H-операторы в идеальных пространствах со смешанной квазинормой e(\Omega) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 1999, Том 1, Выпуск 2

УДК 517.98

Я-ОПЕРАТОРЫ В ИДЕАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СО СМЕШАННОЙ КВАЗИНОРМОЙ Е(П)

В. Г. Фетисов, Р. Р. Рандриананжа

Цель настоящей работы — с единой точки зрения рассмотреть поведение нелинейных операторов типа суперпозиции, интегральных операторов Гаммерштейна и Урысона в общих квазинормиро-ванных идеальных пространствах. Некоторые из нижеприведенных результатов анонсированы нами ранее в статье [1].

1. Базовые обозначения, определения и вспомогательные утверждения

Пусть — для простоты ограниченные замкнутые множества конечномерных евклидо-

вых пространств К^, (г = 1 ,п), с (7-конечными лебеговыми мерами; (11, д) — их прямое произведение. Через (г = 1,77.) обозначим произвольные идеальные симметричные (в смысле терминологии Заанена А. С., Люксембурга В. А., Забрейко П. П.) квазинормированные (см. работы Муселяка К)., Трибеля X.) функциональные пространства, элементами которых являются измеримые на ^ функции, через || ■ ||.е4(п4) — квазинорму в пространстве

Определение 1, Множество всех измеримых по Лебегу на П = О1 х ... х £]п функций «(з), (з = ($1,... ,5П)), для которых конечно выражение

II - - • II 11«(«)11-Е1("1)Н-Е2(а2) • • • Н^сп^), (1)

называется идеальным квазинормированным пространством со смешанной квазинормой (1) (кратко ИКПСК) Е(П).

Как известно, для ИКПСК Е(£1) выполняются следующие два условия:

а) если и(з) (г /'- и |го(в) | ^ где ю(з) — измеримая на функция, то ю(з) € Е и \\иг,Е\\ \\щЕ\\-,

б) если и(з) (г /'- и и(з), ю(з) равноизмеримы, то ю(з) (г /'- и =

Будем считать, что ИКПСК Е(£1) содержит константы, тогда в силу условия а) пространство Е(£1) содержит все индикаторы Хе^) измеримых множеств е С 12.

Примерами ИКПСК Е(£1) могут служить:

а) обобщенное пространство Лебега £(а)(12), состоящее из тех ^-измеримых на функций и(з), для которых:

|«(в); (а)|| =

Оо ^

, а2 |и(5Ь52, • • • ,5П)| «1 Ф1 Фг

, £2. % „

йцп > <оо, (2)

(с) 1999 Фетисов В. Г., Рандриананжа Р. Р.

б) обобщенное пространство Лебега состоящее из тех ¿¿-измеримых на

функций и (в), для которых:

!«(*); («)11 =

^п—1 Пп

... йцх > < со;

(3)

в) обобщенное модулярное пространство Орлича (1)), состоящее из тех измеримых на функций и (в), для которых:

= II ••• II ЬМНь^ПоНь^Пг) ••• 11ь*п(Пп) < ОО. (4)

Здесь щ > 0 (г = 1 , п) — произвольные действительные числа, (а) = (ск1, аг, • • • , ап) и (а) = (ап, ап_1,... , а\), <Рг(и) — произвольные функции, принадлежащие классу <р(Ь) (см. [2]).

Случай, когда ИКПСК Е(И) = Ьр, где р = (рьрг), УР1,Р2 £ был детально изучен в работе [3]; если Е(И) = £(а), где щ ^ 1 (г = 1 , п), был рассмотрен в работе [4] (более интересные примеры для банахова случая можно найти в статьях М.Мильмана).

Нас в основном интересует тот случай, когда хотя бы один из индексов в Ь(а) и ^(а) больше единицы, или же когда одна из функций <р{и) — вогнутая. В качестве модельного ИКПСК можно рассмотреть обобщенное пространство Лебега £(„)(£)).

Лемма 1. £(„)(£)) является линейным метрическим пространством с метрикой:

р(и,у) =

— «;(«); (а) ||

— XV(в); (а)|| "Г

при 1 < ап, Щ ^ СКг+1, при 1 < «1, Щ скг + 1,

(5)

где г = 1, п — 1.

Доказательство. Выполнение первых двух условий метрики очевидно, в доказательстве нуждается проверка неравенства треугольника. Рассмотрим случай 1 < ап, щ ^ скг+1, г = 1,п — 1 (второй случай в (5) аналогичен).

