Почти-кольцо локально сильно уплотняющих операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223+517.983

ПОЧТИ-КОЛЬЦО ЛОКАЛЬНО СИЛЬНО УПЛОТНЯЮЩИХ

ОПЕРАТОРОВ

Н.А.ЕРЗАКОВА

Введено понятие локально сильно уплотняющего оператора. Эта модификация определения, данного Нуссбаумом. Такие операторы образуют линейное пространство и почти-кольцо. Исследуются некоторые приложения введенного понятия к теории нелинейных уравнений и к теории точек бифуркации.

Ключевые слова: мера некомпактности, уплотняющий оператор, локально уплотняющий оператор, оператор Г аммерштейна, компактность по мере, производная Фреше, точка бифуркации.

Введение

Уплотняющий оператор - это отображение, при котором образ любого множества в определенном смысле более компактен, чем само множество. Степень некомпактности множества измеряется с помощью функций, называемых мерами некомпактности [1].

1. Постановка и формализация задачи

Приведем в удобной для дальнейшего изложения форме используемые определения [1].

Неотрицательная числовая функция у, заданная на множестве подмножеств банахова пространства Е, называется мерой некомпактности, если она инвариантна относительно перехода к замыканию выпуклой оболочки любого подмножества и из Е, т.е. у(со и) = у(и) .

Пусть Е и Е1 - банаховы пространства. Непрерывный оператор / : О £ Е ® Е1 называется уплотняющим [1], если для любого ограниченного подмножества и из О , замыкание которого некомпактно, выполняется неравенство уЕ^ (/(и)) < уЕ (и) . Непрерывный оператор

/ : О £ Е ® Е1 называется (к, у) -ограниченным, если существует такая постоянная к > 0 , что для всех подмножеств и из О выполняется неравенство у/Е1 (/(и)) < куЕ (и).

Непрерывное отображение / : М ® Е (М - открытое подмножество банахова пространства Е) называется локально строго у -уплотняющим (см. работу Нуссбаума [2], а также [1]), если для любой точки х е М найдутся окрестность Ух этой точки и число кх < 1 такие, что сужение / V является (кх, у) -ограниченным.

В утверждениях, сформулированных ниже, мера некомпактности у будет обладать некоторыми свойствами из следующего списка [1]:

1) полуоднородности, т.е. уЕ(и) =| 11 уЕ(и) (t - число); 2) алгебраической полуаддитивно-сти, т.е. уЕ (и + V) < уЕ(и) + уЕ(V), где и + V = {и + V : и е и, V е¥}; 3) непрерывности по метрике Хаусдорфа р

"(и, е > о)3(£ > о)"(ю )[р(и, ц) <8^\уе (и) - Уе (и )|< е], где р(и,и1) = тГ{е> 0: и1 с и + еВ, и с и1 +еВ}, В = {х е Е : ||х|| < 1}; 4) регулярности, т.е. уЕ (и) = 0, если и только, если множество и относительно компактно; 5) полуаддитивности, т.е. уЕ(и и V) = тах{уЕ(и),уЕ(V)}; 6) инвариантности относительно сдвигов, т.е.

Уе(и + и) = Уе(и) ( и е Е ).

Цель настоящей работы, усилив определение локально уплотняющего оператора, данное Нуссбаумом, построить линейное пространство, правое почти-кольцо из таких операторов, продемонстрировав тем самым, что сильно локально уплотняющих операторов достаточно много; исследовать приложения введенного понятия к теории нелинейных уравнений и к теории точек бифуркации.

2. Основной результат

Непрерывное отображение / : M £ Е ® Е1 назовем локально сильно у - уплотняющим на M , если существует функция ^ : R+ ® R+,

Ит0 (г ) = 0 (1)

г®0

такая, что для любой точки x е M, для каждого г > 0, для произвольного подмножества и £ B(x, г) п M справедливо неравенство

у^(! (и)) <Аиг (г )Уе (и). (2)

Мы скажем, что мера некомпактности у обладает свойством ограниченности, если уЕ (и) < ¥, тогда и только тогда, когда и ограничено в Е .

