^(t)))dt + J Ki(x + t)Ni(t,n)dt ^

0 0

X СЮ

^ П J K0(t)dr — ф(х) + n j K1 (t)dr ^ n — ф(х).

— Ю x

Следовательно, из (40) и (41) получаем поточечную сходимость последовательности {fn(x)}m= о '■ lim fn(x) = f (x), причем

П^Ю

0 ^ ФП0(x) ^ f (x) ^ n — Ф(x) € L°^R+), x > 0. (42)

По теореме Б. Леви f (x) удовлетворяет уравнению (1). Из (42) следует, что f € L^(R+). Теорема доказана.

Замечание 1. Результаты теоремы 2 остаются в силе, если вместо условия (28) потре-

о 1

бовать более слабое условие: K0 (r)dr > -.

_2

4. Примеры Функций ^^1 и Q

Ниже приведем несколько примеров функций Мо, N1 и Q в зависимости от условий выше доказанных теорем.

Примеры для теоремы 1.

I) N<3(1, г) = Н(Ь,г)!Я(г), где функция Н— непрерывна по совокупности своих аргументов на множестве М+ х [0,п], 0 ^ Н(Ь,г) ^ 1, (Ь,г) € К+ х [0,п], Н |

по г на [0,п], N € С[0,п], N | по г на [0,п], 0 ^ N (г) ^ г, г € [0,п]. В

качестве функций Н и N можно выбрать следующие примеры:

• Н(Ь, г) = ге-г ■ вгпН, N (г) = гр, р > 1, п = 1.

• Н(Ь,г) = пе п-1, N (г) = вгпг.

ах

^ х) = х + (а -1)%о (г), п>а> по > 0 <43а)

ах 1

N1(1, х) = —гт^----------------------1и + о 1 хр, Р> 1, п — 2а, а > По. (43Ь)

^ По

Примеры для теоремы 2.

III) (Э(х) = -£г, а е (0,1)

/р

х + (По - 1)фпо(г) ' 2пр-1 /

IV) Q(z) = пеп

V) Q(z) = /хех-1, п =1

Т,п (П - - х))в

VI) Щ(г,/) =-----------------, в - 1

VII) Ио(г, х) = вги(п - Q(п - /))

В качестве Ы1(г,х) в теореме 2 можно рассматривать примеры (43а) и (43Ь).

5. О разрешимости задачи (2)-(3) в пространстве Соболева (М+)

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть функция Н(г,х) в уравнении (2) удовлетворяет всем условиям функции Щ(г, х) теоремы 1, а Н1(г, х) — определенная на множестве М+ х М вещественная функция, причем существуют положительные числа п > 0, п0 е (0,п), С е (0, ^), в е (0,1) такие, что

г1) Н1(г,&°о(г)) — по, Н1(г,п) < п, (44)

где

СЮ

11

Р0о(г) = по ] Tl(z)dz, а = —1и 1 - ^ (45)

1+0

г2) Н1(г, 0) ф 0, Н1 е Сагагг(М+ х [0,п]). (46)

г3) Н1(г,х) | по х на [0,п] при каждом фиксированном г е М+.

Тогда при условях (6)-(9) задача (2)-(3) в пространстве Соболева Ш1(К+) имеет неотрицательное и нетривиальное решение.

Доказательство. Введем следующую функцию:

СЮ

Ко(х)=1е-А*т(х -хНх'х е М (47)

о

В силу теоремы Фубини, функция К0(х) обладает следующими "замечательными" свойствами:

+ Ю

К0(х) — 0, J K0(x)dx = 1, К0 е Ь1(М) П £Ю(М), (48)

-Ю

+Ю

V(К0) < 0, I т2К0(т)dт < +то. (49)

Докажем справедливость следующего неравенства для х е М+ :

Ю СЮ

J K0(t)dt — — У Т(t)dt, х е М+. (50)

X X

Имеем

Ю ЮЮ Ю Ю

J K0(t)dt = ! J е—ХхТ^ — z)dzdt = J е—Хх J Т^ — z)dtdz =

х х 0 0 х

СЮ СЮ Ю

= J е—Хх У Т(y)dydz — — У Т(t)dt.

