Научная статья на тему 'О некоторых классах нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами'

О некоторых классах нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
135
41
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА—НЕМЫЦКОГО / УСЛОВИЕ КОНСЕРВАТИВНОСТИ / УСЛОВИЕ КАРАТЕОДОРИ / МОНОТОННОСТЬ / УРАВНЕНИЕ ВИНЕРА—ХОПФА / HAMMERSTEIN–NEMITSKI TYPE INTEGRAL EQUATION / CARATHEODORY’S CONDITION / WIENER–HOPF EQUATION / CONDITION OF CONSERVATIVITY / MONOTONICITY

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хачатрян Хачатур Агавардович

Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна—Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Доказываются теоремы существования положительных решений в различных функциональных пространствах.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хачатрян Хачатур Агавардович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On some classes of nonlinear integral equations with noncompact operators

The work is devoted to the investigation of some classes of nonlinear integral equations of Hammerstein–Nemitski type with noncompact operators. Above mentioned class of equations, beside the theoretical interest has immediately an application in kinetic theory of gases. The existence theorems for positive solutions in different functional spaces are proved.

Текст научной работы на тему «О некоторых классах нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами»

УДК 517.968.4

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

X. А. Хачатрян

Институт математики НАН Армении,

Армения, 375019, Ереван, пр-т Маршала Баграмяна, 24/5.

E-mail: khach82@rambler .ru

Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна—Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Доказываются теоремы существования положительных решений в различных функциональных пространствах.

Ключевые слова: интегральное уравнение типа Гаммерштейна—Немыцкого, условие консервативности, условие Каратеодори, монотонность, уравнение Винера—Хопфа.

Рассмотрим класс нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей-на—Немыцкого

[■+ оо

<р(х) = / К(х, t)H(t, <p(t))dt + А{х, х^О, (1)

J о

относительно искомой вещественной и измеримой функции ip(x), где К(х, t) — определённая на R+xR+ (R+ = [0, +оо)) измеримая и неотрицательная функция, удовлетворяющая условию консервативности

г+оо

esssup / K(x,t)dt = 1;

ik€R+ J 0

H(t,z) и А(х, т) —определённые на R+ х R (R = (—оо;+оо)) измеримые и вещественнозначные функции, удовлетворяющие условию критичности

H(t, 0) =0, Vt € R+, A(x, 0) = 0, Vie R+.

Последнее условие означает, что ip(x) = 0 является решением уравнения (1).

Уравнение (1) не только представляет теоретический интерес, но и имеет применение в кинетической теории газа, а именно в задаче о течении разреженного газа в полупространстве, ограниченном твёрдой стенкой (задача Крамерса) (см.[1-3]).

В случае, когда H(t, z) = z, А(х, т) = у(х) — F(x, г), у € L2(R+), a F(x, т) удовлетворяет условию Гёльдера—Липшица по второму аргументу и монотонно убывает по г, причём ядро K(x,t) зависит от разности своих аргументов, уравнение (1) рассмотрено в [4]. В этой работе при некоторых дополнительных условиях на К доказано существование решения в пространстве L2(R+).

Хачатур Агавардович Хачатрян (д.ф.-м.н.), старший научный сотрудник, отдел методов математической физики.

Отметим также, что в частном случае А(х,т) = 0 уравнение (1) при различных ограничениях на функции Н и К исследовано в работах [5-12]. В указанных работах в основном доказаны теоремы существования положительных и ограниченных (в некоторых случаях — линейно растущих) решений.

В настоящей работе, путём наложения на функции Н и А существенно разных условий, доказывается существование положительных решений в

пространствах £^(М+) = {/ € £оо(М+), Нт /(ж) = 0} и 1у1(М+) П Ь^0(М+).

Небезынтересно отметить также, что построенные решения имеют естественный физический смысл (см. [3]).

