О разрешимости нелинейного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 145

УДК 517.988.6+517.988.521

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Н.А. ЕРЗАКОВА

Для случая некомпактного оператора доказывается утверждение о существовании ненулевых решений нелинейного уравнения, относящегося к классу уравнений и = А (и; X), где X - скалярный параметр.

Ключевые слова: множество, пространство, оператор, уравнение, условие разрешимости.

Уравнения вида и = А(и;1) возникают во многих задачах нелинейной механики: отыскание критических нагрузок и форм потери устойчивости упругих систем, исследование автоколебательных процессов, исследования процесса рождения волн в движущейся жидкости и т.д. В подобных задачах роль параметра 1 могут играть нагрузки, частоты автоколебаний, скорости движения жидкости [1].

Пусть О - подмножество конечномерного пространства, причем т(О)<¥, ц- непрерывная мера, Е - правильное пространство измеримых на О функций.

Заметим, что пространства Лебега Ьр (О) при 1 < р < ¥ , пространства Лоренца и основной

класс пространств Орлича являются правильными пространствами.

Ограничимся рассмотрением уравнения

Определение [1]. Пусть Е, Е1- пространства функций на О, О1 соответственно. Оператор А : Е ® Е1, называется частично аддитивным, если для функций и1, и2,..., ит с непересе-кающимися носителями справедливо равенство:

А(и1 + и2 +... + ит) = Аи1 + Аи2 +... + Аит -(т -1)Ав,

в обозначает нулевую функцию (в°0 п.в. на О).

Класс частично аддитивных операторов помимо линейных операторов включает нелинейные операторы, в частности, нелинейный оператор суперпозиции [1]

п

Пусть и0 - единица правильного пространства Е [2]. Через М(и0), как и в [2], обозначается пространство измеримых на П функций, для которых имеет смысл и конечна норма

Так как ||и||Е <1||и0||Е для любой функции ие М(и0), то имеет место вложение М(и0) с Е. В частности, если и0 ° 1, то М(и0) = Ь¥ (О), т.е. это пространство ограниченных в существенном функций.

Введение

и = 1Л(и) + / ,

где Л - частично аддитивный оператор, действующий из Е в Е [1].

(1)

1. Постановка и формализация задачи

нелинейный интегральный оператор Урысона

Для произвольной функции и е Е и произвольного числа Т > 0 введем обозначения:

Б(и,Т,и0) = :|и(^) |> Ти0}; А(и,Т,и0) = :|и(^) |< Ти0} = О\Б(и,Т,и0) . (2)

Если т[Б(и,Т,и0)] = 0, то полагаем функцию РО^иТщи эквивалентной в, где РОи(я) = и(я), если ^ е Б и Р^и(^) = 0, если ^ £ Б .

Определение [3]. Пусть Е - банахово пространство, а и - ограниченное подмножество Е. Мерой некомпактности Хаусдорфа СЕ (и) множества и называется инфимум всех е > 0, при которых и имеет в Е конечную е - сеть.

Для относительно компактного множества и справедливо равенство СЕ (и) = 0. Кроме того, сЕ обладает рядом замечательных свойств [3, с.7], среди которых полуоднородность Се (и) =|Г | Се (и) (1 - число); полуаддитивность Се (^ и и2) = тах Се (и:), Се (^)}; инвариантность относительно сдвигов СЕ (и + Ь) = СЕ (и) ( Ь е Е ) , алгебраическая полуаддитивность Се (и! + и2) <Се (и) + Се (и2).

Так же, как в работах [4-7], обозначим через УЕ (и) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества и правильного пространства Е , полагая

УЕ (и )= Б^Р Ро4е .

т(Б)®0 иеи

Мера УЕ (и) обладает всеми вышеперечисленными свойствами СЕ (и) и отличается от меры некомпактности Хаусдорфа только тем, что равенство УЕ (и) = 0 возможно в силу критерия

компактности в правильном пространстве (теорема 15 в работе [2]) на множествах, не являющихся относительно компактными.

