Научная статья на тему 'О нелинейных операторах'

О нелинейных операторах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
112
28
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЧАСТИЧНО АДДИТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ / НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ / УПЛОТНЯЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ерзакова Нина Александровна

Рассматриваются не линейные, но частично аддитивные операторы, действующие в правильных пространствах. Доказаны новые критерии уплотняющих относительно меры некомпактности Хаусдорфа операторов. Приводится приложение полученных результатов к разрешимости нелинейного уравнения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON NONLINEAR OPERATORS

Partially additive (generally) nonlinear operators in regular spaces are studied. New criteria for such operators to be condensing with respect to the Hausdorff measure of non-compactness are proved. The results obtained are applied to the solvability of nonlinear equations.

Текст научной работы на тему «О нелинейных операторах»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

УДК 517.988.52

О НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ

Н.А. ЕРЗАКОВА

Рассматриваются не линейные, но частично аддитивные операторы, действующие в правильных пространствах. Доказаны новые критерии уплотняющих относительно меры некомпактности Хаусдорфа операторов. Приводится приложение полученных результатов к разрешимости нелинейного уравнения.

Ключевые слова: частично аддитивные операторы, нелинейные операторы, уплотняющие операторы.

Пусть O - подмножество конечномерного пространства, причем m(O)<¥, ц- непрерывная мера; в обозначает нулевую функцию (6° 0 п.в. на O); U произвольное множество измеримых на O функций. Его носителем называется [1, с. 15] множество

supp U = supp(sup{rsupp u : u e U}), где kD - характеристическая функция подмножества D cO .

В каждом идеальном пространстве E существует неотрицательная измеримая на O функция u0 с supp u0 = supp E, называемая единицей пространства E [1, с. 17]. Через M(u0), также как и в [1, с. 35], обозначается пространство измеримых на O функций, для которых имеет смысл и конечна норма ||u||M^ ) = inf {l: |u| < 1u0 п.в.}.

Напомним, что банахово пространство E измеримых функций на O называется идеальным, если из | u(х) |<| v(х) | п.в., где v e E, а u - измеримая функция, вытекает, что u e E , причем u < v .

II IIe II IIe

Идеальное пространство E называется правильным, если каждая функция u из E имеет абсолютно непрерывную норму, т.е. lim ||PDu||£ = 0, где PDu(s) = u(s), если se D и

PDu(s) = 0, если s £ D .

Заметим, что пространства Лебега Lp (O) при 1 < p < «, пространства Лоренца и основной класс пространств Орлича являются правильными пространствами.

Так как ||u||E < 1|u0|| для любой функции ue M(u0), то имеет место вложение M(u0) с E . В частности, если u0 ° 1, то M(u0) = L¥(O), т.е. это пространство ограниченных в существенном функций.

Лемма 1 [1, теорема 15, с.27]. Произвольное ограниченное подмножество U правильного пространства E относительно компактно в том и только в том случае, если оно компактно по мере и если нормы функций из U равностепенно абсолютно непрерывны.

Для произвольной функции u e E и произвольного числа T > 0 введем обозначения:

D(u, T, u0) = {s :| u(s) > Tu0}; A(u, T, u0) = {s :| u(s) |< Tu0} = O \ D(u, T, u0) . (1)

Пусть U не ограничено в M(u0). Введем в рассмотрение множества: U0T, U¥T, [U]t ,

PA(J)U, PDT)U, где U0T - множество всех функций из U , для которых jujM(u )< T,

U«T = U \ U0T , PA(T)U = {PA(a,T,u0)u : u e U»T }, PD(T)U = {PD(a,T,u0)u : u e U»T }, [U]T = {£u]T : u e U«T },

/ч Tu0 (s)(PD(u T u )u)(s)

где [u]T (s) равно PA(uTu )u(s), если s e A(u, T,u°) и ---------------------;-------( , , ,-----, если s e D(u, T, u°)

[U]DT = {[u]DT : U є U¥T } где [u]DT (s) равно (PD(u,T,u0)U)(s)

PD(u,T ,u0)u(s I f Tu0( s) ^

PD(u,T ,u0)U(s)

, если s є D(u, T, u0)

и 0, если ^£ В(ы, Т,и0).