Лемма 1. Пусть f : M £ Е ® Е1 - локально сильно у -уплотняющий оператор на M . Пусть мера некомпактности у обладает свойством ограниченности. Тогда f переводит ограниченные множества из M в ограниченные множества.

Доказательство. Пусть и п M - ограниченное множество. Тогда и £ (B(x, г) п M) для некоторого шара B(x, г) и по определению локально сильно у -уплотняющего оператора на M выполнено неравенство (2). Из предположения относительно у следует, что уЕ (и) <¥, а из (2) получаем уЕх (/(и)) < ¥ . Поэтому f (и) ограничено в Е1.

Лемма доказана.

Напомним [3], что множество N с двумя бинарными операциями (сложением и умножением) называется (правым) почти-кольцом, если

1) N - абелева группа относительно сложения; 2) N - полугруппа относительно умножения; 3) для всех f, g и h имеет место (правая) дистрибутивность (g + И) f = ^ + hf .

Пусть B(x, г) - шар радиуса г с центром в точке x. Пусть R+ - множество всех положительных вещественных чисел.

Теорема 1. Пусть мера некомпактности у обладает свойствами: полуоднородности, алгебраической полуаддитивности, ограниченности. Тогда множество Л всех операторов f: Е ® Е, локально сильно у - уплотняющих на произвольном ограниченном множестве M с Е, образуют линейное пространство; полугруппу относительно произведения; правое почти-кольцо.

Доказательство. Пусть ограниченное множество M с Е выбрано произвольно. Покажем, что конечная линейная комбинация (над полем вещественных чисел) локально сильно у -уплотняющих операторов на M будет вновь локально сильно у -уплотняющим оператором на этом же множестве M . Действительно, пусть f и g - локально сильно у -уплотняющие операторы на M . Тогда для любой точки x е M , для любого подмножества и £ (B(x, г) п M) выполняется

У((clf + С2g)(и)) = У(clf (и) + е2g(и)) <\ €1 \А,fУ(и)+ \ е2 \АУ(и) =

= (|Cl|АMJ +^2 |Ам,g )У(и).

Полагая /■+ =| с, 1Ям / + | с2 1Ям г, мы получаем функцию, удовлетворяющую (1) и (2).

Таким образом, множество Л всех / : Е ® Е локально сильно у -уплотняющих операторов на произвольном ограниченном множестве М с Е является линейным пространством над полем вещественных чисел и, в частности, абелевой группой относительно сложения.

Покажем, что Л - полугруппа относительно произведения. Пусть / є Л и g є Л. Для ограниченного множества М найдется число Я > 0 такое, что М с В(в, Я), где в - нуль пространства Е. По предположению g - локально сильно у - уплотняющий оператор на произвольном ограниченном подмножестве из Е и, в частности, на В(в, Я). Отсюда для любой точки х є Е для любого подмножества и с В(х, г) п М с В(х, г) п В(в, К) по определению выполнено неравенство

у(£(и)) < ЯВ (в,Я)^ (г )у(и). (3)

Поскольку у удовлетворяет свойству ограниченности, по лемме 1 g(М) ограничено в Е. Следовательно, найдется Я, > 0 такое, что g (М) с В (в, Я1). По предположению / - также локально сильно у- уплотняющий оператор на произвольном ограниченном подмножестве из Е и, в частности, на В(в,Я,). Отсюда выполнено неравенство у(/^(и))) <ЛВ(вКі)/(Я,)у^(и)), где функция ЯВ{вК )/ удовлетворяет (1) и (2). Тогда

y(fg(У)) = у(/(g(и))) < Явок, ),/ (Я, )у(g(и)) < Явок, ),/ (К Яо,я )* (г)у(и),

т.е. Мє Л с ^(г) = Я^МСВ,,^,)СВ(„,„,)^(»кд/(Я1)ЯВ(вК)*(г).

Пусть теперь / є Л, g єЛ и И єЛ . Тогда (g + И) / = gf + И/ . Таким образом, Л - это правое почти-кольцо.

Теорема доказана.

Замечания:

1. Произведение (к, у) -ограниченного оператора / : Е, ® Е2 на локально сильно у -уплотняющий оператор / : Е ® Е, будет локально сильно у -уплотняющим оператором, действующим из Е в Е2 .

