Некоторые результаты по теории возмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ МНОГОЗНАЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ВЫПУКЛЫМИ ЗАМКНУТЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ОТОБРАЖЕНИЕМ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА С НЕВЫПУКЛЫМИ ОБРАЗАМИ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

© А.И. Булгаков, Л.И. Ткач

Bulgakov A.I., Tkach L.I. Some Results On The Theory Of Disturbing Multiciphered Operators With Convex Closed Images By Mapping Of Hammerstein Type With Nonconvex Images And Their Applications. The results on the theory of disturbing multiciphered operators by mapping of Hammerstein type obtained last year at the chair of algebra and geometry of Tambov State University are given in the article. This theory is effective for researching into properties of solutions of boundary value problems for functional differential inclusions with a multiciphered functional vector.

Здесь анонсируются результаты по теории "возмущений" многозначных операторов отображением типа Гаммерштейна, которые в последние годы были получены на кафедре алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г. Р. Державина. Как оказалось, эта теория "возмущения" эффективна для исследования свойств решений краевых задач для функционально-дифференциальных включений с многозначным вектор-функционалом.

В работе рассматривается включение, правая часть которого представляет собой сумму многозначного оператора с выпуклыми замкнутыми значениями и многозначного отображения типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами. Поэтому оператор, порожденный правой частью такого включения, не является замкнутым выпуклым оператором [1]. В связи с этим традиционные методы (теорема Какутани [2], принцип сжимающих отображений [3]), исследований здесь неприменимы. Изучение такого включения в работе проводится на основе теории непрерывных ветвей многозначных отображений с привлечением теоремы Майкла [4] и результата работы [5]. Для этого включения доказываются теоремы существования решений, а также изучается структура множества решений. Теория такого включения применяется затем для изучения краевых задач дифференциальных включений с многозначным вектор-функционалом.

Пусть Y - банахово пространство с нормой ||-||; U с Y. Обозначим U - замыкание множества U; coU - выпуклая оболочка множества U; coU = coU; extU - замыкание множества крайних точек множества U; ||С|у = sup {||ы|| : и е U}; 2Y - множество всех непустых, ограниченных подмножеств пространства Y; Q(Y) - множество

всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств пространства У. Пусть Ф2 с К Тогда /)+[Ф7;Ф2] = ¡ир{ру[у;Ф2]:у еф;} >

где р7 [•, •] - расстояние между точкой и множеством,

А7[Ф;;Ф2] = тах<^1у[ф1;ф2\^>у[ф2',ф1^

хаусдорфово расстояние между множествами Ф] и Ф2; Ф} + Ф2 = {х + у : х е Ф), у е Ф2}.

Пусть X - банахово пространство и с X. Рассмотрим многозначное отображение Ф : £/ —> 2Т. Будем говорить, что Ф полунепрерывно сверху (снизу) в точке х е I/, если для любой последовательности X, е II, / — 1, 2, ..., сходящейся к х в X, выполняется равенство

Ит ку\ф(х1);ф(х)] = 0 ^ Нт ку[Ф(х); Ф(х, = 0^ .

Если отображение Ф полунепрерывно сверху (снизу) в каждой точке множества II, то будем говорить, что Ф полунепрерывно сверху (снизу) на II.

Пусть Лп - пространство л-мерных вектор-столбцов с нормой | ■ |; с,отр[В!г\ - множество всех непустых компактов пространства Кп. Пусть множество II с [а, Ь\ измеримо по Лебегу (цу > 0, ц - лира Лебега). Обозначим Ьп(Ц) пространство функций х : и —>• Яп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой \\А\1п(и) = \и\х(*)№;', Ща, Ь] - пространство

абсолютно непрерывных функций х : [а, Ь\ —> Яп с нормой \\х\\оП=\х(аМ\х\\ьП^ьу С"[а, ¿1

пространство непрерывных функций х : [а, Ь\ -» Ип с нормой 1И^й = тах^х(1)\:г е[а,й]} ;

С+[а,й] - конус неотрицательных функций пространства СЦа, Ь].