Справедливы включения:

и с и0Т и { РА(Т)и + ^(Т)и} , (2)

и с и0Т и { [и]т + [и]ВТ}. (3)

В работе обозначение PD(u Т и м используется только в случае, если функция PD(u Т и м не

эквивалентна в , т. е.

Pn/ т, U D(u,T ,^)

Ф ° соответственно PD(T)U состоит из ненулевых функций.

Определение 1 [2, с. 7]. Пусть E - банахово пространство, а U - ограниченное подмножество E. Мерой некомпактности Хаусдорфа Ce (U) множества U называется инфимум всех £ > °, при которых U имеет в E конечную £ — сеть.

Для относительно компактного множества U справедливо равенство cE (U) = ° . Кроме того, cE обладает рядом замечательных свойств [2, с.7], среди которых полуоднородность Ce (tU) =| 11 Ce (U) (t -число); полуаддитивность Ce (U u U2) = max {Ce (U ), Ce (U2)}; инвариантность относительно сдвигов cE (U + b) = Ce (U) ( b e E ) , алгебраическая полуаддитивность Ce (Uj + U 2) <Ce (Uj) + Ce (U2).

Так же, как в работах [3-5], обозначим через VE (U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства E, полагая

VE(U )=^!й®° pD“l.

Мера VE (U) обладает всеми вышеперечисленными свойствами cE (U) и отличается от меры некомпактности Хаусдорфа только тем, что равенство VE (U) = ° возможно в силу леммы 1 на множествах, не являющимися относительно компактными.

В дальнейшем назовем подмножества U1, U2 правильного пространства E сравнимыми U1 < U2, если в E существует такая функция b(х), что для каждой функции u из U1 найдется функция v из U2, для которой почти всюду выполняется неравенство | u(х) |<| b(х) | + | v(х) |.

Аналогично, два оператора F1, F2, действующие из правильного пространства E в правильное пространство E1, назовем сравнимыми F1 < F2, если для каждого подмножества U из E имеет место F1 (U) < F2 (U) .

В силу свойства нормы в правильном пространстве и определения VE справедливо:

Ui < U2 ^ Ve(U)i <Ve(U2). (4)

Лемма 2. Пусть U - произвольное ограниченное подмножество правильного пространства

E. Тогда 1) cE (U )^ VE (U) ; 2)ve (U )= lim sup P ( u ; 3) если U к тому же компактно по

TueU ^ ’u°> E

мере, то Ce (U) = ve (U).

Доказательство. Для множества U и произвольного числа £ > °, согласно определению Ce (U ), найдется конечная [cE (U )+£]- сеть C£ ={c1, c2,..., cm}, такая, что

и С С, + [Се (и ) + е]В , где В - единичный шар Е. Поэтому по определению пЕ (и) получим пЕ (и) < пЕ (Се + Се (и) + е]В) < сЕ (и) + е в силу обычных свойств нормы, а также свойства абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве Е. Учитывая произвольность выбора е > 0, получим утверждение 1), т.е. СЕ (и)^ ПЕ (и) .

Утверждения 2) и 3) докажем одновременно.

Для фиксированного Т > 0 множества иот , [и]т сравнимы с одноэлементным множеством {Ти0} . Поэтому в силу (4) и абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве Е для любого Т > 0 имеем пЕ (иот ) = 0 и пЕ ([и]т ) = 0, и, в случае компактности по мере и, по лемме 1 также се (и0Т ) = 0 и се ([и ]т ) = 0.

