Нелокальные решения систем операторных уравнений в пространствах измеримых вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, выпуск 4, С. 49-60

УДК 517.98

НЕЛОКАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ИЗМЕРИМЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

В. Г. Фетисов

Посвящается столетию со дня рождения академика С. Л. Соболева

Работа содержит ряд новых результатов, показывающих важную роль топологических методов при исследовании разрешимости систем нелинейных операторных уравнений в ненормируемых пространствах.

Ключевые слова: пространство, оператор, уравнение Гаммерштейна, неизотропные ядра Коши, система многомерных сингулярных интегральных уравнений.

Введение

Качественные методы решений нелинейных операторных уравнений и их систем образуют достаточно стройную теорию, имеющую многочисленные приложения к анализу краевых задач, проблем физики, радиоэлектроники и других областей науки и техники.

В качестве модельной в настоящей работе нами выбрана система нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна, имеющая вид:

/и

(У, и 1 (у),и2(у),...,ии (у)) йу + 'Шг(х) ^ = 1~п). (1)

Здесь О — ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, (х) = |п1(х), и2(х),..., ии(х)}, х € О, — искомая вектор-функция, А — вещественный параметр, кц(х, у) — ядра интегральных операторов, /ц (у, щ(у), П2(у),..., ии(у)) — характеристики интегральных операторов, IV (х) = {^1 (х), ^(х),..., ади(х)} — известная вектор-функция.

Исследованием разрешимости этой системы занимались Э. Шмидт, Р. Иглиш, А. Гам-мерштейн, М. Голомб, А. П. Гремяченский, С. Дольф, Н. В. Кирпотина. Существенные продвижения были получены М. А. Красносельским, Л. А. Ладыженским, А. И. Пово-лоцким, Х. Шефером, П. П. Забрейко.

Однако, несмотря на многочисленные публикации в рассматриваемом направлении для нормируемого случая среды системы (1), продвижение исследований на пространства, не являющиеся локально выпуклыми, а также на ситуацию нелокальной разрешимости исходной системы в упомянутых функциональных пространствах, далеко еще

© 2008 Фетисов В. Г.

от сколь-нибудь полной реализации. К настоящему времени имеются лишь отдельные публикации и для решения систем, содержащих многомерные нелинейные сингулярные интегральные уравнения с неизотропными ядрами Л. О. Коши, хотя, как известно, такого рода системы широко используются в задачах механики, теплообмена излучением и в других областях.

Настоящая работа содержит три взаимосвязанные части. В первой из них рассмотрен случай, когда оператор-матрица А : = ((Ац)) исходной системы (1) является положительно определенной, а характеристики /ц операторов суперпозиции (В. В. Немыцкого) подчиняются условию К. Каратеодори. При этом изучена нелокальная разрешимость системы (1) как для положительного оператора, так и для ситуации, когда он имеет конечное число отрицательных собственных чисел. Вторая часть работы посвящена доказательствам нелокальных теорем существования ограниченных решений у системы (1). В третьей части приведен результат о разрешимости слабо связанной системы многомерных нелинейных сингулярных интегральных уравнений с неизотропными ядрами Коши.

1. Вспомогательные сведения и результаты

Приведем кратко необходимый аппарат обозначений, определений и предложений, являющийся базовым для дальнейших построений работы.

Пусть 1,^1), (П2,^2,^2), • • •, (^п^п'^«) — измеримые пространства с неот-

рицательными ст-конечными, полными неатомическими мерами ^1(^1), ^2(^2), • • •, ^п(Пп). Через П = (П, Х,^) обозначим П = Пп=1(П, ^к,ц,к) — их прямое произведение.

Обобщенное пространство Лебега — Рисса Ь(а)(П) состоит из всех тех ^-измеримых по А. Лебегу функций и(х) = п(ж1,ж2, • • • , хп), хк € П, к = 1,п, для которых конечна смешанная ^-квазинорма, имеющая вид:

|| и; £(а) (П)|| = (/ •••^у^у'|и(х1 ,Х2, •••,х«)|^ йх^ 2 3 • • • йх^ <

Пп П2 П1

Через М(П) обозначим множество всех ^-измеримых почти всюду конечных на П функций с действительными значениями и обычным отождествлением эквивалентных функций.