В дальнейшем назовем подмножества и1, и2 правильного пространства Е сравнимыми

и1 < и2, если в Е существует такая функция Ь(х), что для каждой функции и из и1 найдется функция V из и2, для которой почти всюду выполняется неравенство | и (х) |<| Ь(х) | + | у(х) |.

Аналогично, два оператора F1, F2, действующих из правильного пространства Е в правильное пространство Е1, назовем сравнимыми F1 < F2, если для каждого подмножества и из Е имеет место F1 (и) < F2 (и) .

В силу свойства нормы в правильном пространстве и определения УЕ справедливо:

и < и2 ^ УЕ (и)1 < УЕ (и2 ) . (3)

Лемма 1 [4-7]. Пусть и - произвольное ограниченное подмножество правильного пространства Е . Тогда

1) Се (и) — Уе (и);

Ри

Б(и,Т ,и0)

2)уе (и) = Пт Бир

Т ®¥ иеи

3) если и к тому же компактно по мере, то СЕ (и) = УЕ(и) .

Е'

Лемма 2. Пусть Е и Е1 - правильные пространства с единицами и0 и и01 соответственно. Пусть оператор А, действующий из Е в Е1, обладает свойством частичной аддитивности. Пусть А каждое ограниченное по норме в М(и0) множество V переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1, т.е. с У^ (AV) = 0 . Пусть и - ог-

раниченное множество в Е, не являющееся ограниченным множеством в М(м0). Тогда для любого Т > 0 справедливо следующее:

П [р.

APn

E I D(Au,T,u01) D(u,T,u0)'

u:

P^ T u

D(u ,T ,Uo)

XE1 (AU) £ XE1 [APD(u,T,u0)U :

Pn, T, u

D(u ,T ,uo)

^0,uє U} = nEl(AU), ^ 0, u є U}.

(4)

(5)

Доказательство. Пусть и - ограниченное множество в Е, не являющееся ограниченным множеством в М(м0). Это означает, что для произвольного числа Т > 0 найдется функция и е и , для которой

РЭ(и,Т,ио)и Е ^ 0 ,

где Р>(иТи )и определено в (2).

Для произвольного числа Т > 0 для любой функции и е и запишем разложение

u PA(u,T,u0)u + PD(u,T,u0)u .

В силу частичной аддитивности оператора А имеем

Au APA(u,T,u0)u + APD(u,T,u0)u A^ .

(6)

(7)

Учитывая, что по предположению теоремы оператор А каждое ограниченное по норме в М (и0) множество переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1, получим

ПЕ { АРА(и,Т,и0)и : и еи} = 0, (8)

а, если оператор А вполне непрерывен из М (и0) в Е1, то сЕ {АРА(и Т щ )и : и еи} = 0. Отсюда, а также из алгебраической полуаддитивности Сщ и равенства Сщ (Ро(лиТщ1) Ав) = 0, как на одноэлементном множестве следует, что для всех Т справедливо (5), если оператор А вполне непрерывен из М (и0) в Е1.

Из (6) и (7) имеет место равенство

Р„ ) Аи = Р„ ) ( АРа( т м + АРп ( Т и - Ав). (9)

П( Аи ,Т ,и01) Аи ,Т ,и01 )^ А(и,Т ,^) ^ (и ,Т ,^) ' ^ '

Из сравнимости {Рд(. Аи Т и ) Аи : и е и }< Аи, а также из утверждения 2) леммы 1 о том, что

' D(Au,T,u01)

предел невозрастающей последовательности lim sup

Tueü

(A ü) = nEi |PD(Au,T,u0i)Au : u e ü} •

Из сравнимости

P(. „ )Au

D(Au,T ,u0i)

равен nE (A U) , получим

[P

„/ . rp \AP,S T u : u Є

D(Au,T ,u0i) A(u,T ,u0)

равенства (8) следует, что

П [р(л T )APA(uTu )u : uє

Ei [ D(Au,T,u0i) A(u,T ,u0)

U }£{ APA(u,T,u0)u : u Єи} ,

U }= 0.