Будем говорить, что множество Ф с Ьп[а, Ь\ выпукло по переключению, если для любых измеримых по Лебегу множеств 11\, и2 с [а, Ь\ таких, что 11\ П и2 = 0 , Щ и Щ = [а, Ь\ и любых х, у е Ф справедливо включение ~1(и\)х + х №)У е гДе х (■) - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через П\Ьп\а, Ь]\ (О (П\Ьп\а, /)]|) множество всех непустых ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению (выпуклых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению) множеств из Ьп[а, Ь\. Отметим, что понятие выпуклого и выпуклого по переключению множеств суть два независимых понятия.

Далее, измеримость множеств понимаем по Лебегу, измеримость многозначных отображений понимаем в смысле ([3]. С. 338). Непрерывность многозначных отображений везде понимаем по Хаусдорфу.

§ 1. ВОЗМУЩЕНИЕ ВЫПУКЛОЗНАЧНОГО ОПЕРАТОРА МНОГОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА С НЕВЫПУКЛЫМИ ОБРАЗАМИ

Рассмотрим в пространстве О^а, Ь\ включение

х е ^(х) + УФ(х), (1)

где многозначный оператор Т : ОЧа, Ь\ 0((?[а, Ь\) компактен, многозначное отображение Ф : (У\а, Ь] -> П[Ьп[а, Ь]\ обладает свойством: для каждого ограниченного В с (У\а, Ь\ образ Ф(В) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьп\а, Ь\ —> О^а, Ь\ определен равенством

(У1)(1) = j^V(t,s)z(s)ds, ?е[а,й], (2)

переводит каждое слабо компактное в Ьп\а, Ь] множество в компактное в Сп\а, Ь] .

Под решением включения (1) будем понимать такой элемент х е О^а, Ь\ , для которого справедливо включение (1). Таким образом, каждому решению х включения (1) соответствуют такие V е 04а, Ь\ и г е Ьп[а, Ь\, что

V е 'Р(х), I е Ф(х) и х = и + VI. Пусть

- множество всех решений (принадлежащих множеству и) включения (1).

Отметим, что многозначные операторы Т и Ф, вообще говоря, могут быть и не вольтерро-выми операторами. Кроме того, значения Ф(х) во включении (1) не предполагаются выпуклыми множествами, поэтому образ УФ(х) в (1), вообще говоря, не только не является выпуклым, но и замкнутым множеством пространства 0>[а, Ь\ . И, следовательно, оператор, порожденный правой частью включения (1), не замкнут.

а) Возмущенное включение с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее нуль. Здесь предполагается, что ядро оператора V, вообще говоря, может состоять не только из нулевого элемента.

Пусть оператор М : О^а, Ь] —> 2с"1а> *1 определен равенством

М(х) = ^Р(х) + ¥Ф(х). (3)

Теорема 1. Пусть и - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства Сп[а, Ь\ , что М(Ц) с и . И пусть отображения ¥, Ф, непрерывны. Тогда доя любого е > 0 и любых функций г е Сп\а, Ь\ и ■м е Ьп[а, Ъ] существует решение х е и включения (1) и существуют V е '}'(х) иге Ф(х), удовлетворяющие равенству х = V + VI, которые обладают свойствами:

\\г-”\»[а,ь]**с»[а4г:Х¥(х)\ + *’ <4>

для любого измеримого множества и'а \а, Ь\ выполняется неравенство

I к - г\\ьп(и') - рI»(и•)К ф(х>] + г^(и') • (5)

Если Ф : 0[а, Ь] 0.{ЩЬп\а, 6]]) , то утверж-

дение справедливо и при е = 0.

Будем говорить, что для непрерывного оператора Д*с1 [а, й] ->■ С+ [а, й] сходятся последовательные приближения, если доя любой функции у о еС+[а,й], удовлетворяющей неравенству

у о ^ А* Уо > последовательные приближения У,+1=АУ1, г = 0, 1, 2, ..., сходятся в пространстве С?[а,й] к функции у, независящей от

функции Уо.

