Интерполяция положительного и регулярного линейных операторов в пространствах Орлича измеримых вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2004, Том 6, Выпуск 3

УДК 517.98

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО И РЕГУЛЯРНОГО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА ИЗМЕРИМЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

К семидесятипятилетию Юрия Григорьевича Решетняка

В. Г. Фетисов, В. Н. Козоброд

В работе рассмотрен вопрос об интерполяции положительного и регулярного операторов в квази-нормированных пространствах Орлича измеримых по Лебегу векторнозначных функций.

В обзоре Ю. А. Брудного, С. Г. Крейна и Е. М. Семенова [1] по теории интерполяции операторов отмечалось, что «цикл работ, посвященных интерполяции линейных операторов в линейных топологических пространствах, весьма разнороден по методам и направленности». Можно добавить, что и идея интерполяции локально невыпуклых топологий еще далека от сколь-нибудь полной реализации. Настоящая статья посвящена задаче интерполяции положительного и регулярного линейных операторов в локально ограниченных пространствах Орлича измеримых вектор-функций. При этом используются некоторые соображения более ранних работ первого из авторов (см. ссылки на статьи [2, 3, 4] на стр. 140, 142 из вышеупомянутого обзора [1]).

Сначала приведем необходимый аппарат обозначений, определений, вспомогательных результатов, являющихся базовыми для дальнейшего изложения. Мы во многом следуем содержанию главы 2 из [5] (см. также монографию [8]).

Пусть (Т, X, — пространство с мерой, т. е. Т — множество, X — ст-алгебра его под-

множеств, ^ — счетно-аддитивная неотрицательная мера на X. Без ограничения общности можно предполагать, что все атомы дискретной части Т являются точками. Пусть Х(^) (соответственно Ха(^)) есть кольцо (соответственно ст-кольцо) множеств из X, имеющих конечную (соответственно ст-конечную) меру. Всюду в дальнейшем будет считать, что:

(a) если А С В £ £ и ^(В) =0, то А £ £ (полнота меры ^);

(b) если для любого В £ Х(и) имеем В П А £ X, то А £ X;

(c) для любого А £ X имеем ^(А) = зир{^(В) : В С А, В £ Х(^)|;

(^ существуют дизъюнктные множества {Т*} такие, что ^(Т \ иТ*) =0 и 0 < ^(Т*) < при любом г;

(е) Для любого А £ Х(^) существуют множество N меры нуль и не более, чем счетное множество J индексов г такие, что А \ N = Це/(А П Т*).

Как известно [1], условия (а)-(е) выполнены для любой полной ст-конечной меры и для меры, порожденной существенно верхним интегралом меры Радона на любом локально компактном пространстве. Без ущерба для нетривиальности всего дальнейшего

© 2004 Фетисов В. Г., Козоброд В. Н.

изложения можно считать, что (Т, Х,^) есть отрезок [0,1] с мерой Лебега ^ или же ограниченный компакт в Ж” с мерой Лебега ^.

Пусть Е — ^-квазинормированное идеальное пространство с мерой Лебега ^ (см. [4]) (например, Ьр, 0 < р < то), X — банахово идеальное пространство [5]. Символом Ь0(X) обозначаем пространство (классов эквивалентности) всех X-значных измеримых по Лебегу вектор-функций на Т.

Через Е(X) обозначим ^-квазинормированное пространство всех измеримых вектор-функций / : Т ^ X таких, что ||/; Е(X)|| = ||||/||х||е < +то.

Проблематика теории пространств вектор-функций E(X) весьма обширна. Это и вопросы геометрии пространств, ограниченных операторов в них, представления операторов, решение различных классов уравнений и др.

Мы рассматриваем в основном два модельных примера Е^), а именно:

(1) ) (или ЬР(Т, X)) есть пространство всех измеримых вектор-функций /(¿)

таких, что ^-квазинорма элемента:

||/; V (X)! = ^ ||/(*)УХ «)^ < +то, 0 <р< то;

(2) через ) (или Ь*^(Т, X)) обозначим пространство всех измеримых вектор-

функций /(¿) таких, что

||/; )| = И |е > 0 : ^ р^Д^Нх/е) < е

где р — некоторая р-функция, принадлежащая классу Ф(Ь), см. [6].

Цель нашей работы, как уже отмечалось, — проинтерполировать линейный положительный и регулярный операторы, действующие в заданной четверке ^-квазинорми-рованных пространств Орлича векторнозначных функций.

В дальнейшем важную роль играют 7-выпуклые р-функции, подчиняющиеся Д2-ус-ловию [4], примерами которых могут служить р1(ж) = |ж|р (0 < 7 < р < 1), Р2(х) = и другие. Для 7-выпуклой р-функции ^-квазинорма вектор-функции /(¿) £

JxL

in^v/ixi+e)

L*‘(X) имеет вид:

р; L*‘(X)|||=f е> 0: / р( )d^(i) < 1

т V е y

Так же, как для скалярного случая [3], можно показать (см. [5]), что множество всех конечнозначных вектор-функций вида /(i) = ^n=i XG (t)x, (Gi € S, Gi П Gj = 0, i,j = 1,...,n, где i = j, xi € X, XG(i) — индикатор измеримого множества Gi € S) плотно в F-квазинормированном пространстве Орлича L*‘(X), а его замыкание в F-квазинорме пространства L*‘(X) обозначим через E‘(X).

