МЕРА НЕКОМПАКТНОСТИ β В ПРОСТРАНСТВАХ L Р Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6+517.988.521

МЕРА НЕКОМПАКТНОСТИ В В ПРОСТРАНСТВАХ Lp Н.А. ЕРЗАКОВА

Выделяется новый класс уплотняющих операторов. Оценивается фредгольмов спектр для частного случая линейных операторов. Проводится сравнительный анализ мер некомпактности.

Ключевые слова: мера некомпактности, уплотняющий оператор, пространство Лебега, частично аддитивный оператор.

Введение

Впервые количественную характеристику степени некомпактности (меру некомпактности) подмножества U метрического пространстваE ввел в рассмотрение Куратовский в 1930 г. в связи с задачами общей топологии.

Уплотняющий оператор - это отображение, при котором мера некомпактности образа некомпактного множества меньше меры некомпактности множества.

В частности, для уплотняющих операторов справедлива теорема Шаудера о существовании неподвижной точки.

Существуют различные меры некомпактности. Так, например, в предлагаемой работе исследуются три различные меры некомпактности. Одна из целей настоящей работы - показать эффективность, в некоторых случаях, одной меры некомпактности относительно другой.

1. Постановка и формализация задачи

Пусть E - банахово пространство, а U - ограниченное подмножество E. Мерой некомпактности Хаусдорфа CE (U) множества U называется инфимум всех £ > 0, при которых U имеет в E конечную £ — сеть.

Мера некомпактности ß(U) = ßE (U) подмножества U банахова пространства E - это точная нижняя грань таких r > 0, что всякое подмножество, расстояние между любыми двумя элементами которого не меньше r , конечно.

Другими словами, мера некомпактности ß(U) = ßE (U) подмножества U банахова пространства E - это точная верхняя грань таких r > 0, что существует бесконечное подмножество, расстояние между любыми двумя элементами которого не меньше r .

Пусть ф обозначает ниже c или ß.

Для относительно компактного множества U справедливо равенство f(U) = 0 . Кроме того, ф обладает рядом замечательных свойств [1], среди которых полуоднородность f(tU) =| 11 f(U) (t - число); полуаддитивность f(U1 u U2) = max {f(U1),f(U2)}; инвариантность относительно сдвигов f(U + b) = f(U) ( b є E ), алгебраическая полуаддитивность f(U1 + U2) < f(U1) + f(U2) .

Следуя традиции [3-10], обозначим через VE (U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства E .

Мера VE (U) обладает всеми перечисленными свойствами ф, за исключением одного: равенство VE(U) = 0 возможно на множествах, не являющихся относительно компактными.

В работах [3-4] доказано, что для произвольного ограниченного подмножества U правильного пространства E имеет местоcE(U)^ve(U); если U к тому же компактно по мере, то

Xe (U) = nE (U). Ниже будут доказаны аналогичные свойства для ß.

Здесь компактность по мере традиционно означает [1] компактность в нормированном пространстве S всех измеримых почти всюду конечных функций и с нормой

||u|| = inf : I u(t) |> 5}} .

s>0

Пусть E - произвольное нормированное пространство, а B(u0, r) = (и e E : ||u - u0|| < r} обозначает шар радиуса r в E с центром в u0.

Лемма 1. Пусть U - произвольное ограниченное бесконечное подмножество некоторого банахова пространства E. Тогда для каждого числа е> 0 найдется такой элемент u e U, что B(u, /(U) + e) содержит бесконечное подмножество из U .

Доказательство. Пусть u1 - произвольный элемент U и e > 0. Если шар B(u1,/(U) + e) содержит бесконечное подмножество U , то доказательство леммы закончено, в противном случае, в U найдется элемент u2 £ B(u1,/(U) + e). Аналогично, если шар B(u2,/(U) + e) не содержит бесконечное подмножество из U , то в последнем найдется элемент u3 £ B(u1, b(U) + e) и B(u2, b(U) + e) и т.д.