2. Множество Л всех / : Е ® Е локально сильно у -уплотняющих операторов образуют

кольцо, если выполнено /(g + И) = + /И для любых трех / є Л, g є Л и И є Л .

3. В общем случае сумма локально уплотняющих по Нуссбауму операторов, а также произведение (к, у)-ограниченного оператора на локально уплотняющий оператор не являются локально уплотняющими операторами.

3. Примеры локально сильно уплотняющих операторов

Пусть как в [4] О - подмножество конечномерного пространства, причем р(О)<ж, ц- непрерывная мера, т.е. всякое подмножество и с О, ц(р) > 0 можно разбить на два подмножества равной меры.

Рассмотрим пространства Ьр (О) = Ьр , 1 < р < ¥ . Пусть Ри - оператор умножения на характеристическую функцию и с О. Пусть Уь (и) обозначает меру некомпактности (меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества и в Ьр )

(и)= Ри4ь.

р т(и)®0 иєи" "ьр

Пример 1. Пусть непрерывный оператор : Ьц ® Ьр при р < q определен на некотором

q p

q / p

шаре Бь (и1, г) как ^ (и)(э) = Ь(э) + а 8§и(и(э)) | и(э) ^ р, где Ь(э) е Ьр - фиксированная функция,

а - положительная постоянная. Тогда ^ - локально сильно п - уплотняющий оператор с

1 р = а^'р-1.

^ ,^1

Доказательство. Для произвольного множества и из некоторого шара Бь (и1, г) имеем

vLr (FiU )= iDmnsup|lpDF1(u)llL = )j,i)ansuHro(b(s)+a s§n(u(s))\ u(s)\q/p Ж

p m(D)®n uîu p m(d)®n uzu" "Lp

= lim sup a PD \ u \q/p = lim sup a||PD \ u \\|q/p = avL/p (U) < arq/p 1nL (U).

m(D )®n uîu

Lp m(D)®n ueU

Утверждение доказано.

Лемма 2. Пусть и с Ьр . Тогда Уь (и) < ¥, если и только если и - ограниченное подмножество в Ьр.

Доказательство. Если ||и|| £ Я для всех и е и, то пь (и) < Я < ¥ .

Пусть уг (и) < ¥. По определению Уг (и) р р

"е> 0 Зд> 0: т(Б) <£^|Р0и|1 <УЬ (и) + £, "и е и.

p

Пусть I > m(W)/ d+1. Представим W в виде объединения попарно не пересекающихся

подмножеств Dt, m(Di ) < d, 1 < i < I. Тогда ||u||p < Z||pDi“||p <i(Vl (U) + e)p для всех u î U.

Lp i=1 i Lp p

Лемма доказана.

Напомним [1], что мерой некомпактности Хаусдорфа cE(U) множества U называется ин-фимум всех є > о, при которых U имеет в E конечную e - сеть.

Для любого ограниченного подмножества имеет место неравенство nL (U) < %L (U) и

p p

n, (U) = Cl (U), если U компактно по мере [5-8]. Здесь компактность по мере [1] означает

компактность в нормированном пространстве S всех измеримых почти всюду конечных функций u с нормой ||u|| = inf {s + m{t : \ u(t ) \> s}}.

11 11 s>0

Пример 2. Пусть K - компактный по мере оператор, действующий из Lp в Lq ( p < q ), т.е. K(U) компактно по мере для любого ограниченного U из Lp. Пусть, кроме того, K - (k,n) -ограниченный оператор. Пусть непрерывный оператор F : Lq ® Lp сравним на некотором шаре BL (u1, R) с локально сильно n - уплотняющим оператором G : Lq ® Lp на BL (u1,R), т.е. удовлетворяет условию \ F(u)(s) \<\ G(u)(s) \ почти всюду для всех u î BL (u1, R). Тогда KF является локально сильно c - уплотняющим оператором.

