Обратные функциональные неравенства для вектор функций скалярного аргумента и их приложения к нелинейным граничным задачам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Павленко А.Н.

ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕЛИНЕЙНЫМ

ГРАНИЧНЫМ ЗАДАЧАМ

Статья посвящена получению различных обратных неравенств вида ||лх,; е а,в||<1 п. Рассмотрено приложение доказанных обратных неравенств к исследованию системы дифференциальных уравнений лх=м(х,х,...,х(т-))+у. Для приведенной системы устанавливается существование решений х;(;> о), х;(;>о), удовлетворяющих довольно широкому классу граничных краевых условий.

В работе устанавливаются обратные неравенства вида ||х; ЕЦ < v(|x; Е2||), где Ег Е2 - банаховы пространства вектор-функций действительного переменного, Е1 компактно вложено в Е2, У:К+^К+ - возрастающая функция, хе^сЕг Основное внимание уделяется случаю, когда множество N состоит из вектор-функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям и поточечным дифференциальным неравенствам. В качестве приложения рассматривается система дифференциальных уравнений

Ах=!Щ, х, х«,.. ,,х(т-1))+у, (1)

где А - линейный дифференциальный оператор порядка т. Вектор-функция f имеет сверхлинейный характер роста по х, у - заданная вектор-функция. Для широкого класса граничных краевых условий доказывается существование решений х;(;>0), Х;(;>0) системы (1), удовлетворяющих этим условиям и требованиям х;^х0, Х; неограниченно растет при ;^0.

1. В статье будут использоваться следующие обозначения. И11 - действительное п-мерное векторное пространство, Rn ={х = (, х2,..., хп ) > о}. Для х, у из Ип введем следующие обозначения х>у, если х - у eRn, и х>>у, если х - у е intRn • Через [х] будем обозначать вектор (( |х2|,...,|хп|). Скалярное произведение х-у двух векторов х=(х1, х2,..., хп) и у=(у1, у2,..., уп) определим равенством х-у=х1у1+х2у2+_+хпуп; |х| = >/х • х - евклидова норма элемента х из Ип. Если а - матрица размерности пхп, то ||а|| = эир|ах| - опера" " |х|<1 1 1

торная норма матрицы а. Всюду далее

0

0<Т<^, 1=[0, Т], I = (0, Т). Так как все функциональные пространства, рассматриваемые ниже, заданы только на I, то всюду ниже мно-

жество I будет опускаться из обозначения функциональных пространств. а, в - неотрицательные целые числа; р(1:)=1а(Т-1:)в, 1е I; Еа в - банахово пространство измеримых на I вектор-функций и:!^Кп с нормой

Ь Еа,Р|| = 1 |и№|р()К ,

0

как обычно, функции, совпадающие п.в. (почти всюду), отождествляются. Ет,в(т > а, т > в) - совокупность вектор-функций, производные Соболева которых существуют до порядка т включительно и принадлежат пространству Еа, в.

и и т

и, Етр =Х и(}; Еа, р .

1=0

Помимо пространств Ет в в статье используются пространства Соболева ^р ([1], [2]) и пространства Ск со стандартными нормами

||и; Ькр| = ]Г||и(1); Ьр|, ||и; Ск|| = £|иа); С.

1=0 1=0

Теоремы вложения для пространств Ет в рассмотрены в [3], [4]. Ниже будут приведены некоторые следствия теорем вложения.

Предложение 1. Пусть к=0,1,...,т-1; у=тах{а-т+к,0}, 5=тах(в-т+к,0}. ТогдаЕ^, в компактно вкладывается в Еа в и непрерывно в Ек, 5.

Предложение 2. Пусть

а.=тах{а+1+1-т, 0}, в;= тах{в+1+1-т, 0}, (2)

р1 (t) = ^(Т-^, (1 = 0,1,...,т-1;tе I). (3)

Тогда существует такая константа с, что

X Vrai тахр1 (t)u(i)(t) < Си; Е” р||. (4)

1=0

Предложение 1 есть одномерный вариант многомерных аналогов, приведенных в [1], [2]. Предложение 2 есть простое след-

ствие предложения 1. В требуемой форме оно доказано в [3].