Аналогично, обобщенное пространство Лебега — Рисса Ь(а)(П) состоит из тех ^-из-меримых по Лебегу функций

и(х) = и(х1,х2,•••,xn), хр € Пр, р =1,•••,n, для которых конечна смешанная ^-квазинорма вида

||и; -%)(П)||

а" п —1 а1

— , \ ап—1

I ап

|и(х1, х2, • • • , П«) | ап йх п I йх«— 1 ^ • • • йх^ <

Пп—1 Пп

Здесь мультииндексы (а) = (а1, а2, • • •, ап), (а) = (ап, ап-1, • • •, а1), где ар > 0 для любого р = 1, • • •, п. Можно видеть, что в общем случае Ь(а)(П) = L(а)(П)• Интересным представляется случай ненормируемых пространств, когда хотя бы одно из чисел > 1 (к = 1, 2,...,n). Обобщенные пространства Ь(а)(П) и Ь(а)(П) являются метризуемыми пространствами Фреше.

Мы рассматриваем систему (1) в достаточно широком классе локально ограниченных пространств Лебега — Рисса, представляющем из себя прямую сумму ненормируемых в общей ситуации пространств скалярных измеримых функций щ (ж), «2(х),..., ип(х), х е П.

В дальнейшем через Ь[а](П) (где [а] = [(а(1)), (а(2)),..., (а(п))], (а(г)) = (а1, а2,..., аП), 2 = 1,..., п, а7 > 0, ] = 1,..., п) обозначим пространство измеримых вектор-функций "и (х) = (щ(х), п2(х),..., пп(х)), где х е П, таких, что щ(х) е Ь(аг)(П) для 2 = 1,..., п.

В частности, если ар = 1 при любом р = 1,..., п, то пространство Лебега — Рисса £[а](П) является гильбертовым, а, значит, гильбертовым пространством будет и их прямая сумма, которую, следуя традиции, обозначим через Н(П).

Будем считать, что характеристики / (у, щ (у), «2(у),..., пп(у)), ^ = 1,...,п, интегральных операторов Гаммерштейна, входящих в систему уравнений (1), подчиняются условиям Каратеодори, т. е.:

(К1) при каждом наборе функций (и1 (■), «2(0,..., ип(-)) = ""и (■) е Ь[а](П) они измеримы по переменной у е П;

(К2) почти при всех значениях у е П они непрерывны по совокупности переменных («1, П2,..., ип). Эти функции определяют нелинейный оператор суперпозиции Ф над измеримыми функциями (щ (х), и2 (х),..., ип(х)) = " (х), имеющий вид

Ф(""и )(х) := (/1(х,П1,П2(х), ... ,и„(х)),/2(х,П1(х),П2(х),... ,п„(х)),..., (2)

/п(х,П1,П2(х), . . . ,п„(х))).

Лемма 1.1. Оператор суперпозиции Ф действует из пространства Ь[а] (П) в пространство £[£] (П) тогда и только тогда, когда для каждой из характеристик / интегрального оператора Гаммерштейна существуют функция щ(х) е ¿(^(¿))(П) и число Ъ^ > 0, такие, что

п вк

1/7 (х,П1,П2,...,Пп)| ^ щ(х) + Ъ^ Щ | , ] = 1,...,П. (3)

к=1

< Доказательство леммы 1.1 аналогично схеме доказательства теоремы 2.3 в [1]. >

Будем предполагать, что оператор суперпозиции Немыцкого Ф действует из пространства Лебега — Рисса Ь[а](П) в сопряженное ему пространство £[£](П) (допуская

ситуацию, когда а^ + врг) = 1 при любых 2,р = 1,...,п), а линейные интегральные операторы Фредгольма, имеющие вид

АзЩ(х) = ^ %(х, у)щ(у) йу, 2,^ = 1,... ,п, п

действуют из обобщенного пространства Лебега — Рисса Ь^М) (П) в Ь^)) (П), аРг)+врг) = 1, 2,р = 1,...,п, в(г) > 0, и непрерывны. Тогда оператор-матрица А := ((А^)) будет действовать из одного пространства £[£](П) в другое (ему сопряженное) пространство Ь[а](П).

