CC BY
31
УДК 517.51
Неравенство типа Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами
Альхалил Айман
Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Маклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия
В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с произвольными борелевскими мерами.
Ключевые слова: неравенство типа Харди, пространство Лебега, интегральный оператор.
1. Введение
Пусть 0 < < +то, и \,р, ^ — борелевские ст-конечные меры на (0, то). Обозначим через М+ множество неотрицательных борелевских функций /: (0, то) ^ [0, +то].
В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Харди вида
/
( \
j ь(х)
J и/<1\ \[а(*),Ь(*)] } )
\
<1^(х)
( \
< с
для всех / € Ш+,
I
\(0,~) )
(1)
где и,ь € М+ и на граничные функции а(х) и Ъ(х) накладываются следующие условия:
а(х) и Ъ(х) непрерывны и строго возрастают на (0, то); а(х) < Ь(х) для любого х € (0, то), а(0) = 6(0) = 0, а(то) = Ь(то) = то. ()
Константу С ^ 0 в (1) считаем выбранной наименьшей из возможных.
Случай абсолютно непрерывных относительно меры Лебега мер (весо-
вое неравенство Харди) имеет длинную историю, восходящую к классической монографии [1], и к настоящему времени полностью изучен. Необходимую информацию можно найти в работах Б. Мукенхоупта [2], Дж. Брэдли [3], С. Блума и Р. Кермана [4], Г. Хайнига и Г. Синнамона [5], В. Кокилашвили [6], Дж. Таленти [7], Д. Томаселли [8], Г. Синнамона [9], Г. Синнамона и В. Степанова [10], других авторов [11-15] и монографиях [16] и [17].
Для более общих мер В. Мазья и А. Розин [16, § 1.3] техникой весовых неравенств охарактеризовали неравенство (1) в случае, когда Л есть мера Лебега и и = V = 1. В недавней работе [18] Г. Синнамон установил связь неравенства (1) при V = А и и = V = 1 с неравенством на монотонных функциях и, в частности, получил несколько различных по форме критериев выполнения неравенства (1) в этом случае. Полностью неравенство Харди (1) при а(х) = а, Ь(х) = х с тремя мерами изучено в работе [19] и в случае абсолютно непрерывных мер изучено в работе [20]. Целью нашей работы является обобщение результатов работы [19,20] на случай интегральных операторов с переменными пределами интегрирования с
9
у
р
Статья поступила в редакцию 25 октября 2009 г.
произвольными борелевскими мерами. Для этого сначала обобщается ряд ключевых лемм из работ [19,20], а затем с помощью этих лемм находятся требуемые критерии.
Обозначим через пространство Лебега всех А-измеримых функций, для
которых Н/Н^р := ^/(0 |/|рёА^ Р < то. Соотношения А ^ В и В ^ А означают
А ^ сВ с константой с, зависящей только от р и А ~ В равносильно А ^ В ^ А. Символы М, Ъ и обозначают соответственно множество всех натуральных чисел, целых чисел . хе суть характеристическая функция (индикатор) множества Е С (0, то).
2. Вспомогательные леммы
Лемма 1. Пусть А — борелевская а-конечная мера на [Ь(с), Ь((1)] С (0, то) и ц — борелевская а-конечная мера на [с,с1] С (0, то), / е Ш+[Ь(с), Ь((1)] и Нь/(х) := /[6(С),6(Ж)| и(У)1(У)ёА(У)- Тогда неравенство
\
ь(х) (Нъ/(х))я ё^(х)
(
< с
\м
\
I ГАА
\ъ(с)МЛ)] )
У/е М+ [ Ь(с), Ь((!)], (3)
при 1 < р < то выполнено тогда и только тогда, когда,
\\Нъ\\ь1^ь% ~ йир
( \
I vd.ii I ир ёА
\[М] / \[Ь(С),Ь(4)] )
<.
Доказательство. Сделаем замену у = Ь(в) в выражении Нъ/(х). Тогда | и(у)Пу)ёА(у)= ! и(ЬШ(Ь(8))ёА(Ь(8))=:Н/(х),
[6(с),6(ж)] [с,х]
где /(х) := /(Ь(з)) и и(х) := и(Ь(з)). Аналогично,
/ \ / \ / \
(4)
(1(У))Р ёА(у)
\ь(с),Ъ(й)]
(К Ъ( з )))р А А(Ъ( з))
\М
/
(1(х)У ё А(х)
, (5)
\с,<Ц
/
где ёА(х) = ё А( Ь(з)). Подставляя (4) и (5) в неравенство (3), получим
/
\
/
I ь(х) (Н¡(х)У ё1(х)
\м )
Из ( [19], теорема 1) получим
< с
\
(1(х)У АА(х)
\М
/
С « 8Ир
I vd.ii \м /
(
\
I ир ёА
\м }
ч
р
я
р
ч
р
Сделаем обратную замену во втором сомножителе, тогда
С « вир
ге[с,й]
/ у /
I V \м !