Рассмотрим дифференциальный оператор, определяемый равенством

Ах=х(т)+а ,х(т-1)+...+а,х«+апх, (5)

т-1 1 0 7 х /

где а. (1=0,1,.. ,,т-1) - матричные функции размерности пхп. Старшую часть оператора А обозначим далее А0 и определим ее следующим образом: А0х=х(т). Очевидно, что А0 - непрерывный оператор из Ет в в Е а, в. Младшая часть А1=А-А0 оператора А при определенных ограничениях, налагаемых на коэффициенты а., оказывается вполне непрерывным оператором из Ет, в в Еа, в.

Лемма 1. Пусть матричная функция а.© (1=0,1,.. ,,т-1) суммируема с весом р©/р.(1) по отрезку I, тогда оператор А1: Ет,в ^ Еа, в является вполне непрерывным.

Доказательство.

Пусть S = {хе Ет, в; ||х, Ет р|| < 1} - единичный шар в пространстве Ет, в, 8(1) = {х(1); х е 8} (1=0,1,...,т-1) - образ шара при 1-кратном дифференцировании. Так как 8() - ограниченное множество в пространстве Е т-, то оно является относительно компактным в пространстве Еа, в, что непосредственно следует из предложения 1. Последнее влечет относительную компактность 8(1 * (1=0,1,...,т-1) по мере. Отсюда следует, что множество функций р(1;)а(1:)х(1)(1:), где хе 8, также относительно компактно по мере.

Если хе 8, из неравенства (4) имеем р1()х(1 'О) с , поэтому |а1()х(1

< ||а1 (t| • |х(1 )(t) < С|а1 ()|/р1 (t). Вектор-функция р(1;)а(1:)х(1)(1:) удовлетворяет неравенству

|р(1;)а1 ()х(1)() < с^^11а1 (tl, правая часть которого есть суммируемая функция, не зависящая от х из 8.

Из приведенных рассуждений вытекает, что множество функций р(1;)а(1:)х(1)(1:) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Отсюда по признаку компактности Красносельского следует относительная компактность множества функций р(1;)а(1:)х®(1:) в пространстве Ц. Таким образом, оператор А1: Ет р^ Еа, в вполне непрерывен.

Равенства (2) влекут оценки а.<а, ,.<в (1=0,1,.,.,т-1). В частности, если а=в=0, то

а.=в.=0. В этом случае требования к коэффициентам а. сводятся к их суммируемости по отрезку I. Рассмотрим теперь случай а>0, в>0, т>2, тогда

а +1 +1 - т, 1 > т- а-1 0, 0 < 1 < т-а-1 ,

, =|Р +1 +1 - т, 1 > т-в-1 в =[0, 0 < 1 < т-в-1 .

Требование суммируемости коэффициента ат-1 сохраняется и в этом случае, а младшие коэффициенты а. (0 < 1 < т -1) суммируемы с весом, обращающимся в нуль вблизи концов отрезка I. Таким образом, лемма 1 охватывает случаи, когда некоторые коэффициенты не являются суммируемыми на I.

Если оператор А рассматривать как отображение Щ на Lp, то для оператора А1: Ер ^ Lp верна

Лемма 1'. Если а1 е Lp (1=0,1., т-1; 1<р<^), то тогда оператор А1: ц; ^ Lp является вполне непрерывным.

Доказательство при 1<р<^ полностью аналогично доказательству леммы 1, а при р=^ утверждение леммы следует из компактности вложения цр в Lp.

Всюду далее требования леммы 1 относительно коэффициентов считаются выполненными (иногда требования будут усиливаться). В условиях леммы 1 оператор А: Ет р^ Еа, в непрерывен; его норму обозначим символом и(А).

Наряду со стандартной нормой |;Етр|| далее будет использоваться норма вида

Иь=11Ах; Е а, Л+ь(х),

оказывающаяся эквивалентной исходной норме при выполнении условия следующей леммы.