Систему (1) можно представить в эквивалентной форме в виде одного операторного уравнения:

""и (х) = ААФ""и(х) + "(х), (4)

где "(х) = (ад^х), ^(х),..., гп(х)) — известная вектор-функция, принадлежащая пространству Ь[а](П), а "и (х) — искомая вектор-функция.

Если линейный оператор-матрица А допускает расщепление вида А = В В*, где В — вполне непрерывный линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Н (П) в пространство Лебега — Рисса £[а](П), а сопряженный к В оператор В * действует из £[в](П) в Н(П), то можно видеть, что разрешимость операторного уравнения (4) (а, значит, и исходной системы (1) уравнений Гаммерштейна) будет вытекать из разрешимости операторного уравнения

" = АВ*ФВщ + То (То € Н(П), " € Н(П)). (5)

Если " — решение уравнения (5) в пространстве Н(П), то "о = В" будет являться решением операторного уравнения (4) в пространстве Лебега — Рисса £[а](П), а, значит, и исходной системы уравнений Гаммерштейна (1). Уравнение (5) кратко можно записать в виде " = Т"V, где Т — вполне непрерывный оператор, определяемый правой частью уравнения (5) Т" = АВ*ФВ"г/ + "с и действующий в гильбертовом пространстве Н(П).

В этом случае справедлив следующий принцип неподвижной точки Красносельского — Поволоцкого (см. подробнее монографию [1]):

Лемма 1.2. Пусть в ограниченной области (С) гильбертова пространства, содержащей нуль этого пространства, задан вполне непрерывный оператор Т. Пусть для «точек» V области (С) выполняется неравенство:

(Ти,и) < (и,и). (6)

Тогда преобразование Т имеет в области (С) по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. ио = Тио для некоторого элемента ио € (С).

Приведем одно из достаточных условий расщепления оператора А = В ■ В*, где В — вполне непрерывный линейный оператор, действующий из гильбертова пространства Н (П) в пространство £[а] (П), а сопряженный к В оператор В * действует из £[£](П) в Н(П), где ак + вк = вк при каждом к = 1, п и , вк > 0.

Лемма 1.3. Пусть значение (ао) < 2. При условиях:

1) оператор А действует непрерывно из обобщенного пространства Лебега — Рисса £[в](П) в сопряженное пространство £[а](П), где (ао) ^ ак < 1 прикаждом к = 1, 2,...,п;

2) оператор-матрица А в пространстве Н (П) является положительным, самосопряженным и вполне непрерывным.

Тогда «корень квадратный» из А, т. е. оператор В = А 2 действует из гильбертова пространства Н(П) в £[а](П) вполне непрерывно, причем для А справедливо расщепление А = В ■ В*.

Доказательство леммы 1.3 аналогично доказательству теоремы 4.2 из [1]. Отметим лишь, что для выполнения условия 1) достаточно ограничения | (х, у) 12 йхйу <

Оператор А положительный, если [2] матрица ((Ац, иц,и»)) положительно определена и самосопряженный, если кц(х, у) = кц»(у,х).

2. Существование положительных решений

2.1. Сначала исследуем случай, когда оператор-матрица А := ((Ац)) является положительным.

Определение. Назовем вектор-функцию "ш (х) В-представимой [1], если "ш € Ов, где О в — область значений оператора В, т. е. элемент Ни = В"1, где вектор-функции 1 (х) € Н(П).

Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор-матрица A является положительным, самосопряженным и вполне непрерывным, допускающим расщепление оператором, т. е. A = В • В *;

2) оператор суперпозиции (Немыцкого) Ф действует из пространства Лебега — Рисса L[a](fi) в сопряженное пространство L[£] (П), а функция "w — B-представима;

3) для всех значений x £ П, п» £ (-го; то), i = 1, n, имеют место неравенства:

1 1 /г(х,ПЬП2, ... ,Un)|ui| - а» • |п»| 2 ^ b»(x) • |п»| Yi + c»(x), (7)

где а» > 0, 7» > 2, b»(x) £ L^(П), c»(x) £ L(n), c»(x) > 0 при i = 1,n.

Тогда система (1) имеет решения в пространстве Лебега — Рисса L[a] (П) при каждом значении параметра А таком, что А < (Ао • max а»)-1, где Ао — наибольшее из собственных чисел исходного оператора A.