а) Пусть ап > 1 и 1 < ^ «2 ^ ... ^ аП! тогда в силу очевидного неравенства (Л А + Вх) > (Л - В)х при А, В € Ж+, и 0 < х ^ 1, имеем

р(и,1л) =

¿(з) — ги(з))| "1 (1ц\ ) (1ц2

п2 п.

с!цп ^ р(и,у) +

где р(и,у) и определяются по первой из формул (5).

б) Пусть an > 1, щ ^ CKj+i, г = 1, п — 1 и а,\ ^ 1. Тогда получим:

p(u,w)

|u(s) - Wi(s))| «1 Ф1 ) (1ц2

Q„ Qo fli

+ J yj |wi(s) - w(s))\ ai dpi ) dp2...

n2 fti

dpr,

<

|u(s) - u>i(s))| «1 dpi) dp2...

Qn Qo f! i

«2

dpr,

ai Q2

+ / ••• I I I |wi(s) -w{s))\aidpi ) dp2... Qn Q2 fli

= p(u,w 1) + p(wi,w).

dpr,

Лемма 2. Для любых элементов u(s) € £(а) и w(,s) € выполняется обобщенное неравенство Гёльдера:

|и ■ w,(a + /3)|| si (а)|| ■ Цго;

(6)

где (а + ¡3) = («1 + @1,а2 + /32,... ,а„ + /?„).

Доказательство леммы 2 вытекает из последовательного применения п раз обычного неравенства Гёльдера по каждой из переменных в2,... , ,эп в отдельности.

Следствие 1. Функция/((а)) = ||и(з); (а)|| при любом фиксированном элементе и(з) € £(а) непрерывна по (а) и логарифмически выпукла.

Доказательство вытекает из неравенства (6); т. е. при любом т €=]0,1[ выполняется

|u(s); а(т)|| ^ ||w(s); (a

0\и 1—г

1 \ иг

И*);!«1)!!

(7)

где значение а(т) = (1 — т) ■ а0 + т ■ а1, (а0) и (а1) — произвольные наборы положительных индексов (а", «2; • • • ; ап) И (а1) а2; • • • ) ап)

Из неравенства (7) сразу следует, что функция /((а)) непрерывна и логарифмически выпукла по (а). Пусть, в частности, р(£1г) < со, % = 1,п.

Лемма 3. ИКПСК пространство Лебега £(а)(12) вложено в при каждом

щ < = 1, п), причем

Ив);(7)|| (В)

гдеи(а) (ЕЬ{а)(П) иК=

Доказательство леммы 3 непосредственно вытекает из неравенства (6), если положить = щ + (Зг, ю(з) € £(/?)(!2) и соответственно равна единице при Уз € 12, 1 = 1, п.

Как известно (см. [5]), в случае идеальных ^-пространств сходимость по квазинорме влечет за собой сходимость по мере.

Аналогом леммы 1 из [5] является

Лемма 4. Если последовательность измеримых на £1 функций (ип(з)) сходится по смешанной квазинорме ИКПСК Е(И) к функции иц € Е°(И) (Е°(И) — подпространство элементов из Е(И), имеющих абсолютно непрерывную квазинорму), то она сходится к щ(з) по мере и представляет собой абсолютно ограниченное множество. Справедливо и обратное утверждение.

Доказательство, Пусть ||ип(з) — «о^); £(0)|| 0 при п ^ со. Тогда она сходится к функции щ (в) по мере. Действительно, предположив противное, обязательно существует £ц > 0 и 5ц > О такие, что для любого N найдется такой номер п^ > Ж, что выполняется = ц{з : \иПк(з) — ио(з)| > ¿о} > £о- Не нарушая общности, можно

оо

считать, что ^ \\ипк — ио;£(0)|| < оо. Рассмотрим множества вида Вп = и/г>п^(«к) к=1

и В* = р|~=1 Вп. Можно заметить, что ц{В*) ^ е0 > 0. Но с другой стороны имеем

откуда следует, что хв* = 0 почти всюду на множестве (хв* — индикатор множества В*), а значит, цВ* = 0.

Полученное противоречие доказывает, что (ип) сходится к функции ио(в) по мере. Кроме того, так как щ(з) € Е°(И) и справедливо неравенство:

\\ипХв]Е(П)\\ < || \ип^щ\хв]Е{Щ\ + ||«оХл;Я(Ю)||,

то можно заметить, что последовательность (ип) — абсолютно ограниченное множество (т. е. Игл 8ир||хо«„;£(0)|| = 0, п = 1,2,...). мо-э-и уИп

Аналогично доказывается обратное утверждение: пусть последовательность (ип) сходится к функции щ по мере и множество (ип) абсолютно ограничено. Пусть £> = {з : |ио(з) — > где 8 выбрано настолько малым, что Рхп(з); £(0)|| < е/3.

