О разрешимости краевой задачи на области с нерегулярной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223+517.983

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ОБЛАСТИ С НЕРЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Н.А. ЕРЗАКОВА

Для случая некомпактного оператора вложения пространства Соболева в пространство Лебега доказывается утверждение о существовании единственного решения краевой задачи для эллиптического уравнения.

Ключевые слова: пространство Лебега, пространство Соболева, оператор вложения, мера некомпактности Хаусдорфа.

Введение

Рассматривается разрешимость краевой задачи для линейного дифференциального оператора в случае, когда оператор вложения пространств Соболева в пространства Лебега, вообще говоря, некомпактен.

В данной работе, также как в [1,2,4], преследуется цель получить эффективные оценки степени некомпактности оператора вложения для специального класса областей.

1. Постановка и формализация задачи

Пусть О - открытое подмножество п - мерного евклидова пространства Я". Через Ьр (О), 1 < р <¥ обозначим пространство измеримых по мере Лебега функций в О, для которых

у/ Р

\\и\

ь (О) Р

||^рй^ < ¥. Если а - мультииндекс {а1,..., ап} то, как обычно, |а| = ^а^ - поря-

док а , Ва = Вс0а1...Вхп, где Вх = Э / Эх., V1 = {Оа}и=1, в частности, V = У1- градиент. Также

Ьр (О) пространство обобщенных функций в О, производные которых порядка 1 принадлежат пространству Ьр (О). Для всех и е I р (О) определена полунорма

(г \ р/2 У/р

Г і и\

ьр (о)

о VI а\=і

ёх

. Через Ьр (У; йц) = Ьр обозначим пространство локально

р

липшицевых на У функций, таких, что I (^) йЦ) < ¥, при этом

у/ Р

.р||ьр у = I ||^^)|) , а через I1,р’4 (У; йц) = I1,рл - пространство всех ^ е Ьр (У; йц), для

которых производная ^ е I (У; йц). Предполагается справедливость неравенства Пуанкаре

[1,2]:

и - и

- 1 г

< к\ІУиІІ , где и =-----I и(х)ёх, т.е.

ьа(о) р (о) mesQ.}

т.е. ограничен оператор вложения

I: Ьр (О) / С ® I (О) / С для 1 < р < q <¥, С - подпространство из всех постоянных функций

р

на О.

о

У

У

г

Определение [3]. Пусть Е - банахово пространство, а и - ограниченное подмножество Е. Мерой некомпактности Хаусдорфа %Е (и) множества и называется инфимум всех е > 0, при которых и имеет в Е конечную е - сеть.

Определение [3]. Пусть Е, Е1- банаховы пространства, А : Е ® Е1 - линейный непрерывный оператор, верхней С- нормой оператора А называется величина ||А||С) = Сщ (AS), где S -единичная сфера пространства Е .

2. Основные теоремы

Для полноты изложения сформулируем теорему, доказанную автором в [3].

Теорема 1 [4]. Пусть О с ^п и те(О) < ¥ . Пусть О удовлетворяет условиям:

1) для некоторого интервала ^ существует равномерно локально липшицево ото-

бражение 7' О ® /> т.е. существует у > 0 такая, что для каждого х е О найдется такая окрест-

ность V(х), что t(х) - т(у)\ £ g | х - y | для всех

У eV ( х)

причем

W \ Ws

удовлетворяет усло-

вию конуса, где "S > 0

Ws—t (Is), а JS = \}/S,b) при b = ¥, Js~ \b S,b) при b <

при

2) если

m(t) = mes{x eW :t(x) e \a,t)}, m(d-) - m(c) — m(c,d) (a £ c < d £ b),

ет отображение

M:Lp nC1 (W) — L1

то существу-

, удовлетворяющее неравенству \\(Mu)'|lp £ p||Vw||

3) для оператора T,

TF — F t(x)),

T1,p,q

действующего из p в p справедливо равенство

lim sup PW (и -TMu) = 0, где S = \u є 1} (W): ||Vu|| = 1

8®0 иє'§пЄ1 (W) 8 Lq(W) l P

на характеристическую функцию множества Wd'

Пусть m - абсолютно непрерывная часть ц. Для 8 > 0 положим

оператор умножения

N

s = sup

reJs

[m(b-) -m(r )]l/q if Í f) " dt 1 (p-і)/p'

_ с V dt J _

У, с

|b - S, если b < ¥, I 1/S, если b — ¥.