В силу определения b(U) этот процесс оборвется на некотором шаге n, так как по построению Щ. - uj || > J3(U) + e для любых i ф j (1 < i, j < n).

Лемма 2. Пусть U - по-прежнему произвольное ограниченное и бесконечное подмножество банахова пространства E . Тогда для каждого e> 0 в U найдется бесконечная последовательность (un}, расстояние между любыми двумя членами которой не больше, чем b(U) + e.

Доказательство. В силу леммы 1 для каждого e > 0 в U существует элемент u1 такой, что шар B(u1, b(U) + e) содержит бесконечное множество U1 с U.

Применяя лемму 1 теперь уже к множеству U1 \ (u1} и учитывая неравенство b(U1) < b(U), выберем элемент u2 ф u1 такой, что шар B(u2,b(U) + e) содержит бесконечное множество U2 с U1 и т.д.

Так как на шаге n мы получаем бесконечное множество Un с Un-1, то этот процесс не оборвется, и мы построим бесконечную последовательность (un } , расстояние между любыми двумя членами которой не больше, чем b(U) + e.

2. Мера некомпактности /3 подмножеств Lp

Пусть W - подмножество конечномерного пространства, причем m(W)<¥, ц - непрерывная мера, т.е. всякое подмножество W можно разбить на два подмножества равной меры.

Пусть всюду U обозначает множество всех измеримых функций, принимающих только значения 1,-1,0.

Ниже будет использоваться пропорциональность / и c в сепарабельном гильбертовом пространстве

(результат автора опубликован в [1]).

Лемма 3. Пусть U - произвольное бесконечное подмножество U с условием, что найдется число w> 0 такое, что ^(supp и) = w для каждого и є U. Тогда для любого £> 0 существует бесконечное множество U0 с U, для произвольных двух элементов и, v которого величина Xuv, определяемая равенством Xuv = m{ supp и D supp v}, удовлетворяет неравенству

(1)

L £ 2(w-W/ m(W)) + e.

Доказательство. Нетрудно видеть, что %uv = X\u\\v\, поэтому достаточно доказать справедливость утверждения для множеств |u| = {| u |: u е U} .

Обозначим через (w/ m(W))e функцию, принимающую постоянное значение w/ m(W). Тогда

(Xl2 (|U))2 £ sup||| u | -(w/m(W))e\L = (i -w/m(W))2w+w2(m(W) -w)/(m(W))2 = w-w2/m(W).

2 |u|e|U | 2

Отсюда в пространстве L2 в силу (1) ßL (| U |) < д/2(w- w2 / m(W)) .

Теперь по лемме 2 извлечем из | U | для произвольного числа £ > 0 бесконечное подмноже-

II 1|2 2

ство U0, для любых элементов | u |, | v | которого u | - | v | < 2(w-w /m(W)) + £. Так как

II llL2

| u | - | v |= 0 на пересечении носителей, отсюда получаем неравенство

Iu | -1 v IL2 = X«|M <2(w- w / m(W))+£,

завершающее доказательство леммы.

Лемма 4. Пусть выполнены предположения леммы 3. Тогда для каждого £ > 0 в U содержится бесконечное подмножество U0 такое, что для любых u, v е U величина

wuv = m{t :| u - v |= 2} удовлетворяет неравенству

wuv < 1/2m(supp u n supp v) + £ . (2)

Доказательство. В силу (1) ß^ (U) = 21/2cLl (U) < 21/2 sup||u|| = (2w)12. Поэтому по лемме 2

2 ueU 2

2

U содержит бесконечное подмножество U0, для любых u, v которого u - v < 2w + £ . Отсюда

0 L2

2

u - v\\ = 4wuv + 2(w-m(supp u n supp v)) < 2w+£. Преобразуя последнее неравенство, полу-

L2

чаем (2).

w2

Лемма 5. Пусть выполнены предположения леммы 3. Тогда ßu (U) < 2w---------------.