\
{ ир' ¿X
\ь(с),ь(г)] )
что следует из утверждения леммы, поскольку наименьшая константа С в (3) совпадает с нормой \\НЪ\\ьг ,ь1. □
Справедливо аналогичное утверждение для интеграла с переменным нижним пределом.
Лемма 2. Пусть X — борелевская а-конечная мера на [а(с),а(^] С (0, то) и ^ — борелевская а-конеч,ная мера на [с,с1] С (0, то), / € Ш+[а(с), а(^] и
На! (х):= I иШ (у)6Х(у).
[а(х) ,а(^]
Тогда неравенство
I
\
у(х) (На/(х))4 ¿ц(х)
(
< С
\м
\
I /Р6Х
\[а(с),аИ] )
V/ € М+ [а(с),а(¿)] (6)
при 1 < р < д < то выполнено тогда и только тогда, когда,
\\На\\ь1^ь% ~ йир
А ^ ¿еМ]
I V
\М )
(
\
I ир ¿X \[а(*),»№] )
< то.
у
р
У
3. Блочно-диагональный метод
Для заданных функций а(х) и Ъ(х), удовлетворяющих условию (2), выберем последовательность точек {£к}к€ж С (0, то) такую, что £0 = 1, £к = (а-1 оЬ)к(1), к € X и положим щ = а(£к) = Ь(£к-1), Ак = [&, &+1], 4 = [т/Пк+1], к € X. Разбивая полуось (0, то) точками последовательности {£к}кеж, получаем представление оператора Н вида Н/(х) := ¡[а^х),Ь(х)] и(у)/(у)<1Х(у) в виде суммы Н = Т + Б блочно-диагональных операторов Т и 5 таких, что
Т = ^ Тк, в = ^ Бк,
к€1 к€1
где
Тк / (х) := ! и/ ¿Х,Тк : Ьр[а(Ик ),а(£к+1)) ^ сЬ^,^), (7)
[а(ж),а(£ь+1))
Як/(х) := ! и/ ¿Х,Як : Ьр[Ъ(£к ),Ь(£к+1)) ^ Ь^к ¿к+{). (8) [ь(& )М*)]
Для блочно-диагональных операторов имеет место следующее утверждение [12].
Лемма 3. Пусть 0 < р < q < то и и = [_\кик и V = |_|к Ук и Т = ^2к Тк , где Тк : Щик) ^ Ь^(ук) тогда \\Т\\ь*(и)^ь%(У) = ^иРк \\Т\\ь1(ик)^ь1(ук).
4. Случай А = у
Теорема 1. Пусть 1 < р < д < +то, и А, I — а-конечные борелевские меры на (0, то), и,у е Ш+. Неравенство
if у \
У v(x) J fu dA dj(x)
\[а(Ж),Ь(Ж)] J J
(
< с
\
J fpdA \o,*>) J
V f e M+ (9)
выполнено тогда и только тогда, когда А := sup sup A(s, t) < то, где
s>0s^t^a-1(b(s))
А(s, t) :=
J vdj V s, t] J
(
\
up dA
\a(t),b(s)]
У
Более того, для наименьшей константы С в неравенстве (9) справедливо соотношение С « А.
Доказательство. Необходимость. Пусть выполнено неравенство (9) и в > 0.
Полагая f = и?Х[а(г),Цв)] в (9) для любого £ е (в,а-1(Ь(в))), находим
/
с
\
(u р )pdA
(
[ a( ), ( s)]
/
\
Р
u(uР )X[a(t),b(s)]dA
\
v(x)dj
(
\(0,<х,) \a(x),b(x)] (
У
\
Р
u(uР )X[a(t),b(s)]dA
1
\ 1
\b-1(a(t)),a-1(b(s))] \[а(ш),Ь(ш)]
v(x)dj
У У
/ ( V
[ s, )]
J updA
[ a( ), ( s)]
i
\ 1
v(x)dj
Отсюда для любого t > 0 следует
С > sup
te(s,a-1(b(s)))
f у /
J v djj,
[ s, ]
\
f updA
\[ a( t), b( s)] J
откуда С ^ sup sup A(s, t) = A.
