О системе нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223+517.983

О СИСТЕМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА

Н.А. ЕРЗАКОВА

Для системы уравнений типа Г аммерштейна доказывается существование решения.

Ключевые слова: оператор Гаммерштейна, компактность по мере, мера некомпактности, уплотняющий оператор, частично аддитивный оператор.

Введение

Нелинейные интегральные операторы

Лх(/) = | К0 (¿, / [^, х(5)]^

а

с ядрами специального вида называют операторами Гаммерштейна [1], а их различные обобщения - операторами типа Гаммерштейна. Соответственно уравнения с такими операторами называют уравнениями типа Г аммерштейна [2].

Уравнения вида

и = А(и;1)

возникают во многих задачах нелинейной механики: отыскание критических нагрузок и форм потери устойчивости упругих систем, исследование автоколебательных процессов, исследования процесса рождения волн в движущейся жидкости и т.д. В подобных задачах роль параметра 1 могут играть нагрузки, частоты автоколебаний, скорости движения жидкости [1]. Кроме того, подобные уравнения имеют приложения в физике, астрономии [3].

1. Постановка и формализация задачи

В настоящей работе исследуется разрешимость системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна

п

и(х) = Кц(х У)8 г (и1 (УX и2(УX..., ип(УX у¥у +/■.

]=1 й

Пусть а - подмножество конечномерного пространства, причем т(а)<¥, ц- непрерывная мера. Пусть в обозначает нулевую функцию (в ° 0 п.в. на а).

Рассмотрим пространства Лебега Ьрп = Ьр (й)п, 1 £ р £ ¥ , состоящие из всевозможных наборов из п функций и = (и1,и2,...,ип), и г е Ьр(й) для всех г = 1,2,...,п .

Зададим норму в Ьрп следующим образом

и

= тах и ■

<п 11

\\Ь

‘р,п р

Сразу заметим, что хотя Ьрп - это бесконечномерное пространство, но в силу того, что

п конечно и и(х) = (и1(х), и2(х),..., ип(х)) при каждом х е й - это элемент п -мерного пространства, а в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, нижеследующие результаты справедливы и для всех других норм в Ьрп, в частности, для

и

ь

р,п

, XI и II2

Д ¿-и\\ п\ь

V і=1 р

Определение [4]. Пусть E - банахово пространство, а U - ограниченное подмножество E. Мерой некомпактности Хаусдорфа CE (U) множества U называется инфимум всех £ > 0, при которых U имеет в E конечную £ — сеть.

Для относительно компактного множества U справедливо равенство xe (U) = 0 .

Кроме того, cE обладает рядом свойств [4], среди которых полуоднородность

Ce (tU) =1 11 Ce (U) (t - число);

полуаддитивность

Xe (U1 ^ U2) = max {Xe (Ui ), Xe (U2)}; инвариантность относительно сдвигов

Xe (U + b) = Xe (U) ( b G E); алгебраическая полуаддитивность

Xe (U + U 2) < Xe (Ul) + Xe (U2).

Для произвольного подмножества D cO и функции u g Lp (fi) обозначим

[u(s), S G D,

PDu(s) = \

D { 0, s £ D,

соответственно PDu = (PDUj, PDu2,..., PDun).

По аналогии с пространствами Lp (fi) при 1 < p < ¥ [5-9] рассмотрим в Lpn меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов VL (и) подмножества U из Lpn, полагая Vj (U )= lim sup

p,n m(D)®0 ugu

PDu

L

p,n

Мера У, (и) обладает всеми вышеперечисленными свойствами с (и) и отличается от

р,п р,п

меры некомпактности Хаусдорфа только тем, что равенство Уь (и) = 0 возможно на множест-

- р , п

вах, не являющимися относительно компактными.

Напомним, что банаховы пространства Ьр (й), 1 £ р £ ¥ являются идеальными. Следовательно, неравенство | и(х) |£| у(х) | п.в., где V е Ьр (й), а и - измеримая функция влечет

и є Lp (О), причем ||u||L < ||v||L

p p

Более того, пространства Ь (й), 1 £ р < ¥ являются правильными. Это означает, что каж-

p

дая функция и из Lp(О) имеет абсолютно непрерывную норму, т.е. lim PDu L = 0.

p m(D )®0И IIL-

Поэтому, если

и = Щu2,...,ипX v = (Vj,v2,...,vn), V,. е Lp(fi),| щ |<| V,. I п-в- (/ = 1,2,....1 п) ^ Ц\ < |v| (1)

p,n p,n

при 1 < p < ¥ и lim Pu = 0 при 1 < p < ¥ .