1

Тогда -MimNs £ IІ/ll(c) £ pq1q (q/(q -1))(p-1)/p limNs .

g S—0 11 11 S—0

Заметим, что теорема 1 обобщает теорему 3 из [2], доказанную для области с “обобщенным хребтом” и p = q .

Теорема 2. Пусть на интервале [a, b) задана положительная, непрерывно дифференцируемая функция f (t), причем sup f/| < р , lim f (t) — 0, где p - постоянная.

a<t<b

t ——b

Пусть область W с R2, W — {(х1, х2): a < х2 < b, 0 < х1 < f (х2)},

где

f f (t)dt < ¥, N (с, b) — sup

c£r <b

і/p

f f(t)dt f (f(i))-"p-ndt

( P-1)/P

Тогда для верхней %- нормы оператора вложения 1:1)Р(О)/С ® ЬР(О)/С справедливо нера-

венство lim N(c, b) £ \\l\\£ (1 + p)p /(p -1)(p 1)71

c®b 11 11

ния компактен тогда и только тогда, когда lim N(c, b) = 0 .

c®b

lim N (с, b) и, следовательно, оператор вложе-

c—b

сю

p

S

b

r

a

r

с

Доказательство. Утверждение теоремы 2 получается из теоремы 1 при р = q и

í

|/(т)ёт . Поэтому проверим, что все предположения теоремы 1 выполнены.

1. Обозначим через 3 интервал [а, Ь). Положим т(х1, х2) = х2. Очевидно, для любых двух точек х = (х1, х2) и у = (у1, у2) из Я2 имеет место |г(х) -т(у)| =| х2 - у2 |<| х - у |, т.е. у = 1. Обозначим (ТУ)(х1, х2) = У (т(х1, х2)) .

/ (г)

1 J К1 у

2. Для и е Ьр (О) п С '(О) положим (Ми)(г) =------- | и(т, I )ёт . Заметим, что

/ ( ) 0

(ТМи)(х1, х2) =

1

/(Т( X1, х2))

/ (7( х,,х2))

и(

/ ( х2)

|и(т,т(х1, х2))ёт =---------- |и(т, х2)ёт. Проверим, что (Ми)(г)

/ ( х2)

0

удовлетворяет неравенству: (Ми )'

< р||Уи|

Ь (О) р

где р = 1 + р .

По правилу дифференцирования интеграла, зависящего от параметра в случае, когда пределы интеграла зависят от параметра, получим

(МиX =

1

/ (г)

/(/) / а) /(;)

|щ (т 0фт+У/ОМУОХ 0 - -/2(-) |и(т, г)ёт =

/ 2(г)

1 7 Г) / и) Л/) /(/)

— |и;С7, г)фт + -/^— | |и[(s, г^ёт.

7 V) 0 7 V) 0 т

Отсюда в силу неравенства треугольника

||( Ми)'||гр

] |(МИ);|р/(г ф

1/р

<

<

Ь 1 /(г)

Г— Г и(т, г )ёт -1 /(г) о

/ (г )ё

1/р

+

/ )

/ (г) / а) и

Г Г и' (5, г)ёэёт

0 т

/ (г )ё

1/р

Для первого слагаемого справедливо неравенство

I

1 г

------ I и'(т, г)ёт

/(О 0 г

/ (г )ё

1/р

<

'Ь /(г)

I I |и' (т, г)|р ётЛ

1/р

очевидное при р = 1 и вытекающее из неравенства Гельдера при 1 < р < ¥, так как

/ (г) и

0 V 0

Для второго слагаемого имеем

/ (г)

1/р

/"1(0 Iи'(тг)ёт< I IУХ7,о|Рфт |у"1(0||/(0Гр+1 = I IУХ7,о|Рфт

'/(г)

у/р

/ (г)

р .