L1 m(W)

Доказательство. По определению ß для произвольного £> 0 U содержит бесконечную ß^ (U) - £ -решетку U0. Применим к U0 утверждения лемм 3 и 4, и тогда извлечем из него бесконечное подмножество U1, для любых элементов u, v которого справедливо Xuv < 2(w- w2 /m(W)) + £иа>т < 1/2m(supp u n supp v) + £.

Тогда для u Ф v из U1

ßr(U) -£< ||u - v\\ = w +£m = 2(w-L/2)/2 + L = w+x < 2w—w—,

1 L 2 m(W)

откуда в силу произвольности £> 0 получаем утверждение леммы.

Лемма 6. Пусть заданы два конечных набора положительных чисел a1,a2,...,an и

Г n

w,w2,...,wn | < m(W) , а также множество V, элементы которого можно представить в

V i=1 У

n

виде u = 4^jaiui (m(supp ui) = wi, ui e U, пересечение множеств supp ui , supp uj пусто для всех

i=1

n Г n Л2

1 < /,j < n). Тогда ß(V) <22агщ -12aw /(maxam(W)).

“ I “ 1<i<n

г=1 V г=1 j

Доказательство. В случае, когда п = 1, утверждение следует из леммы 5, полуоднородно-сти Д и неравенства а1 > 0. Поэтому предположим справедливость сформулированного утверждения для какого-либо п > 1 и докажем, что оно остается верным при замене п на п + 1 в представлении для элементов V. Без ограничения общности предположим, что ап+1 > ап > ... > а . Тогда в силу алгебраической полуаддитивности Д и равенства

п

и = £ аи + аип+1 + (ап+1 - ап К+1

1=1

имеем

Д (У)< Д {£ аи + апип+1: и е V+Д {(ап+1- а К+1: и е V}.

Отсюда, принимая во внимание сделанное выше индуктивное представление, получим

п ^ п Л2

Д7) < 2£ ащ + 2«п®п+1- |£ ащ + ап®п+1

1=1 V ¿=1 У

+ 2(ап+1 - ап )Щп+1 - (ап+1 - ап )(Щп+1 )2 / МФ <

п+1 ^ п Л2

< 2£ ащ -1 £ а щ + ащп+1 / ат( а» - (ап+1- а)щп+12 / МФ<

¿=1 V ;=1 у

п+1 п+1 Л2

< 2£ а щ - \ £ а щ 1(ап+т(Щ.

;=1 V ;=1 У

п

Следствие. Пусть а = тах а;, г = £а;щ . Нетрудно видеть, что в силу предположений лем-

1<;<п

;=1

мы 6 имеет место включение V с В, (в, а) п В, (в, г) , при этом утверждение леммы примет

вид ¡1, (7) < (2 - г /(ат(^))г.

Как будет доказано ниже, это неравенство справедливо для любых подмножеств из

Вь¥ (в а) п BLl(в, г ).

Теорема 1. Пусть и с В, (в, а) п В, (в, г) . Тогда Д^ (и) < (2 - г /(а^(^))г . Доказательство. По определению меры некомпактности Д для каждого е> 0 в и содержится бесконечная последовательность {ип}, для любых различных членов которой справедливо неравенство ||ип - ит\\^ > Дц (и) - е .

В силу ограниченности {ип} в , последняя содержит бесконечную подпоследовательность {~п}, элементы которой с точностью до е допускают аппроксимацию функциями из В, (в, а) п В, (в, г), удовлетворяющими предположениям леммы 6 для некоторого п . Итак, Ди (и) - е < \\ик - иЛ + 2е для любых к ф I. В силу леммы 3 мы можем предполагать без огра-

М II \\Ll_

ничения общности, что ||~к - < Д^ {ип} + е. По лемме 6 Д, {~п } < г. В итоге получаем

Д^ (и) < \ик - и1 ||, + 3е < Д, {~п} + 4е < (2 - г /(ат(Щ)г + 4е, что завершает доказательство теоремы в силу произвольности выбора е> 0 .

