Операторы суперпозиции в пространствах Лебега и дифференцируемость квазиаддитивных функций множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь март, 2002, Том 4, Выпуск 1

УДК 517.518.1

ОПЕРАТОРЫ СУПЕРПОЗИЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ КВАЗИАДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВА

С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов

В работе приводится описание операторов суперпозиции в пространствах Лебега. В том случае, когда оператор понижает суммируемость, существенную роль при описании таких операторов играют свойства квазиаддитивных функций, определенных на открытых подмножествах однородных пространств. В первой части работы доказана оценка для интеграла от верхней производной функции множества, из которой вытекает простое доказательство теоремы Лебега о дифференцируемости интеграла и существование плотности почти всюду. Получены также приложения к геометрической теории меры.

Введение

0.1. В работах [1,2] естественным образом возникает (квазн)аддитивная функция множества, определенная на открытых подмножествах евклидова пространства Ж". Напомним [2], что неотрицательная функция Ф, определенная на открытых подмножествах области I) С К" и принимающая конечные значения, называется {конечно-)квазиаддитивной (аддитивной), если для всякого набора открытых попарно непересекающихся множеств Щ С II, % = 1,... , к, II С -О — открытое множество, выполняется неравенство

¿«вдк т)

1=1

к / к \

(соотношение ^ = Ф( и и Л ^ Ф(^); в работе [2] имеется опечатка: правое

¿=1 4=1 '

неравенство в этом соотношении отсутствует). Таким образом, (квази)аддитивная функция множества монотонна по определению.

В [1, 2] (квази) аддитивная функция множества дифференцируется и используется формула восстановления ее абсолютно непрерывной части:

1) в почти каждой (в лебеговском смысле) точке х €Е -О существует конечная производная

= (1)

г-Ю \Вг(х)\

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Совета государственной поддержки ведущих научных школ и ВДТА8-10170.

© 2002 Водопьянов С. К., Ухлов А. Д.

(здесь Вг(х) — открытый шар с центром в х радиуса г, а символ | • | обозначает меру Лебега на Ж");

2) для любого открытого множества 17 С -О справедливо неравенство

В евклидовом пространстве свойства (1) и (2) доказаны в [3, теорема 1, с. 209]. Очевидно, рассуждения из [3] могут быть обобщены на метрические структуры более общей природы, что, в частности, оправдывает применение формул (1) и (2) на группах Карно в работе авторов [2]. Ниже мы выводим формулы (1) и (2) из более общих результатов (см. следствие 5).

В настоящей работе мы исследуем свойства обобщенной квазиаддитивной функции, определенной на открытых подмножествах области I) однородного метрического пространства X (точное определение однородного метрического пространства см. ниже), доказываем для нее аналоги свойств (1) и (2). Особенность нашего подхода состоит в том, что свойство (1) мы получаем как следствие аналога неравенства (2) для верхней производной (теоремы 1 и 3). В частности, мы получаем условия на меру, при которых можно получить те или иные обобщения свойств (1) и (2) на пространствах однородного типа. В качестве следствия мы получаем простое доказательство классической теоремы Лебега о дифференцировании интеграла (следствие 3). Во второй части работы мы применяем полученные результаты к теории пространств Лебега и геометрической теории меры.

0.2. Напомним определение пространства однородного типа. Квазиметрикой на X, где X — некоторое непустое множество, называется неотрицательная функция й : I х X 1+ II {0}, обладающая следующими свойствами 1-3.

Свойство 1. Для всех точек х, у €Е X равенство с1(х, у) = 0 выполняется тогда н только тогда, когда х = у.

Свойство 2. Существует положительная постоянная с такая, что неравенство (],(х, у) сс1,(у, х) выполнено для всех точек хну, принадлежащих X.

Свойство 3. Существует положительная постоянная с такая, что неравенство (],(х,у) с((],(х,г) + (],(у,г)) выполнено для всех точек х, у и г, принадлежащих X (обобщенное неравенство треугольника).

Мы предполагаем также, что функция й полунепрерывна сверху по первой переменной. Из этого требования вытекает, что шары В§{х) = {у 6 X : ё(у,х) < 5}, 0 < 8, открыты. (В дальнейшем мы также будем использовать обозначение гаЛ(Вд(ж)) = 5.) Таким образом, для каждой точки х 6 X определена система {^¿(ж)}^ открытых шаров в X, параметризованных 8, 0 < 8 < оо. Очевидно, что шары монотонны по включению относительно 8, т. е., В^1(х) С В^2(х) при ¿1 < и обладают свойством поглощения №

Свойство 4. Существует постоянная с\ > 0 такая, что

для всех х, у п 8 > 0.

Мы предполагаем, что на X определена борелевская мера согласованная с метрикой (], в следующем смысле:

(2)

и

В&(х) П В ¡(у) С ВС1&(х)

Свойство 5. Для любого шара В$(х) С X выполнено 0 < ц{В§{х)) < оо, и существует постоянная сг > О такая, что

ВС1$(х)) ^ с2^(В$(х))

для всех х €Е X и 6 > О.

Однородное пространство (X, ё, ц) состоит из квазиметрического пространства (X, ё) и определенной на нем борелевской меры ц, которые обладают описанными выше свойствами 1-5.

Напомним, что множество Е С X называется е-сетью для множества А С X, е — некоторое положительное число, если для любой точки а; € А найдется хотя бы одна точка у 6 Е такая, что ё(х, у) < е.

Лемма 1. Пусть (X, ё, ц) — однородное пространство. Тогда в каждом шаре В С X существует конечная е-сеть для любого е > 0.

< Рассмотрим произвольный шар В(х,г), содержащийся в X. Покажем, что для любого натурального числа к существует не более чем т (т зависит только от числа к и постоянных с\ и сг) точек х\,... ,хт, содержащихся в шаре В(х,г), таких, что с1{х,г,х^) > ^ при ъ Ф 3- Фиксируем число к, тогда В(х^, С В (ж, 2 сг) и

В (ж" П В = 0 при г ^ э,

Где с — постоянная из 0505щенн0г0 неравенства ТреуГ0льника> Следовательно,

т i=l

С другой стороны, В(хг, 2сг) I) В(х,г), и так как свойство 5 эквивалентно неравенству

/л(В(х,г)) < с3ц(в(х, 2^2)), где С3 — некоторая постоянная, зависящая от с, с\ и [4], то ц(В(х,г)) < ц{В{х^2сг)) <

п0СледНИХ неравенств получаем, что

171

с3ц(В(х,г)) ^ ц{В{х,2сг)) к+1 2)) ^ -^//(^(ж, г)),

1=1 С С3

и, значит, т ^ С3"1"3. Таким образом, множество {ж1,...,жш} образует конечную 2_/г-сеть для шара В(х,г), и так как натуральное число к было выбрано произвольно, то лемма доказана. >

Следствие 1. Полное однородное пространство (X, //) локально компактно.