//>4 /(г) /(г)

/)

V

/ (г )ф

1/р

< Эйр!/[($)

а<г<Ь

Ь Г 1 /(г) /(г) Лр

II -/¿ф I I|и5(s, 1)\ёф /(г)ёг

1/р

Так как внутренний интеграл не зависит от т , то правая часть неравенства не превосходит

/ (г)

! V/1) !к (м )|ё'

/ (г )ё

1/р

<

Ь и/(г)

Л1/р

V

а VV 0

I/(г )Г

/ (г )ё

1/р

< Уи

"ьр (О)

а

0

а

V

г

V

Ь

I

а

V

а т

а

0

Ь

0т

00

а

а

V

Окончательно получим

||(Mu)t\Lp ( j т

£ l1+sup|f'(t)| i|^(O) £ (1+P)||Vu|

Lp (W)

Для произвольной точки (х1з *2) е О имеем

1 Я *2) 1 Я *2)

и( *1 , *2) - [ и(?1 *2^? = [ [и( *1, *2) - и(*2 )]й^

/(*2) О /(*2) О

1 I (*2) *1 1 I (*2) I (*2) I (*2)

------ | | и[ (£, *2)^&^г £-------- | | \и[ (£, *2)^3т = | \и[ (£, *2)|^^ .

(*2) 0 т I (*2) 0 0 0

3. Пусть О с =т_1[с, Ь) для произвольного числа а < с < Ь . Оценим для функции из

£ = <! и е /1 (О) : ||Уи|1 ,„* = 1 ^ отклонение

f

Po (u - TMu) = Po

c L(W) p c V

1(Xi, У) - f _1(y) ju(r, y)dr

41/p

f (y) u(

0

£

L (O) PK J

b f ( У ) f ( У )

j j j \uS(s y)|ds

у/p

dx1dy

£

b f (y)

£ sup f1/p'+1/p (t)l j j|uS (s, y)\pdsdy £ sup f (t) ||Vu

c<t <b

c<t <b

llLp (O)-

Следовательно, lim

c®b

Po

f ( У )

'(X1, У) - f “1(У) j u(t, У)dt

0

£ lim sup f (t) IIVul

c®b

lp (°)

c<t<b

Lp (W)

0.

Теорема доказана.

Проиллюстрируем теорему 2.

Пример. Пусть Qc R2, Q = {(xj, х2) :0 < х2 < ¥,0 < х2 < e~x\% = const > 0}. Мера Лебега

ко-

нечна, хотя область не ограничена. Нетрудно видеть, что все предположения теоремы 2 выполнены. Вычисляем ц(1) = {е~Хт<Лт = (1 -е)/£. При р = 2

lim N(c, ¥) = limsup(e 1r / ЦП

j (e 1 )-1 dt

1/2

Следовательно, оператор вложения I: L'2(O)/ C ® L2(O)/ C не компактен.

Пусть далее O - произвольная область в Rn, мера Лебега которой конечна.

Замечание. В работе [4] автором настоящей работы, в частности, получена формула для верхней c -нормы оператора вложения I: L2 (O) / C ® L2 (O) / C :

Hull

ІІІІ l(c) = lim

sup

mes(D)®0 ||vU|L (O)^0,ue(7D ||VU

= lim U (e, O).

e®0

Hl2(o)

где UD = {u є C0,1 (O) n L2 (O): u = 0, x ї D}, U(e, O) = sup

sup

IIl2(W)

mes(D)£e ||VuL (0) ї0,мєип

Vu ^

L2(O) D N IIL2(o)

p

c 0 0

c 0

c

0

r

c

u

Лемма. Пусть оператор вложения I: ¿2(0)/ С ® /2(О)/ С ограничен. Тогда для всех

s-1

V su

L2(W )