)®0 D Lpn P F

Так же, как в [7-9], назовем подмножества U1, U2 пространства Lpn сравнимыми U1 < U2, если в Lpn существует такой элемент b(x) = (b1(x),b2(x),..., bn(x)) , что для произвольного и из U1 найдется элемент V из U2 , для которого п. в. выполняется неравенство 1Щ(x) |£| b,(x) 1 + |v,(x) 1 (i = 1,2,...,n).

Аналогично, два оператора F1 , F2, действующие из пространства Lpn в пространство Lq n,

назовем сравнимыми ^ £ ¥2 , если для каждого подмножества и из Ьр п имеет место

^й) £ Т2Ф). _

В силу свойства нормы (1) и определения У- (и ) справедливо

р,п

й £ й ^ У- (й) £ У- й). (2)

р,п р,п

Для произвольной функции из Ьр (й) и произвольного числа Т > 0 введем обозначения

А(и, Т) = {5 :| и(5) |£ Т} , Б(и, Т) = {5 :| и(5) |> Т} = й \ А(и, Т). (3)

Аналогично, А(и, Т) = {5 :| иг(5) |£ Т, 1 £ г £ п,и = (и1,и2,...,ип)}, В(и, Т) = й \ А(и, Т) .

Лемма [5, 6]. Пусть и - произвольное ограниченное подмножество из Ьр (й) . Тогда

1)С- (и)>У1 (и);

2) VL (U)= lim sup|PD(u,r)u|L ;

p 1 —¥ ugU Lp

3) если U к тому же компактно по мере, то xl (U) = VL (U) .

Доказательство. Для множества U и произвольного числа £ > 0, согласно определению

Xl (U), найдется конечная [xl (U) + £]-сеть С£=(с1,c2,...,cm}, такая, что

U с C£ + [xe (U) + £]B , где B - единичный шар Lp (fi) . Поэтому по определению VL (U) полу-

p

чим Vl (U) <Vl (Ce + [Xl (U ) + £]B) <Xl (U) + £ в силу обычных свойств нормы, а также p p p p свойства абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве Lp (fi). Учитывая произвольность выбора £ > 0, получим утверждение 1), т.е. xl (U) ^ VL (U) .

Lp Lp

Утверждения 2) и 3) докажем одновременно. Имеем

U с Pu,T)u + TPD(u,T) sgn u : u G U} + {PD(u,T)(u — T sgn u) : u G U}.

В силу определения VL и абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве

Lp

Lp (fi) для любого T > 0 имеем VL [PA(uTu + TPD(uT) sgn u : u gU} = 0 и в случае компактности

по мере U в силу критерия компактности [1] также

Xlp {PA(u,T)u + TPD(u,T) sgn u : u G U} = 0 .

Из аддитивности и алгебраической полуаддитивности Vj (U), Xl (U) следует, что

Lp Lp

VLp (U) < VLp {PD(u,T) (u — T sgn u) : u GU} < VLp {PD(u,T f : u gUЬ

Xl (U) £Xl {PD(u,T )(u — T sgn u): u GU} < sUp|| PD(u,T )HL

p p uGU Lp

для любого T > 0, фиксированного на момент рассуждений. Устремляя T ® ¥, получим

Xl (U) < Jim sup|PD(u,T)HL

p T ®¥ ugU Lp

для компактного по мере U и VL (U) < lim sup\PD(uT-M для любого U. Для ограниченного

p T®¥ ugU ’ Lp

множества U в Lp (fi) имеет место lim sup ju[D(u, T)] = 0 . Поэтому

T®¥ ugU

VL (U) < Jim sup PD(u,T)4j < lSup\PDu\\L = VL (U).

p T®¥ ugu" "Lp m(D)®0 ugu lp p

Равенство 2) доказано. Из 1) и 2) и xl (U) < lim sup PD(u T)u получим утверждение 3).

p T-...-Ti'' ’ ''L„

Замечание. Рассмотрим для множества и из Ьрп = Ьр (й)п соответствующие множества и1 = {иг : и = (и1,и2,..,ип)е и} для всех 1 < г < п из Ьр(й) .

Так как Хь Р ) = таХХь (иг ) и

р,п ' ' 1<г<п р

1) Cl (u )>V (U )

p,n p.n

2) vL (U )= lim

Lp,n 4 ' T

vL (U ) = lim sup

p,n m(D)®o -UîU

PDu

= Hrn sup max||-PU- ||L = max vL (Ui ), то

Lp,n m(D)®0 UuîU 1£-£n

1<i<n p

sup

uîU

P г u

D(u,T )

3) если U к тому же компактно по мере, то cL (U) = vL (U) .