В дальнейшем, мы предполагаем, что (X, ё) — полное метрическое пространство.

Примеры однородных пространств см., например, в [4]. В частности, таковыми являются евклидовы пространства, группы Карно и пространства Карно — Каратео-дори. Напомним, что группой Карно [5], называется связная односвязная нильпотент-ная группа Ли G, алгебра Ли Q которой разлагается в прямую сумму V\ Ф • • • Ф Vm, dimVi ^ 2, векторных пространств таких, что [Vi, Vk] = Vk+i для 1 О ^ m-1 и

[Vu Кп] = {0}.

1. Функции множества на системе открытых подмножеств

Пусть D — открытое множество в X. Отображение Ф, определенное на открытых подмножествах из D и принимающее неотрицательные значения, называется q-квазиаддитивной функцией множества, где q ^ 1 — фиксированное число, если

1) Для всякой точки х 6 D существует 8, 0 < 8 < dist(a;, ¿Ш), такое, что 0 ^ Ф(Д;(ж)) < оо;

2) #(?7i) Ф (£/2); если Г\ С I '-j С Г) — открытые множества;

3) для всякого конечного набора Ui С U, % = 1,... , fc, попарно непересекающихся открытых множеств, U С D — открытое множество,

i=1

В дальнейшем, 1-квазиаддитивную функцию будем также называть квазиаддитивной функцией.

1.1. Пусть Ф — неотрицательная функция, определенная на открытых подмножествах области D. Определим (относительную) максимальную функцию М® по правилу

(М|))(ж)= sup ,

где верхняя грань берется по всем открытым шарам В С D, содержащим точку х.

Предложение 1. Пусть Ф — неотрицательная функция, определенная на открытых подмножествах области D С X. Тогда

a) максимальная функция М® полунепрерывна снизу;

b) множество Et = {х 6 D : (М|?)(ж) > t} открыто;

c) Мф — борелевская функция.

< а) Фиксируем точку xq €Е D. По определению максимальной функции для произвольного е > 0 найдется шар Ве С D, содержащий точку xq, такой, что выполнены неравенства

£||1<(мЛы<£||1 + £.

Рассмотрим последовательность точек {ж„}]>0, сходящуюся к точке xq. Выберем натуральное число N так, что при всех n > N выполняется хп €Е Ве. Тогда

(м£)(хп)>^±>(м£)(х0)-е.

Так как е выбрано произвольно, получаем liminfiMj?)(xn) (M®)(xо).

n—>00

b) Так как максимальная функция полунепрерывна снизу, то множество Et открытое.

c) Так как множество Et открыто для любого t > 0, то М® — борелевская функция. t>

Предложение 2. Пусть Ф — q-квазиаддитивная функция, определенная на открытых подмножествах области D однородного пространства X. Тогда для любого открытого множества U С D и любого t > О

ц{{х € U : (Mg)(x) > t}) < qj®(U).

Для доказательства предложения 2 нам потребуется следующая

Лемма 2 [4, с. 12]. Пусть Е — измеримое подмножество X, являющееся объединением конечного набора шаров {Bj}. Тогда можно выбрать конечный набор попарно непересекающихся шаров Вi,... , Bm из {Bj} такой, что

¿ГмШ^с^МЕ).

k=1

Перейдем к доказательству предложения 2. < Определим множество /*'/ следующим образом:

Щ = {х€1Г: (Мф )(ж) >*},

и пусть Е будет произвольное компактное подмножество множества Из определений максимальной функции Мф и множества /*.'/ следует, что для любой точки х €Е Е существует шар Вх С II, содержащий точку ж, такой, что

Ф(Вх) >г^(Вх). (3)

Так как х €Е Вх, то в силу компактности множества Е мы можем выбрать конечную совокупность таких шаров, покрывающую множество Е. По лемме 2 из нее можно выбрать конечный набор попарно различных шаров В\,... , Вт такой, что

ц(Е) £ 1*(Вк). (4)

к=1

Применяя к каждому из шаров Вк (3) и затем (4), приходим к неравенствам

ш

к к=1

Используя оценку ^Ф(^) qФ(U), имеем //(Е) q^f■Ф(U) для произвольного ком-к

пактного подмножества й С Переходя к точной верхней грани по всем таким получаем требуемое утверждение. О

ш

Верхняя и нижняя производные g-квазиаддитивной функции множества, заданной на открытых множествах из D, определяются следующим образом:

Ф (ж) = lim sup . „ . и Ф (ж) = lim mí . „ . , h^QS<hß(BS) -v h-+0 6<h ß(Bs)

где точная верхняя и нижняя грани берутся по всем шарам Э ж, С D, радиус S которых меньше h.

Заметим, что функция

,, , , Чв&)

Мф(х,г) = sup

О<S<r,x£Bs íi{B$)

полунепрерывна снизу при всяком фиксированном г > О для всех ж €Е D таких, что dist(a;, dD) > 2сг (см. доказательство предложения 1), и значит, является борелевской функцией. Следовательно, верхняя производная Ф (ж), как предел последовательности борелевских функций, сходящихся поточечно, сама является борелевской функцией ([6], с. 595).

Аналогично проверяется, что Ф'(ж) также является борелевской функцией. Очевидно, для любой точки ж €Е U С D, где U — открытое множество, справедливо поточечное неравенство Ф (ж) ^ Mjf (ж). Поэтому непосредственно из предложения 2 вытекает

Следствие 2. Пусть Ф — q-квазиадцитивная функция, определенная на открытых подмножествах области D однородного пространства X. Тогда для любого открытого множества U С D и любого t > О

(У) _/

fi(Et) qj$(U), где Et = {ж е U : Ф (ж) > t}.

В частности, верхняя производная Ф (ж) < +оо для почти всех ж €Е D.

Теорема 1. Пусть (X, d, ц) — пространство однородного типа с определенной на открытых подмножествах области D С X q-квазиаддитивпой функцией множества Ф. Тогда для любого открытого множества U С D

Ф (ж)ф(ж) < с2д Ф(и).