Формулировка основных результатов. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть К$(х) ^ 0, х € М — некоторая измеримая функция, для которой

а 0 ^ К(х,Ь) ^ Ко(х — £),\/(ж,£) € М+ х М+, причём сходимость последнего интеграла в (2) понимается в смысле абсолютной сходимости. Пусть существуют числа г/ > 0 и г/о € (0, г]) такие, что выполняются следующие условия:

a) функции Н(£, г) и А(х, т) удовлетворяют условию Каратеодори, по второму аргументу на множестве М+ х [0, г/];

b) Н(1;,г) возрастает по г на [0, г?] при каждом фиксированном £ € М+, а А(х,т) возрастает по т на [0, г?] при каждом фиксированном х € М+;

c) имеют место следующие неравенства:

Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства

Для изложения следующих результатов нам понадобятся некоторые обозначения и вспомогательные факты из линейной теории консервативных интегральных уравнений Винера—Хопфа.

Пусть С}{х) —определённая на множестве К измеримая функция, для которой £о и £1 являются первыми положительными корнями уравнений С,)(х) = = х и С2(х) = 2х соответственно, причём 2^1 < {о, Я возрастает на отрезке [0,£о] и € С[0,{о]- В качестве функции можно рассматривать одну из следующих:

0 ^ Я(£, г) ^ г, \/(£, г) € М+ х [0, Т]\, А(х,рт(х)) ^ рщ{х), А(х, г]) ^ рг,(х), Ух € М+,

(3)

где

Ь1(Ж+)ПЬ0оо(Ж+).

Теорема 2. Пусть существует функция К*(х) ^ 0, х € М, К*(—х) =

/+оо

К*{т)с1т = 1, для которой 0 ^ К(ж,£) ^ К*{х — £),

-СЮ

V(ж, £) € М+ х М+.

Пусть выполняются следующие условия: г\) функции Н(Ь,г) и А(х,т) удовлетворяют условиям а) и Ъ) теоремы 1 на множестве М+ х [0,{о];

г2) 0 ^ #(М) ^ {о - <2(£о - г), V(^, г) € М+ х [0, £0]; (4)

*з) существует число г/о € (0, {о) такое, что выполняются неравенства: А(х,р*т(х)) ^ р*0(ж), А{х,^о) < р|0(ж), (5)

где

г+оо

р|(ж) = 5 К*(1;)сИ, ё > 0.

</ Ж

Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства Ь0оо(М+).

Теперь наряду с уравнением (1) рассмотрим следующее однородное уравнение Винера—Хопфа:

г+оо

5(ж) = / К(ж — £)5(£)(Й, ж ^ 0, (6)

Jo

с начальным условием

*5(0) = 1, (7)

где

/+оо

к(ж)^ж = 1, (8)

-сю

/*+со . _ гсо

/ |ж|-?.К'(ж)^ж < +оо, j = 1,2,3, /о = ------- < +оо. (9)

•)—оо А"(ж)

Из результатов работы [13] следует, что задача (6), (7) имеет положительное решение следующей структуры:

5(ж) = аж + <?(ж), (10)

/+о°

х2К(х)с1х, а 0 ^ д € £оо(М+) — известная функция

-СЮ

Хопфа.

Введём обозначения для формулировки нижеследующей теоремы 3:

1) с = - тах("а/о,2гоа, евввир <?(ж)\ где го = [ а ' ж€К+ ' Л)

(г ос г ОС \

/ K(t)dt---------- / tK(t)dtj , ж € М+, 5 > 0 — некоторое

Jx х Л J х J

число, а Л > с.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть ядро K(x,t) задаётся посредством следующей формулы:

K(x,t) = К(х — t) ^ ^ ^, (ж,£)еМ+хМ+, А ^ с.

Предположим, что существуют числа rj > 0 и 770 (0, rf) такие, что функции H(t,z) и А(х,т) удовлетворяют условиям а), Ъ) и условию (3) теоремы 1. Тогда, если А{х, Ф^0) ^ Ф^0(ж), A(x,rj) ^ Ф^(ж), то уравнение (1) имеет положительное решение из L^0(R+).