Из включения

[P

AP u : u є

D(Au ,T ,u0i) D (u ,T ,u0)

U }=[p

D( Au,T ,u0i)

Au : u єР }-|Pn(< T )APA(uTu u : u є

J [ D(Au,T,u0i) A(u,T ,u0)

U}+P

D( Au ,T ,u0i)

A0,

E

E

вытекающего из (9), из алгебраической полуаддитивности УЕ и равенства

У( Р0{ АиТит)Ав) = 0 как на одноэлементном множестве имеем для всех Т

УЕг {Ро(Аи,Т,ио1)АРЭ(и,Т,и0)и • и ^Ц\£ПЕ1 (Аи) •

По указанным причинам включение, следующее также из (9),

{РЯ(Аи,Т,ио1)Аи • и £ и} ^ {Р0(Аи,Т,ио1) АР0(и,Т,ио)и • и е П} + {^(Аи,^)АРА(и,Т,и0)и • и е - Р1

(10)

D( Аи ,Т ,ио1)

А<9,

влечет

ПЕ1 (Аи) = ПЕ1 {Ро(Аи,Т,ио1)Аи • и е и} £ ПЕ1 {Р

АР

Е [ 0(Аи,Т,ио1) Э(и,Т,ио)

и • и е

и}

для всех Т • Отсюда, принимая во внимание (1о), получим (4). Лемма доказана.

2. Основные теоремы

Условия разрешимости уравнения (1) возникают из следующей теоремы;

Теорема 1. Пусть Е и Е1 - правильные пространства с единицами ио и ио1 соответственно.

Пусть оператор А, действующий из Е в Е1, обладает свойством частичной аддитивности. Пусть А каждое ограниченное по норме в М(ио) множество V переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1, т.е. с Ущ (AV) = о . Пусть и с Е

- ограниченное множество.

Тогда справедливо следующее^

1) Ущ (Аи )< кхи, А)уе (и), где кх (и, А) = о, если и ограниченное по норме в М (ио) множество, в противном случае

к1 (и, А) = Нш Бир

Р ( л АР I и

°[АРЬ(и,Т,ио )и,Т,и°1) 0Г’Т’и°)

Р^/ 'г \и Фо,иеи

о(и,Т,ио) Е

Р , и

0(и,Т,ио )

(11)

2) Пусть, кроме того, А является вполне непрерывным как оператор из М(ио) в Е1. Тогда для любого ограниченного множества и с Е выполняется неравенство Хщ (Аи )< к (и, А)уе (и), где к (и, А) = о, если и ограниченное по норме в М (ио) множество, в противном случае,

к (и, А) = Нш

АР , ,и

0(и,Ти)

0(и,Т и )

' ’ ’ о' Е

Бир

и ^о,иеи

Р, и

0(и,Т,ио )

(12)

Доказательство. Доказательства неравенств УЕ^ (Аи)< к1(и, А)уе (и) и

Хщ (Аи) < к (и, А)уе (и) для оператора А, вполне непрерывного из М (ио) в Е1, проведем параллельно.

Равенства к1(и, А) = о и к (и, А) = о, если и ограниченное по норме в М (ио) множество,

Е

Е

Е

являются следствием предположения теоремы.

Пусть и - ограниченное множество в Е, не являющееся ограниченным множеством в М(и0) . Как уже отмечалось, это означает, что для произвольного числа Т > 0 найдется функ-

ция и Є и , для которой

т и

О(и ,Т ,и0)

Ф 0 , где РО(и Т и определено в (2).