< Основным этапом доказательства является проверка того, что оператор T1 : = АВ*ФВ"+1 удовлетворяет условию (T1) < (", 1) для всех вектор-функций 1 (x), принадлежащих ограниченной области (G) С H(П), где Ц"; H(П)|| ^ r.

Зафиксируем некоторое значение параметра А, подчиняющееся последнему нера-

2_

венству (7). Обозначим через Q» = |А| • |Ао| • ( / |b»(x)|"2 dxl Yi, и, соответственно,

n

Q = | А| • J c»(x) dx. Учитывая условия теоремы, можно найти такое значение g > 0, что »=1 п

А • Ао max а» ^ g < 1. Следовательно, найдется такое r > 0, что имеет место неравенство

П 27i-l 1 g • r2 + Y1Q» • r Yi + Q + II"1; L2 (П)|Ь r <r2. (8)

»=1

Покажем теперь, что на поверхности сферы Ц"; H(П)|| = r выполняется условие (T1) < (",1) для всех вектор-функций "(x) £ (G) С H(П), где Ц"; H(П)|| ^ r. Имеет место оценка

(T"") = (А • В*ФВ","") + (","") = А • (ФВ", В"")

n „

+ (",") = А ^ / /[x, (В"1 )1,..., (В"1 )П (В"1)»dx + (",") »=1 п

n 1 f 27i-1 n \ 2 1 "

< А • £ atj (В"),2 dx ЬМ-М dx +|А|]^у Ci(x) dx + (1,"

»=1 п »=1 п »=1 п

(опускаем промежуточные выкладки для краткости изложения)

n 27i-1 1 ^ g • r2 + ^ Q» • r y + Q + II"; L2 (П)|| • r < r2 = (", ")

¿=1

на сфере Ц1; Н(П) У = г.

Следовательно, используя лемму 1.2 ( топологический принцип Красносельского существования неподвижной точки у вполне непрерывного векторного поля Т"" = 1), можно заключить, что уравнение "V = А ■ В*ФВ"" + "ю имеет решение «о, ||"; Н(П)|| < г.

А так как последнее уравнение есть операторная форма исходной системы (1), то вопрос о разрешимости системы (1) имеет положительный ответ. При этом окончательная

оценка искомого решения й0 системы (1) имеет следующий вид: ||йо; Ь[а]|| ^ ||В|| ■ г, где ||В|| — норма оператора В, действующего из Н(П) в Ь[а]. >

2.2. Рассмотрим далее ситуацию, когда исходный оператор А = ((А^-)) является квазиположительным, т. е. имеет конечное число отрицательных собственных чисел. Пусть Н1(П) есть линейная оболочка собственных вектор-функций оператора А, отвечающих отрицательным собственным значениям, а Н2(П) — ортогональное дополнение Н1(П) в гильбертовом пространстве Н (П). Обозначим через Р1 и Р2 операторы проектирования на Н1 и Н2 соответственно. Пусть оператор Р3 = Р2 — Р1, тогда Рд = I, а линейный оператор С = Р3 ■ А является положительным. Можно также заметить, что для оператора В1 = С2 подпространства Н1(П) и Н2(П) инвариантны, а операторы В1 и Р3 коммутируют.

Обозначим далее через Н5(П) подпространство в Н(П) такое, что: (1 — в) -||Р2^;Н2(П)||2 < ||Р1"^;Н1(П)||2,

где 0 < в < 1.

Лемма 2.1. Пусть Ао — наименьшее по абсолютной величине отрицательное собственное число оператора А, тогда справедлива оценка

2 - (1 — в 4-1

||V; Нв(П)Г ^2—в '|Ао^ ' |В1 V ; НЯ(П)|| V V £ НЯ(П).

< Для каждой вектор-функции 1(ж) £ Н5(П) имеем 1 — ч 1 — ч

2—в ■ ||1/; НДП)||2 = — ■ (ЦР11; НДП)||2 + ЦР21Г; Н5(П)||2)

< ((1 — в) ■ И1;НДП)||2 + 11Р1V;НДП)||2).