Мера неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов п, (и) подмножества

и пространства Цр (1 < р < ¥ ) определяется как

vl„ (U)= Jim supllPD

(3)

тШ®о ~ие5'г°

где Рви(= и(^), если ^ е В и Рви(= 0, если ^ £ В .

Теорема 2. Для любого ограниченного подмножества и пространств Ьр (1 < р <¥) имеет

место неравенство ¡3Ьр (и) > 217руЬр (и). Если и компактно по мере, то ¡3Ьр (и) = 217руЬр (и) .

Доказательство. В силу определения (3) в и содержится бесконечная последовательность {ип}, для которой в О существует последовательность попарно не пересекающихся измеримых множеств {Вп} с условием, что:

V»

VLP (U) ’ В) VLP dPiä\.Dn } 0 '

а) lim ß(Dn) = 0; б) lim ^ _ lp , , . , lp

К тому же, для каждого e > 0, без ограничения общности можно предполагать, что > nL (U) - e для каждого n, а учитывая абсолютную непрерывность норм в Lp

PD Un

n

(1 < р < ¥), дополнительно считать, что для всех пит < е. Отсюда при некоторых п > т по лемме 2

n > m

PD Um

n

ß! (U) + e>ßL. {„» }+Є>

PW\D (Un Um)

+

PD n(W\D )Un

ГУ1 v И '

PD (Un - Um )

< Є и при

>

>

PD n(W\D )(un um) + PD (u n Um)

ГУ1 v И ' И

>

> PDmum m - 2e + V» -Є

V V LP

>{vLp (U) - 3Є) + (vlp (U) -є).

Отсюда в силу произвольности выбора Є > 0 следует неравенство ßLp (U) > 217 LvLp (U).

Пусть U компактно по мере. По определению ß существует последовательность {un} такая, что ßp (U) -Є < ||un -um ||L для всех n Ф m .

L Lp

Извлечем из {un} подпоследовательность {un}, удовлетворяющую условиям а), в) вместе с некоторой последовательностью {Dn} и б) Jim PD un =vL {un}.

n®¥ n LP P

Имеем {un }c{PW\Dun }+{PDun}. Поскольку Jim ju(s :| PD un (s) |> s) = 0 для всех s, после-

n n n®¥ n

довательность {PD u ( компактна по мере. Поэтому в случае компактности по мере U последо-

Dn n

вательность PW\D un} также компактна по мере. По критерию компактности [2, лемма 1.1]

n

ßLl {pW\Dn Un }= 0.

Таким образом,

ßlr (U) - є £ IK - ffJL < ßLp. u}+Є < ßL {Pd,K }+є <

PD un - PD um P + Є = PD un P + PD um

n m L n L m

Отсюда, устремляя n ® ¥ и m ® ¥, в силу lim выбора e получаем утверждение теоремы.

PD Un

n

+ Є.

vLp {un }< vLp (U) и произвольности

P

L

P

L

P

V

V

V

u - u

nm

L

P

L

L

P

P

V

L

L

P

P

P

P

L

P

L

P

3. Мера некомпактности ß операторов в пространстве 4(W)

Для произвольной функции u е Lj(Q) и произвольного числа T > 0 введем обозначения: D(u, T) = :| u(s) |> T}; A(u, T) = (s :| u(s) £ T} = W \ D(u, T)).

Ранее было доказано [3-7] , что nL (U) = lim sup PDu Tu .

p TueU ’ Lp

Замечание. Из теоремы 2 следует, что ß^ (B^ (в, r)) = 2r . В то же время из теоремы 1 получается, что мера некомпактности ß в пространстве L1 произвольных подмножеств B^ (в, r), ограниченных по норме в L¥ числом a, не превышает ßh (U) £ (2 - r l(am(W))r.