Примеры функций Н и А. Примеры функций Н и А для теоремы 1:

1Н) H{t, z) = Н0(г)ф^, Н0 € С(М+), 0 < H0{t) < 1, t € М+, р > 1, 2 € R+;

U) А(ж,т) = pvo+vi(x)T +

Г + р,71(ж)

Примеры функций Н и А для теоремы 2:

2Н) я (*,г) = ffo(t)(е°~~z)r> р>!;

so

СИ"2 Tji

2а) А(х,т) = pv0+т(х)-—■----2, а ^ 1 + —, {о ^ a(r?o +r?i), r?0,r?i > 0.

\Т + Pm\x)r Щ

Примеры Н и А для теоремы 3:

Зя) примеры 1я и 2я удовлетворяют всем условиям теоремы 3 для функции H(t,z); ^

3А) А(х,т) = Ф^0+Ч1(ж)^ + ф г?0,г?1 > 0, г? ^ щ + щ.

Доказательство основных результатов. Сначала проведём доказательство теоремы 2 (теорема 1 доказывается аналогичными рассуждениями). Наряду с уравнением (1) рассмотрим вспомогательное нелинейное уравнение Гаммер-штейновского типа

рос

Ф(ж) = / К*{х-^{ Ф(*))сЙ, ж€М+, (11)

Jo

относительно искомой функции Ф(ж), где функция С,) обладает вышеприведенными свойствами. Из результатов работы [8] следует, что уравнение (11) имеет положительное монотонно возрастающее и ограниченное решение Ф (ж), причём Нт Ф(ж) = {о-

Ж—)>С©

Убедимся, ЧТО

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Со - Ф(ж) ^ р*0(ж), ж ^ 0. (12)

Действительно, из (11), с учётом свойств ядра К* и функции С,) имеем

рос

Со - Ф(ж) = Со - / к*{х- t)Q{4>{t))dt =

Jo

РОС РОС

= Со / К*(т)йт + / K*{x-t){^o-Q{^{t)))dt^ р\0{х)^ р*щ{х).

Jx Jo

Теперь для уравнения (1) рассмотрим следующие итерации:

РОС

<Рп+l(x)= / K{x,t)H{t,Lpn{t))dt+A{x,Lpn{x)),Lpo{x) = р*{х), п € N0. (13) Jo

Сперва по индукции докажем, что

<£>га(ж) возрастает по п. (14)

В силу условия (5) имеем

<pi(ж) ^ А(ж,<р0(ж)) = А(х,р*0(х)) ^ р*0(ж) = <ро(х),

Г" ОС РОС

(pi(x) ^ / K(x,t)H(t,£0)dt + А(х,£о) ^ {о / K*{x-t)dt + p\0(ж)=Со-

Jo Jo

Предполагая, что {о ^ <Лг(ж) ^ ПРИ некотором п € N, из (13) с учётом

монотонности функций Н и А получим

РОС

<Pn+l(x) > / K{x,t)H{t,tpn-i{t))dt +A{x,tpn-i{x)) =tpn{x)

Jo

и

РОС

<Pn+l(x) ^ / К*(ж-г)#(г,£0)еЙ + Жж>Со) ^Co-

Jo

Теперь убедимся в справедливости следующего неравенства:

<£п(ж) ^ Со - Ф(ж), п£ No, ж G R+. (15)

Действительно, при п = 0 неравенство (15) сразу следует из (12). Пусть <Рп(%) ^ Со — Ф(ж) при некотором п € N. Тогда с учётом (4), (5) из (13) будем иметь:

РОС

<Рп+ 1(ж) ^ / K*(x-t)H(t,£o-'I^(x))dt + A(x,£o)^

J о

РОС

к*(х-$(£о-<2(Ф&))№ + Р(0(х) =

Уо

РОС

= Со - / К*(ж - *)<Э(Ф(*))£Й = Со - Ф(ж).