Считаем для определенности, что р-функция ро «слабее», чем р-функция pi, т. е. lim < +то (K > 0, x ^ 0). По заданным Y-выпуклым р-функциям ро и pi можно

построить так называемую промежуточную р-функцию следующим образом:

а) пусть W0(x) = р0(| x |1/7) и W1(x) = Pl(|x|1/7) — некоторые N-функции [7], Wi-1(x) — обратные к Wi(x) (i = 0,1) функции;

в) обозначим через W“1(x) = [W0-1 (x)]1-“^—1 (x)]a, где 0 ^ а ^ 1; с) промежуточной 7-выпуклой р-функцией для ро и р1 является ра (x) = Wa(xY),

где Wa(x) — обратная к Wc-1(x), 0 ^ а ^ 1 (подробнее см. [4]). Пространства E(X) образуют при 0 ^ а ^ 1 семейство вложенных друг в друга локально ограниченных пространств Орлича, а так как в каждом из них плотно множество всех конечнозначных функций, то каждое из пространств E‘“2 (X) плотно вложено в E‘“i (X) при а1 < а2. Таким образом, F-квазинормированные пространства Орлича E(X) (будучи непрерывно вложенными в пространство всех измеримых вектор-функций) образуют интерполяционную шкалу, соединяющую заданные E‘° (X) и E‘ (X). Если же обе Y-выпуклые р-фу-нкции ро, р1 подчиняются А2-условию [4], то получаем шкалу F-квазинормированных пространств Орлича L*‘“(X), соединяющую заданные пространства L*‘° (X) и L*^1 (X). В частности, если ро и р1 — некоторые N-функции [7], то при 0 ^ а ^ 1 семейство E(X) образует шкалу нормированных пространств Орлича вектор-функций. Основные соотношения между F-квазинормами при 0 ^ а1 <а<а2 ^ 1 для каждого элемента из соответствующих пространств Орлича аналогичны скалярному случаю [3] (см. также [4]).

Теорема 1. Пусть A — положительный линейный оператор, действующий непрерывно из нормированного пространства Орлича Em° (X) в F-квазинормированное пространство Орлича E‘° (X) и из Em1 (X) в E^1 (X), где

| A/; E‘° (X) | < со | /; Em° (X) ||| , || A/; E‘1 (X)|| < С11|/; Emi (X) | ,

причем со и С1 не зависят от выбора измеримой вектор-функции /(i). Тогда для любого а, 0 < а < 1, справедливо неравенство

IIIА/; E(X)|| < аКо1-“К1“(||/; Em„(X)|| V |/; Em„(X)||),

где а > 0, Ki(ci), i = 0,1.

< Наметим схему доказательства. На первом этапе рассматриваем сужение оператора A на линейное многообразие всех конечнозначных измеримых вектор-функций, и далее, второй этап — продолжение по непрерывности оператора А на Em„ (X). На первом этапе базовым является неравенство вида:

ЦА/IU < (А(Мо-1(М„(H/IU))))1-“ ■ (A(M1-1 (M«(||/||*))))“,

где X — банахово пространство, 0 < а < 1, Mi-1 — обратная к N-функции Mi, i = 0,1, Ma — N-функция обратная к (M-1 )1-а ■ (M-1)“. Для его доказательства сначала используем неравенство Гельдера для алгебраических сумм (учитывая, что /(i) — конечнозначная вектор-функция):

n / n \ 1-а / n ч а

^ WiVi^i ~ ■ ¿0 ■(Х^| “ М ,

i=1 i=1 i=1

где 0 < а < 1. Пусть при i = ^ все значения A%g (iо) < +то. Полагаем

Wi = (M(-1(Ma(|xi|)))1-“ ■ Sgn xi, Vi = (Mf1(Ma(|xi|))), ¿i = A%GiІо.

В силу линейности и положительности оператора A базовое неравенство выполняется при i = ^, а так как почти при всех значениях i € T функции A%g (i) конечны, то базовое неравенство справедливо почти при всех i € T. Возводя обе его части в степень Y > 0, умножая на ||g(i)||x, где g(i) € Eya (X) (Va — двойственная в смысле Юнга N-функция

к Ж* (см. [6])), а Г(д, V“) = /у ^(||д(4)||х)^(4) ^ 1, проинтегрировав обе части базового неравенства и применяя интегральное неравенство Гельдера с показателями р = 1—“, р = “, 0 < а < 1, получим оценку вида:

I ||А/(()||Х •|9(0Лх ФИ « ( I (А(Мо-1 (А«||/||х))))"(Уо_1(К»(»9»х))) «о) ° х(!т(Л(МГ1(М„(Л/||х))))’■ (УгЧКЛИх)))ф(4)) .