и

< При 1 < £ < оо множество А = {ж 6 17 : 0 < Ф (ж) < оо} представимо в виде объединения непересекающихся измеримых множеств Рп = {ж €Е А : < Ф (ж) ¿п+1}, п €Е Ъ. Рассмотрим произвольное компактное множество .Рп С Рп и для фиксированного конечного набора К С Ъ рассмотрим произвольные открытые попарно непересекающиеся множества IIп I) Рп, 11п С II, п € К. Тогда, применяя следствие 2 к множествам Рп вместо /','/ и 11п вместо II, получаем неравенства

дф(и) 2 Е > —Е > — Е г1 [ Ф'ИФИ-

пек С2Я пек С2Я пек /

Так как множества Fn С Pn, n € Z, набор К С Z и число t > 1 произвольны, а //({ж е U : Ф (ж) = оо}) = 0, то теорема доказана. >

Следствие 3 (теорема Лебега). Пусть X — однородное пространство, D — область в X. Предположим, что функция / принадлежит L\^\oc(D). Тогда для почти всех ж G D

л [ 1/(у)^/И1Ф(У) = 0. (5)

¿-»•О.ВгЭх Ц{В$) J

Bs

< Для функции g €Е Li^oc(D) и открытого множества U С D положим

ф(^) = J g{y)Mv)•

и

Так как Ф — 1-квазиаддитивпая функция множества, то по теореме 1 для произвольного открытого множества U С D выполнено неравенство

Му)Ф(у) < с2 Jg(y)dn(y) =с2Ф(и), и и

где

д{ ж) = lim sup —[ g(y)dfi(y) = ф'(ж).

bs

Поскольку неравенство f(g(y) — c2g(y)) dfj,(y) ^ 0 выполняется для всех открытых

и

множеств U С D, то для //-почти всех ж €Е D справедливо

д{ж) с2д(х). (6)

Далее, для произвольного рационального числа р положим др = |/(у) — и, применяя неравенство (6) к функции др, получаем, что для почти всех ж €Е -D

lim sup —L-[\f(y)-f(x)\dfi(y)

xeBe,s<h J

bs

< lim sup —J— [(gp(y) + \p-f(x)\)dfi(y)

Bs

< C2gP(y) + \p^ f(x) I = (1 + C2)\p - /(ж)|

для почти всех ж €Е -О. Так как число р произвольно и при фиксированном ж может быть выбрано сколь угодно близким к значению /(ж), то равенство (5) доказано. >

Заметим, что приведенное доказательство теоремы Лебега не требует аппроксимации средними по Стеклову, и применимо на широком классе метрических пространств.

1.2. В дальнейшем, мы предполагаем, что мера обладает следующим свойством непрерывности:

Свойство 6. Функция (0, оо) Э (5 н ц{В&(х)) непрерывна при любом фиксированном х €Е X.

Из свойства 6 вытекает, в частности, что мера сферы равна нулю: //({у €Е X : с1{х, у) = 5} = 0) для любой точки х 6 X и радиуса 8 > 0.

Для доказательства следующего утверждения о производных д-квазиаддитивной функции нам потребуется более тонкое утверждение о покрытиях, известное как теорема Витали (см. ниже теорему 2). Семейство шаров {Ва} называется покрытием Витали измеримого множества Е С X, если для каждого х 6 Е и каждого е > 0 существует шар Вао €Е {Ва} такой, что х €Е Вао и гас1(.Ва) < е. Покрытие называется замкнутым, если каждый шар из этого семейства замкнут, и открытым, если каждый шар из этого семейства открыт.

Для каждого шара В§{х) 6 X определим его расширение В$(х) следующим образом. Положим

ВЦх)=иВ7,

где объединение берется по всем шарам В7 таким, что В7ПВ$(х) ф 0 и 7 ^ 8. Заметим, что из свойств 4 и 5 следует условие

(см., например, [4, с. 8]). Это условие является основным в теоремах о покрытиях типа Витали. Сформулируем в нужной нам форме теорему 2.8.17 из [7].

Внешней мерой /ле(Е) множества Е С X называется точная нижняя граница мер всевозможных измеримых относительно меры ц множеств, содержащих множество Е:

ре(Е) = МШО)}.

Теорема 2 [7]. Пусть X — однородное пространство н {Ва} — замкнутое покрытие Витали множества Е С X. Тогда существует последовательность попарно непересекающихся замкнутых шаров из этого семейства В\,... ... такая, что

це(Е\^Вк^=0.

к

Из теоремы 2 следует

Лемма 3. Пусть X — однородное пространство и {Ва} — открытое покрытие Витали множества Е С X. Тогда найдется последовательность попарно непересекающихся открытых шаров В\, В2, ■ ■ ■, Вк,..., В^ €Е {Ва}, такая, что

це(Е\^Вк)=0.

к

Применение леммы 3 позволяет уточнить оценку меры множества полученную в предложении 2.

Предложение 3. Пусть Ф — д-квазиаддитивная функция, определенная на открытых подмножествах области I) £ X, где X — однородное пространство. Тогда, если в каждой точке ограниченного множества Е С -О выполняется неравенство Ф (ж) > £ > 0, то для любого открытого множества I' ) /*'. I' С Г), имеем

ре(Е) < |Ф(СА). (7)

< Действительно, возьмем произвольную точку ж €Е Е. Тогда найдется последовательность шаров С II, ж €Е радиусы которых стремятся к нулю, такая, что неравенство

ФШЯ

> г > О

ЧВ%)

выполнено при всех к € N. Семейство \}х£Е (У/гем Щ) образует покрытие множества Е в смысле Витали, значит, найдется последовательность попарно непересекающихся шаров Вт из этого семейства такая, что /.1е(Е \ Ут Вт) = 0.

Имеем

це(Е) ^2ц(Вт),

т

и ¿//(.Вш) < Ф(Вт) при каждом т. Следовательно,

^е(Е) < < ^ф(Дп) < яЩи)

ш ш

и поэтому нужное неравенство установлено. >

Теорема 3. Пусть X — однородное пространство, а ц-квазиаддитивная функция множества Ф определена на открытых подмножествах области I) С X. Тогда для любого открытого множества (' С Г)

Уф'(ж)ф(ж) < дФ(*7). (8)

и

Замечание 1. Аналогичное неравенство для нижней производной Ф' вместо верхней Ф было установлено в [8, лемма 2.3] при произвольном ц в предположении, что д-квазиаддитивная функция множества определена на борелевских подмножествах евклидова пространства Ж".