2 — в

Учитывая, что ЦР1В1"11| ^ л/Ао • ЦР11; Н5(П)||, окончательно получим оценку |1;Н5(П)||2 < (|Ао| ■ 1—в) 1 ■ ||Р11;Н5(П)||2

< (2—^) ■ (И^1; Н5(П)|2 + |Р2В1^; Н(П)||2) < |Ао;— — в) ■ |В1^; Нв(П)||. >

Как уже отмечалось, разрешимость системы (1), а, значит, и операторного уравнения 1 = А ■ АФ1 + 1, эквивалентного системе (1), будет вытекать из разрешимости операторного уравнения 1 = А ■ В*ФВ!/ + 1 в гильбертовом пространстве Н(П).

Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор-матрица А, рассматриваемый в гильбертовом пространстве Н (П), является квазиположительным, самосопряженными и вполне непрерывным, а оператор С = Рд ■ А допускает расщепление вида С = В1 ■ В^;

2) оператор суперпозиции (Немыцкого) Ф действует из пространства Лебега — Рисса Ь[а](П) в сопряженное ему пространство Ь[£](П), а вектор-функция 1 (ж) является В-представимой;

3) для всех значений ж £ П, щ £ (—го; го), г = 1, п, справедливо:

|/г(ж,П1,П2,...,п„)пг| + 3а»|п|г2 ^ +6г(ж)|иг| ъ + сг(ж), где а = ш1п а» > 0, 7» > 2, Ь»(ж) £ Ь"2 (П), сг(ж) > 0 для всех г = 1, п.

2т-1

Тогда система (1) разрешима в исходном пространстве Лебега — Рисса Р[а](П) при каждом значении параметра А, подчиняющемся условию:

(а ■ | Ао|) 1 < А <

где Ао — наименьшее по абсолютной величине отрицательное собственное значение оператора А.

< Используя условия 1) и 2), видим, что в рассматриваемом случае разрешимость исходной системы (1) непосредственно следует из разрешимости в гильбертовом пространстве Н(П) операторного уравнения: Рз1 = АВ*ФВ!? + Рзш, которое можно представить в следующем виде:

1V = (2Р1 + АВ*ФВ)1? + Рзш,

учитывая, что Рз = —Р1 +

Оператор (2Р1 + АВ*ФВ)+ Рз является вполне непрерывным как сумма вполне непрерывных операторов (соответствующих операторов проектирования на конечномерные подпространства).

Зафиксируем далее некоторое значение параметра А, удовлетворяющее условию (а ■ А0)-1 < А < Отсюда а ■ |А0| ■ А > 1 и 3а ■ |А01 ■ А — 1 > 2.

Можно найти число в такое, что 1 < в < 1 — (3а■ |АоА — 1)-1, следовательно, разность (2 — 3а ■ | Ао | А ■ ) < 1.

2-5'

Обозначим через

во = шах ^ ( 2 — 3а|Ао|А2—в ) ; 2(1 — в) ^ < 1.

Пусть

Яг = А ^У |&г(ж)|£ ^ 71 ПАП1 ъ ; Я = А ■ £ I ф) ¿ж.

п г=1 п

Можно найти такое г > 0, что во ■ г2 + ^П=1 Яг ' г2-74 + Я + ||1; Н(П)||г < г2. Аналогично доказательству теоремы 2.1, можно проверить, что на поверхности сферы радиуса г в гильбертовом пространстве Н(П) имеет место топологический принцип Красносельского существования неподвижной точки у вполне непрерывного векторного поля, обусловленного оператором Т1 = 2Р1 + А ■ В*ФВ + Рзш. Действительно, имеет место оценка

(Т11,1) = ((2 ■ Р1 + АВ*ФВ)1? + Рз11,1) = (2Р11,1) + (А ■ В*ФВ, 1) + (Рз11,1) = 2ЦР11; Н(П)||2 + А(ФВ1 В1/) + (Рз11,1)

п .

= 2ЦР11||2 + А ^ /г(ж, (В1 )1, . . . , (В1 )п) ■ (В1 )г ¿Г + (Рз1, 1)

г=1 п

п п

< 2ЦР11||2 — 3А аг (В1)2 + А^ у Ьг(ж) • |(В^)г|2-7* ^ж

г=1 п г=1

п „

+А ^у сг(ж) ¿ж + |(Рз11/)| < 2|РГ

п

112 — 3А • а • ЦВ1

1п

+А ■ è (/ |bi(x)|Y d^j 71 ■ ( J(BT?)2dx^ 71 + Q + ||T

v

< 2ЦР111|2 — 3А ■ а ■ ||В^||2 + ^ Яг ■ г2-71 + Я + И1; Н(П)|| ■ г.