Lp,n Lp,n

Здесь компактность по мере U означает, что компактны по мере множества Ui = (иг. : u = (u1,u2,...,un)є U} для всех 1 < i < n . Другими словами, предполагается компактность Ui для всех 1 < i < n в нормированном пространстве S всех измеримых почти всюду конечных функций u с нормой

||u|| = inf {s + f{t : | u(t ) |> s}}.

s>0

Пусть заданы линейные ограниченные интегральные операторы Kjj : Lp (Q) ® Lq (Q),

i = 1,2,...,n , j = 1,2,...,n . Пусть оператор K : Lpn ® Lqn воздействует на u = (u1,u2,...,un),

ui є Lp(Q) для всех i = 1,2,...,n следующим образом

Ku = j K1 j( x y)uj( y ^ t i K 2 j( x y)uj( y )dУ,..., t i Knj( x y )uj( y)dy

,j=1 n

j=1 n

j=1 n

Очевидно,

K

■ max KÀ.

1<i, j<n" 1 11

Оператор К компактен по мере, если компактны по мере все множества Кц (иі) для всех 1 < і < п, 1 < ] < п , где иі = {иі : и = (м1,и2,...,ип) є и}, и - произвольное ограниченное под-

множество Lp,n .

Пусть заданы gi (х, и1, и2,..., ип) - вещественные функции, порождающие непрерывный оператор Немыцкого И = (И1,И2,...,Ип) из пространства Лебега Ьдп в пространство Ьрп, (1 < р < д <¥, Иіи = gi(х,и1, и2,..., ип) (нелинейный оператор суперпозиции [2]), причем

1 gi(x U1, u2,..., un) < аг (х) + bt1 uk(х) |q7p , аг є Lp(Q) , b > 0.

k=1

Замечание. Так как из неравенства | Иги(х) |<| у(х) | почти всюду следует при всех 1 < г < п имеем

= |j | g г ( X, u1( X), u2( X),.. p Л 1/p n

htu ., un (x)) |Pdx < a,+ btu |q'p

p V n J k=1

hu

<

< V

то

< KL + bt |||uk|q/p K < hL + bt

q7 p

k=1

L ■ “^ll "k \\Lq Lp k=1 q

L

p,n

L

L

p

p

L

p

Определение [4 ]. Пусть E, Е1- банаховы пространства. Непрерывный оператор A : G ® Е1, где G с Е, называется С - уплотняющим, если для любого ограниченного подмножества U с G, замыкание которого не компактно, выполняется неравенство

XeSAU )<Ce (U).

Уплотняющие операторы, являющиеся обобщением компактных и сжимающих операторов, во многих случаях сохраняют свойства последних.

Непрерывный оператор A называется (k, с) - ограниченным, если для любого U с G выполняется неравенство xEl (AU) < k%E(U).

2. Основные теоремы

Теорема 1. Пусть непрерывный оператор K действует из Lpn в Lqn (l < p < q <¥). Пусть, кроме того, K компактен по мере. Пусть h : Lqn ® Lpn - оператор суперпозиции. Тогда оператор Kh является (k, с) -ограниченным на шаре в(и 1, r )= ■< и є Lqn : и - и 1 < r I ( и 1 и r про-

I , Lq,n

и и q-і -

извольные) с константой k = nb max KH\\rp , где константа b > 0 зависит только от h .

1<i, 1<n" 1 11

Доказательство. Пусть U - подмножество из в(и 1, r)= \и є Lqn :

и с и 1 + г В, где В - единичный шар Ьд п.

В силу частичной аддитивности оператора И и линейности оператора К для произвольных и є и и Т > 0 имеем

Пусть

hu = h(P - и + P - и) = h(P - и) + h(P - и) - h(6).

v D(u,T ) A(u,T ) ' v D(u,T ) ' v A(u,T ) ' v '

Pa(U,t)U = {Pa(U,t)и : и Є Ub Pd(U,t)U = {Pd(U,t)и : и є U};

PA(u,T )V < {V = (V1, V2,..., Vn X ^ = £ I Pa(u,T )^ (X) Iq'P , 1 < * < n : и Є U};

k =1

PD(u,T )V < {V = (V1, V2,..., Vn ), ^ = £ 1 Pd (u,t ^k (X) |q'P , 1 < * < n : и Є U}.

Так как

1 hi ( PA(u,T ) и) H gi (X PA(u,T )ul, PA(u,T ) PA(u,T )un )|£ a (x) + b£ 1 PA(u,T )Uk ( X) ^ ' P ,

k =1

то h(p -t U)< a + bP -T)V, где a = (a1,a2,...,an), следовательно, в силу (2)

' A(u,T)~ / ~' ' A(u,T)' ’ ^ n

t thti _ u 11 < n t \a і b± -

p,n ' ' a(u,T) I) p,n ' a(u,T)

Tl„ h(pa(U,t,U))<T,„ (a + bPAt-,.TV)= 0.