J о

Следовательно, из (14) и (15) получаем поточечную сходимость последовательности {<Лг(ж)}^о: 1™ ^п{х) = <£>(ж), причём

Ti—у ОС

о < P*vo(x) < ^(ж) < Со - Ф(ж) € L°oc(R+), ж€М+. (16)

185

По теореме Б. Леви (см. [141), функция ш(х) удовлетворяет уравнению (1). Из (16) следует, что ц) € Ь^0(М+). □

Замечание. Из приведённых рассуждений с учётом результатов работы [8] можем утверждать, что результаты теоремы 2 остаются в силе, если вместо чётности ядра К* потребовать выполнение неравенства

Г° 1

J К*(т)(1т ^

Теперь докажем теорему 3. Как известно, при условиях (8), (9) имеют место следующие факты (см. [9]):

ГОО 4- I Л

I К(х= ж€М+ (17)

И

Ф^(ж) ^ 0, при 5 > О, А ^ с, х € М+. (18)

Ниже мы существенным образом будем использовать соотношение (17) и неравенство (18). Введём следующие последовательные приближения:

РОС

<Рп+Лх)= К(х, (рп(1;))сИ + А(х, <рп(х)), (19)

J о

<р0(х) = Г]~ пеМ0,жеМ+,

ах + А а

где 5(ж) задаётся согласно формуле (10).

Докажем, что выполняются следующие утверждения:

1) <рп(ж) убывает по щ

2) <Рп(ж) ^ ФЧо(ж)> и € М0, ж € М+.

В силу (17) и свойств функций Н и А из (19) будем иметь

/о ж + А V аЬ + \а

< п — Ф'ЧтЛ —

а(х + А) Уо

^ г? — Ф7?(ж)-------------г- / К(х — £)5(£)сЙ + Фч(ж) =

775(4) , ,

V---—г~ = <Ро(х).

ах + А а

С другой стороны,

Ых) = „ _ лЩ- = ч-1 Г К(х, =

^ 1 ' аж + Аа ' а.)0 4 + А

= Ф*(ж) + [ К(х,1)(г]----------^ Ф*(ж) ^ Фвд(ж), ибо А ^ с.

Уд V &Т Л&/

Следовательно, ^р\{х) ^ Л(ж, у?о(ж)) ^ Жж>Ф^о(ж)) ^ Ф??о(ж)’ ж е

186

Предполагая, что <рп(%) ^ <Рп-\{х) и <рп(х) ^ Ф^0(ж) при некотором п € М, из (19) получим (рп+ \{х) ^ <Рп(%) и <Рп+1(%) ^ Ф^0(ж)- Таким образом, последовательность функций {<Рп(х)}??=п имеет предел при п —> оо: Ит <рп(х) =

П—)>00

= <~р(х), причём этот предел (в силу теоремы Б. Леви) удовлетворяет уравнению (1) и соотношениям

О ^ Ф^0(ж) ^ <р(х) ^Г]------------------^(ж) ^ х g ]g>+_ ^20)

clcc | Хй

Так как A ^ esssup q(x)/a, выполняется 0 ^ г] — ax+\a ^ ax+Xa 0’ тогда

ж€К+ х^оо

из (20) следует, что ip € L^0(R+). □

Автор выражает благодарность проф. А. X. Хачатряну за полезные замечания.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Н. Б. Енгибарян, А. X. Хачатрян, “Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа”// Матем. моделирование, 2004. Т. 16, №1. С. 67-74. [N. В. Engibaryan, A. Kh. Khachatryan, “On nonlinear theory dynamics of dilute gas” // Matem. Mod., 2004. Vol. 16, no. 1. Pp. 67-74].

2. C. Cercignani, Theory and application of the Boltzmann equation. Edinburg, London: Scottish Academic Press, 1975. 415 pp.; русск. пер.: К. Черчиньяни, Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

3. А. X. Хачатрян, X. А. Хачатрян, “Качественные различия решений для одной модели уравнения Больцмана в линейном и нелинейном случаях”// ТМФ, 2012. Т. 172, №3. С. 497-504; англ. пер.: A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “Qualitative difference between solutions for a model of the Boltzmann equation in the linear and nonlinear cases” // Theoret. and Math. Phys., 2012. Vol. 172, no. 3. Pp. 1315-1320.