Тогда выполняется ||ип — щ] || ^ е начиная с некоторого номера N.

2. //-операторы в ИКПСК Е(П)

Определение 2. Пусть функция Ь, € <р(Ь) (см. [2]), £1(0) и Е2(£1) суть произвольные ИКПСК, оператор Т : £1 —М, А € Ж.

Будем говорить, что Т есть Н\-оператор, если для V € Е\ выполняется условие:

\\Т(у)^Т(у + Хи)-,Е2\\

< к(\\Т(у) - Т(г> + А ■ Хв1и)-,Е21|) + Л(||Т(г;) — Т(г> + А ■ Хв2и)-,Е21|)

для каждого элемента и € Е\ и для всех измеримых подмножеств \)\ и В2 таких, что £>1 и В2 = и П В2 = 0, хв — индикатор множества И.

Примерами Н\-операторов могут служить нелинейные интегральные операторы Гаммерштейна, Вольтерра и Урысона. Отметим прежде всего, что определение 2 эквивалентно:

Ши^Е^^^Шхв^Е^ + КШхв^Е^ (9)

для каждого элемента и € Е\ и для всех измеримых подмножеств \)\ и В2 таких, что

£>1 и £>з = О и £>! П £>2 = 0, А = 1.

Н\-оператор при Л = 1 называется Н-оператором.

В качестве примера покажем, что линейный интегральный оператор Урысона является //-оператором. В самом деле, для любых 0| и 0-_> таких, что О1 и О2 = О ж Ох П О2 = 0, справедливо:

Т0(?;($)) - Т0(?;($) + Агф)) = J{К[з,1,у(1)} - К[з,1,у(1) + Аи{Щ(1ц

а

= J{К[,э, I, г>(£)] — К[з, I, г>(£) + йц

+ J{К[,э, I, г>(£)] — К[з, I, г>(£) + Лхп2и(^)]} ^ц

п2

= Т0(у(з)) - Т0(у(з) + Лхпг^з)) + Т0(у(з)) - Т0(у(з) + Ххп2и(з)),

где Л € Ж.

Рассмотрим некоторые достаточные признаки ограниченности и непрерывности Ял-операторов в ИКПСК £(12). Через £10 (12) обозначим ИКПСК типа абсолютно непрерывного относительно пересечения (см. [1]).

Теорема 1. Пусть даны два ИКПСК Е\ и Е2, Т : Ех —М — некоторый II-оператор. Если существует открытое подмножество -А(в), содержащее нуль © пространства Ею, такое, что Т(А) С Е2, то справедливо включение Т(Ею) С Е2.

Доказательство. Докажем теорему 1 в предположении, что Т(в) = ©. Пусть существует открытое подмножество .А(в), содержащее нуль © пространства Ею, такое, что Т{А) С Е2 (отметим, что © € Ею)- Можно заметить, что существует г > 0, такое, что открытый шар В(&,г) с центром в © и радиуса г принадлежит рассматриваемому подмножеству А.

а) Пусть сначала дано множество У С 12 такое, что ¡л(У) < со, и рассмотрим сужение оператора Т : Ею(У) ^ М, где Ею{У) образовано теми элементами из £10(12), для которых эирр и С У.

Напомним (см. [1]), что ИКПСК Ею есть пространство типа абсолютно непрерывного относительно пересечения, что означает

оо

Ею = {хеЕ1: У(1)п) С 1),1)п Пп) = 0 Нт||ХПпа;; Ег || = 0}.

П = 1

Пусть теперь элемент и € Ею, тогда существует а > 0 такое, что д(1?о) < а влечет условие \\xdqU~, ЕхЦ < г. Так как мера ц по предположению неатомическая, то будет существовать последовательность {УгУ^л измеримых множеств, подчиняющихся усло-

тп

виям У = и У; и ¡¿(У%) < се. Но так как ||ху4;£а|| < г, тогда и ||Т(ху\и); Е21| < со.

г=1

Учитывая, что Т есть Я-оператор, имеем:

т

\\Т(Хуи);Е2\\ < ^2К\\Т{хУ1и)]Е2\\) < оо

г=1

т. е. (хги) € Е2.