г=1

Осталось рассмотреть два случая: а) когда 1 £ Н5(П) С Н(П), 0 < в < 1, и случай в) когда 1£Н5(П). Имеем |Р111|2 ^ ||2 для 1 £ Н5(П). В случае а) справедлива оценка:

(Т11,11) < ^2 — 3 ■ А ■ а ■ 2-"в) ■ г2 + ¿ Яг ■ г2-74 + Я • 1| ■ г

г=1

п

^ во ■ г2 + ^ Яг г2-74 + Я + |М| ' г < г2 = С1, 11)

г=1

и, как видно, утверждение теоремы 2.2 справедливо.

В случае в) 1£Н5(П) и тогда ЦР^||2 < (1 — в) ■ ЦР^1|2 ^ (1 — в)!11|2. Получим окончательно:

n

(TiT "Г?) < 2 ■ (1 - s) ■ r2 + Qi ■ r2-7t + Q + Il v || ■ || w

i=1

n

^ so ■ r2 + ^ Qir2-Yi + Q + ||w|| ■ r < r2 = (T, T). >

i=1

Примечание 1. Получена оптимальная оценка решения 1 о операторного уравнения Рз1 = А-В*ФВ1+Р31, эквивалентного исходной системе (1) нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна, а также для решения 1 о = В -1 о уравнения 1 = ААФ1 + 1 , где ||йо|| ^ ||В|| ■ г.

Примечание 2. Расщепление оператора Р3А = С имеет место, если ядра kгj (ж, у)

суммируемы на прямом произведении П х П со степенью ао (в случае, когда ^(П) < го).

Если же ^(П) бесконечная, то последнее имеет место при дополнительном ограничении

/ \ 10 I ( / Щ(ж, у) ^у ] 2 ^ж < +го, где (ро) > 2.

о ^ о '

3. Существование ограниченных решений

Рассмотрим теперь ситуацию, когда исходная система (1) имеет в L[a](n) ограниченные решения (иначе говоря, когда каждая компонента вектор-функции T(x), являющейся решением системы (1), ограничена на множестве П). Имеет место вспомогательная

Лемма 3.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор A, определенный ядрами kij(x,y), является положительным и самосопряженным линейным оператором в гильбертовом пространстве H(П);

2) диагональные ядра (при i = j) ограничены почти всюду на прямом произведении П х П, т. е. li = vrai шахЖ)у6пхП |kj(x,y)| < (i = 1,n).

Тогда для оператора B = A 2 справедлива оценка:

vrai шах |(BT/(x))i| ^ Vh ■ (x); H(П)||. (9)

< От противного. Пусть По С П — множество ж £ П, имеющее ненулевую конечную меру ^(По) < то, где КВ"1 (ж))г|лАг ■ П11|. Обозначим через 1 (ж) вспомогательную вектор-функцию, имеющую единственную ненулевую компоненту 1 (ж) = (0, 0,..., 0, ¿г(ж), 0,..., 0), где г-ая компонента ¿г(ж) = sign(B-— (ж))г при всех ж £ По, и ¿г(ж) = 0 при ж£По.

Учитывая условие 1) леммы (точнее, условие того, что линейный интегральный оператор А является самосопряженным), имеем оценку:

(В11) = (1 В1) < Ц; Н(П)|| ■у/(В^В1) = ||1/; Н(П)||^/(А1, 1)

= Ц; Н (П)|| ■ ^ I кгг(ж,у)^г(ж) ■ ¿г (у) ^ж ^ 2 < ; Н (П) || ■ ^(По).

По По

Но с другой стороны, учитывая, что ^(По) > 0, получим:

(В 1 1) = (^,В11 ) = ((В1)г,гг) = У |(В^(ж))г| ^ж > л/Ц■ |1;Н(П)|| ■ ^(По).

по

Следовательно, ^(По) = 0. >

В заключение приведем новые результаты, касающиеся нелокальной разрешимости системы (точнее, условий существования ограниченных решений системы (1)), с учетом доказанных теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 3.1. В условиях теоремы 2.1 пусть диагональные ядра кгг(ж,у) линейного интегрального оператора-матрицы А = ((Аг/)) ограничены почти при всех значениях (ж, у) £ П х П, где ^(П) < то.