Будем говорить, что отображение Т и произведение УФ обладают свойством (ИГь РО'1 на множестве £/ с 0[а, Ь\, если най-

дутся изотонные непрерывные операторы

Г;: с\ [а, й] -> Ь1 [а, й] и Р^ : С+[а,й] Я1 , удовлетворяющие условиям: для любых х, у е II и любого измеримого множества и с [а, Ь] доя отображения Г1 выполняется неравенство

\»(и)[ф(х); ф(У)}-\\Г12(х-У)\\ь1(и)’

для любых х, у е и для отображения выполняется оценка

ксп[аьр’(х):'¥(у)}-^1(2(х~у)) ’ ^

для непрерывного оператора А;:С|[а,й]^ С+[а,й], определенного равенством

(Ьц)0) = \ЬаУ(1,8)\(Т11)($)с15 + 'Р1(1) + ч(1), (8)

сходятся последовательные приближения. Здесь | У((, ^)| -согласованная с пространством В.п норма п х п - матрицы У(1, s) в представлении (2),

V е С+[а,й], а отображение Z: ОЧа, Ь\ -> С\а, Ь\ определено соотношением

(&)(() = Ш, / 6 [а, Ь]. (9)

Если и = ОЧа, Ь\, то в этом случае будем говорить, что отображение ¥ и произведение УФ обладают свойством Р1)у .

Рассмотрим в пространстве С][а, Ь\ уравнение

%ч0) = \Ьа\У0,8)\(Г1^)(з)с1з + Р1аУ) + ч(0, (10)

где отображения Г}, Рх удовлетворяют неравенствам (6), (7), соответственно.

Пусть q е ОЧа, Ь] и и'о е Ьп[а, Ь\. Представим функцию д в виде равенства

ц = г0 + Ул!0 + е, (11)

где г0 е Ч/(?), е = ц - г0 - Ум>0. Пусть, далее, функция к е Ь1\а, Ь] для каждого измеримого и с. [а, Ь] удовлетворяет неравенству

Рьп(и)[™о;ф(ч))±\ик($)с1$, (12)

а функция УЕ ес1[а,ь\ для любого / е [а, Ь\ определена соотношением

у£(1) = ^\У (1, я )\( е + к($))й$ + е +\е(1)\, е >0, (13)

где | У(^ д)| - согласованная с пространством Яп норма п х п - матрицы У((, я) в представлении (2), а е - функция в правой части равенства (11).

Теорема 2. Пусть отображение Ч7 и произведение УФ обладают свойством (И’^Р^''^

на множестве С/ с ОЧа, Ь\, где функция у8 определена равенством (13), е > 0 и пусть ц е и. Тогда для каждого решения х е I/ (х = и + Кг,

V е Т(х), г е Ф(х)) включения (1), удовлетворяющего неравенству (4) и удовлетворяющего при любом измеримом множестве и а [а, Ь\ неравенству (5), в которых г = г$ и w = щ выполняются следующие неравенства: при любом / е \а, Ь\ \х(0 - #(7)| < %^(1); при почти всех

? е [а, Ь\

№ - щ0)\ < р. + Щ + (Г£Ш (14)

IIй ^1|сп[о а] ~ + 8 > (15)

где £,е - решение уравнения (10) при V = у6, для функции д, го, ц>о имеет место представление (11), а Г1, Р1, А: удовлетворяют неравенствам (6),

(7), (12), соответственно.

Из теорем 1, 2 вытекает

Следствие 1. Пусть II - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства ОЧа, Ь] , что М(Ц) с и, где оператор М определен равенством (3). Пусть оператор ¥ и произведение УФ обладают свойством (РГ 1;Р1)''е на множестве £/, где функция уЕ

определена равенством (13), е > 0 и пусть функция <7, представимая равенством (11), принадлежит и. Тогда существует решение х включения (1) и существуют V е Ч*(х) иге Ф(х) , удовлетворяющие равенству х = V + VI, для которых при любом t е [а, Ь] выполняется неравенство |х(7) - <7(%)| < и при почти всех I е \а, Ъ] выполняется оценка (14), а также справедливо соотношение (15), где - решение уравнения (10) при у = ve.

Если Ф : ОЧа, Ь] —> 0.(Т[[Ьп[а, Ь\\) , то утверждение справедливо и при е = 0.

Замечание 1. Отметим, что следствие

I дает несколько больше, чем просто условия существования решения включения (1). Оно дает способ нахождения приближенного решения, путем подбора функции # е Ог[а, Ь\. При этом функция В,Б, зависящая от функций д,

го е ОЧа, Ь] и н'о е Ща, Ь\, дает оценку погрешности приближенного решения (функции ц) включения (1).

Далее, приведем достаточные условия существования выпуклого ограниченного замкнутого множества и с 0\а, Ь\, для которого справедливо включение М(Ь) с и.