Лемма 2. Пусть И: Етр^И - полунорма, обладающая свойствами:

1) И подчинена норме |;Етр|| в том смысле, что ь(х )< и(ь| х; е; Л (и(И) не зависит от Ип

из е;р );

2) И(и)^0, если и - ненулевое решение уравнения Ах=0. Тогда норма || • ||ь эквивалентна норме || • ; Е ;, р||.

Доказательство. Так как ||х||ь <(у(а)+ + и(ь))|х, Е;Л, то очевидно, что норма || • ||ь под-

чинена норме || ;Е т,Р||. Докажем, что норма || • ;Етв| подчинена норме | • | ь. Предположим противное. Тогда существует последовательность {х.}, для которой выполняется ||х1; Е”Р| = 1, ||хЛь < 1/1. Так как последовательность {х.} ограничена в Е;Р , а оператор А1: е;р^ ЕаР вполне непрерывен и вложение е;р с е;,1 компактно, то тогда последовательности {А1х1}, {х.} относительно компактны соответственно в Еа>р и е;,-1. Так как оба пространства полные, то из обеих последовательностей {А1х1} и {х.} можно извлечь сходящиеся подпоследовательности.

С целью упрощения обозначений будем считать, что сами последовательности являются сходящимися: А1х1 ^ у 0 в ЕаР; х.^х0 в е;,1. Последняя сходимость влечет сходимость х.^х0 по мере. Отсюда следует, что А1х1 ^ А1х0 по мере и у0=А1х0.

Из ||х4 < 1/1 следует, что ]|Лх1; Еа, Р||< 1/1, но тогда Ах.^0 в пространстве Еа,р. Эта сходимость вместе со сходимостью А1х1 ^ А1х0 в Еа,р влечет х(т} = А0х1 ^ -А1х0 в пространстве Еа,р. Отсюда по теореме 5 ([11], с. 141) получаем,

что x(m) ^ x(m} в ЕаР. Так как по доказанному выше x, ^ x в Em-;1, то x, ^ x и в Emp. Тогда

0

^а,р ? \ 0 а,р *

получаем, что Ах0=0, И(х0)=0, ||х0; е; р|| = 1. Из последнего равенства следует, что х0^0. Получили противоречие с условием 2) леммы.

Лемма доказана.

Лемма 2 аналогична известным теоремам об эквивалентных нормах [1], [2]. Ниже будет использоваться еще один вариант подобных теорем.

Лемма 3. Пусть коэффициенты оператора А принадлежат Ц (1<р<^). Тогда существует такая постоянная и0, что

IIх; цт11 (Ах;цЛ+0х; Е а, Л). (6)

Доказательство следует из леммы 1' и полностью аналогично доказательству леммы 2.

Оценки типа (6) принято называть неравенствами коэрцетивности. Вместо нормы || •; Еа, Л можно использовать и более слабые нормы. Кроме того, если на некотором подпространстве Е пространства а. оператор А невырожден, то есть КегА = {х е Ц;; Ах = 0}= 0, то имеет место неравенство

x; L,P <uox; Ea, p I x є E,

(7)

Jp|| — ' 'a,p|p '

также являющееся неравенством коэрцетив-ности.

2. Положим 1=т-1-а, г=т-1-в Очевидно, что 0<1<т-1, 0<г<т-1. Из неравенства (4) вытекает, что если 0<_]<1, то оператор взятия следа х^х®(0) непрерывен из Е“ в И11. Аналогично, если 0<]<г, то оператор х ^х®(Т) непрерывен из Етр в И11. Проведенные рассуждения влекут непрерывность на Е^ функционала

B(x )=Х Cjx(j)(0)+X j (j)(T),

(8)

где с., dj е Ип. Старшую часть В0 функционала В определим равенством В0 (х ) = с,х

(і)

)+

+ drx(r '(т), а младшую часть - равенством

В1(х )= в(х)-В0 (х).

Если функционал Ь: Еа,р ^ R есть норма, подчиненная норме || •; Еа, Р||, то в силу результатов общего характера ([5], с. 126) справедливо неравенство

IIх; Е :,1 < 5x, Е ;в|+с(§Мх). (9)

В неравенстве (9) и аналогичных ему параметр 5 может быть сколь угодно малым; с(5), с1(5), с2(5) и т. д. - убывающие функции параметра 5>0. Непосредственным следствием (9) является оценка

В1 (х)<5 х; Ет р|||+с 1(5 )ь(х), (10)

означающая усиленную непрерывность младшей части В1(х) функционала (8).