Тогда исходная система (1) нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна имеет ограниченное решение при каждом значении параметра А, подчиняющемся ограничению —то < А < (Ао шах аг)-1, где Ао — наибольшее из собственных значений оператора А.

< Справедливость утверждения настоящей теоремы следует из доказанных теоремы 2.1 и леммы 3.1. >

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2, где диагональные ядра кгг (ж, у) оператора-матрицы ((Рз Аг/)) ограничены почти при всех значениях (ж, у) £ П х П. Тогда исходная система (1) нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна имеет ограниченные решения при каждом значении параметра А, подчиняющемся ограничению (а ■ | Ао |) 1 < А < +то, где Ао — наименьшее по абсолютной величине отрицательное собственное значение оператора А.

< Справедливость утверждения настоящей теоремы следует из теоремы 2.2 и леммы 3.1. Действительно, существующее по теореме 2.2 решение 1о = Вг>о является ограниченной на множестве П вектор-функцией согласно лемме 3.1. >

Можно заметить, что диагональные ядра оператора С = Рз ■ А имеют следующий вид:

т

Кгг(ж, у) = кгг(ж, у) — ^ Арерг(ж) ■ ер(у), (10)

р=1

где Ар (р =1, 2,..., т) — все отрицательные собственные значения исходного оператора А, а — соответствующие нормированные собственные вектор-функции из пространства Н(П) (для оператора С).

В самом деле, справедлива следующая цепочка равенств:

Е / ки(ж,у)и;(у) ¿у =Е / кр*(ж,у)ир(у) ^у

^ п р=1 п

п

т т п

т

т п

= Е / кр»(ж, У)иР(у) - 2 'ЕЕ АР • еР^(ж) У • ир(у) ^

р= п р=п

п

п

т

= (А1)» - 2 • ^ Ар • 1 "и) • ер»(ж) = (А1 )» - 2 • (Р1 А1)» = (Р3А1 )» = (С "и )».

Учитывая формулу (10), видим, что диагональные ядра К»»(ж, у) оператора С = Р3•А ограничены почти при всех значениях (ж, у) £ П х П, если таковыми являются диагональные ядра к»»(ж,у) исходного оператора-матрицы А и нормированные собственные вектор-функции "е?р(ж) оператора С, где р = 1,т. >

Последнее дает основание сформулировать более простые достаточные условия расщепления оператора А = В • В*, нежели в теореме 2.2.

Теорема 3.3. Пусть ядра к^ (ж, у) определяют положительный, самосопряженный и вполне непрерывный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н (П), а его диагональные ядра к»»(ж, у) ограничены почти при всех значениях (ж, у) £ П х П. Если при этом оператор А действует из пространства Лебега — Рисса Р[^](П) в сопряженное ему пространство Р[а] (П), тогда имеет место расщепление А = В • В*.

Схема доказательства настоящей теоремы аналогична содержанию статьи М. Голом-ба [3], поэтому для краткости изложения мы ее не приводим.

Решение многих задач теории вынужденных колебаний, процессов наследственной пластичности и вязкоупругости, теплообмена излучением и других конкретных прикладных проблем диктовало необходимость использования качественных методов. Содержание данной части работы посвящено идее «сжимающий плюс вполне непрерывный операторы» М. А. Красносельского, продолженной в цикле публикаций Ф. Браудером, П. П. Забрейко, где стали рассматриваться «переплетенные» (термин Ф. Браудера) операторы общего вида. Здесь исследована нелокальная разрешимость системы нелинейных операторных уравнений с неизотропными ядрами Коши в прямой сумме банаховых пространств Орлича, включающих Рр-пространства, Лоренца и Марцинкевича.