Функция У0_1(Уа(|5|х)), очевидно, принадлежит пространству Еу0 (аналогично, функция V-1(Ка(|5| X)) £ Еу1. Итак, приходим к неравенству

/ [А(Мо-1 (Ма(|Л|х)))]7 • (^-1(Ъ(||£||х))) ф(4) < |[АУо17; Еадо |,

,/т

где Го := М0-1(Ма(|</| X)). Имеем аналогичную оценку для М1 1(Ма(|/|х)) = Гъ Значит,

I ЦА/(4)||Х • ШНхФ(*) < |||[АУо]7; Е^оI1"“ • ||[А1!Г; Е^ Г, 0 < а < 1.

,/т

На втором шаге отдельно рассматриваем случаи: а) |||А/; Е"а (X)|| < 1, в) |||А/; Е"а (X)|| ^ 1,

с использованием 7-выпуклой промежуточной р-функции ра. Приведем окончательные оценки для каждого из случаев (опуская детали для краткости изложения). а):

| А/; Е(X) | < 4к0"“к“ | /; Ема (X) | ,

где к. = шах{с7/(1+7), с.}, г = 0,1, не зависит от выбора конечнозначной вектор-функции /(4) из Ема(X);

в): 1

|||А/;Е*» (X )| ^ 21+* ко 1-“к “|||/;Ем„ (X) ||,

где к = шах{с]+1/7, с.}, г = 0,1. Обозначая через а = тах{4,21+1/7}, К = Ш1ах{к., к.},

г = 0,1, получим требуемое для множества всех конечнозначных вектор-функций. Далее, используя продолжение по непрерывности исходного оператора А с множества конечнозначных вектор-функций, всюду плотного в нормированном пространстве Орлича Ема (X) векторнозначных функций, и повторяя рассуждения, аналогичные скалярному случаю (см. [3]), имеем результат теоремы 1. При этом исходный оператор А и продолженный, совпадая друг с другом на всюду плотном в Ема (X) множестве конечнозначных функций /(¿), в силу единственности предела по мере совпадут и на всем нормированном пространстве Ема (X). >

Замечание. Линейный оператор А называется регулярным, если он представим в виде разности двух положительных линейных операторов. Как известно, для регулярности исходного оператора А необходимо и достаточно, чтобы существовал положительный линейный оператор Б (так называемая мажоранта оператора А), подчиняющийся условию |А/| ^ Б(|/1). В этой ситуации операторное уравнение А / = V тесно связано с операторным уравнением Би = О, так как поведение оператора А в некотором смысле «контролируется» мажорантой Б в силу вышеприведенной нормативной оценки (см.

монографию [8]). Из теоремы 1, определения регулярного линейного оператора и последнего условия непосредственно вытекает следующая

Теорема 2. Пусть линейный оператор A имеет положительную мажоранту S. Пусть известно, что линейный положительный оператор S является непрерывным оператором, действующим из нормированного пространства Орлича Em0 (X) в F-квази-нормированное пространство Орлича E(X) и из Ем (X) в E^ (X). Тогда при каждом а, 0 < а < 1, линейный оператор A из нормированного пространства Орлича Ем (X) в F-квазинормированное пространство Орлича ЕVa (X) является непрерывным.

В заключение отметим, что если определяющие N-функции Mo и Mi, равно как и Y-Выпуклые p-функции Ро и Pi подчиняются Д2-условию [6], то Ема (X) можно заменить на (X), а Е^“ (X) на (X) при каждом 0 ^ а ^ 1.

Литература

1. Брудный Ю. А., Крейн С. Г., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов // Математический анализ.—М.: ВИНИТИ.—1986.—С. 3-164.

2. Поволоцкий А. И., Фетисов В. Г. К вопросу об интерполяции линейных операторов // Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та.—1070.—№ 464.—С. 258-278.

3. Поволоцкий А. И., Фетисов В. Г. Об интерполяции линейных операторов, действующих в обобщенные пространства Орлича // Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та.—1971.—№ 404.—С. 415-438.

4. Фетисов В. Г. Шкалы метрических пространств Орлича и полилинейные операторы в них // Уч. зап. Кемеров. пед. ин-та.—1969.—Вып. 19.—С. 116-129.

5. Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г. и др. Векторные решетки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1992.—215 с.

6. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы Ф(L) // Успехи мат. наук.—1972.—Т. 27, № 2.—С. 3-52.

7. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.—М.: Физматгиз.—1958.—315 с.

8. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

Статья поступила 27 января 2004 г-Фетисов Валерий Георгиевич, д. ф.-м. н.

г. Шахты, Южно-Российский госуниверситет экономики и сервиса E-mail: fetisov_vg@sssu.ru

Козоброд Вячеслав Николаевич, к. ф.-м. н. г. Волгодонск, Волгодонский институт сервиса ЮРГУЭС E-mail: kvn@vuf.ru