Введем обозначения: К(А) = {ие е; р; Ли > 0}, ( • , • } - стандартная билинейная форма, задающая двойственность между Еа, Р и сопряженным к нему пространством Еа Р которое можно отождествить с пространством измеримых вектор-функций V : I ^ Rn, имеющих конечную норму

IV, Еа, Л = vraimax| v(t)/ р().

(U, ^ = |и^М1^1 (и е Еа,р; ^ Еа,р).

(11)

Через і обозначим вектор, все компоненты, которого тождественно равны 1.

Теорема 1. Пусть функционал B: Em,p ^ R определен равенством (8), причем 0<r<m-1, dr>>0. Пусть h есть норма, подчиненная норме || ■ ; Ea, p||. Тогда найдутся такие постоянные k0, k, что для всех вектор-функций x из конуса K(A) имеет место неравенство

||x Em J< koB(x)+ kh(x). (12)

Доказательство. Фиксируем тє (o, T/2) и введем вектор-функцию v0: I ^ Rn следующим образом

V (0=о!с>(- 1П0 <і <х)’ '

V» dr (Т -т< 1 < Т)

на интервал (т, Т-т), вектор-функция v0 () продолжается таким образом, чтобы V,, є Ст

и v0()>> 0 ^є 1 ].

Очевидно, что функция v0 (і) обладает свойствами

v0a)(0) = С,(- 1)а+1, v0j)(0) = 0 0 ф а);

v0[ї)(o)=ё (-1)3, V<j)(т)=0 ( *р);

к1р()< К1р()1 ^ ()< К2р()1,

(13)

где к1, к 2 - положительные постоянные,

v 0е Еа, р .

Если хе К(А), то Ах>0 и согласно (13) из элементарного неравенства ^ + ^2 +... + ^П < <|^| + |^2| +... + |^п| следует неравенство

к^| Лх; Е а, Л < (Ах, V 0), а применив неравенство |^| + |^2| +... + |^п| <7^^2 +^2 +... + ^П и компактность оператора А1, получим

(Л1X, ^л/ЙЦ^ Еа, р||<

<5 х; е;, р||+с 2(5)ь(х) . (14)

Проведя интегрирование по частям выражения (А0х, V,,), получаем равенство

^х, = В0(х)+(- 1)т(х, ^т>) < В0(х)+ кз||х; Ц||.

Используя компактность вложения е; р в Ц, получаем неравенство

||х; Ц|| <5 |х; Е;, р|| + сз(5)ь(х).

Тогда

(А0х, < В0(х)+5к^||х;ЕтЛ + сз(5)кзь(х). (15)

Объединяя (14) и (15), получим

к1||Ах; Еа, р||< (Лx, =

= (Лоx, v 0)+(Ал v 0) < В0(х)+ 5^|х; Ет р||+с4 (51)ь(х).

Прибавив к полученному неравенству неравенство (10), получим

к\Ах; Еа, Р|< в0(х)- 1в1(х)+5^|х; Ет р||+

+ с5 (52 )Ь(х)< В(х)+52|X, Ет, р|| + с5 (52 Мх ),

используя оценку

IIх; Е т Р|< м|Ах;Еа, р||+ь(х)),

следующую из леммы 2, получаем выполнимость неравенства

IIх; Е т Л<к0в(х)+кЬ(х).

Теорема доказана.

Следствие. Если функционал В обращается в нуль на некотором подпространстве

Е с Етр , то ||х; Е;Р||< кЬ(х) х е К(А)п Е.

Функционал Ь: Еа р ^ R можно, например, определить равенством Ь(х) = ||^1х; Е а р||. Если - положительная п.в. функция из Ь^,

то И удовлетворяет условиям леммы 2. Неравенство (12) влечет соотношение

||Ах; Еа,р|| < Ет р|| < кМА)В(х)+ Еа, р||

(хеК(А)),

поэтому, если на некотором пространстве Е функционал В обращается в нуль, то имеет место неравенство

||Ах; Е а, ^| < К^(А)|^1х, Е а, р|| X е К^П Е . (16) Этим замечанием можно воспользоваться, например, если

Е = {хе Е;р; х(т-1)(0)= х(т-1)(т)} а = р = 0. Подпространство такого типа возникает при рассмотрении периодических краевых задач.