Пусть П = (П, — множество, лежащее в к-мерном евклидовом пространстве

, £ — а-алгебра всех его ^-измеримых подмножеств, ^ — полная неатомическая а-аддитивная мера, где ^(П) <

Рассмотрим следующую систему уравнений:

где т £ П, и (т) = {и1(т ),и2 (т),..., ип(т)} — искомая вектор-функция; А», г = 1,п, — вещественные параметры; операторы А» и В» имеют следующий вид:

р=1

4. Нелокальная разрешимость слабо связанной системы многомерных сингулярных интегральных уравнений с неизотропными ядрами Коши

и»(т) = А» • [А»и»(т) + В» и (т)], г = 1,п,

(9)

п

В и (т) := Ьг[т, и ), и), • • •, и)], (11)

где

^(^и) У |т — ■ К [т, 5,и1 (в), • • •, ип(в)] ^(в), ^ = 1,т. (12)

п

Отметим, что ядро сингулярного оператора (12) является неизотропным (иначе говоря, характер его изменения по разным направлениям различен). Решение 1 (т) системы (9) ищем в прямой сумме Ь|М](П) банаховых пространств Орлича ЬМ. (П), ([М] = {М1, М2, • • •, Мп}), с нормой вида:

1 (т); Ь

[м ](П)1

\

£|к(т); ЬМ, (П)||2, (13)

¿=1

где компонента и^(т) принадлежит пространству ЬМ (П).

Если система (9) при некоторых значениях параметров Л0 — {Л-[, Л0, • • •, Л^} имеет отличное от тривиального нуля в = {0, 0, • • •, 0} решение 10(т), то это решение назовем собственной вектор-функцией системы (9), а совокупность параметров Л0 = {Л0, Л2], • • •, ЛП} — характеристическим значением системы (9) в смысле Гремяченского.

Совокупность параметров ^{^1, ^2, • • •, назовем точкой бифуркации системы (9), если для любых е > 0 и § > 0 найдется собственная вектор-функция 1 о(т) системы (9), для которой Ц10(т); Ь*м](п)Н < § и |Л0 — ^| < е, г = 1,п

Множество В в некоторой области О пространства Орлича Ь|М] (П) образует так называемую непрерывную ветвь собственных вектор-функций системы (9), выходящую из в , если граница Б каждого ограниченного открытого множества, содержащего в и входящего в данную область О, имеет с В непустое пересечение, т. е. БПВ = 0 (В С О).

Целью третьей части работы является исследование существования собственных вектор-функций, точек бифуркаций, непрерывных ветвей собственных вектор-функций системы (9), анализ их строения и асимптотики при больших значениях параметров.

Сформулируем основной результат третьей части работы.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия:

1) Шг есть характеристическое значение производной по Фреше Л^ оператора Лг, имеющее кратность а^ (г = 1, п), причем а = £*=1аг является нечетным числом;

2) е > 0 таково, что в отрезке Ш — е, Шг + е] нет несовпадающих с Шг характеристических значений вполне непрерывного оператора Л^;

3) оператор Вд в шаре Т(Ь|М] (П); г) радиуса г является липшицевым, причем

. а(ш ± е)

д(ш ± е) < 4 7

д(ш ± е) + а(ш ± е):

где д(ш ± е) = (ЕП=1(дг(Шг ± е))2)2 •

Тогда исходная система уравнений (9) имеет собственные вектор-функции 1 (т) (в смысле Гремяченского), которым соответствуют характеристические значения с компонентами из интервалов (Шг — е, Шг + е).

Схема доказательства настоящей теоремы аналогична содержанию доказательству теоремы 4.1.1 монографии [6].

Литература

1. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.—390 с.

2. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.—М.: ИЛ, 1962.—896 с.

3. Голомб М. Uber Systeme von nichtlinearen Integralgleichungen // Publ. Math. Univ. Belgrade.—1936.— Bd. 5.—P. 45-75.

4. Фетисов В. Г. Вариационный метод при исследовании разрешимости систем нелинейных уравнений // Вестн. Тамб. гос. ун-та.—2003.—Т. 8, вып. 3.—С. 473-475.

5. Фетисов В. Г. Открытые вопросы нелинейных мажорируемых операторов в локально ограниченных пространствах // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 1.—С. 57-61.

6. Фетисов В. Г., Филиппенко В. И., Козоброд В. Н. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2006.—432 с.

Статья поступила 10 сентября 2008 г. Фетисов Валерий Георгиевич

Южно-Российский госуниверситет экономики и сервиса, проф. каф. «Математика» РОССИЯ, 346500, г. Шахты, ул. Шевченко, 147;

Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, зав. лаб. прикл. нелин. ан. РОССИЯ, 362027, г. Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: fetisov_vg@sssu.ru