В силу утверждений (4) и (5) леммы 2 справедливы неравенства при всех Т > 0

Ущ (Аи) <

Бир

РО(и,Т,и0 )и

Р АР и

1 В( Аи,Т ,иоі) О(и ,Т ,иоГ

(і3)

Ф0,иєи

Сщ( Аи) <

Бир

РО(и,Т ,и0)и

АР£> (и Т ,и0)и

(14)

Ф0,иєи

Равенства (11) и (12) получаются одинаково (из (13) и (14) и утверждения 2) леммы 1 соответственно), поэтому докажем только Сщ (Аи) < к (и, А)уе (и). Итак, из (14) следует, что

Сл( Аи)

<

Бир

Ли Ф0,иєи

АРЭ (и т ,и0)и

Бир

АРО(и,Т ,и0)и

П\ и ,Т ,и.

Р / Ли Ф0,иєи V

п\ и ,Т ,иЛ

Ри

О(и ,Т ,и0)

Ри

О (и ,Т ,и0)

Е

Отсюда

Сеі( Аи) <

Бир

АРЭ (и Т ,и0)и

Р \ Ли Ф0,иєи V

О\ и,Т,иЛ

Ри

О(и ,Т ,и0)

Бир

иєи

Ри

О(и ,Т ,и0)

Устремляя Т ® ¥ , по утверждению 2) леммы 1 получим

СЕ (Аи) < к (и, А) ііш Бир

Ри

О(и ,Т ,и0)

= к (и, А)у (и), где к (и, А) из (12).

Теорема доказана.

Определение [3]. Пусть Е, Е1- банаховы пространства. Непрерывный оператор А : G ® Е1, где G с Е, называется с_ уплотняющим, если для любого ограниченного подмножества и с G , замыкание которого не компактно, выполняется неравенство

А ( Аи)< Се (и) .

Непрерывный оператор А называется (к,%) — ограниченным, если для любого и с G выполняется неравенство Сщ (Аи) < к%Е (и).

Уплотняющие операторы, являющиеся обобщением компактных и сжимающих операторов, во многих случаях сохраняют свойства последних. Так, например, для уплотняющих операторов построена теория вращения векторных полей [8].

Следствие. Пусть непрерывный оператор А, действующий из G с Е в Е1, обладает свойством частичной аддитивности, каждое ограниченное по норме в М(и0) множество V переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1 и, к тому же, пусть А - компактный по мере оператор. Тогда А - (к1,с) — ограниченный оператор на множестве и с G с константой к1 = к1(и, А) из (11). Действительно, для любого подмножества V с и согласно лемме 1 %Е (V)>УЕ(V). Так как А(у) компактно по мере, то

Се (AV) = УЕ(AV) также по лемме 1. Отсюда сЕ (А(У)) < к1 (и, А)сЕ(V).

Е

Е

Е

Е

Е

Г

Е

Е

Е

Е

Р

Е

Е

Е

Е

Е

Е

иє и

Теорема 2. Пусть непрерывный оператор А : Е ® Е, где Е - правильное пространство, обладает свойством частичной аддитивности и, к тому же, является вполне непрерывным как

оператор из М(и0) в Е. Пусть существует шар В (/, г) = {и е Е : ||и - /||Е < г}, для которого константа, определяемая равенством (12), к (В (/, г)), А) ограничена. Тогда существует число Л > 0, при котором уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Из предположения к (В (/, г)), А) <¥, теоремы 1 и утверждения 1) леммы 1 следует, что

Се (АВ (/, г ))< к (В (/, г), А)^е (В (/, г ))< к (В (/, г), А)Се (В (/, г)).

Отсюда АВ (/, г) с В(в, Я) для некоторого Я > 0 и, кроме того,

Се (лав(/,г)) = ХХе(АВ(/,г))<1к(В(/,г),А)Се(В(/,г)).

Г 1 г 1

Если Л< ш1и| , то получим с-уплотняющий оператор ЛА на В(/,г). В

силу инвариантности относительно сдвигов меры некомпактности Хаусдорфа оператор ЛА + / также С- уплотняющий оператор на В ( /, г) .