0 х—х х

Рассмотрим однородное уравнение Винера-Хопфа:

Ю

Б(х) = J К0(х — ^Б(t)dt, х е М+ (51)

о

с ядром вида (47). Как уже было отмечено из (48), (49) следует существование положительного решения со свойствами (16), (17), (21), (22).

Обозначим через

Г (х) = ~т + Мх). (52)

dx

Тогда уравнение (2)(с начальным условием (3)) примет следующий вид:

ю / £

Г(х) = [ Т(х — {)Н | t, [ е—х(£—т^ Г(т)dт I dt+

(53)

+ j Т1(х + ^Н1 | t, I е х(£ т^Г(т)dт | dt, х е М+. Рассмотрим следующие итерации:

Гп+1(х) = Т(х - ^Н ( t, е х(£ т')Гп(т)dт I dt+

(х) = Т(х

о \ о

го / £

+ Т1(х + {)Н1 I t, е х(£ т^Еп(т)dт I dt

(54)

(х + t)nl I t, J е оо

Го(х) = Х(п - Б (х)), и = 0,1, 2,..., х е М+.

Ниже докажем, что

31) Гп(х) I по и, (55)

32) Гп(х) — р0о (х), и = 0,1,2,..., х е М+. (56) В силу (22) и (50) имеем

Ю Ю Ю

Го(х) = Х(п - Б(х)) — Хп K0(t)dt — п Т(t)dt — п Т^^ —

— по J Т^^ = Р0о (х).

х+о

Отсюда, в частности, следует также, что

Р1 (х) ^ Хп, х е М+. Используя свойства функций Н, Н1 , Т и Т1 , будем иметь:

СЮ

t

Fi(x) ^ J T(x — t)H ( t, n — А I e x(t T)S(t)dr | dt + j Ti(x + t)Hi(t, n)dt ^

СЮ

n — AI e

0

ю t

^ П T(x — t)dt — A T(x — t) e x(t T\S(t)dTdt + n T1(z)dz ^

^ An — A K0(x — t)S(t)dT = A(n — S(x)) = F0(x).

Пусть Гп(х) — р0 (х) при некотором и е N.

Тогда, с учетом (44), (45), г3) и монотонности Н^,х), из (54) получим

ю / £

Гп+1(х) — ! Т(х - ^Н и, J е—х(г—т)р0о (т^т I dt+

оо

+ I Т1(х + Ь)Н1 ( t, [ е—х(г—т)р(01о(т)dт 1 dt —

> / Ti(x + t)Hi ( t, e x(t T^pZ0(t)dT I dt >

1 ll,]e Pno'

0

( t

> / Ti(x + t)Hi

> / Ti(x + t)Hi

\

Ъ J e X(t T]Pvo (T)dT

\ (i-d)a )

( - \

t,Pl0 (t) i e-x(a - T)dT

\

(i-0)a

dt

dt

> I Ti(x + t)HA t,pa (t) ——e----------------------1 ) dt

A

Ti(x + t)Hi {t,Cp^0(t)) dt > По Ti(V)dV = P-0(x).

x+a

Пусть Fn(x) ^ Fn-i(x) при некотором n E N. Тогда из монотонности H и Hi сразу следует, что Fn+i ^ Fn. Следовательно, существует

lim Fn(x) = F(x), (58)

причем F(x)— удовлетворяет уравнению (53) и оценкам

р;(x) ^ F(x) ^ A(n — s(x)) E Li(R+) П Ь°ю(Ш+). Из (59) следует,что F E Li(R+) П L^(R+).

t

Решая следующую простейшую задачу Коши:

dX + Мх) = F{x), х Є R+ (60)

т = о

приходим к завершению доказательства. Теорема доказана. Замечание 2. Поскольку решение задачи (60) имеет вид

X

ф) = [ е—х(х—£)Г(Ь^Ь,

о

то из (59) для '-р(х) получаем следующую двойную оценку:

X X

1е—Чх—,)р°т * *(х) * Х1е—Чх—,){п - 3№

о о

В конце работы приведем два примера Н1(Ь, г) :

аг

1 ^ ]= г + (- -1)^ (Ь)' ’<>а>’<° > 0

аг 1

2) Н1(Ь, г) =----—------г-- +------- гр, р > 1, п — 2а, а > п0.