Доказательство. По предположению G - локально сильно n - уплотняющий оператор на BL (u1, R). Поэтому для любого подмножества U с (BL (u1, r) n BL (u1, R)) выполнено неравенство nl (G(U))<Àbl ( R)G (r)Vl (U). Отсюда nl (G(U))<1BL (u1 R) G (r)Xl (U). По определе-

p LqK i’ S’ q p Lqv 1 ’ q

нию n неравенство \ F(u)(s) \<\ G(u)(s) \ влечет неравенство nL (F(U)) < nL (G(U)) . Следова-

pp

тельно, nL (F(U))< 1B (u R)G (r)cL (U) . Заметим, что по лемме 2 из nL (F(U))< ¥ следует ог-

Lp BLq (u1 ,R ),G Lq Lp

раниченность множества F(U) в Lp .

В силу компактности по мере оператора K имеем vL (KF(U))= С (KF(U)). Так как K -

q q

(k, v) -ограниченный оператор, то vL (KF(U))< kvL (F(U)) . В итоге для любого подмножества

q p

U с (BL (ul, r) n BL (ul, R)) выполнено неравенство

Cl (K(F(U))) = Vl (K(F(U)))<kvL (F(U))<кЛ„і{и,по(r)v (U)<кЛ,і{„,по(t)Xl (U).

q q p LqK 15 '5 q LqK 15 q

Замечания:

1. Мера некомпактности c обладает всеми свойствами из списка, приведенного в начале статьи (также [1, 1.1.4]). Мера некомпактности v не обладает свойством регулярности, точнее из vL (U) = 0 в общем случае не следует, что множество U относительно компактно, но v об-

Lp

ладает всеми остальными свойствами из этого списка.

2. Операторы Гаммерштейна KF , где K : Lp ® Lq (1 < p < q < ¥ ) - линейный регулярный

ограниченный интегральный оператор, F1 : Lq ® Lp - операторы суперпозиции являются, как

показано в примере 2, локально сильно С -уплотняющими операторами, так как все линейные

ограниченные операторы K - (||K||, v) -ограниченные операторы. Другие аналогичные примеры

локально сильно уплотняющих операторов можно построить, используя пространства и операторы, рассмотренные в [7, 8].

3. Локально сильно у -уплотняющий оператор в общем случае не является (к, у) -ограниченным оператором.

Проиллюстрируем это на частном случае локально сильно v - уплотняющего оператора из примера 1 F1 (u)(^) = sgn(u(s)) | u(s) |q/p , p < q.

Vl (F(U))

Действительно, если оператор (к, v) -ограничен, то sup —p---------< к . Пусть W = (0,1) ,

U:VLp (U )*° VLp (U)

а U обозначает множество, состоящее из функций вида щ (s) = i11 q, если s є (0,1/ i) и щ (s) = 0, если sї (0,1/i), i = 1,2,.... Тогда F1(ui)(s) = sgn(u(s)) |щ(s) |q/p = iVp , если sє (0,1/i) и F1(ui)(s) = 0, если sї (0,1/i) , i = 1,2,.... Пусть r > 0. Так как мера носителей функций ut и F1 (ui ) стремится к нулю с ростом i , то

vL (rU) = limllщ\\т = r, vL (F(rU)) = lim rq/p | u^'p

q z®^11 "Lq q i®¥

, Vl (F(U)) 7 1

,rq / p и —L-----= rq / p-1

ьр Уьг (и)

Таким образом, F не является (к,п) - ограниченным оператором, поскольку гд 1 р~1 ®¥ при г ® ¥ .

4. Приложения

Как доказано в теореме 1.5.9 из [1] производная Фреше (к,с) -ограниченного оператора, в случае ее существования, также является (к, с) -ограниченным оператором. В следующей теореме докажем, практически повторяя доказательство теоремы [1, 1.5.9 ], что если оператор локально сильно у - уплотняющий, то его производная Фреше, в случае ее существования, вполне непрерывна.

Теорема 2. Пусть мера некомпактности у, заданная на подмножествах банахова пространства Е, полуоднородна и алгебраически полуаддитивна, непрерывная по метрике Хаусдорфа р,

и, кроме того, у - регулярная мера некомпактности. Тогда, если существует производная Фре-

ше / в точке и1 е Е для оператора / : Е ® Е, локально сильно у -уплотняющего на шаре /

В(и1, г) , г > 0, то / вполне непрерывна.