Так как

и и м и г

ЛАи + / - / = ЛАи < ЛЯ < Я — < г

II •/ •/ Не II II я

для всех и е В (/, г), то для выбранных Л> 0 шар В (/, г) отображается в себя. Применим к оператору ЛАи + / обобщение теоремы Шаудера о существовании неподвижной точки на% — уплотняющие операторы [3] и получим существование решения в пространстве Е уравнения (1).

В частности, если Ав = в, то существует ненулевое решение.

Теорема доказана.

Утверждение теоремы 2 по сути является приложением теоремы 1. Другим приложением теоремы 1 является вполне непрерывность производной Фреше.

Пусть вещественная функция / (х, и), где х е О., —¥ < и < ¥, удовлетворяет условию Ка-

ратеодори, т.е. при каждом фиксированном и измерима по х и почти при всех х непрерывна

по и .

Теорема 3. Пусть непрерывный оператор К, действующий из Ьр (О) в (О) (1 < р < q < ¥), обладает свойством частичной аддитивности. Пусть, кроме того, К - каждое множество и, ограниченное в пространстве Р¥(О), переводит во множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Ьч (О). Пусть Р : Ьч (О)® Ьр (О) - оператор суперпозиции Еи (х) = / [х, и (х)] . Пусть константа, определяемая равенством (12), к(Е(В (и1, г)), К) ограничена. Тогда оператор КЕ является (к,%)- ограниченным на шаре

В(и1,г) = {ие ^ (О): ||и -иг\\ь < г} (и1 и г произвольны) с константой

к = ак(Е(В (и1, г)), К)гр , где к(Е(В (и1, г)), К) из (12), а константа а > 0 зависит только от Е . Кроме того, если сущест-

вует производная Фреше КЕ , то она вполне непрерывна.

Доказательство. Пусть и - подмножество из В (и1, г), т.е. и с и1 + гВ, где В - единичный шар Ь (О). Так как для оператора К выполнены все предположения теоремы 1, то

Х^(О)(КЕи) < к(Е(В(и,г)),К)пр,О,(Еи). (15)

Согласно лемме 17.6 из [1] найдутся число а > 0 и функция Ь е Ь (О), такие, что

\Fu(х)| < \b(х)| + a\u(х)

q / p

для любой функции и є и . Отсюда оператор суперпозиции Е сравним с оператором суперпозиции Е» (х) = а\и (х)

Следовательно,

vLp (w)(FU ) <v-p (w)( F,U)

и

с^ т(КРи) < к(Е(В (»1, г)), К )у (П)(^и). (16)

Оператор суперпозиции обладает свойством частичной аддитивности [1], по теореме 17.1 из [1] непрерывен как оператор из Ь (О) в Ер (О).

Кроме того, по лемме 17.4 из [1] каждое множество и, ограниченное в пространстве (О), оператор суперпозиции переводит во множество функций с равностепенно абсолютно

непрерывными нормами в Рр (О), т.е. Уь (П)(Еи) = 0. Отсюда по теореме 1

УЬр (П)(Е^) < к1(и, Е1)у (П) (и) < к (и, Е1)у (П)(и).

Полагая в (2) Б(и,Т,и0) = Б(и,Т) при и0 ° 1, вычисляем

к (U, Fj) = lim

FjPD(u ,T )U

sup

IlL (П)

q 1

PD(u ,T )u

L (W) ------

= lim

L (W) q

a\PD{,j )U|q / p

sup

hl (W) q

L (W)

PK J

PD(u,T )U

- (W) q

Учитывая определение нормы в Lp (W), получим

a

к (U, Fj) = lim

PD(u,T )U

sup

IL (W) q

PD(u ,T )U

q/p

Lq (W)

< lim sup a

ue u, +rB

PD(u,T )u

lim sup a

Lq (W) TuerB

PD(u ,T )u

- (W) q

Lq (W)

Так как для ограниченного множества U в Lq (W) имеет место [2]

lim sup m [ D(u, T)] = 0,

TueU

то в силу абсолютной непрерывности нормы отбрасываем PD^u T)u1.