1 г + (а - 1)юк (ь) 2,г1 ■ р • 1 - ’ 10

В заключение выражаем благодарность проф. Н.Б. Енгибаряну и проф. В.Н. Маргаряну за полезные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Москва Изд."Наука"1962г, 440 с.

2. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О точной линеаризации задач скольжения разреженного газа в БГК модели // ТМФ. T. 119, №2. 2000. C. 339-342.

3. I.D. Sargan The distribution of wealt. Econometrics // 1957. V. 25, №4. P. 568-590.

4. Хачатрян А.Х., Хачатрян Х.А. Об одном интегро-дифференциальном уравнении в задаче распределения богатства Саны // Экономика и математические методы, ЦЭМИ РАН. 2009. T. 45,№4. C. 84-96.

5. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М. Изд."Наука". 1978. 295 с.

6. Енгибарян Б.Н. Применение многократной факторизации к однородному уравнению свертки // Известия НАН Армении, Математика. 1997. T. 32,№1. C. 38-48.

7. Енгибарян Н.Б., Хачатрян А.Х. О некоторых интегральных уравнениях типа свертки в кинетической теории // ЖВМ и МФ. 1998. Т. 38, №3. С. 466-482.

8. Енгибарян Н.Б., Арабаджян Л.Г. О некоторых задачах факторизации для интегральных операторов типа свертки // Дифф.уравнения. 1990. Т. 26, №1, С. 1442-1452.

9. Владимиров В.С. Об уравнении p -адической открытой Суны для скалярного поля тахинов // Известия РАН, сер.матем., 2005. Т. 69, №3. С. 55-80.

10. V.S. Vladimirov, Y.I. Volovich Nonlinear Dynamics equation in p-adic string theory // Theoretical and Mathematical physics. 2004. V. 138, №3. P. 355-368.

11. P.H. Framton, Y. Okada Effective scalar field theory of p-adic string // Phys. Rev. D. 2004. V. 37, №10. P. 3077-3079.

12. V.S. Vladimirov The equation of p-adic closed string for the scalar tachyon field // Science in China, ser.A, Mathematics. 2008. V. 51, №4. P. 754-764.

13. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On convolution type nonlinear integral equations, containing singular and discrete probability distributions // Advances and Applications in Mathematical Sciences. India. 2010. V.5, №1, P. 1-16.

14. Арабаджян Л.Г. Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна // Известия НАН Армении, Математика. 1997. Т. 32, №1. С. 21-28.

15. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On solvability of one class Hammerstein nonlinear integral equations // Buletinul Academiei Stinte a Republici Moldova, Mathematica. 2010. V. 63, №2. P. 67-83.

16. Хачатрян Х.А. Существование и асимптотическое поведение решения для одного класса нелинейных интегральных уравнений Урысона на полуоси // Вестник РАУ. 2009. Т. 3, №2. С.15-25.

17. Хачатрян Х.А. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений с некомпактным оператором // Известия НАН Армении, Математика. 2011. Т. 46, №2. С.71-86.

18. Хачатрян Х.А. Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью // Известия РАН, сер.Математическая. 2012. Т. 76, №1. С. 173-200.

19. Хачатрян Х.А., Хачатрян Э.А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с некомпактным оператором // Известия Вузов, Математика. 2011. Т. 54, №1. С. 91-100.

20. Арабаджян Л.Г., Енгибарян Н.Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения. Итоги науки и техники // Математический анализ. 1984. T. 22. C. 175-242.

21. A.Kh. Khachatryan, Kh.A. Khachatryan On Solvability of a nonlinear problem in theoty of income distribution // Eurasian Math. J. 2011. V. 2, №2. P. 75-88.

22. Колмогоров А.Н., Фомин В.С. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, "Наука". 1981. 544 c.

Марине Фирдусовна Броян,

Армянский Гос.Агр.Университета, ул. Ул. Теряна 74,

0019, г. Ереван

E-mail: Broyan@rambler.ru

Хачатур Агавардович Хачатрян,

Институт Математики НАН Армении,

Проспект Маршала Баграмяна 24/5,

0019, г. Ереван

E-mail: Khach82@rambler.ru