/

Доказательство. Пусть производная Фреше А = / (и1) оператора / в точке и1 существует. Тогда АИ = /(и1 + И) - /(и1) + а)(И) при достаточно малых И е Е , где 0){И) /||И|| ® 0 при ||И|| ® 0 . В силу линейности А для любого ограниченного множества и и р > 0 выполняется равенство

Аи = - А(ри) с -[/ (и1 + ри) - / (и1) + со(ри)].

Р Р

Из полуоднородности и алгебраической полуаддитивности у и равенства —уЕ (/(и1)) = 0

Р

как на одноэлементном множестве получаем

1 (1 ^

Уе (Аи) £~Уе (/ (и1 +Ри)) + УЕ - ®(Ри) .

Р IР )

Пусть Р> 0 настолько мало, что и1 + Ри с В(и1, г). Из предположения о том, что / : Е ® Е локально сильно у-уплотняющий оператор на множестве В(и1, г), равенства у нулю на одноэлементном множестве, а также алгебраической полуаддитивности следует Уе (/ (и1 +Ри ))£1В (иъг), / (г)Уе (и1 +Ри) £ 1В(и1,г ),/ (г )Уе (Ри ) .

В итоге, учитывая полуоднородность у , получаем

( 1

Уе (А(и)) £ 1в(и1,г),/ (г)Уе (и) + Уе - <Ри)

(и1 ^ ^ Р

Поэтому, устремляя в последнем неравенстве Р ® 0, а затем и г ® 0, получим Уе (А(и)) = 0, так как а>(И) /\И\ ® 0 при ||И|| ® 0, а у непрерывна по метрике Хаусдорфа. В силу предположения о регулярности меры некомпактности у из уЕ (А(и)) = 0 следует, что замыкание А(и) компактно.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть мера некомпактности у обладает свойствами: регулярности, полуодно-родности, полуаддитивности, инвариантности относительно сдвигов, ограниченности, непрерывности по метрике Хаусдорфа. Пусть / - локально сильно у - уплотняющий оператор на шаре В(и0, г), г > 0. Тогда существует такое а0 > 0, что при всех \а\<а0 уравнение и = и0 + а/ (и) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. По предположению / - локально сильно у - уплотняющий оператор на шаре В(и0,г) с функцией 1В( г)/, удовлетворяющей (1), (2). Поэтому существует такое 0 < г0 < г, что 1В ( г)/ (г0) < 1. По лемме 1 в силу предположения об ограниченности у множество /(В(и0, г0)) ограничено в Е. Отсюда существует такое число М > 0, что ||/(и^ < М для всех и е В(и0, г0). Поэтому найдется такое достаточно малое число 0 < а0 < ш1п(г0/М,1} , что при всех \а\<а0 имеет место включение и0 + а/(В(и0, г0)) с В(и0, г0). Оператор и0 +а/(и) уплотняет на В(и0, г0) относительно меры некомпактности у, так как в силу инвариантности относительно сдвигов уЕ (и0 + аа (и)) = уЕ (а/ (и)), в силу полуоднородности

уЕ (а/(и)) =\ а \ уЕ (/(и)). Учитывая (2) и аЛВ( г) / (г0) < 1 при всех \ а \< а0, в итоге получим

Уе(и0 + а^(и)) <\ а \Лв(и0,г),/(г0)Уе(и) < Уе(и)

г

при всех и с В(и0,г0) с некомпактным замыканием. В силу [1, 1.5.11, 1.5.12] оператор и0 + а/(и) имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Теорема доказана.

Пусть /(в) = в. Напомним, что число а0 называется точкой бифуркации, если любым є > 0, 5 > 0 отвечает такое а є (а0 -є,а0 + є), при котором уравнение

и = а/ (и) (4)

имеет по крайней мере одно ненулевое решение в шаре радиусом 5 > 0 с центром в нуле.

Теорема 4. Пусть /(в) = в. Пусть выполнены все предположения теоремы 2 в шаре

/

В(в, г), г > 0. Пусть производная Фреше / оператора / в точке в существует. Тогда точками бифуркации оператора / могут служить лишь характеристические значения линейного /

оператора / (в), т.е. такие числа а, что 1/а являются собственными значениями оператора /

/ (в).

