К теории уравнений с u0- ограниченными операторами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.673

К ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ С Uo- ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ © 2005 г. Я.С. Ладченко

Clause is devoted to studying of properties of the so-called limited operators playing the important role in the theory of the equations.

1. В теории линейных операторов, оставляющих инвариантным конус K сЕ, важную роль играет понятие и0 - положительности оператора.

Линейный оператор А, оставляющий инвариантным конус K, называется и0 - ограниченным снизу (и0 - фиксированный ненулевой элемент K), если для каждого x е K \в существуют такое натуральное n = n(x) и такое а = а(x), что

аи0 < Anx . (1)

Оператор А называется и0 - ограниченным сверху, если для каждого x е K при некотором натуральном m = m(x) и в > 0 выполняется неравенство

Amx <ви0. (2)

Оператор А называется и0 - положительным, если для каждого x е K , x Фв

аи0 < Apx <ви0, (3)

где p = p(x) - натуральное число; а = а(x), в = в( x) - положительные числа.

Возникает естественный вопрос: не следует ли неравенство (3) из неравенств (1), (2)?

Положительный ответ на этот вопрос содержит следующая теорема.

Теорема 1. Всякий и0 -ограниченный сверху и

снизу оператор А является и0 -положительным.

Доказательство этой теоремы основано на двух следующих леммах.

Лемма 1. Пусть оператор А и0 - ограничен

сверху и снизу. Тогда существует такое натуральное к, что

а' и0 < Аки0 <в и0 (а', в > 0). (4)

Доказательство. Так как А и0 -ограничен сверху и снизу, то для некоторых а1, в1 > 0 и некоторых

натуральныхp и s а1 и0 < Ари0, А* и0 < в1и0.

Из последних неравенств следует, что а1 и0 < Ар*и0 < в-ри0. Остается положить к = ps ,

а'=а* , e' = eip.

Всюду ниже предполагается, что x е K . Лемма 2. Пусть оператор А и0 -ограничен

сверху и снизу. Тогда справедливо по крайней мере одно из трёх неравенств

Аи0 <ги0 (5)

8и0 < Аи0 (S> 0) (6)

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что в неравенствах (1) и (2) т<п и что число к, участвующее в неравенстве (4), удовлетворяет соотношению к>п-т=к1.

Применим обычный алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел к и к2. к р^ — к 2,

к1 - р2к 2 — к3,К, кп-2 - Рп-1кп-1 — кп , здесь

к1, к2, к кп-1 > 1, а кп - последний остаток, равный либо 1 (когда числа к и к1 взаимно просты), либо нулю. В зависимости от этого рассмотрим два случая.

I. кп — 1. Тогда из (1) и (2) следует

аи0 < Апх — Ак (Атх) < рАки0, т. е. Ак и0 >у1и0,

где у\ — ~ > 0 . Далее имеем, используя неравенства (4),

в'и0 > Аки0 — Ак-к1(Ак1 и0) >

^ а ,к-к ^ 1 л к - рк Га\ 1 х! к1

>—А 1 и0 >... >1— \ А п1и0 — I— \ А 1и0,

ß

ß

ß

т.е.

pi

Аки0 <в'|аJ и0 —72и0,(72 > 0).

Аналогично нетрудно показать, что упи0 < Акпи0 (уп > 0), если п нечетно, и

Акпи0 < упи0, если п четно. Так как кп — 1, то это означает, что выполнено одно из неравенств (5), (6).

II. кп — 0. В этом случае число кп-1 Ф1 будет наибольшим делителем чисел к и к1, причем будет выполнено неравенство

(8)

Уп-^и0 < Акп-1 и0 (Уп-1 > 0) при четном п и неравенство

Ак"-1 и 0 <уп_хи 0, (9)

если п нечетно. Пусть выполнено (8). Так как при некотором целом с т + к — п + скп-1, то на основании неравенства (1) и (8) получим

(10)

л т+к л п+скп-1 ^ с

А х — А п1 х >ауп-1и0. С другой стороны, используя (2), найдём Ат+кх — АкАтх <вАки0 < РР'и0 . (11)

Из (10) и (11) следует (7). Пусть теперь выполнено (9). Применяя к неравенству (2) оператор

s раз, где s таково, что n = m + skn-1, по-

a*u0 < Apx<ß*u0 (а*, ß* > 0).