+ C(e)||u||L (W) для всех u î Vs,2(W),

i > 0 справедлива оценка V V,u £ С[U(є, W)]

£0" L2( W)

где Vs2 (W) = p| Lk2 (W), а lim C[U(i, W)] = V (l\|(c). k=0 Є®0 /=0

Доказательство. Для произвольной функции и є С¥ (W) n Vs 2 (W) и произвольного числа

t > 0 обозначим N (и, t) = {s :| u( s) |> t} . Если u - постоянная функция, то утверждение леммы

справедливо. Поэтому без ограничения общности предположим, что и не является постоянной

функцией. Для произвольного числа є > 0 обозначим через T = inf {t: mes[N(u, t)] £ є}. Тогда

llull £ lui - Г + lui - Л + T [mes (W)]12 £ lui - T

Il llL2(n) III I |Il2[ N(u,T )] III I IIl2[W\N (u,T )] L v III I II

L2( N ( u,T )

+ 2T[mes (W)]12.

Заметим, что срезка |u| - T, т.е. функция, равная нулю вне N(и, T), принадлежит UN(и T) и

||V[ PN (uT )(| и - t)|| = ||vpn(uT ) Ul £||Vu|i (W).

Il L N (U,1 ^11 ^|Il2(w ) Il N (uj )! NlL2(n) 11 lli2(n)

Следовательно, ||u|| £ U(e, Q)||Vu|| + 2T[mes(Q)]12.

il il L2 ( Q Q ) ^ ^ ^2 ( Q Q )

Пусть Qe - произвольная ограниченная подобласть Q, принадлежащая классу C0,1, такая, что mes (Q \ Qe) <e/2. Так как mes [N (и, T )]>e, то mes [N (u, T ) nQe]>e/2. Отсюда IUL , > 2-1/2 Te112. Поэтому ||4 (Q ) £ U (e, Q) |V^ ( Q) + 21+1/2e_1/2 [mes (Q)]

e -11/211

2 (We)

'ullL2(We), ПРИЧЄМ

вложение I : L2(We)/C ® L2(We)/C компактно. Отсюда при всех l = 0,1,...,s -1 получаем

u .

l llL2(We)

IV >’!( q ) £ U (e, Q)||V,+,u|L2( q) + 21+1/2e-l/2 [mes (q)F| V,

Зафиксируем e > 0 и применим к области Qe сначала теорему 4.8.2 о необходимых и достаточных условиях компактности I : L2(Qe)/ C ® L2(Qe)/ C, затем лемму 4.10.3 из [1], согласно которой для любого d > 0 найдется постоянная C1 (d) такая, что

+ C,(d)|| ull

11V u

l =0

VI V su

L2( We) L2 ( We)

и, в частности, при всех l = 0,1,..., s -1 llV ML ( We) £.IV

2 ( We )

^W.) £.V sulL,(W.) + C1<e)ll

u

L2(We)

Итак,

llV/HIl2(W) £ U(e, W)llV

Имеем

IV

11/2 1

i+1^L ( W)+21+1/2-1/2 [mes (W)]12| v su\\h (w-)+21+1/2 e_i/2 c1(e)[mes(W)]^ pi

L2(W.)'

,u

s-1 IIl2( w )

£U(.,W)||VД (W) + 21+1/2[mes(W)F.1/!|V,u

s-2 IIl2(W) о индукции

s IIL2(W) IIl2( W)

Il2(w.)

+e_1/2ci(e)ii hIl2(w.) J; 1/2/

llVs-HL(w, £[U(.W)P||V,HL,W) + 21+1'2[mes(W)F[1 + U(.,w)]-"||VsHL.We, + .-”Ci(.)|lа,,|П

IVs-.HL(W) £ [U(e, W)]^|V,^1^(W) + 21+1/2 [mes(W)]12 g [U(e,W)]m je-^V

s-1

ull +

s IIZ2(W)

m=0

]m <-,/и v .HL2(w.)+."i/2

IIL2(W-)

s-1

s k-1

l=0 L2( W ) L l=0

где

I V[U(e,W)]s-l + 21+1/2[mes(W)]1/2e1/2[U(e,W)]m L Vsu

k=1 m=0

C(e) = 21+1/2 [mes(W)]1/2 e-1/2C, (e)]T k-; [U(e, W)]m .