Из включения (3), аддитивности и алгебраической полуаддитивности пЕ (и), %Е (и) следует, что

Пе (и) < Пе ([и]т ) + Пе ([иЬт ) = Пе ([иЬт ); Се (и) < Се ([и]т ) + Се ([и]от ) = Се ([и]от ) (5)

для любого т > 0, фиксированного на момент рассуждений. Так как множества [и]от и Рв(ти сравнимые: [и]от < Рв(ти, то из (5) вытекает, что пЕ (и) и се (и) ограничены свер-

. Следовательно, для произвольного т > 0

ху одним и тем же числом, а именно, sup

имеем CE (U) < sup

ueU

Р^. _ Ли

D(u,T ,Uo)

ueU

и nE (U) < sup

Pn/ T, U D(u,T ,Uo)

ueU

Pn/ T, u

D(u,T ,u0)

. Устремляя T ® ¥ , получим

Ce (u) < lim sup

P^, _ _u

D(u ,T ,u0 )

(6)

для компактного по мере U и nE (U) < lim sup

Pn/ T, u

D(u ,T ,u0 )

для любого U . По теореме 1 [1, с.

16] для ограниченного множества U в E имеет место lim sup m[D(u, T, u0)] = 0 . Поэтому

nE (U) < lim sup

Pn/ T, u

D(u ,T ,u0 )

< lim sup Pnu\\ =nE (U).

E m(D)®0 ueU" D llE E

Равенство 2) доказано. Из утверждения 1), 2) и (6) получим утверждение 3).

Определение 2 [2, с. 28 ]. Пусть Е, Е1- банаховы пространства. Непрерывный оператор А : О ® Е1, где О с Е, называется С — уплотняющим, если для любого ограниченного подмножества и с О, замыкание которого не компактно, выполняется неравенство

Се^ (Аи )<Се (и).

Уплотняющие операторы, являющиеся обобщением компактных и сжимающих операторов, во многих случаях сохраняют свойства последних. Так, например, для уплотняющих операторов построена теория вращения векторных полей [6, глава 4].

Непрерывный оператор А называется (к,с)_ограниченным, если для любого и с О выполняется неравенство сЕх (Аи) < ксЕ(и).

Определение 3 [7, с.344]. Пусть Е, Е1- пространства функций на О, О1 соответственно. Оператор А : Е ® Е1 называется частично аддитивным, если для функций и1, и2,..., ит с непе-ресекающимися носителями справедливо равенство:

А(и1 + и2 +... + ит) = Аи1 + Аи2 +... + Аит - (т -1)А6.

Теорема 1. Пусть Е и Е1 - правильные пространства с единицами и0 и и01 соответственно. Пусть непрерывный оператор А , действующий из Е в Е1 , обладает свойством частичной ад-

E

E

E

дитивности. Пусть А каждое ограниченное по норме в М(и0) множество V переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1, т.е. с УЕ^ (AV) = 0. Тогда для любого множества и с Е выполняется неравенство УЕ^ (Аи)< к1(и, А)уе (и), где

к1(и, А) =

1ІШ

р

Арэ(“,Т,“0 “Т’“01

Ар

I V D (“,Т ,“о)

и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Бир

Ли Ф0,“єи

И0

Р

I и

О(“,Т ,“о)

(7)

Е

Пусть, кроме того, А является вполне непрерывным как оператор из М(и0 ) в Е1 . Тогда для любого множества и с Е выполняется неравенство Сщ (Аи) < к (и, А)уе (и), где

к (и, А)

1ІШ

АР,

г>( т )“

и\и,Т ,“о)

Бир —

р ( '“ Ф0,“єР р < “ О(“,Т ,“0) Е

ОI “,Т,“0 I Е

(8)

Доказательство. Заметим, что к1 (и, А) < к (и, А) . Доказательства УЕі (Аи) < к1 (и, А)у (и) и Хщ (Аи )< к (и, А)у (и) для оператора А, вполне непрерывного из М (“0) в Е1, проведем параллельно. Если и ограничено в М(“0), то требуемые неравенства выполнены, так как УЕі (Аи) = 0 по предположению теоремы и хЕі (Аи) = 0 для оператора А, вполне непрерывного из М (“0) в Е1. Поэтому достаточно доказать утверждение теоремы в случае, когда для

Рп/ Т и

О(и,Т ,“0)

Ф 0.

любого т > 0 множество Р0(ти не пусто, т.е. найдется функция, для которой

Очевидно, из частичной аддитивности оператора А , включения (2) следует, что

Аи с Аи0т и (АРв(т)и + АРа(т)и - А в).