4. P. S. Milojevic, “A global description of solutions to nonlinear perturbations of the Wiener-Hopf integral equations” // Electronic Journal of Differential Equations (EJDE), 2006. Vol. 2006, 51. 14 pp.

5. X. А. Хачатрян, “Однопараметрическое семейство решений одного класса нелинейных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси” // ДАН, 2009. Т. 429, №5. С. 595-599; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “One-parameter family of solutions for one class of hammerstein nonlinear equations on a half-line” // Dokl. Math., 2009. Vol. 80, no. 3. Pp. 872-876.

6. R. Precup, Methods in nonlinear integral equations. New York: Springer Verlag, 2007. 232 pp.

7. C. D. Panchal, “Existence theorems for equation of Hammerstein type” // Quart. J. Math., 1984. Vol. 35, no. 3. Pp. 311-319.

8. A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “On an integral equation with monotonic nonlinearity” j j Mem,. Differential and Equations Math. Phys., 2010. Vol. 51. 59-72 pp.

9. X. А. Хачатрян, “Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью”// Изв. РАН. Сер. матем., 2012. Т. 76, №1. С. 173-200; англ. пер.: Kh. A. Khachatryan, “On a class of integral equations of Urysohn type with strong non-linearity” // Izv. Math., 2012. Vol. 76, no. 1. Pp. 163-189.

10. G. Emmanuele, “An existense theorem for Hammerstein integral equations” // Portugaliae Mathematica, 1994. Vol. 51, no. 4. Pp. 607-611.

11. A. X. Хачатрян, X. А. Хачатрян, “Об одном нелинейном интегральном уравнении типа уравнения Гаммерштейна с некомпактным оператором” // Матем. сб., 2010. Т. 201, №4. С. 125-136; англ. пер.: A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “A nonlinear integral equation of Hammerstein type with a noncompact operator” // Sb. Math., 2010. Vol. 201, no. 4. Pp. 595-606.

12. Л. Г. Арабаджян, “О существовании нетривиальных решений некоторых линейных и нелинейных уравнений типа свертки”// Укр. мат. журн, 1989. Т. 41, №12. С. 1587-1595; англ. пер.: L. G. Arabadzhyan, “Existence of nontrivial solutions of some linear and nonlinear equations of convolution type” // Ukrainian Math. J., 1989. Vol. 41, no. 12. Pp. 1359-1367.

13. Л. Г. Арабаджян, H. Б. Енгибарян, “Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения” / Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., Т. 22. М.: ВИНИТИ, 1984. С. 175-244; англ. пер.: L. G. Arabadzhyan, N. В. Engibaryan, “Convolution equations and nonlinear functional equations” // J. Soviet Math., 1987. Vol. 36, no. 6. Pp. 745-791.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

14. A. H. Колмогоров, В. С. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с. [А. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis. Moscow: Nauka, 1981. 544 pp.]

Поступила в редакцию 04/X/2012; в окончательном варианте — 26/XII/2012.

MSC: 45G10; 45М20, 45L05

ON SOME CLASSES OF NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS WITH NONCOMPACT OPERATORS

Kh. A. Khachatryan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia,

24/5, Marshal Baghramyan Ave., Yerevan, Armenia, 375019.

E-mail: khach82@rambler .ru

The work is devoted to the investigation of some classes of nonlinear integral equations of Hammerstein-Nemitski type with noncompact operators. Above mentioned class of equations, beside the theoretical interest has immediately an application in kinetic the-or'y °f gases. The existence theorems for positive solutions in different functional spaces are proved,.

Key words: Hammer stein-Nemitski type integral equation, condition of conseruativity, Caratheodory’s condition, monotonicity, Wiener-Hopf equation.

Original article submitted 04/X/2012; revision submitted 26/XII/2012.

Khachatur A. Khachatryan (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Senior Research Scientist, Dept, of Methods of Mathematical Physics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.