l2(w )

IIl2(w )

k=1 m=0

k-1

Величина 21+12 [mes(W)]12 Ц [U(e, W)]m ограничена, так как

k=1 m=0

s k-1 s k-1 Г

1.™ IS [U (. W)]m = II II1

k=1 m=0

k=1 m =0

Поэтому

s k-1

lim21+1/2 [mes(Q)]12f1/2C1(f)V V [U(e, W)]m = 0 .

e®0 m=o

Учитывая, что lim V [U (e, W)]s—1 = V (| ï\|(c) )s , получим

e®0 1=0 1=0

f s-1 s k-1 1 s-1 / \s—l

lùnjZ[U(e,П)ґ + 2I+I/2[mes(W)]l 2e12V V[U(i,W)]m [ = V |/|Гf .

l=0 k=1 m=0

s,2^ jrs,2t

l=0

Так как С¥(О)пV"’ (О) плотно в V(О), то лемма доказана. Замечание. Из леммы следует неравенство

£lS IV u

L2(W)) V l=0

s-1

S V ,u

l=0

где 1.m C[U(e, W)] = g 11||(z) ^ .

e®0

£

L2(W)

2{C[U (e, W)]}2

Vu

L2(W )

+ 2[C (e)]2|| u2

L2(W) •

l=0

Для линейного дифференциального оператора

М = ^ (-і) ^ Б1 (а^Б и) + Ли

(1)

в пространстве V"’ (О) рассмотрим краевую задачу. При этом предполагаем, что коэффициен-

ты aj = aji =

sup a А < c0,

., ПІ уііі_ (W)

причем удовлетворяют условию эллиптичности, т.е.

' a..

Re JW IaiJD1uD]udx > c||V„u||

(2)

(3)

N=1J=s

для всех и є ¥*’2(0.) .

Функцию и є К^’2(^) мы назовем обобщенным решением краевой задачи для дифференциального оператора (1) и заданной функции g є У2(0), если справедливо равенство

JW I I aijD1uDJv + luv dx = J gvdx

t a„

IN ,| j £s

(4)

J w

для всех v(x) є Vs,2(W) .

ПУстЬ C2(1, П) = C0 I

k=0

k

, тогда в силу Re aiiD1uD]u > -c0

D'u

+

D]u

-, где c0 из

(2), следует оценка:

Re JW I auD'uDJudx >-C2( s, n)I|V M\L (W) - C2 (s - 1, n)\V su|

. (5)

" ¿2 (О) 4 ’

N ■1У1<®2 ¡=о

Равенство (4) в классической постановке краевой задачи получают из равенства М = ^ (-1)(ацБ и) + Ли = g умножением на V и интегрированием по частям, при этом на

И’ А

2

2

2

2

2

2

обобщенные производные решения и неявно налагаются условия, при которых все поверхностные интегралы равны нулю.

Но, в отличие от классической постановки краевой задачи, здесь не предполагается граница области кусочно гладкой и, более того, в отличие от аналогичной постановки краевой задачи из [1], в данной работе не предполагается оператор вложения из Vх 2 (О) в У2(О) компактным.

S-1

Теорема 3. Пусть I Zl\l

i(c)

,-Л2

Л=0

<

с - c2(s -1,n) 4с2( s n)

где с из (3), с2(s -1,n) , c2(s,n) из (5). То-

гда существует такое 10, что при всех Яе1> Яе10 краевая задача для дифференциального оператора (1) с решением, определенным в (4), имеет единственное обобщенное решение и е ¥*,2(0.) для каждой функции g(х) е У2(0).