б) Обратимся к произвольному случаю множества 1). Очевидно существует по-

оо

следовательность (О^) ¿¿-измеримых множеств t, ¿¿(О*) < со таких, что = У

г=1

оо

Обозначим через Щ = тогда ясно, что Щ 4- и П Щ = и обозначим через

Т : Яю М.

Пусть элемент и € Ею, тогда существует номер ¿о € N такой, что ||хп' щЕ\\\ < г

г0

и тогда Т(х£1г0и) ^ Е2 по условию теоремы. Т, будучи /¿"-оператором, дает:

||Т(«);Я2|| < к(\\Т(хп,и)-,Е2\\) + }г{\\Т{хщиУ,Е2\\) < оо.

Для случая Т(в) Ф © доказательство аналогичное рассмотренному. Примечание 1. Условие того, что пространство Е\ есть типа абсолютно непрерывного относительно пересечения, является весьма существенным. Если его отбросить, утверждение теоремы 1 перестает быть справедливым. Рассмотрим соответствующий пример.

Пусть = [0,1], ¿1 есть мера Лебега на [0,1], через Е\ и Е2 обозначим обычные пространства Лебега:

(Я!(Л), II ■ ||1) = (£оо[0,1],|| ■ |Ц/2) и (Д2(Л),|| ■ ||2) = (^[0,1],|| ■ у,

где 0 < р ^ 1.

Очевидно, что пространство Е\ в силу его несепарабельности, не есть типа Ею-Пусть далее нелинейный оператор Т : /'.', ^ Л/ определяется формулой: Т(и) = — 1, если ||и;£1|| ^ 1, и соответственно формулой: Т(и) = — 1 /в1^, если

Ци;^!! > 1. Можно проверить, что Т есть /^-оператор.

Зададим открытое подмножество -А(в), содержащее нуль ©, пусть Л(©) = В(0,1). Зададим элемент и из -А (в) такой, что ||и;£1|| < 1. Здесь выполняется:

1

\\Т(и)-,Е2\\ = || |и| - 1; Щ = ! | |«(в)| - 1|рёф)

о

1 1

< 1'\и\рй1л + 1 (]ф) < (||и||^2)2р + 1 = \\и(,з)-, Е^Р + 1 < оо. о о

Однако, если взять, например, функцию и(в) = 3 при каждом € [0,1], то имеем соответственно и(в) € Е\, но уже

1 1 \\Т(и)-,Е2\\ = ! |«(в) - 1/51/р|рф(5) = J^d|л о о

и ясно, что [[образ]] Т{и) 0 Е2. Таким образом, мы видим, что условие Ею существенно.

Покажем теперь, что при сохранении условия того, что ИКПСК Е\ есть типа Ею, нельзя отбросить выполнение неравенства (9), т. е. того, что при А = 1 Т есть Я-оператор.

Действительно, пусть (£1(12), || ■ Ц1) = {Ь1!2^2), || ■ |||), т. е. £а(12) есть типа Ею,

и (Е2, || ■ ||2) = (£°°,|| ■ ||^2).

Пусть далее нелинейный оператор Т, действующий из Е\ в М, определяется формулой вида:

ОО / \ п

Т(и(з)) = М*)) ■ (10)

Можно проверить, что оператор Т не подчиняется условию (9) при Л = 1, т. е. не является Я-оператором.

Если ||и;£1|| < 1, то Т{и) € Е2, но для каждого элемента и € Е\ такого, что > 1 получаем, что / (г^з))1/2 (¿д 1 т. е. Т(и) 0 Е2. п

Пусть Е\ есть ИКПСК и С множество элементов из Е\. Множество С называется абсолютно эквинепрерывным относительно пересечения (кратко а.э.о.п.), ес-

оо

ли для каждой последовательности (Оп)пещ такой, что Вп 4- и ц,( Бп) = 0 имеем

П = 1

Нп1 йир \\хопщЕ1\\ = 0.

Теорема 2. Пусть даны 2 ИКПСК Ех и Е2 и Я-оператор Т : Е1 ^ М, непрерывный в нуле &Ех > где Ь(0) = 0 и }г-непрерывная в 0 функция.

Тогда для всякого а.э.о.п. множества С из Е\ образ Т(С) ограничен по квазинорме в Е2.