В качестве второго примера рассмотрим подпространство

Е = -и є Ет р ; х<1)(

)+Ё ъ0х

іх(й(п) =

)=х(г )(т)+51 ъ;х0)(т)=0І, j=0’ где ъ; - матрицы размера пхп. Подпространство такого типа возникает при рассмотрении краевых условий типа Штурма - Лиувил-ля, многоточечных краевых условий и др.

Остановимся на усилениях неравенства (12), связанных с заменой нормы И в правой части неравенства полунормой Ь0(х) = = ||у0х; Еа,Л, где у0 - неотрицательная функция из с носителем 1+ = { є I, у0 ()> 0}, который может быть множеством неполной меры, то есть ше811+<Т (ше81 - линейная мера Лебега).

Такого рода усиление возможно, если оператор А допускает мультипликативное представление вида А=Р0, где Ох=^х+.. ^ш_ 1х(ш-1), Pv = qm1-1v', где ^(0 (1=0,1,., т-1) - абсолютно непрерывные матрицы-функции на I, Чш_10)>0 и detqm_1(t)ф0 п.в., возможность такого рода хорошо изучена для скалярного слу-

чая п=1 при п>1 соответствующий класс операторов заведомо не пуст.

Теорема 2. Пусть функционал В: Е;,Р ^ R удовлетворяет условиям теоремы 1, дифференциальный оператор А допускает мультипликативное представление указанного вида, функционал И0 определен равенством Ь0(х) = ||¥0х; Еа,р|| (хе е;р)0, где^0е Ц., ^0()> 0 п.в. и для любого 1 из I выполняются неравенства

(+ п [0, ?])> 0, оте^+п^Т ])> 0, (17) тогда имеет место неравенство

Iх; ЕтЛ < к4В(х)+ к5Ь0(х) (хе К(А)), где к4, к5 - некоторые постоянные.

Доказательство. Рассмотрим множество

N (5)={хе К(А), |х, Е;Л = 1, ||х, Еа, Л > 5} (5>0).

Установим оценку вида ц0=тГ{И0(х), хеК (5)}>0. Предположим противное, то есть что М-0=0, тогда существует последовательность {х.}сК(5), для которой И0(х.)<1Д. Так как {х.} - ограниченная последовательность в е;р , то в Ет-Р из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую для упрощения обозначений отождествим с {х.}.

Из сходимости х.^х0 в Е;-Р следует, что х(к) ^ х0к) (к=0,1,...,ш-1) в пространстве Еа, Р и ||х0; Е а, Р||>5> 0. Кроме того, отсюда следуют сходимости по мере и существование такой подпоследовательности (ее мы снова отождествим с {х.}), что х(к)()^ х0к)() п.в. на I и, следовательно, vi = Q(xi )^v0 п.в., на I. Обозначим множество, на котором эти сходимости имеют место, 11 (ше8111=Т). Тогда тем более И0(х.)^И0(х0), что влечет равенство И0(х0)=0 и, следовательно, у„х0=0 п.в. (на 12, ше8112=Т) на I. Таким образом, на 12п1+ выполняется х =0.

0 0

Докажем, что V,, = 0(х 0 ) = 0 п.в. на I. Для этого докажем, что v0o= 0 п.в. на произвольном отрезке 12 ]с I. Так как v0 = Q(x0),

P(V0) = PQ(X0), Ят-Л = Ах0 , V0 = Ят-1Ах0 > 0 , т°

v0 (1) - вектор-функция с неубывающими компонентами п.в. на I (на 13, ше8113=Т).