Пусть так же, как в [7-10]

k (U, A, L1(W), L1(W)) =

lim ||APD(u,T )U

sup ||PD (u,T )U||

T PD(u,T)X *°,ueU L1

lim і ApD(u,T )U

sup ||pD (u,T )U||

T PD(u,T )X ^0,ueU L1

к (и, А, ^(О), Д (^)) =

т®¥11~ II ... .г ПР_/ -\М..

\\ь1

Теорема 3. Пусть А - непрерывный частично аддитивный оператор, действующий из 4(0) в Ь¥ (О), сужение которого на Ь¥ (О) вполне непрерывно. Тогда для любого подмножества и из Д (О) мы будем иметь

АД Аи) < (1 - к (и, А, Д (О), Д (О)) /(2к (и, А, Д (О), Д (О))т(О))к (и, А, Д (О), Д (О)/ (и). Доказательство. Если и не ограничено, то в этом случае (и) = ¥ и утверждение выполнено. Поэтому без ограничения общности предположим, что и ограничено. Тогда и с{Ро{и,г)и : и є и} + {Р^и т)и : и є и} для любого Т > 0.

В силу предположения о частичной аддитивности оператора А имеем

Аи С А{Ро(и,Т )и : и є и |+ А{РА(и,Т )и : и є и}- А(Р)-Из алгебраической полуаддитивности / получаем

/ (А и) < Р!Л (А{РВ(иТ)и : и Є и5) + Р (А{РА(и,Т)и : и Єи} + РіЛ (АШ .

Имеем рц (А{РА(иТ)и : и є и}) = 0, так как сужение оператора на Д¥ (О) вполне непрерывно.

Кроме того, (А(в)) = 0 как на одноэлементном множестве. Поэтому

А (Аи) < / (А\Рп(иТ)и : и єи}) и справедливо включение для любого Т > 0

, , l|APn (,.t\U

A{PD(u,T)U : U Є U je В

D(u,T) иL

q suP iü;------------------------------suPll pd(u,t )u

\Р0(и,Т)и\\к *0’иеи \\Р0(и,Г )и\Ь1 иеи Ц ^

Отсюда А{Ря„ти : ие и}с в(в,к(В(в,уц(и)),Л, ¿,(П),¿.(П))^/)). Подставляя в неравенство Ь (и) < (2 - г /(ат(О))г, г = к(В(в, ^ (и)), А, ¿1 (О), ¿1 (О)1/А (и) и а = к(В(в, ^ (и)), А, (О), ¿„ (О)) ^ (и).

Поэтому в силу равномерной ограниченности в ¿¥ (О) и теоремы 1

Pu (AU) <

Г 2 _ k (B(0,vLi(U)), A, 4(W), Lt(W)) ^

к (B(q, vk (U)), a, l (W), L^ (W))m(W)

k(B(q, n, (U)), A, Lj (W), Lj (W)v, (U).

Так как /3^ (и) > 2п^ (и) , то получаем утверждение теоремы 2.

Следствие. Пусть А - линейный оператор А : Ь1 (О) ® Ь1 (О), ф — мера некомпактности. Напомним, что ||А||ф= Бир{к > 0: ф(Аи) < кф(и) "и с Р1(О)}. Для линейного оператора, действующего из Ь,(О) в Ь¥(О), имеем |1а||3 < [(2 — I|А| /(IАІІ т(Ф)))/2]||АІІ в силу

¥ II II II \\Ьі®Ьі II \\Ьі®Ь¥ II \\Ьі®Ьі

теоремы 3.

Действительно, для линейного оператора к (и, А, Р1(О), ЬДО)) < А . Очевидно линей-

II 11!^®!^

ный оператор является частным случаем частично аддитивных операторов. Кроме того согласно [2], он является интегральным оператором, так как действует из !1(О) в Ь¥ (О) . Поэтому по лемме 5.3 из [2] он отображает каждое ограниченное по норме в Ь¥ (О) множество в компактное по мере. Отсюда в силу критерия компактности [2, лемма 1.1] он вполне непрерывен как оператор из (О) в (О).