/

Доказательство. В силу теоремы 2 производная Фреше / (в) вполне непрерывный опера/

тор. Пусть а0 не является характеристическим значением оператора / (в). Следовательно, /

оператор (I - а0/ (в))-1 непрерывен. Положим є = _

(I -а/ (в))-1

/ (в)

По определению производной Фреше / (в)И = /(в + И) - /(в) + со(И) при достаточно малых И е Е. Здесь <и(И)/||ЩЕ ® 0 при Щ\Е ® 0. Выберем ё> 0 так, чтобы для всех и е В = В(в,д) было выполнено

и«)1 е

!(I-а,/ (в))-1 (\«0 \ +е)

Пусть теперь а — произвольное число, удовлетворяющее условию \ а - а0 \< е. Покажем, что в шаре В уравнение (4) имеет единственное нулевое решение и, таким образом, а0 не является точкой бифуркации. Действительно, пусть и = а/ (и). Тогда

/ * а/ (в)и = а/(и) + аа(и) = и + аа(и) или и = а/ (в)и -асо(и). Из равенства

/

и = (I - а0/ (в))-1 (и - а0/'(в)и) следует, что

и £

II ІІЕ

(I-а,/ (в))-

<|а-а0 I

Іи - а0/'(в)и\\Е = ||(І - а0//(в)) Іа^/(в)и - аа)(и) - а0//(в)Н1Е <

(І-а/ (в))-1 ||/'(в)|\и\\Е +1 а11|(I-а0Г(в))-Ц|\а(и)\\Е < (2/3)Ие •

Таким образом, и = 0 . Теорема доказана.

Заключение

Все утверждения, доказанные в настоящей работе, будут не верны, если заменить локально сильно уплотняющий оператор на локально уплотняющий оператор в смысле определения Нуссбаума.

При доказательстве теоремы 4 частично использованы рассуждения, проведенные при доказательстве [9, гл. 4, лемма 2.1]. В отличие от [10, теорема 17.2] в теореме 4 рассматриваются необязательно вполне непрерывные операторы Г. Теоремы 2, 3 и 4 обобщают аналогичные ре-

3

г

зультаты из [7, теоремы 1 и 2] и [8, теоремы 2 и 3] на случай произвольных локально сильно y - уплотняющих операторов.

Уравнения вида u = A(u;1) возникают во многих задачах нелинейной механики: отыскание критических нагрузок и форм потери устойчивости упругих систем, исследование автоколебательных процессов, исследования процесса рождения волн в движущейся жидкости и т.д. В подобных задачах роль параметра 1 могут играть нагрузки, частоты автоколебаний, скорости движения жидкости [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Садовский Б.Н., Родкина A.E. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. - Новосибирск: Наука, 1986.

2. Nussbaum R.D. The fixed point index for local condensing maps // Ann. mat. Pura ed. appl., 89, 1971, 217-258.

3. Pilz G. Near-Rings. The Theory and its Applications. North-Holland, Amsterdam, 1983.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

5. Yerzakova N.A. On Measures of Non-compactness in Regular Spaces // Zeitshcr. Anal.Anw. 1996. Vol.15. № 2. P. 299-307.

6. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сибирский математический журнал. - 1997. - № 5. - Т. 38. - C. 1071-1073.

7. Ерзакова Н.А. О разрешимости уравнений с частично аддитивными операторами // Функциональный анализ и его приложения. - 2010. - Вып. 3. - С. 69-72.

8. Ерзакова Н.А. О компактных по мере операторах // Известия вузов. Математика. - 2011. - № 9. - С. 1-8.

9. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: Гос-техиздат, 1956.

10.Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. - М.: Физматгиз, 1956.

NEAR-RING OF LOCALLY STRONGLY CONDENSING MAPS

Erzakova N.A.

We introduce the notion of a locally strongly condensing operator. This is a modification of the definition given by R.D. Nussbaum. Such operators form a linear space and a near-ring. We discuss some applications of the notion to nonlinear equations and the theory of bifurcation points.

Key words: Measure of noncompactness, locally condensing operator, condensing operator, Gammerstein operator, compactness in a measure, Fr'echet derivative, bifurcation point.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 60 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С. Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.