< При 1 < £ < оо множество А = {ж 6 17 : 0 < Ф (ж) < оо} представимо в виде объединения непересекающихся множеств Рп = {ж 6 А : < Ф (ж) ^ ¿п+1}, п 6 Ъ. Рассмотрим произвольное компактное множество .Рп С Рп и для фиксированного конечного набора К С Ъ рассмотрим произвольные открытые попарно непересекающиеся множества 11п Э 11п С -О, п € К. Возьмем произвольную точку ж € Тогда найдется последовательность шаров с 1/п, ж €Е радиусы которых стремятся к нулю, такая, что неравенство

Ф{В%) > > о

выполнено при всех к €Е N. Пусть Р = Уп Рп, п €Е К. Очевидно, что семейство шаров (и^гем Щ) образует покрытие множества Р в смысле Витали. Следовательно, найдется последовательность попарно непересекающихся шаров Вт из этого семейства такая, что Вт) = 0. Заметим, что в силу выбора шаров справедливо свойство

\ [){Вт : Вт П Рпф 0}) = 0 для любого п € К. Далее имеем

дФ(Ц) 2 £ Ф(вт) = £ Е Ф(Дп)^ЕГ( Е ^в

тем пек втпрпф0 пек в.mnFn#0

пек пек р

Так как множества Рп С Рп, п € Ъ, набор К С Ъ и число £ > 1 произвольны, неравенство (8) доказано. >

Следствие 4. Пусть X — однородное пространство, а ц-квазиаддитивная функция множества Ф определена на открытых подмножествах области I) С X. Тогда для почти всех ж €Е X

Ф (ж) < <?Ф'(ж).

< Из неравенства (8) следует, что для произвольного шара В§ С И справедливо

1 /* / 1

Ф (ж)ф(ж) < д Ф(В$).

fi(Bs)J v ; v ; >№)

bs

Переходя в последнем неравенстве к нижнему пределу при <5 ~> 0 и применяя следствие 3, находим, что Ф (ж) ^ дФ'(ж). >

Из теоремы 3 и следствия 4 вытекают свойства (квази)аддитивной функции, определенной на открытых подмножествах однородного пространства X, обобщающие соответствующие результаты из [3], в частности, соотношения (1) и (2) при X = Ж".

Следствие 5. Пусть X — однородное пространство, а 1-(квазп)аддитивная функция множества Ф определена на открытых подмножествах области D С X. Тогда

a) в почти каждой точке ж €Е D существует конечная производная

lim iiM = ф'(ж); ä^0,Bs3x fl(Bä)

b) для любого открытого множества U С D справедливо неравенство

Ф'(ж)ф(ж) < Ф(17).

Заметим, что соотношение между верхней и нижней производными д-квазиадди-тивной функции (следствие 4) может быть доказано независимым образом. Приводимое ниже доказательство обобщает рассуждения из [3, теорема 5, с. 207; 9, с. 33-35].

Предложение 4. Пусть Ф — д-квазиаддитивная функция, определенная на конечных объединениях открытых шаров из области И С X, где X — однородное пространство. Тогда Ф (ж) дФ'(ж) для почти всех ж €Е Т).

< Представим множество А = {х е Б : Ф ( х) > дФ'(ж)} в виде А = У Агз, где

г,в

объединение берется по всем парам рациональных чисел г > .з, а Аг^3 = {х 6 В : Ф (ж) > г > 5 > дФ'(ж)}. Фиксируем пару чисел г > и докажем, что ц{Ата) = 0. Пусть последовательности шаров В^ Э х, ВЦ С И ш Вк Э х, Вк С И выбраны так, что

ф'(ж) = цт ММ и ф'(ж)= Ит

га4(В*)-Х) 11{В*к) га4(ВЛ)^0 //(-В*)

Тогда

/ф(^)____

Ars = < ж G D : Зй0(ж) Vfc > (ж) > г > s > q

\t*(Bk) ß(Bl)

Возьмем произвольное е > 0 и такое открытое множество G, содержащее Ars, что ß(G) //e(Ars) + е. Семейство Z? = |J |J В£ образует покрытие Витали множества

*-rs)

x£Ars к

Ars. Применим к семейству В и множеству Ars лемму 3, используя только те шары Вкоторые содержатся в G. Получим последовательность непересекающихся шаров для которой ße(Ars \ |J Sl) = 0. Ясно, что

к

к s к

Заметим, что

ße (А

ке N

Поэтому, применяя предложение 3 к множеству ATS U Sk вместо Е и Sk вместо U, имеем

ße(Ars) < J>e(ArenS£) < f < < ^e(ATS)+e).

Итак,

у у у

fceN fc

ße(Ars) ^z

rs;

г — s

Поскольку е сколь угодно мало, получаем = 0. >

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Результаты параграфа 1 справедливы также и в том случае, если вместо метрического пространства (X, ё) рассматривается множество X такое, что для каждой точки ж €Е X определена система {-Вй(ж)}д непустых ограниченных подмножеств множества X, параметризованных 8, 0 < 8 < оо, т. е. задана система {В$ = В§{ж)}^ открытых шаров с центром в точке ж радиуса 8. Предполагается, что шары монотонны относительно 8: В$г{х) С В$2(х) при ¿1 < 82, удовлетворяют свойствам 4, 5, 6, а также двум формулируемым ниже требованиям.

Свойство 7. П В&(х) = {ж} и у В$(ж) = X. 6 б

Свойство 8. Для каждого открытого множества 17 и каждого 8 > 0 функция х ц{В§{х) П 17) непрерывна.

о

1.3. В этом пункте мы сформулируем простые условия, обеспечивающие равенство в соотношении (8). Известно, см. например [7], что если Ф определена на борелев-ских множествах, счетно аддитивна и абсолютно непрерывна, то в соотношении (8) имеет место равенство. В этом пункте мы получим равенство в (8) при более слабых предположениях.

Свойство 9. 1-квазиаддитивная функция множества Ф, определенная на открытых множествах области И С X, называется (конечно) субаддитивной, если для любого конечного набора открытых множеств Щ С И, г = 1,... ,к, имеет место неравенство

ф(иг<) <Еф(г>)-

1=1 1=1

Свойство 10. 1-квазиаддитивная функция множества Ф, определенная на открытых множествах области И С X, называется абсолютно непрерывной относительно меры ц, если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что Ф(11) < £ для любого открытого множества II С -О, удовлетворяющего условию /л(II) < 6.