(7) лучим Ax = Am+skn-1 x < ßysn-\U0.

Последнее неравенство в сочетании с (1) доказывает (7).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1 легко следует из леммы 2: если выполнено (7), то оператор А u0 -положителен, если выполнено одно из неравенств (5) или (6), то (7) легко следует из (1) и (2).

2. В этом пункте будет показано, что (при определенных дополнительных условиях) некоторая степень м0 -ограниченного сверху линейного положительного оператора является вполне непрерывным оператором.

Пусть вначале линейный положительный оператор А таков, что для всех x е K при некотором

в = в( x)

Ax <fiu0. (12)

Обозначим через в0(x) наименьшее из всех чисел в, при которых выполняется неравенство

(12). Нетрудно видеть, что P0(x) - монотонный функционал. Поэтому существует такое число С>0, что

в0(x) < CHI x е K . (13)

Пусть Е полуупорядоченное конусом K банахово пространство с базисом {}. Будем говорить, что базис {в,} правильно входит в K, если каждый элемент x е K имеет в разложении по базису неотрицательные координаты. Пусть E,i (i = 1,2,к) - координаты вектора x по базису {}. Через Rnx бу-

n

дем обозначать элемент x - .

i=1

Теорема 2. Пусть конус K - воспроизводящий и нормальный, а базис {} правильно входит в K, линейный положительный оператор А u0 -ограничен сверху (в смысле неравенства (12)). Тогда оператор А вполне непрерывен. Доказательство. Пусть вначале ограниченное множество Ф принадлежит конусу K. Из (12) и

(13) следует, что для всех x е Ф выполняется неравенство Ax < Cju0, где С некоторое постоянное. Очевидно, в< RnAx < C1 Rn u 0 , откуда в силу нормальности конуса K следует, что

\\RnAx\ < Щ%и0||. (14)

Так как |Rnu01| ^ 0 (n ^ да), то из неравенства

(14) следует, что для всех x еФ и каждого s> 0 существует такой номер n0 , что

\КЦ <с (15)

при п > п0. Из (15) в силу критерия компактности множества в банаховом пространстве с базисом [1] следует компактность множества АФ . Пусть теперь ФсЕ, ||х||<С (хеФ).

Так как К воспроизводящий, следовательно, и несплющенный конус, то

x = u(x) - v(x),

(16)

где u(x), v(x) e K, причем можно считать, что

\\u(x)|| , ||v(x)\\ < MC .

Пусть Ф! = и и(х), Ф2 = их) • Множества

хеФ хеФ

Фг (г = 1,2) ограничены и Фг с К (г = 1,2). Поэтому по доказанному АФг компактны, отсюда в силу (16) легко следует компактность множества АФ. Так как к тому же А линейный положительный относительно нормального и воспроизводящего конуса К оператор, то А непрерывен. Итак, А -вполне непрерывен. Теорема доказана.

Следствие. Пусть А линейный положительный и0 -ограниченный сверху оператор. Тогда найдётся

л т ^

такое т, что А вполне непрерывный оператор.

Действительно в силу результата И.А. Бахтина [2] найдётся такое п0, что для всех х е К

А 0 х < в(х)и 0 .

Обозначим Ап0 = В. Тогда, применяя к оператору В теорему 2, приходим к справедливости утверждения следствия.

Очевидно, что не всякий и0 -ограниченный

сверху линейный положительный оператор обладает свойством полной непрерывности (или свойством иметь вполне непрерывную степень) - примером может служить единичный оператор в бесконечномерном пространстве с телесным конусом.

Литература

1. Левин А.Ю., Лифшиц Е.А. // Проблемы математического анализа сложных систем. 1967. Вып. 1. С 123-135.

2. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис... д-ра. ф.-м. наук. Л., 1984.

Ставропольский институт экономики и управления

6 октября 2004 г.