Доказательство. Можно предположить без ограничения общности, что Т(©в1) = &е2 ■ Тогда для фиксированного е > 0 существует а > 0 такое, что 0 ^ г < а и ¡г{г) < е. По условию оператор Т непрерывен в нуле, тогда для а > 0 существует 8 > 0 такое, что < 8 влечет \\Т(и)] Е2\\ < а. Так как последовательность

оо

12^ 12 = У 12^ и д(12г) < оо, то соответствующая последовательность где

г=1

оо

Щ = П\Пг, Щ1 и П Щ = 0.

г=1

Из абсолютной эквинепрерывности относительно пересечения множества С следует, что для любого 8 > 0 существует индекс ¿о € М, такой, что ||хп' щЕ\\\ < 8,

г0

тогда ||Т(хп' и)]Е2\\ < а и Л.(||Т(хп' и)]Е2\\) меньше е для каждого элемента и из г0 г0 множества С.

В то же время множество С абсолютно эквинепрерывно (см. [1]), тогда существует 7 > 0 такое, что при ¡¡.(Б) < 7 будет \\xdu~, £а|| <8 для каждого элемента и € С. Так как д(12^0) < оо и мера ц неатомическая, то найдется последовательность множеств

Ро

(У/г)/с=1 такая, что 12^ = У У^ и < 7- Тогда ||хуйи; Е\ || < 8 для всех номеров

_ к=1

к = 1,ро, и и € С, и кроме того выполняется Л.(||Т(хуки); Е2\\) < е. Из неравенства (9) вытекает, что

для всякого элемента и из множества С. Значит, /^-оператор Т переводит С в ограниченное по квазинорме в Е2 множество Т(С).

Из теорем 1 и 2 следует

Теорема 3. Пусть даны 2 ИКПСК Ех и Е2 и Н-оператор Т : Ег ^ М. Пусть известно, что существует открытая окрестность нуля Л(©) в Е\, такая, что Т(А) ограничен по квазинорме в Е2.

Тогда для всякого а.э.о.п. множества С в Е\ образ Т(С) ограничен по квазинорме в Е2.

Определение 3, ИКПСК Е называется типа локально абсолютно непрерывного относительно пересечения (кратко л.а.н.о.п.), если:

а) Е абсолютно непрерывно относительно пересечения (см. [1]),

б) для любого а > 0 и г > 0 существует функция I : Ж+ —> Ж+ такая, что: I возрастает, ¿(0) = 0 и 1{п) € М, \/п € М, и наконец, если У € О с ц(У) < со такая,

что < ш£(а,пг) для и (г /'-. тогда существует разбиение множества

Кп) _

такое, что У = У ^ и < г, (г = 1,1(п)).

г=1

Рассмотрим несколько примеров такого типа пространств.

1) Пусть дано ИКПСК Е на ¿¿-измеримом множестве 1). Пусть даны ¿¿-измеримое подмножество У С О и элемент € Е(£1). Определим т,и(У) = Цху^! Щ\- Если ти есть абсолютно непрерывная относительно меры ц функция, тогда ИКПСК Е(£1) является л.а.н.о.п.

2) Обобщенные пространства Лебега и и обобщенное пространство Орлича (если <р{и) подчиняется Аг-условию) являются типа л.а.н.о.п.

В частности, например, если <р{и) = \и\р, 0 < р ^ 1, то пространство Орлича 1м(Р) ={и^М : \\щМ{р)\\ < <х)} где

|и(з)] М(р) || = вир

р(ч,ЛГ)<1

|и|рг>(5) (¿¿¿(з)

< со, 0 < р ^ 1,

а р(г>, Ж) = / |) (¿¿¿, является л.а.н.о.п. Можно проверить выполнение условий а)

п

и б) определения 3.

Определение 4. Пусть Ех и Е2 два ИКПСК и Т : Е\ —> М — произвольный оператор. Будем говорить, что:

а) оператор Т £ — ограничен, если Т преобразует всякую ограниченную окрестность по квазинорме в Е\ в ограниченную окрестность по квазинорме в Е2,

б) оператор Т ограничен, если Т преобразует всякое топологически ограниченное множество в Е\ в топологически ограниченное множество в Е2.

Теорема 4. Пусть ИКПСК л.а.н.о.п., Е2 — произвольное ИКПСК и Т : —» М Н-оператор. Если существует открытая окрестность А(©) С Е\ такая, что Т(А) ограничен по квазинорме Е2, тогда оператор Т действует из Е\ в Е2 и £-ограничен.

Доказательство. Предположим, что Т(©(5)) = ©. Очевидно, существует г > 0 такое, что В(0, г) С А, и Т{Е\) С Е2, (можно проверить непосредственно из определения 2).