Лемма 4. Пусть 1-квазиаддитивная функция множества Ф определена на открытых множествах области И С X и удовлетворяет свойствам 9 и 10. Тогда для нее справедливы следующие утверждения:

/к ч к

1) ф( У и А = X) ^(^г) Для любого конечного набора попарно непересекающихся

4=1 ' 1=1 открытых множеств б^С-О, ¿ = 1,... ,к.

2) ф( У иА = Нт Ф(Щ) для любой монотонной последовательности Щ, I £ К,

4=1 г-^-оо

открытых множеств в I): Щ С С II С -О, % €Е М, ц{и) < оо.

3) Для компактного множества /\ С I) введем величину

Ф*(К) = т£{Ф(?7) : II — открытое множество в И и /л(К \11) = 0}.

Тогда Ф(Т/Г) = зир{Ф*(К) : К С V, К—компактное множество} при условии, что мера ц{у) открытого множества V С X конечна.

< Доказательство утверждения 1 очевидно. Чтобы доказать второе, фиксируем

е > 0 и такое j, для которого ш |J UА < 8/2, где S выбрано в соответствии со

\=j+i '

оо

свойством 10. Возьмем произвольное открытое множество V D |J Щ такое, что

i=j+1

ß(V) < 8. Тогда по свойству 6

оо j j

i=1 i=1 i=1

Так как число е > 0 произвольно, то ф(и llA ^ lim ф( IJ иЛ. Противоположное

4=1 > 4=1 >

неравенство в силу монотонности функции множества очевидно.

оо

Докажем последнее утверждение. Так как fJ.(V) < оо, найдется компактное множество К С V такое, что ц{у\К) < S (здесь S выбрано по е в соответствии со свойством 10). Пусть U С V — произвольное открытое множество такое, что fi(K \ U) = 0. Существует открытое множество W D К \ U, W С U, такое, что fi(W) < S. По свойству 9 имеем

#(F) < Ф(и) + Ф(У \К) + Ф(1¥) < Ф(и) + 2е.

Отсюда вытекает #(F) ^ Ф*(К) + 2е. Поскольку положительное число е произвольно,

то #(F) ^ sup Ф*(К). Лемма доказана. > к cv

Предложение 5. Пусть X — однородное пространство, а 1-квазнаддптнвная функция множества Ф определена на открытых подмножествах области D С X, n{D) < оо, и удовлетворяет свойствам 9 и 10. Тогда для любого открытого множества U CD

J Ф'(ж)ф(ж) = Ф(и).

и

< При 1 < t < оо множество А = {ж 6 U : 0 < Ф (ж) < оо} представимо в виде объединения непересекающихся множеств Рп = {х 6 А : tn < Ф (ж) ^ tn+1} конечной меры, n£l Рассмотрим произвольное компактное множество Fn С Рп и для фиксированного конечного набора К С Z рассмотрим произвольные открытые попарно непересекающиеся множества Un D Fn, Un С D, n € К. Возьмем произвольную точку i£F„. Тогда найдется последовательность шаров С Un, ж €Е , радиусы которых стремятся к нулю, такая, что неравенство

Ф(В%) < Г+2ц(В%)

выполнено при всех к €Е N. Пусть F = \JnFn, п €Е К. Очевидно, семейство шаров Uzgf (UfceN Щ) образует покрытие множества F в смысле Витали. Следовательно, найдется последовательность попарно непересекающихся шаров Вт из этого семейства такая, что [i(F\\Jm Вт) = 0. Заметим, что в силу выбора шаров справедливо свойство n(Fn \ \J{Bm : Вт П Fn ф 0}) = 0 для любого п € К. Далее имеем

<mf) < y, = Е Е

m£n n£k bmnf„#0

< Е г+2( Е < Е

пек втпрпф0 пек

Так открытые множества Un D Fn произвольны, отсюда вытекает

Ф*(Р) < tn+2V(Fn) < Е [ Ф'ИФИ < t2 J ф'(ж)ф(ж).

пек пек р jj

Так как множества Fn С Рп, п € Ъ, набор К С Z и число t > 1 произвольны, то с учетом леммы 4 и теоремы 3 предложение 5 доказано. >

2. Оператор суперпозиции в пространствах Лебега

Пусть (X, с1, ¡л) — однородное пространство. Далее мы будем предполагать, что квазиметрика с! и борелевская мера ¡л удовлетворяют свойствам 1-5 (свойство 6 нам было нужно только при рассмотрении функций множества, заданных на открытых подмножествах пространства X).

Напомним, что отображение Ф, определенное на борелевских подмножествах из I), I) — область в X, называется д-квазиаддитлшной функцией множества, где q ^ 1 — фиксированное число, если

1) 0 ^ Ф(К) < оо, если К С В — компактное множество;

2) Ф(^) < Ф(и2), если С и2 С В — борелевские множества;

3) для всякого конечного набора Щ С II, г = 1,... , к, попарно различных борелевских множеств, II С Б — борелевское множество,

¿Ф(С^) (U).

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Утверждения первого параграфа о дифференцируемости и восстановлении абсолютно непрерывной части функции множества справедливы для д-квазиадцитивных функций множества, определенных на борелевских подмножествах области Б.

Пусть Е — измеримое множество на однородном пространстве X. Измеримая функция / : Е Ж принадлежит пространству Лебега ЬР(Е), 1 ^ р ^ оо, если

|/ | ЬР(Е)\\ = ( у |/|рф(ж)) < +оо, 1 < р < ос,

Е

||/ | Loo(£7)|| = ess sup |/(ж)| < +оо.

х£Е

2.1. Пусть D и D — измеримые множества на метрических пространствах X и X соответственно. Будем говорить,^что отображение -р : Г) Г) порождает ограниченный оператор вложения <р* : LP(D) ^ Lg(D), 1 ^ q ^ р ^ оо, по правилу <р*/ = f ор>, если существует постоянная К < оо такая, что \\<р*f | Lg(Z))|| K\\f \ LP(D)|| для любой функции / €Е Lp(D). В этом случае очевидно, что р> порождает ограниченный оператор р>* : LP(A) —> Lq(p>~l(A)) для любого борелевского множества А С D. Действительно, если / €Е Lp(A), то рассмотрим продолжение / функции / на D положив f(y) = 0 вне А. Тогда <p*f(x) = (f°<p)(x) = <р* f I _1(-Тч(ж), х € р>~1(А), и поэтому р>* — ограниченный оператор.