Отсюда в силу полуаддитивности, алгебраической полуаддитивности УЕ^ и сЕ1 , равенств

УЩ (Ав) = ^ Се, (Ав) = 0 получим Ущ (А и) < Шах{У (А(и0т Ж (УЕ1 (АРП(Т )и) + УЕ, ( АРА(т )и))} ,

Се, (Аи) < шах{СЕ! (А(и0т)), (Се, (АРВ(Т}и) + Се, (АРЛ{тЦ))}. (9)

Для

каждого и є РА(Т и и и.

имеем

ІІМ (“0)

< Т . Поэтому уЕі (АРА(Т)и) = 0

и

УЕі (Аи0Т ) = 0 в силу предположения теоремы и хЕх (АРА(Ти) = 0 и хЕі (Аи0Т ) = 0 для оператора А , вполне непрерывного из М(и0) в Е. Следовательно,

уЕі(АЩ <Уеі(АРВ(Тр), (10)

а из (9) вытекает, что хЕі (Аи) < хЕх (АРОТи) для любого Т > 0 . В силу выбора множества и множество РО(Т и, состоящее из ненулевых функций, не пусто и

Х*( Аи) <

Бир

х“ Ф0,иєи

АРО(и,Т ,и0)“

П\ “Т,и

Бир

р ( '“

ОI и,Т,и,

Е

АРО(и,Т ,и0)“

Ф0,иєи^

Р„, т и

О(и ,Т ,“0)

р^, _ Л“

О(“,Т ,“0)

Отсюда

Е

Т

Е

р

Е

Т

Е

Е

Е

Е

р

Е

ХЛ Аи) <

Бир

Р ( и

и\ и,Т,и.

(\аР^< „ .,и|| ^

| И(и,Т ,и0) ||е

-Р^/ Т1 М

П(и,Т ,и0) Е

^0,иеич- '

Бир Р1

и

п(и,т,мо ) ||е

Устремляя Т ® ¥, согласно утверждению леммы 2 получим

ХЕ (Аи) < к (и, А) Пт Бир

ыеи

Р™ т и

D(м ,Т ,Мо )

: к (и, А)уе (и) , где к (и, А) из (8).

Из (10), принимая во внимание, что величина пЕ (АРВ(Т и) по утверждению 2) леммы 2 является пределом невозрастающей относительно Т последовательности, запишем

^(Аи) < П.(АРЩти)

<

Бир

иеи

Р

° 1 ЛРБ(и,Т ,и0 )",Т,и°

АРЭ(и,Т ,и0)и

(11)

Из (11) по аналогии с тем, как получено утверждение для к (и, А) из (8), получим утверждение для к1 (и, А) из (7).

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть оператор Урысона (Ам| К[^, s, и(£)]<&, ядро которого удовлетворяет

а

условиям Каратеодори, непрерывен как оператор из Ьр (а) в Ьч (а) (1 < р, д < ¥), и вполне непрерывен как оператор из Ь¥(а) в Ьч (а). Пусть для некоторого множества и с Ьр (а) константа к (и, А) из (8) удовлетворяет неравенству к (и, А) < 1. Тогда А является %— уплотняющим оператором на множестве и .

Аналогично, если А компактный по мере оператор и для некоторого множества и с Ьр (а) константа к1(и, А) из (7) удовлетворяет неравенству к1(и, А) < 1. Тогда А является

Х— уплотняющим оператором на множестве и .

Доказательство. Пусть для некоторого множества и с Ьр (а) константа к (и, А) из (8) удовлетворяет неравенству к (и, А) < 1. Как утверждается в [7,с.364] оператор Урысона является частично аддитивным. Поэтому выполнены все предположения теоремы 1, из которой следует, что для оператора Урысона и для любого подмножества V с и справедливо неравенства к (V, А) < к (и, А) < 1 и Хь (AV) < к (и, А)пь (V). Отсюда по утверждению 1) леммы 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д Р

Хь (А V) < к(V, АПь (V) < к(V, А)Хь (V), т. е. А является (к ,Х) — ограниченным с к < 1 , а, следовательно, Х— уплотняющим оператором.