s>0 s^t^a-1 b(s)
Достаточность. Пусть A < +то. Запишем оператор Н для любого x e Ak = (£k, Zk+i), в виде Hf (x) = Tkf (x) + Skf (x). Тогда
mi in- = £ iih f hi« (д fc) < (z \\Tkf hL«(A fc)+e w^f hI-(A.)) =
k k k
я
Р
я
Р
Ч
я
Р
Ч
29-1 (|\Tf И«, + \\Sf < 2q-1 (||TГ + ||511«)
19 ) 11 fll«
\TP '
Отсюда следует, что \\Н\\ ^ (\\Т\\9 + \\5\\9)4 , а из неравенства Йенсена и леммы 3 получаем \\Я\\ < \\Т\\ + \\5\\ = вир\\Тк\\ + вир\\Я\\.
к к
Из леммы 2 имеем
/
ЦТк|| < sup
ie[ifc,ifc+i]
Следовательно
Из леммы 1 имеем /
\
v dц
(
\
ир dX
\[ifc,i] / \a(t),b(Zk)]
< А, к G Z.
sup ||Tfc|| < Л.
к
(10)
sup
te[ik ,ifc+i]
v /
v dц
V,ifc+i] )
\
ир dX
\a(tk+i),b(t)]
sup A(t,£k+i) < A.
(k <t<S.k+1
Поскольку 0 < s < t < a 1(b(s)) эквивалентно b 1(a(t)) < s < t, то A -sup sup A(s,t). Отсюда следует, что sup sup A(t,£k+1) ^ А. Поэтому
t>ob-1 (a(t))<s<t к <i<ifc+i
sup
к
£ A.
(11)
Отсюда и из (10) и (11) по лемме 3 получаем С ^ А.
□
у
V
р
5. Неравенство Харди с тремя мерами
Для операторов интегрирования с переменными пределами из ( [19], лемма 5) вытекает следующее утверждение
Лемма 4. Пусть 0 < р,д < +то, и X, ц — борелевская а-конечная мера на (0, то) и,у,т € Ш+. Тогда неравенство
(
(
v(x)
\
fur dA
\
dfi(x)
(
< С
\
f pdX
\0,*>) \a(x),b(x)] J ) \о%) )
выполнено, если и только если выполнено неравенство
v i
/
/
v(x)
\0,ж)
gu dA
\
dfi(x)
\a(x),b(x)]
(
< с
gpr-pdX
\(0,~)
/
V/ G M+ (12)
Уд G M+. (13)
Теорема 2. Пусть 1 < р < д < +то; А , V и ц — борелевские а-конечные меры на (0, то) и / € М+; (ра, — разложение Лебега меры V относительно X, т.е. V = ра + и3, где ра абсолютно непрерывна относительно X, а и X взаимно
сингулярны и ^гт1 — производная Радона-Никодима va относительно X.
я
о.
р
р
Если р < д, то неравенство / / \
( х)
\(0,~)
I и/ ёА
\[а(ш),Ь(ш)] )
ёц(х)
< С
у г ^
\(0,~) У
1
\?
V/ е М+ (14)
выполнено тогда и только тогда, когда
Л := вир вир
в>0 <6[в,а-1(6(в))]
/ \ ? /
\[М] ) \[а(4), Ь(в)]
1-р'
ёА
У
Более того, для наименьшей константы С в неравенстве (14) справедливо соотношение С « Л.