Лемма 5. Пусть отображение р> ■. D ^ D порождает ограниченный оператор вложения р>* : LP(D) —> Lq(D), 1 ^ q < р ^ оо. Тогда

/ | Lg(9?-1(l))||y __________11рир< оо,

(\\<p*f\Lq(<p-HA))\\\ Г

Ф(А) = sup ----tzt--11 , где к = <

f£Lp(A)\ \\f\Lp(A)\\ J ^ прир = оо,

является ограниченной монотонной счетно-аддитивной функцией, определенной на борелевскпх множествах А с Г>, ¿¡(А) > 0.

< Очевидно, что Ф(^) ^ Ф(А2), если Ах с А2.

Пусть А^, % £ N, — попарно непересекающиеся борелевские множества в Г), Ао =

и Ai, Ai = р~1{А'1 = 0,1,.... Рассмотрим такую функцию fi £ ЬР(А^, чтобы

1=1

п ~ — п ~

одновременно ВЫПОЛНЯЛИСЬ условия Ц^Р*/« \ ЬЯ(А^ || ^ (Ф(Аг)(1 — ||/г I Ьр{Аг) II и

||л I ЬР(Щ\Р = Ф(£)(1- прпр < ос (||Л I ЬР(Щ\ = 1 прир = оо), е £ (0,1).

N

Полагая /дг = X) /« и применяя неравенство Гёльдера при р < оо (случай равенства), ¿=1

получаем

N

1=1

¡м\Ьд(1)Аг) > £ (ф(Аг) 1--

№

¿=1

1/9

/ "

4=1

ЛГ

>

и -'Н

4=1

1

N ч А . №

i=l ' 4=1

(9)

Отсюда следует, что

~ 1 Ф(Л))~ ^ эир

, N ч

7лг | £<,( и Аг)

\=1 7

I Ы и А

N

>

г=1

( М

£>(А<)-еФ(Ао)

4=1

N

где точная верхняя грань берется по всем функциям /дг £ Ьр ( У А^ 1 указанного выше

4=1 7

вида. Так как Ж и е произвольны, квазиаддитивность функции Ф доказана. Справедливость обратного неравенства проверяется непосредственно. [>

Следующее утверждение дает оценку искажения меры при отображениях рассматриваемого класса.

Предложение 6. Пусть отображение у : I) —г I) порождает ограниченный оператор вложения (р* ■. Ьр(1)) ^ ЬЧ(Б), 1 ^ д ^ р < оо. Тогда для всякого борелевского множества А С -О прообраз р~1{А) измерим и выполнены неравенства:

ц((р (А))ч ^ Ф(А)"Д(А)р, 1 ^ д < р < оо

и

ц(<р~1(А)) ^ К»¿(А), 1 ^ д = р < оо.

< Так как оператор вложения (р* : Ьр{0) —> Ьд(-О) ограничен, то для всякого борелевского множества А С -О выполняются неравенства

119?*/ I Ы<р~\А))\\ < Ф(^)"11/ I ЬР(А)\\ ^ Ф(5)« II/ I ЬР(А)II

<2

я

1

1

при 1 ^ q < р < оо, и

W^flL^-^Am^KWflL^An

при 1 ^ q = р < оо. Подставляя в эти неравенства характеристическую функцию /(У) = Xj(y) множества А, получаем требуемое утверждение. >

Отображение <р : D ^ D обладает N-свойством Лузина, если образ всякого множества нулевой меры есть множество меры нуль, и обладает М~1 -свойством Лузина, если прообраз всякого множества нулевой меры есть множество меры нуль.

Следствие 6. Пусть отображение -р : I) —г I) порождает ограниченный оператор вложения р>* : LP(D) Lq(D), 1 ^ q ^ р < оо. Тогда функция множества D D А ц((р~1 (А)) абсолютно непрерывна относительно меры fi, в частности, отображение р> обладает М~1 -свойством Лузина.

Отображение <р : D ^ D называется измеримым, если прообраз измеримого множества измерим. Заметим, что в силу предложения 6 отображение, порождающее ограниченный оператор пространств Лебега измеримо. Для измеримого отображения ■р : I) г I) определим объемную производную «обратного отображения»

•V* Ш = Ьт-т-т^т-гт-, y<ED.

Теорема 4. Измеримое отображение -р : Г) —г Г) порождает ограниченный оператор вложения (р* : LP(D) Lq(D), 1 ^ q ^ р < оо, тогда и только тогда, когда

Ф (у) = Jv-1 (у) р-9 для почти всех у е D в случае 1 ^ q < р < оо, Где <]> — функция множества из леммы 5, и

ess sup Jv-i (у) < оо в случае 1 ^ q = р < оо.

IieD

При этом норма оператора р>* : LP(D) —> Lq(D) равна

#(У)) \ 1 ^ q < р < оо,

К=\ D

(ess sup Jv-i(y))p, l^q = p<oo.

уеи

< Необходимость. Так как оператор р>* ограничен, то для всякого борелевского множества А С D и произвольной функции / €Е LP(A) выполняются неравенства \\<р* f \ Lq(p>~l(A))\\ < Ф(А)«||/ | Lp(A)|| при 1 < q < р < оо, и \\<р*f \ Lv(p>~1 (А))\\ < \\<р*\\ • ||/ | ЬР(А)|| при 1 ^ q = р < оо. Подставляя в эти неравенства характеристическую функцию f(z) = Xb(z) множества В = В (у, г) С D получаем

fi(p>~l(B(y, г)))« Ф (B(y,r))*ji(B(y,r))p, 1 q < р < оо,

ц{<р 1(В(у,г))) < \\<р*\\*ЧЦВ{у,г)), 1<:д = р<оо.

Следовательно,

1 1 ,-1/....... .......

^(<Р~1(В(у,г))) V (Ф(В(у,г))\

¡1(В(у,г)) ) \/л(В(у, г))

Переходя к пределу при г ^ 0, получаем

1

1*(<Р (В(у, г))) , „

^ ||</р у, 1 ^ д = р < оо.

1_

^ ||93*11 почти всюду в I)

при 1^д = р<оо, и

(у) р-в ^ Ф (у) для почти всех у €Е Б

в случае 1 ^ д < р < оо.