Поэтому

V hU ))< (a + bPoC,r V )< 1 (U) .

p,n p,n

Из предположения о компактности по мере оператора К следует компактность по мере множества КИи, откуда %ь (кИи) = Уь (кИи).

~q,n ' ' Lq,n

и - и 1

Поскольку Vj (KhU )= lim sup

q,n m(D)®0 иєи

PDKhu

= lim sup max

Lq,n m(D)®0 иєи 1<i<n

pd I £ jK1(x, y)hi(и(У))dy

.1'= n

\

< K

L

Vl (hU),

имеем

CL (KhU) < K vl (hU) < nb

q,n

p.n

K

vp (u)<nbK vf UVl (U)<«bmax||Ks|Vjp" (u)cl (U),

p,n p,n p.n 1<i, 1<n p,n p.n

(U )< ip-1

для любого и с и 1 + г В, откуда получаем утверждение теоремы.

Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений (г = 1,..., п )

и

n

(х) = Л£\ Ki(x y) g* (и1( y X и2( у ),..., ип ( у X y )dy+f

(4)

1=1 n

или

и = iKhu + f .

Теорема 2. Пусть непрерывный оператор K действует из Lpn в Lqn (1 < p < q <¥>). Пусть, кроме того, K компактен по мере. Пусть h : Lqn ® Lpn - оператор суперпозиции. Тогда

существуют шар B (f, r )= <j и є Lqn : и - f < r I и число A0 > 0 , при которых система урав-

I , Lq,n

нений (4) имеет хотя бы одно решение в шаре в(f, r) при всех 111< 10.

Доказательство. Так как предположения теоремы 1 выполнены, то оператор Kh является (k ,С) - ограниченным, в частности, на шаре

в(f, r )= -|и є Lq,n : |и - f|L < r j

и и q-1 -

с константой k = nb max KJ rp , где константа b > 0 зависит только от h . Поэтому для всех r,

1<i, J<n11

q

-1

таких, что nb max KJrp < 1 или r <

1<i, J< J 1 II

nb max K„

1<i, J<n"

p q-p

оператор Kh - уплотняющий оператор.

В силу ограниченности операторов K и h найдется такое R > 0, что KhB(f, r)с B(6, R) 1

для всех r <

nb max KH

1<i, 1<nll 1

p

q-p

Если 1< шт-*^ ,1, то получим %— уплотняющий оператор 1КИ на в(/, г). В силу инвариантности относительно сдвигов меры некомпактности Хаусдорфа оператор 1КИ + / также С — уплотняющий оператор на в(/ , г).

Так как

lKhu + f - f

= 1

Khu

< 1R < R— < r R

q

1

L

L

q,n

q,n

для всех и е в(/, г), то для выбранных 1> 0 шар в(/, г) отображается в себя. Применим к оператору ЯКИ + / обобщение теоремы Шаудера о существовании неподвижной точки на%— уплотняющие операторы [4], получим существование решения в пространстве Ьдп системы уравнений (4).

В частности, если Кк6 = 6, то существует ненулевое решение.

Теорема доказана.

Заключение

Разрешимость системы нелинейных интегральных уравнений типа Г аммерштейна исследована впервые. В [7-9] изучалась разрешимость одного уравнения типа Гаммерштейна как в пространствах Лебега, так и в более общих пространствах. В настоящей работе используется понятие сравнимых множеств и сравнимых операторов для пространств Ьр п.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений.

- М.: Наука, 1972.

3. Evans W.D., Harris D.J. Sobolev embedding for generalized ridged domains // Proc. London Math. Soc. 1987 V. 54. - № 1.

4. Ахмеров Р.Р. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. - Новосибирск: Наука, 1986.

5. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces // Zeitschrift ffir Analysis und ihre Anwendendungen. 1996. V. 15. № 2.

6. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сибирский математический журнал. - 1997.

- Т. 38. - № 5.

7. Ерзакова Н.А. О нелинейных операторах // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 140.

8. Ерзакова Н.А. О разрешимости нелинейного уравнения // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 145.

9. Ерзакова Н.А. О разрешимости уравнений с частично аддитивными операторами // Функц. анализ и его приложение 44:3. - 2010.

ON SYSTEM OF NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF GAMMERSTEIN TYPE

Erzakova N.A.

Existence of a solution of the system of equations of Gammerstein type is proved.

Key words: Gammerstein operator, compactness in a measure, measure of noncompactness, condensing map, partially additive operator.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор, автор более 60 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С. Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.