Пример. Пусть рп(і) (п = 1,2,...) система функций Радемахера в Ь1(0,1). Пусть А1,А2,... -последовательность непересекающихся промежутков на [0;1]. Через кп (^) будем обозначать

характеристическую функцию промежутка А п. Положим К (і, ^) = Рп (і)кп (^

п=1

Очевидно, К (і, ^) измерима по совокупности переменных. Кроме того, для любых і Є [0,1] и и є Ь1(0,1)

| К (і, s)u(s)ds

I |рп(і)и(№

п=1 А

п

< I

п=1

< I ц и(5)|ds < ||и

Ь(0,1) ■

п=1 А

п

1

Поэтому функция (Ки)(^) = | К(¿, s)u(s)ds измерима при любой измеримой функции

0

и є Ь1(0,1) и имеет норму в Ь¥, не превышающую ЦиЦ^ (01). Отсюда

ІІКІІ = ИкУ = 1

II ІІІ1 (0,1)®Ь_ (0,1) II ІІІ1 (0,1)®Ь1 (0,1) •

к (*$)

Рассмотрим последовательность х (я) = п . . Из определения оператора Кх (я) = р (і)

т(А п)

(п = 1,2,...). В таком случае ||К||* = %(кВ1)> с{Кхп}=ХрпН\К\\к(0Д)®Ь(0,1) =1.

Пусть и с Вц (в, г). Тогда Ки с Вь (в, г) п Вц (в, г) и в силу теоремы 2 (Ки) < 1 3 (и).

Таким образом, ||к|| 3 < 1. Следовательно, данный пример не только служит иллюстрацией полученных результатов, но показывает различие мер некомпактности, так как относительно меры не-компактности 3 оператор является уплотняющим, а относительно * не является таковым.

Заключение

Итак, для любого ограниченного подмножества и пространств Ьр (1 < р <¥) доказаны неравенства *Ьр(и) >УЬр(и) и ¡Ьр(и) > 21/рпЬр(и). Если и компактно по мере, то

Хьр,(и) = уьр(и) и ¡Ьр(и) = 21/руЬр(и) .

В силу [1] для внешнего радиуса фредгольмова спектра линейного оператора А справедлива

Ап

0

оценка Яф (А) <||А||ф. Таким образом, для линейных операторов, действующих из Ь1(О) в

Ь¥ (О), по теореме 3 имеем более точную оценку для Яф (А) через \\А\\3 и, кроме того, выделяем новый класс уплотняющих операторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. -Новосибирск: Наука, 1986.

2. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

3. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces // Zeitschrift ffir Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2. P. 299-307.

4. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сибирский математический журнал.

- 1997. - Т. 38. - № 5. - С. 1071-1073.

5. Ерзакова Н.А. О нелинейных операторах // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика.

- 2009. - № 140. - С. 57-64.

6. Ерзакова Н.А. О разрешимости уравнений с частично аддитивными операторами // Функциональный анализ и его приложения. - 2010. - Т. 44. - Вып. 3. - С. 69-72.

7. Ерзакова Н.А. О компактных по мере операторах (статья) // Известия вузов. Математика. - 2011. - № 9.

- С. 44-51.

8. Erzakova N.A. On locally condensing operators // Nonlinear Analysis: Theory Methods& Applications. - 2012.

- Т. 75. - № 8. - С. 3552-3557.

MEASURE OF NON-COMPACTNESS b IN SPACES Lp

Erzakova N.A.

A new class of condensing operators is obtained. The Fredholm spectrum in particular case is valued. Comparative analysis of measures of non-compactness is given.

Key words: measure of non-compactness, condensing operator, Lebesgue space, partly additive operator.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С.Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.