Интегрируя последнее неравенство по области В и используя свойства счетно-аддитивной функции множества (лемма 5 и теорема 3), получаем нужную оценку

1

-в-

Зф-1 (у) р-9 <1/л(у) I ^ Ф(-О) = 1МГ < 00 при 1 ^ д < р < оо, г>

и

езББир(у)—1 ^ ||93*11Р < 00 при 1 ^ д = р < оо. I/еЪ

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть 1^д<р<ооп функция / е ЬР(Б). Применяя теорему замены переменной в интеграле Лебега из [10, §39, теорема 4], имеем

1 1 119?*/ I ьд(в)\\ = (/1/ ° Ф^)) 9 = (/1/1%) • V1 (у)Ф(у))9• в Ъ

Воспользовавшись далее неравенством Гёльдера, получаем

в в

<(.у

ъ

р

Отсюда имеем соотношение Ф(В(у, г)) ^ / «7^,-1 (г)~ й{л(г), из которого по теореме

В( у,г)

Лебега получаем неравенство Ф'(у) ^ для почти всех у €Е I). Пусть теперь

1 ^ д = р < оо. Тогда

/|LP(£>)|| = / \f o<p\P(x)dfi(x)

D

\f\P(y)Jip-1 (y) djj,(y)J < K\\f I Lp(£>)||.

D

Из выведенных неравенств получаем оценку \\<р*\\ ^ К для нормы оператора р>. Теорема доказана. >

Заметим, что при д = р теорема 4 фактически была получена в рамках работы

[И].

Следствие 7. Пусть отображение р> ■. D ^ D порождает ограниченный оператор вложения (р* : LP(D) Lq(D), 1 g < р < оо. Тогда функция множества Ф из леммы 5 является абсолютно непрерывной ограниченной монотонной счетно-аддитивной функцией, определенной на борелевских множествах из области D.

2.2. Аналогично лемме 5 доказывается утверждение для функции множества, определенной на борелевских подмножествах области D. Корректность определения вводимой в лемме 6 функции множества Ф вытекает из предложения 6.

Лемма 6. Пусть биективное отображение у : Г) —г Г) такое, что образ борелев-ского множества является борелевским, порождает ограниченный оператор вложения р>* : LP(D) Lg(D), 1 q < p ос. Тогда

, ч f \\<P*f \ Ln(A)\\ \ K f ирир< оо,

Ф (A) = sup ГУ'. V,.; , где к =

feLp(v(A))\\\j | Lp{<p{A))\\J [g при p = oo,

является ограниченной монотонной счетно-аддитивной функцией, определенной на борелевских множествах А с D, ¡л{А) > 0.

Для биективного отображения р> : D D, обладающего таким свойством, что образ борелевского множества является борелевским, определим его объемную производную

r^Q ц{В{х,Г))

Из предложения 6 вытекает также

Следствие 8. Пусть биективное отображение у : Г) —г Г) такое, что образ борелевского множества является борелевским, порождает ограниченный оператор вложения (р* : Lp(D) Lq(D), 1 ^ g ^ р < оо. Тогда объемная производная 3V > 0 почти всюду в области D.

Исследуем вопросы, связанные с формулой замены переменных при биективных отображениях на метрических пространствах однородного типа.

Для доказательства следующего предложения нам потребуется следующее утверждение о покрытиях [7].

Лемма 7. Пусть семейство шаров В в однородном пространстве X удовлетворяет условию: зир{сНат.В : В €Е В} < +оо. Тогда существует последовательность попарно непересекающихся шаров такая, что

оо

и В С и 5Вг.

вев 1=1

Здесь символ 5В обозначает шар, концентричный шару В, и такой что (Пат 5 В = 5 сНат В

Предложение 7. Пусть : Г) Г) — биективное отображение такое, что образ борелевского множества является борелевским. Тогда существует борелевское множество Еу, нулевой меры такое, что для всякого борелевского множества А и борелев-ской функции /:!}—> Ж справедлива формула

/о 9з(ж)^(ж)ф(ж) = у Ду)х(у)#(уК (Ю)

.4 ^(А)

гДе х(') — характеристическая функция множества (р(А\Т,^).

< Для произвольного числа к = 1,2,... определим множества

Ак = {х е -О : «7^,(ж) < к}.

Заметим, что так как объемная производная «7^, является борелевской функцией (см. пункт 1.1), то множества Ак, к = 1,2,..., борелевские.

Покажем, что на множестве Ак отображение р обладает Л/*-свойством Лузина и выполнено неравенство

/%(А)) < ф(А)

для всякого борелевского подмножества А С Ак. Пусть А С Ак — произвольное подмножество нулевой меры. Без ограничения общности можно считать, что множество А ограничено. Фиксируем число е > 0. Тогда найдется открытое множество 17 I) А с условием ц{17) < е. Для каждой точки х €Е А найдется число гх > 0 такое, что любой шар В = В(х,г), г €Е (0,гх), удовлетворяет условиям

В(х,г)с17 и ¡л((р(В(х,г))) < к/л(В(х,г)). (11)

Применяя лемму 7, выберем из семейства шаров В = {В(х,г/5) : х €Е А, г €Е (0,гж)} последовательность шаров такую, что:

1) Вг П Bj = 0 при г ф

оо

2) А С и 5вг;

i=l

3) для каждого шара ЪВг = 1, 2,..., выполнено условие (11). Тогда имеет место оценка

оо оо оо

¡л(<р(А)) ^ < скц(и) < ске.

1=1 1=1 1=1

Здесь с — некоторая постоянная, зависящая только от постоянных с\ и с2- Так как число е > 0 было выбрано произвольно, то Л/"-свойство Лузина доказано. Докажем неравенство

/2(<р(А)) <: кц(А).

Фиксируем произвольное число е > 0, открытое множество 17 I) А такие, что ц(17) < ц{А) + е. Пусть В = {В(х, г) : х €Е А, г €Е (0, гх), где гх > 0 такое число, что В(х, г) С 17 и )1(<р(В(х,г))) < кц{В{х,г)) для всех г €Е (0,гх)} — покрытие Витали множества А. Применяя теорему 2, выберем из семейства В последовательность замкнутых шаров такую, что: 1) Вг П В у = 0 при г ф

2) ЦВ^ =0;

3) для каждого шара Вг = 1,2,..., выполнено неравенство /л(<р(В^) < к[г(В^. Следовательно,

(оо n оо оо

и <р(В>)) = £ ШВг)) ^к^ 1*(В>) = ыи) = к(ц(А) + е). i=l ' i=1 i=l

Так как е > 0 — произвольное число, то неравенство ¡л((р(А)) ^ к^(А) доказано.