Пусть [11, 12 ]з[11, 12 ] и 11, 12 еI+n I! п ^ п Iз. Такие 11, 12 всегда существуют в силу неравенств (17). При этом получаем, что для 1 е ^ п [11, 12] выполняется 0 (11 )< К V0 ()^„ (;2 ) = 0. Та-

ким образом, доказано, что v0 (1)= 0 п.в. на I. Отсюда Ax0=Pv0=0• Получаем, что

|| Ах0; Е а, Р || + Ь0 (х0 ) = 0, что влечет из леммы 2 ра-

венство х0=0. Получаем противоречие с тем, что ||х0; Еа,Л > 0. Таким образом доказано, что ц0>0. Тогда очевидно, что функционал

)= IIх; Еа, Л-5 х Ь0(х) ,

заданный на N (5), ограничен сверху некоторым конечным числом с(5). Тогда для х еК (5) выполняется неравенство ||х; Еа, Р|| < 5 + с(5)Ь0 (х) и, следовательно, для хе К(А) имеем ||х; Еа,р||<5 + ||х; Е;^| + с(5)Ь0 (х). Из этого неравенства и теоремы 1 следует доказываемое утверждение.

Теорема доказана.

Следствие. Если функционал В обращается в нуль на некотором подпространстве Е с Е; Р, то в условиях теоремы 2 справедливо неравенство ||х; Е; Р|| < к5Ь0(х) (хе К(А)пЕ).

Оценки нормы |; Е;, Р||, гарантируемые теоремами 1, 2 и следствиями из них, носят характер обратных неравенств, поскольку основное их содержание связано с оценкой исходной нормы] |-; е; Л через более слабые нормы (полунормы). Необходимо подчеркнуть, что обратные неравенства относятся лишь к вектор-функциям из конуса К(А) и в определенной мере характеризуют степень узости данного конуса.

Установим нелинейный вариант обратных неравенств. Пусть шах{а, Р}>1, к=шт{ш-а, ш-,}, ИеЬ1,

т - к +1 /. . \

1 < р1 <^.—г, ( = k;•••; т-1), (18)

1 - к +1

0<с0<^, коэффициенты оператора А принадлежат Ь. Обозначим через N 0 множество вектор-функций х:!^Кп из , удовлетворяю-

щих п.в. дифференциальному неравенству

|Ах| < с0+ £Iх(1)р‘ ^+ Ь .

Теорема 3. Существует такая неубывающая функция У:И+^ И+, что для всех вектор-функций класса N 0 справедлива оценка

||х; Ц;|| < ^|х; Щ).

Доказательство. Пусть х0еК0. Фиксируем И0 так, чтобы ||х; Щ < R0. Неравенство (19) влечет соотношение

||Ах; LJ < с0Т + с0 Х||х(1); Ц|| +

1=к

+ 11Ь; <кб+с0Х||х; ц1р,||р‘.

Теперь воспользуемся неравенствами

||х; Ц1! < к7 (Ах; Ц|| + ||х; Ц||),

(20)

||х; Ц,|| < к()|х; Цт|р||х; Ц||^‘. (21)

Неравенство (20) вытекает из леммы 3. Неравенство (21) следует из мультипликативных неравенств Гальярдо - Ниренберга [6], постоянные к7, к(.) не зависят от х из Цт, а постоянные т. определяются равенством

т - к т - к

(і = к, ..., т-1).

Тогда

; Ц1! <к71 кб+с0 Х||x, Ц,||Р‘ +|Iх; Ц|| |<

|< к8 + к9 Х||X; Ц,, || < к + X к(1)|х; Ьт|Г“ ||х; Ц^1(1-Т‘5

I 1=^ 1=к

^ х-'11 Т т1р.т.

<к8 + кю X х; Ц ,

1=к

где к10 не зависит от И0. Так как т.р.<1, то тогда ||х; ьт|| < R1, причем постоянная зависит от х и не зависит от х0еК 0.

Теорема доказана.

Метод доказательства теоремы 3 использовался во многих работах (см., например, [7-9] и приведенную там литературу).

3. В качестве приложения рассмотрим задачу о нахождении решений системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющую краевым условиям

В; (х )= 0, (|=1,...,ш), (22)

где В;: Е;, Р — Rn - непрерывные операторы (0<а, Р<ш-1). Решениями задачи (1), (22) будем называть вектор-функции х класса Е;, Р, удовлетворяющие системе (1) и краевым условиям (22).