Аналогично рассуждаем в случае компактного по мере оператора А , учитывая при этом, что по утверждению 3) леммы 2 имеем равенство Хь (AV) = пь (AV) для любого ограниченно-

д д

го множества V с Ьр (а).

Теорема доказана.

Пусть вещественная функция / (х, и ), где х ё а , —¥< и <¥ , удовлетворяет условию Каратеодори, т.е. при каждом фиксированном и измерима по х и почти при всех х непрерывна по и .

Рассмотрим нелинейный оператор суперпозиции [7, с. 340] Ри(х )= /[х , и(х)].

Теорема 3. Пусть непрерывный оператор К, действующий из Ьр (а) в Ьч (а) (1 < р < ц < ¥), обладает свойством частичной аддитивности. Пусть, кроме того, К вполне

Е

.

.

непрерывный как оператор из А ,(«) в Ьд(о). Пусть Р: Ьд(О)® Ьр(О) - оператор суперпозиции. Тогда оператор КР является (к,%)- ограниченным на шаре

Б(и1,г) = |иє Ьд(О): ||и -иЦь < г(и1 и г произвольны) с константой

з-1

к = ак(Р(В(и1, г)), К)гр , где к(Р(В(и1, г)), К) из (8), а константа а > 0 зависит только от Р .

Доказательство. Пусть и - подмножество из В(и1, г), т.е. и £ и1 + гВ, где В - единичный шар (О). По теореме 1 для оператора К имеем

С(о)(КРи) < к(Р(В(и1, г)), К)у(О)(Ри). (12)

По лемме 17.6 из [7] найдутся число а > 0 и функция Ьє Ьр(О), такие, что |ри(х)| < |Ь(х)| + а|и(х)|31р для любой функции и є и. Отсюда оператор суперпозиции Р сравним с оператором суперпозиции Р1и( х) = а|и(х )|

q/p

Следовательно, в силу (4) vL (W)(FU) < vL (W)(F1U) и

X4(W)(KFU)£HF^Ui,r)),K)vp(W)(FU). (13)

Оператор суперпозиции обладает свойством частичной аддитивности [7, с. 344], по теореме 17.1 из [7] непрерывен как оператор из Ьч (О) в Ьр (О).

Кроме того, по лемме 17.4 из [7] каждое множество и, ограниченное в пространстве А. (О) , оператор суперпозиции переводит во множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Ьр (О), т.е. УА (О)(Ри) = 0 . Отсюда по теореме 1

уЬр (О) (Ри) < к (и, Р )у (О) (и) < к (и, Р )у (О) (и).

Полагая в (8) В(и, Т, и0) = В(и, Т) при и0 ° 1, вычисляем

lim IFiPd(u,T)UIl (И) lim Г 1 Pd(u,t)U |qp|L(n)

к (U, F1) = sup -л---------rp-^— = sup

uTniLq(W)~ '|Pd(u,T)U Lq(W) T®“l|PD(u,TulLq(W)lrD(u,T)UL (W)

Учитывая определение нормы в Lp (И), получим

q/p

7T- a\\PD (uT u

lim II D(U,T) HLq(W^ .

к(а,f1) = sup -л-------и—^— < lim sup a\\PD(uTju\\p = limsupa\\PD(uT)U\\p

- -jj - T®¥ f II D(u,Tr\l ,a)~ T®¥^“1Iі D(u,Tr\L (W) •

TP(uTU ^o,uє^7 ||PD(U,T)U L (W) T® uєul+rB q( ) T® U^B q( )

Lq ( W ) Lq ( W )

Так как для ограниченного множества и в Ь (а) имеет место Пт Бир /л\Р(и, Т)] = 0 [1, с.

T

16], то в силу абсолютной непрерывности нормы отбрасываем Рв ^иТ )и1.

Таким образом, к (и, Р1) < аг3'р-1 и из (12), (13), утверждения 1) леммы 2 следует, что (О)( КРи) < к (Р (В(и„ г)), К у (О,(Ри) < к (Р (В(«„ г)), К )аг3' р-'с ш ,(Ц) .