Определим множество = В \ У Ак. Из следствия 5 вытекает, что 3^ < +оо

к

почти всюду в области В и, значит, |Еу,| = 0. Кроме того, отображение <р обладает ЛГ-свойством Лузина на множестве I) \

Докажем справедливость формулы (10). Действительно, в этом случае функция множества О (А) = /л((р(А \ Е^)) является абсолютно непрерывной аддитивной функцией, определенной на борелевских подмножествах области I), причем выполнено неравенство 3^ ^ О' почти всюду в области I). Применяя предложение 5 (с учетом замечания 3) находим, что

3^{х) ф(ж) ^ J ©'(ж) ф(ж) = @(А) = ¡л(р(А \ Е„)).

А А

Справедливость обратного неравенства вытекает из следствия 5:

3<р(х) ф(ж) = J ^(ж)ф(ж) ^ ¡л((р(А\ Еу,)).

Окончательно получаем равенство

3^(х) ф(ж) = ¡¿(<р(А \ Еу,)).

А

Рассуждая далее стандартным образом (доказывая справедливость формулы (10) для характеристических функций, и далее аппроксимируя произвольную борелевскую функцию ступенчатыми функциями, см., например, [12, 13] ) получаем требуемый результат. [>

оо

Теорема 5. Биективное отображение --р : Г) —г Г) такое, что образ борелевского множества является борелевским, порождает ограниченный оператор вложения р>* : LP(D) ^ Lq(D), 1 ^ q ^ р < оо, тогда и только тогда, когда

Ф'(ж) = Jv(x) для почти всех х €Е D в случае 1 ^ q < р < оо, Где ф — функция множества из леммы 6, и

(esssup Jip(x))~1 < оо в случае 1 ^ q = р < оо.

xED

При этом норма оператора (р* : LP(D) —> Lq(D) равна

х

Jv{x)) q^p djji(x)j к , 1 ^ q < p < oo,

К ='_ D

p

ess sup Jv(x)) p, 1 ^ q = p < oo.

xED

< Необходимость. Так как оператор р>* ограничен, то для всякого борелевского множества А С D и произвольной функции / €Е Lp(p>(A)) выполняются неравенства \\<p*f | Lq(A) || ^ Ч?(А)к\\/ | Lv(p>(A)) || при 1 ^ q < р < ос, и \\<р* f \ Lq(A) || ^ \\<р*\\ • ||/ | Lp(ip(A))|| при 1 ^ q = р < оо. Подставляя в эти неравенства характеристическую функцию /(у) = Xip{B){y) множества р>(В), В = В(х,г) С D, получаем

A i. I.

fi(B(x, г))ч ^ Ч>(В(х, г)) к fi(р>(В(х, r)))p, I ^ q < р < оо,

и

fi(B(x,r)) ^ \\p>*\\'pfi(p>(B(x, г))), 1 ^ q =р < оо.

Следовательно,

i i / li{B{x,r)) у (Ч!{В{х,г))\-

\^(В(х,т)))) ,^КР<оо,

\ц(р>(В(х,г))) J \ц(В(х,г)) ( ц{В{х,г))

1

р

||(^2*|L 1 g = р < ОО. Переходя к пределу при г ^ О выводим, что

N — — *

Jip{%) р ^ \w II почти всюду в D

при 1^д = р<оо, и

q !

Jv(x) о-р ^ Ф (ж) для почти всех х €Е D в случае 1 ^ q < р < оо.

Интегрируя последнее неравенство по области I) и используя свойства счетно-аддитивной функции множества, выводим нужную оценку

«7^,(ж) 9-р ф(ж) ) ^ Ф(-О) = Ц93* II < оо, 1 ^ д < р < оо,

г>

езяБир./^ж) ^ ||9Р*||Р < оо, 1^д = р<оо.

достаточность. Пусть 1^д<р<ооп функция / е ЬР(Б). Поскольку 3^р (ж) > 0 почти всюду в I), то

1

№7 I = (/1

г>

1

I/ О (¿^(ж)«/^(ж) Р • ж)~Р ф(ж)

ю

Применяя далее неравенство Гёльдера и формулу (10), имеем №7 | ¿в(£>)|| < ( [ М^М х)У( [ |/о^(ж)^(ж)ф(ж)

9

г> г>

< ( у ^(ж)— Ф(ж)) ||/|£р(Г>)|

г>

Пусть теперь 1 ^ д = р < оо. Тогда

1

||^7 | £„(£>)|| = (/ I/ о ^(ж) • ^(ж)"1 ф(ж)) " < К||/ | £Р(Я)||.

г>

Из выведенных неравенств получаем оценку \\р*\\ ^ К для нормы оператора р. Теорема доказана. >

Следствие 9. Пусть биективное отображение р : Г) —г Г) такое, что образ борелев-ского множества является борелевским, порождает ограниченный оператор вложения р* : Ьр(-О) ^ Ьч{0), 1 ^ д < р < оо. Тогда функция Ф из леммы 6 является абсолютно непрерывной ограниченной монотонной счетно-аддитивной функцией, определенной на борелевскпх множествах области Б.

Литература

1

1. Ухлов а. д. Отображения, порождающие вложения пространств Соболева // Сиб. мат. журн.— 1993.—Т. 34, № 1,—С. 185-192.

2. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Пространства Соболева и (Р, <3)-квазиконформные отображения групп Карно // Сиб. мат. журн,—1998.—Т. 39, № 4,—С. 776-795.

3. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous transformations in analysis.—Berlin: Springer-Verlag, 1955.

4. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variables Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.— Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

5. Pansu P. Métriques de Carnot — Carathéodory et quasiisométries des espacies symétriques de rang un // Ann. of Math.—1989.—V. 129, No. 2,—P. 1-60.

6. Нанмарк M. А. Нормированные кольца.—M.: Наука, 1968.

7. Федерер Г. Геометрическая теория меры.—М.: Наука, 1987.

8. Martio О., Rickman S., Vàisàlà J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Scien. Fen. Series A I. Math.—1969. No. 448.—P. 1-40.

9. Гусман M. Дифференцирование интегралов в Ж™.—М.: Мир, 1978.

10. Халмош П. Теория меры.—М.: ИЛ, 1953.

11. Романов А. С. Структурные операторы в пространствах Lp Ц Сиб. мат. журн.—1980.—Т. 21, № 1.—С. 220-223.

12. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 1.—С. 70-89.

13. Vodop'yanov S. К. "P-Differentiability on Carnot Groups in Different Topologies and Related Topics/ Труды по анализу и геометрии (Редактор-составитель С. К. Водопьянов).—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000.—С. 603-670.

Новосибирск

Статья поступила ¡37 март,а 2002