Краевая задача (1), (22) изучается при ряде ограничений на ее данные. Ниже предполагается, что матричные коэффициенты а. (!=0,1,...,ш-1) оператора А суммируемы по отрезку I; функция Д(1, £) (1е I, ^=(^0, |1,., ^ш-1); ^.е Ип) удовлетворяет условию Каратеодори, то есть Д(1;, ^) измерима по 1 при фиксированном Е, и непрерывна по Е, почти при всех 1.

Кроме этих предположений общего характера будут использоваться ограничения более специального вида. Первые два условия У1, У2 относятся к линейному варианту задачи (1), (22), возникающему при Х=0.

Положим: КегА = {х є Етр; Ах = о},

0

Е = {хє Етр; Bj(x)= 0; j = 1,2, ..., т}.

условие невырожден-

У1. КегАп Е = {0} -ности.

У2. Существует такая неотрицательная функция у из Ьк, что для всех функций хе К(А)п Е имеет место неравенство

||Ах; Еа,Л<||¥х; Еа. р|| . (2з)

Условие У1 влечет существование и единственность решения задачи (1), (22) при Х=0 и любом у из Ь1; соответствующее решение обозначим Ку. Определяемый таким образом оператор К действует и непрерывен из

Ь1 в Ь1.

Анализ условия У2 содержится в пункте

2. Оценка (16) очевидным образом влечет неравенство (2з) с у=к^(А)уг Теорема 2 и следствие из нее означают, что возможны случаи, когда функция у обращается в нуль на множестве положительной меры.

Условия У3, У4 ограничивают рост функции Щ, ^) снизу и сверху соответственно.

У3. Г(1, 0>у(ОМ0(^01)[^0], где М0:И+^К+ -положительная непрерывная функция, для которой М0(и)—^ при и——^, у - функция, фигурирующая в условии У2.

У4. Для каждой константы N существует такая постоянная с(№), что если р01£0| + р11^| +

+ ... + рт-1 М < N то

|Г (1, £)< с№ + Х

где к=шт{ш-а, ш-,}, числа р. (.=к,., ш-1) удовлетворяют оценкам (18).

Теорема 4. Пусть выполнены условия У1-У4. Тогда для каждой функции уе Ь1 найдется такое число Х0>0, что при любом Хе (0;Х0) существуют два решения хХ, ХХ задачи (1), (22), причем хХ—х0=Ку в ; ||ХХ; Цт|| — ^ при X—0.

Доказательство. Пусть X - фиксированное положительное число. Так как функция М0:И+—И+ непрерывна и М0(и)—^ при и—^, то найдется такой вектор ш0(Х)еКп, что ХМ0 (^01 )§0 ] > к [^0 ] - т0 (X), где кп = 2л/П. Согласно условию У3 отсюда следует неравенство

ХГ( 0>х¥(04(&|^]> кпЫО-т0(ХМ0 и

следовательно

ХГ(1, £)+ т0(х)у(0> кп[^0М0> 0 (24)

Р

Положи^ /т (, |)= (1 - т)(А/ (, |)+ у) +

+т(кп [<^0 М0+1) (0 <т< 1);

^(х)= /( • ;х,хх(т-1)),

рт(х)=/т( • ;х,х',...,х(т-1)).

Включим задачу (1), (22) в семейство задач

Ах = ^(х), х є її , (25)

зависящих от параметра тє [0; 1].

Пусть х - решение задачи (25) при некотором т,

У1 = кп [х]¥+1 ]+ (1- тХ^р(х)+ т0 (х)¥),

У2 = (1 -т)(у- т0(х)¥); щ = Ку, (і=1, 2Х тогда щ1 + щ2 = х.

Очевидна оценка |Щ1;і”|<^, Я1 не зависит от т. Функция щ1 = Ку1 из Е удовлетворяет неравенству Ащ1 = у1 > 0, поэтому согласно условию У2 имеем

||Ащ1; Еав\\<Ущ1'; Еа,в ||.