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть К - линейный непрерывный оператор, действующий из 1р (О) ® I, (О) (1 < р < , <.) и вполне непрерывный как оператор из 1.(О) в I, (О). Пусть Р : I, (О)® 1р (О) - оператор суперпозиции. Тогда оператор КР является (к ,с)- ограниченным на шаре в(ul,г) = \иє А (О):|| и - и1| г < г }> (и1 и г произвольны) с константой

к = а||К||ь ®ь гР , где А зависит только от Р. Пусть, кроме того, оператор суперпозиции

Р ® ч

удовлетворяет неравенству

ри(х)| < а\п(х)|ч4Р . (14)

Тогда для всех g е Ь, (а) существует такое число е> 0, что уравнение и = КРи + е раз-

решимо в ьч (а).

Доказательство. Для каждого и е Ьч (а) имеем

11КР" + «11,(а) < <Щ.Г(0)®ь,т11РИ1ьр,П) + ФИ,(а) • <15)

В силу (14) \\Р"\\Ь (а) < а ич7р т а = а"||Ь/р0). Пусть и принадлежит шару радиуса г в

рч '

I, (О) с центром в 0 . Тогда из (15) следует, что

\\КРи + е?11 < а||К|| ІІиІГ' р + е|| е|| < а||К|| гГ1 р + е|| е|| < г,

II ь\\ьГ(О) II ІІір(П)®1,(П)11 ІІі,(О) II* ІІі,(О) II ІІір(П)®1,(О) II* ІІІ,(О)

если е, г достаточно малы. Таким образом, для оператора Аи = КРи + е справедливо включение АВ(0, г) с В(0, г) для достаточно малых е, г . Оператор КР удовлетворяет всем предположениям теоремы 3. В силу линейности оператора К имеем к(Р(В(и1, г)), К) < ||К||^ (О).

Таким образом, оператор КР является С - уплотняющим по теореме 3 настоящей работы при достаточно малых г, а следовательно, и Аи = КРи + е, так как постоянное слагаемое е не влияет на величину меры некомпактности Хаусдорфа [2, с.7].

Применим к оператору Аи = КРи + е обобщение теоремы Шаудера о существовании неподвижной точки на С,- уплотняющие операторы [2, теорема 1.5.11, с.33], получим существование решения в пространстве 1Ч (О) уравнения и = КРи + е.

Теорема доказана.

Замечание. В теоремах 1 - 3 настоящей работы получены новые результаты. В теореме 3 общается результат, доказанный ранее автором настоящей работы, для линейного оператора К, на случай частично аддитивного оператора К.

К классу операторов, рассмотренных в теореме 3, относится интегральный оператор Гам-мерштейна [7, с. 365].

Результаты леммы 2 и теоремы 4 впервые доказаны в [3-5].

В теореме 4 доказана так называемая е- разрешимость, понятие которой введено в работе

[8].

Напомним, что под е - разрешимостью произвольного уравнения А и = g понимается следующее: для заданной функции g существуют функция и и число е > 0 , удовлетворяющие уравнению Аи = е g .

Г

ЛИТЕРАТУРА

1. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций. - Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений // Вестник Ярославского университета. Вып. 8. Ярославль, 1974. С. 12-52.

2. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. -Новосибирск: Наука, 1986.

3. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces// Zeitschrift ffir Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2, р. 299-307.

4. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сиб. Мат.Ж. 1997. Т. 38, № 5. С. 10711073.

5. Ерзакова Н.А. Нелинейное уравнение и весовое неравенство // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: Труды конференции ВГУ, 2003. С. 77-81.

6. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975.

7. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

8. Kalton N.J., Verbitsky I.E. Nonlinear equations and weighted norm inequalities// Trans. Amer. Math. Soc. 1999. V. 351. № 9, р. 3441-3497.

ON NONLINEAR OPERATORS

Erzakova N.A.

Partially additive (generally) nonlinear operators in regular spaces are studied. New criteria for such operators to be condensing with respect to the Hausdorff measure of non-compactness are proved. The results obtained are applied to the solvability of nonlinear equations.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С.Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.