Доказательство. Следуем рассуждениям из доказательств теоремы 4 [19]. Неравенство (14) равносильно неравенству
У у(х) \(0,<х>)
v v / х
[ и/ ёА ёц(х) <С у Г ёи,
\а(х),Ь(х)] / ) \(0,~) У
V/ е М+. (15)
Действительно, (15) влечёт (14). Обратно, пусть выполнено (14). Фиксируем произвольную f е М+. Так как и8 и А взаимно сингулярны, то существует борелев-ское множество А С (0, то) такое, что А(А) = 0 и и8 сконцентрировано на А. Так как иа абсолютно непрерывна относительно А и А(Е) = 0 для любого борелевского Е С А, то иа сконцентрировано на (0, то) \ А. Положим / := /Х[а(х),б(ж)]\л. Тогда
/
\(0,~)
/
\
\
/
ь(х) ! и/ёА ё^(х)
\[а(Ж),Ь(Ж)] ) )
I \ * /
(
( х)
\(0,<х,)
\
\
< С
I Г ё V
\(0,~) У
= С
\
I Гё иа + ] Гё и8
\(0,гс>) (0,гс>) )
и/ёА ёц(х)
\[ а( х), &(*)] У )
( \
<
= С
I /рёи,
\(0,~) У
Неравенство (15) можно переписать в виде
/ / vх
У ь(х) У иf ёА ёц(х \(0,~) \[а(®),Ь(х>] У У
< С
\(0,~)
Г (%) ёА
Данное неравенство по лемме 4 равносильно неравенству
( х)
\(0,<х,)
\а(х), Ь(х)]
1 \
и! [ёг) "ёА
У
(ёа \
\ ё А )
ёц(х)
< С
У
у ГёА \(0,~) У
1
\ ?
Применение к последнему неравенству теоремы 1 заканчивает доказательство теоремы. □
У
р
р
ч
ч
ч
р
Ч
ч
Литература
1. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М: ИЛ, 1948.
2. Muckenhoupt B. Hardy's Inequalities with Weights // Studia Math. — 1972. — Vol. 34, No 1. — Pp. 31-38.
3. Bradley J. S. Hardy Inequalities with Mixed Norms // Canad. Math. Bull. — 1978. — Vol. 21, No 1. — Pp. 405-408.
4. Bloom S., Kerman R. Weighted L$-integral Inequalities for Operators of Hardy Type // Studia Math. — 1994. — Vol. 110, No 1. — Pp. 35-52.
5. Heining H. P., Sinnamon G. Mapping Properties of Integral Averaging Operators // Studia Math. — 1998. — Vol. 129. — Pp. 157-177.
6. Кокилашвили В. М. О неравенствах Харди в весовых пространствах // Сообщ. АН ГССР. — 1979. — Vol. 96, No 1. — Pp. 37-40.
7. Talenti G. Osservazione Sopra una Classe di Disuguaglianze // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. — 1969. — Vol. 39. — Pp. 171-185.
8. Tomaselli G. A Class of Inequalities // Boll. Un. Mat. Ital. — 1969. — Vol. 2. — Pp. 622-631.
9. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type Inequalities // Math. Anal. Appl. — 1991. — Vol. 160. — Pp. 434-445.
10. Sinnamon G., Stepanov V. D. The Weighted Hardy Inequality: new Proofs and the Case p =1 // London Math. Soc. — 1996. — Vol. 54. — Pp. 89-101.
11. Imm C. — Semilinear ODEs and Hardy's Inequality with Weights. — M.s. thesis, Univ. of Missouri, Columbia, 1997.
12. Stepanov V. D, Ushakova E. P. Hardy Operator with Variable Limits on Monotone Functions // Function Spaces Appl. — 2003. — Vol. 1. — Pp. 1-15.
13. Lai Q. Weighted Modular Inequalities for Hardy Type Operators. — 1999.
14. Manakov V. M. On the Best Constant in Weighted Inequalities for Riemann-Liouville Integrals // Bull. London Math. Soc. — 1992. — Vol. 24. — Pp. 442-448.
15. Stepanov V. D. Weighted Norm Inequalities for Integral Operators and Related Topics // Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications. — Vol. 5. — Prometheus Prague,: 1994. — Pp. 139-176.
16. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. — Л.: ЛГУ, 1985.
17. Opic B., Kufner A. Hardy-type Inequalities. — Longman, Harlow, 1990.
18. Sinnamon G. Hardy's Inequality and Monotonicity // FSDONA, Prague. — 2005. — Vol. 5. — Pp. 292-310.
19. Прохоров Д. В. Неравенства Харди с тремя мерами // Труды Матем. ин-та РАН. — 2006. — № 255. — С. 233-245.
20. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин-та РАН. — 2001. — № 232. — С. 298-317.
UDC 517.51
Inequality of Hardy Type for Integral Operators with Variable Limits of Integration in the Lebesgue Spaces with Measures
Alkhliel Aiman
Mathematical Analysis and Functiona Theory Department Peoples friendship university of Russia 6, Miklukho Maklai str., 117198, Moscow, Russia
In the work we prove necessary and sufficient conditions for the inequality of Hardy type for integral operators with variable limita of integration in the Lebesgue spaces with measures.
Key words and phrases: Hardy inequality, Lebesgue space, integral operator.