Кроме того, используя элементарные

неравенства л/^2 +й +... + ^« >^п(^1 + ^1 +

+ ... + |1пр, \^\ + ІІ2І + ... + |1п| >л/^2 + І2 + ... + |П и

(24), получим

|| Ащ1; Е«,^|=ІІРУ1; Ь1II > ^ (ру1 ,т) >

> ~Г ЫФп |х(Ф() + п) >

л/П I

> I(2Р(Н ()+ щ2()^()+ л/Йтр^))* >

I

2|^щ1; Еа,в || - 2|^Щ2; Еа,в || + ^2 >

> 2|^щ1; Еа,в||- Л3. (27)

Используя (26), (27), получим, что Ащ1; Еав||< Я3, откуда в силу условия У1 вытекает неравенство |Щ1; Е^р | < Я4, где И4 не зависит от т є [0; 1]. Используя предложение 2,

условие У4 и теорему з, получим оценку Щ; 1т\\ < Я5.

Таким образом, х;Ц^\< Я = Я1 + Я5, где И не зависит от те [0; 1].

При т = 1 задача (25) не имеет решений. В этом случае у=0, щ = КУ2 = 0 и требуемое заключение следует из (26), (27). При произвольном т множество решений задачи (25) совпадает с множеством особых точек вполне непрерывного в цт векторного поля Фт (х) = х - ХК¥т (х), невырожденного на границе шара 5Я = {х е {;|| х; Ц\\ < Я}. Отсюда имеем гомотопность на границе Э5Я шара 8а полей Ф0, Ф1. Поскольку гомотопные поля имеют одинаковое вращение ([10], с. 137), то у(Ф 0, БЯ ) = /(Ф1; 5Я). Так как поле Ф1 не имеет особых точек, то /(Ф0, 5Я )=/(Ф1; 5Я )=0. Следовательно, вращение поля Ф0 на сферах больших радиусов пространства дЯ равно 0 и

1М (°°, Ф 0 ) = 0. Это равенство справедливо при любом Х>0.

Фиксируем Я0 > 0 и положим

х0 = Ку, 5(х0,Я0 )={хе {;||х - х0; 1?\< Я0}

Оператор КБ ограничен на каждом ограниченном подмножестве пространства , поэтому найдется такое число Х0>0, что Х0||КР(х) Ц^|| < R0, если ||х - х0; = R0. При любом Хе(0;Х0) векторное поле

Ф0 (х)= х - х0 -ХК¥ (х) не вырождается на границе шара Б(х0, И0) и /(Ф0,5(х0,Я0))= 1. Сравнивая это равенство с ранее установленным равенством 1М (°°, Ф 0 )=0, получаем, что при любом Ае(0,А0) выполняется соотношение /(Ф 0,5 (х0, Я0 )) Ш (°°, Ф 0). В силу теоремы об алгебраическом числе особых точек ([10], с. 139) поле Ф0 имеет хотя бы две особые точки хХ, ХХ, причем хХе Б(х0, И0), ХХй Б(х0, И0). Отсюда вытекает требуемое заключение о поведении ветвей хХ, ХХ при X—0.

Теорема доказана.

Список использованной литературы:

1. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. - 808 с.

2. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. - 455 с.

3. Климов В. С. Одномерные краевые задачи с двумя решениями // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Вып. 3. Ярославль, 1978. - С. 90-111.

4. Климов В. С. О краевых задачах с четным числом решений // Дифференциальные уравнения, 1994, т. 30. С. 630-636.

5. Лионс Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

6. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, 1959, V. 13, P. 115-162.

7. Клоков Ю. А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики. Рига, 1963.

8. Похожаев С. И. О нелинейных операторах, имеющих слабо замкнутую область значений, и квазилинейных эллиптических уравнениях // Матем. сб. , 1969, т. 78, № 2. С. 236-258.

9. Похожаев С.И. Об априорных оценках решений квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка // Дифференциальные уравнения, 1983, т. 19, № 1. С. 101-110.

10. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 510 с.

11. Избранные главы анализа и высшей алгебры: Учеб. пособие / Фаддеев Д. К., Вулих Б. 3. и др. - Л.: Изд. ЛГУ, 1981. - 199 с.