____ s-1

Re JW Z atjD'uDJudx >[c - c2(s - 1 n)]|V su\\^ (W) - c2(s n)Z V u

Доказательство. Из (3), (5) получаем

aD uD]udx > [c - c

i|,| A £s

По замечанию к лемме

s-1 2

Z V u <2{C[U(e, W)]}

2

L2(W)

I=0

V u

L2(W )

+ 2[C (e)]i u2

L2(W)

Выберем e > 0 такое, что {C[U(e, W)]}2 <

2 c - c2(s -1, n)

4c2(^ n)

. Тогда

ReJWI Zai]D1uDJu + l\u\

I, A <s

c - c2 (s, n)\\v „.II2

dx > -—~2V"’"’ IIVМГ + (Rel -C2)||u

11 L2 ( ¿2 ) II

2

2 L2 (W)

где C2 = 2c2(s, n)[C(e)]2. Значит, при Rel > C2 справедливо неравенство “коэрцитивностиг

Z||V,u||2 < const • Re Jl Z aAD'uD]u + 1u\

II 1 lli2(W) Jn I Z-i у Iі

I=0 I i ,A £s

dx.

Учитывая, что в силу (2), оценки ЯеПгиП]и <

М = с2 (я, п) + 1 и выбранного Яе 1 > С2 имеет место неравенство

22 Юги\ + \D]u\

для постоянной

JW I Za^D1 uD]u + l\u\2 dx < MZ||V;u|

vli'N A <s J 1=0

ІІІ2(П) ’

откуда, а также из неравенства “коэрцитивности" заключаем, что норма

и =

II ІІ2

JW I Z aiJD'uDJu + l|u|

Л

і, A <s

dx эквивалентна норме в Vs,2(W). Кроме того, интеграл

JW gvdx задает в Vs’2 (W) линейный непрерывный функционал. Поэтому по теореме Рисса в

гильбертовом пространстве Vs’2(W) существует единственная функция u е Vs’2(W), удовлетворяющая (4) для произвольно заданного g(x) е L2 (W).

Теорема доказана.

Суммируя результаты теорем 2 и 3, получаем утверждение.

Теорема 4. Пусть на интервале [a, b) задана положительная, непрерывно дифференцируемая функция f (t), причем supft1 < р, lim f (t) = 0, где p - постоянная. Пусть область Wc R2,

- 1 1 t®b

a<t<b

2

2

2

2

2

2

2

*2 ) : a < Х2 <¥ 0 < Х1 < f (Х2)}

J f (t)dt<¥,

<

c - c2(* -1, n)

где

N = (1 + p)p /(p -1)(p-1)/p lim N(c, ¥), N(c, b) =

sup

c<r<b

1/p

4c2(* n)

(p-1)/p'

J f (t)dt J (f (г)}-,/(p-,) dt

Тогда существует такое 10, что при всех ЯеЛ. > Яе10 краевая задача (4) имеет единственное обобщенное решение и е У"’2 (^) для каждой функции g(х) е £2(0).

Заключение

Теоремы 2 и 4 содержат новые результаты. В отличие от работы [4] формулировки леммы и теоремы 3 более точные и, соответственно, доказываются по-другому. Заметим также, что теорема 3 обобщает аналогичный результат из [1] на случай некомпактного оператора вложения пространства Соболева в пространство Лебега.

a

b

r

r

c

ЛИТЕРАТУРА

1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. - Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1985.

2. Evans W.D., Harris D.J. Sobolev embedding for generalized ridged domains // Proc. London Math. Soc. 1987 V. 54. № 1. P.81-93.

3. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы.-Новосибирск, Наука, 1986.

4. Ерзакова Н.А. Константа Макенхаупта и мера некомпактности оператора вложения пространств Соболева // Известия вузов. Математика, 1998. - Т. 432. - № 5.

5. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2. P. 299-307.

ON SOLVABILITY OF THE BOUNDARY PROBLEM

Yerzakova N.A.

Existence of the only solution of elliptic boundary problem for non-compact embedding map from the Sobolev space into the Lebesgue space is proved.

Key words: Lebesgue space, Sobolev space, embedding map, Hausdorf non- compactness measure.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор, автор более 50 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С. Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.