Таким образом, к (U, F1) £ arql p— и из (15), (16), утверждения 1) леммы 1 следует, что

Cl (W)(KFU) £ k(F(B (u„ r)), K)Vl ,0,(FU) £ к(F(B (u„ r)), K)arq,p~'ZL ,0,(U). (17)

Пусть существует производная Фреше А = (КЕ) (и1) оператора КЕ в точке и1. Тогда

АН = (КЕ )(и1 + Л) — (КЕ )(и1) + со(К) для достаточно малых Н є Ь (О), где а>{И) /1|Н|| ® 0.

^O.ueU

^O.ueU

u

u

D(u ,T)

D(u,T)

q

q

-j

p

p

P

^O.ueU

u

D(u,T)

/

Проведем рассуждения по аналогии с доказательством [3] о том, что производная Фреше (к, х) — ограниченного оператора является (к, х) - ограниченным оператором.

Для достаточно малых г для любого ограниченного множества и из (О) в силу линей-

ности производной Фреше имеем

Аи =1 А(ги) с1 [(КГ )(« + ги) - (КГ )(«) + со{ги)]. г г

Из последнего выражения, а также из алгебраической полуаддитивности Хь (О) и равенства

ч

Х^ (О) Г1 [(КГ )(н1)] 1 = 0 следует:

С¥Щ( Аи) <Х1>(П, (1 [(КГ)(«,+ ги)])+Х^ (П) (Г г о(ги) ).

Из полуоднородности Хь (О) получим

Хьч(П) Vг [(КГ)(и, + ги)] 1 = г Х^(О) ((КГ)(« + ги)).

, V г I г ,

В силу (17) и инвариантности Хь (О) относительно сдвигов

ч( )

Хьч(О) ((КГ)(и1 + ги))< к(Гг)), К)агЧ'Р~1Хьч(П)(«1 + ги) = к(Г(B(ul, г)), К)агЧ'Р~1Хьч(П)(ги).

В силу полуоднородности сь (О) справедливо равенство

к(Г(В(«1,г)),К)аг,/Р-1ХЬ (П)(ги) = к(Г(В(«1,г)),К)агч/Х (П)(Ц).

^ (°)

^/ ^ ^

Ч

В итоге

Хь (О)(Аи)<1 Хь (О)((КГ)(И,+ ги))+Хь ,О)\-фи) 1

, г , ч V г I

Хь ,О)(Аи)<к(Г(В(«„г)),К)аГ-"р-1Хь ,(и)+Хь тГ10^)1.

ч ч ч V г I

г

и, следовательно

г ч/ Р-1

-9У~/ ■ • X - • г

Устремляя г ® 0 и учитывая, что со(к) /1\Щ ® 0, получим утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Заключение

В заключение статьи сделаем следующее замечание. По сравнению с результатом, полученным автором настоящей работы в [7], для утверждения теоремы 1 приведено новое доказательство, при этом не предполагается непрерывность оператора А, а также изменена формула к1(и, А) . В теореме 2 обобщается аналогичный результат из [1] на, вообще говоря, некомпактные операторы. Теорема 3 настоящей работы, в отличие от теоремы 2 из [7], содержит утверждение о вполне непрерывности производной Фреше.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

2. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций, I. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений // Вестник Ярославского университета. Вып. 8. - Ярославль, 1974. С. 12-52.

3. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. -Новосибирск: Наука, 1986.

4. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendendungen. 1996, v. 15, № 2, p. 299-307.

5. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38. № 5.

6. Ерзакова Н.А. Нелинейное уравнение и весовое неравенство // Труды конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений". Изд-во ВГУ, 2003. С. 77-81.

7. Ерзакова Н.А. О нелинейных операторах // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Математика и физика, № 140, 2009. С. 57-64.

8. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975.

ON SOLVABILITY OF THE NONLINEAR EQUATION

Erzakova N.A.

Existence of nonzero solutions for nonlinear equation, concerning the class , where X is scalar parameter, for noncompact operator is proved.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С.Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.