Рассмотрим множество У С 12, [¿(У) < со и рассмотрим сужение оператора Т из Е^У) = {и(ЕЕ1 : вирри С У} в М = М(П).

По условию Т{А) ограничен по квазинорме в Е2, тогда ясно, что таковым же будет и образ Т[_В(0,г)], т. е. существует константа К такая, что ||и;£1|| < г влечет ||Т(и);Д2||

Допустим, что элемент V € В П Е\ (У) и N наибольшее целое, такое, что N г ^ ||г>;£1||. По условию ИКПСК Е\ л.а.н.о.п., тогда существуют функция I и разбиение

К1ч+1) 1{м+1)

У на множества (У;)^ с У = У У^ и для каждого ||ху4г>; £11| < г.

г=1

Н-оператор Т для каждого элемента V € _В(0,г) подчиняется условию: г(лг+1)

||Т(у);Е2\\^ Ч\\Т(Ху,у);Е2\\)^1(М+1)11(к)^1{^ + 1)11(К)=К? т. е. множество Т{В) ограничено по квазинорме в Е2.

оо

Пусть теперь 12 — произвольное множество. Существует 12^ и 12 = У12^

1

с д(12г) < со. Обозначим через Щ = 12\12г, тогда Щ 4- и П (Ц)^ = О-

Так как ИКПСК Е\ одновременно являются типа абсолютно непрерывного относительно пересечения, то существует ¿о € N такое, что ||хп' ^-ЕаН < г-> тогда

г0

||у); Е2\\ К, для V <Е В по предположению одновременно с этим ||г>; Е\ || < г (так

го

как V € В). Вследствие конечности меры множества 12^0 имеем \\Т(хп'. у)]Е2\\ К0,

г0

откуда следует, что Я-оператор Т ограничен по смешанной квазинорме в Е2.

Примечание 2. Теорема 4 перестает быть верной, если отказаться от предположения, что Е\ л.а.н.о.п. Рассмотрим соответствующий пример. Обозначим через Ь пространство ¿¿-измеримых функций на 12.

Пусть 12 = [—1,1], (12/г) такая, что 12 = и12/г с 12^ П 12^ = 0, если г ф ] и ^(12^) = || ■ ||/г означает квазинорму в Ьк{ 12^) с к = 0, и € Ь° = ЬРо, где 0 < ро < 1

Ы1о = 1М1р0 = J \и{в)\Ро = у \и(з)\Ро

По [-1,0]

и для к \. п (г Ьк, где

МЬ = / |и(з)| = j |и(5)| (¿^(з),

Ы]

п

и, окончательно,

Мк = / ЬМ^ ф(^) < со если к 2.

Можно убедиться, что определенное таким образом пространство является квази-нормированным, полным, удовлетворяющим условию Рисса — Фишера. В то же время оно не является л.а.н.о.п. (см. соответствующие построения в диссертации Р. Р. Ран-дриананжа [6] на с. 42-44).

Если задать iï-оператор на рассматриваемом квазинормированном пространстве Ei = L(íl) —M следующим образом: Т(и) = 0 если Ei || < 1, где || ■ || — квазинорма в L(íl) и соответственно T(u) = |u(s)|n° ■Xnno(s)) если 1 < ll^î^ill < т0 /¿"-оператор Т не будет ограниченным из квазинормированного пространства Ei в Е2, где Е2 = Ln°. Действительно, образ Т(В(0,1)) открытого шара U(0,1) из Ei ограничен по квазинорме в Е2, однако, если взять например, функцию un(s)8xnn(s) для n > 1, то можно показать, что T(un) со при n --> оо по квазинорме в Е2.

Литература

1. Randriananga R. R. Sur Les opérateurs dans certains F-espaces // С. E. Acad. Sei. Paris. 1988. T. 325. P. 667-669.

2. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы ip(L) // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. Вып. 2.

3. Поволоцкий А. И., Калитвин А. С. Интерполяция оператора с частными интегралами в пространствах со смешанными квазинормами // Операторы и их приложения. JL, 1983.

4. Benedek A., Panzone R. Duke Math. J. 1963. V. 28, № 3.

5. Поволоцкий А. И., Зильберберг Н. И. Об операторах в идеальных F-пространствах // Вопросы современного анализа и алгебры. Часть 1. Л., 1970. С. 242-257.

6. Randriananga R. R. Theorie des opérateurs dans certains F-espaces. Thèse du doctorat du troisième cycle // Université de Madagascar. 1988. P. 1-108.