Пусть отображение ^'\а, Ь\ х С"[а,й] ->

определено равенством

4>({,х)= еЯп: Зг^(х), у =*(%>}• (16)

Будем говорить, что отображение 'Р и произведение УФ обладают свойством (УГ2; Р2), если найдутся изотонные непрерывные операторы Г^: Ь][а,Ь\ и Р^: С+[а, 6] ->■ с{\а, Ь\,

удовлетворяющие условиям: для любого

х е ОЧа, Ь\ и любого измеримого множества

II а [а, Ь\ для отображения Г2 выполняется неравенство

\ф(хЯьп(и) -'№'22(хЯь1(и) '' (17^

для любого t є I а, Ъ\ и любого х є Сп\а, Ь\ выполняется оценка

F^'xi.Rn ^p2(Z(x))(t) ;

для непрерывного оператора A ¿:C+[a,ô]-

cl\a,b], определенного равенством

х є 'i'(x) + УсоФ(х) .

(20)

(Л2Z)(t) = f \V(t,s)\(r2Z)(s)ds + V2(z)(t),

(18)

сходятся последовательные приближения. Здесь | V(t, s)| - согласованная с пространством Rn норма п х п матрицы V(t, s) в представлении (2), отображения Z и Ï определены равенствами (9) и (16), соответственно.

Пусть со є Cl[a, b] - неподвижная точка оператора Д2, определенного равенством (18), и пусть непрерывное отображение W : 0[а, b] -> С?[а, Ь\ задано соотношением

(Wx)(t) =

x(t), если \x(t)\< <£>(t),

X(t)-Mt), если \x(t)\>m(t).

\x(t)\

Лемма 1. Пусть оператор *Р и произведение УФ обладают свойством (КГ2; Р2). Тогда множество и = соМ(1¥(Сп[а,Ь])) - выпуклый

компакт пространства 0[а, Ь\, для которого справедливо включение М(Ц) с и, операторы

IV и М определены равенствами (19) и (3), соответственно.

Из леммы 1 и следствия 1 вытекает

Следствие 2. Пусть оператор Ч* и произведение ¥Ф обладают свойствами (И^; и (КГ2; Р2), где функция определена равенством

(13), е > 0 и пусть функция { е 0[а, Ъ] пред-

ставима равенством (11). Тогда существует решение х включения (1) и существуют V е Ч'(х) иге Ф(х), удовлетворяющие равенству х = V + VI, для которых при любом / е \а, Ь\ выполняется неравенство |х(/) - #(/)| < (/) и

при почти всех / е \а, Ь\ выполняется оценка

(14), а также соотношение (15), где - решение уравнения (10) при V = уе.

Если Ф : 0[а, Ь\ -> 0(П|Ьп[а, ¿>]]), то утверждение справедливо и при е = 0.

Будем говорить, что функция х е 0[а, Ь] является квазирешением включения (1), если существует такой и е Т(х) и такая последовательность е Ф(х), г = 1, 2, ... , что у1 = V + Ум>1 -> х в 0[а, Ь] при / -> да. Пусть Н - множество всех квазирешений включения (1).

Рассмотрим включение

Пусть НС0(НС0(Е/)) - множество всех решений (принадлежащих множеству Ц) включения (20).

Теорема 3. Нсо = Н .

Замечание 2. Отметим, что теорема 3 справедлива без предположение какой-либо непрерывности операторов ТиФ.

Будем говорить, что отображение Ф : Сп[а, Ь\ —> П[Ьп[а, Ь\| ослабленно замкнуто в х е Сп[а, Ь\, если для любой последовательности хг- -» х в 0[а, Ь\ при ¡-> ® и для любой последовательности у1 е Ф(хг), I = 1, 2, ..., удовлетворяющей условию У1 —> у слабо в Ьп[а, Ь\ при г -> да выполняется включение, у е Ф(х). Если отображение Ф ослабленно замкнуто в каждой точке множества V, то будем говорить, что отображение Ф ослабленно замкнуто на С/.

Пусть отображение соФ : 0'\а, Ь] —>

0.{Ьп[а, Ь\) определено равенством

(еоф)(х) = Со(ф(х)) .

Лемма 2. Если отображение соФ полунепрерывно сверху на множестве U с 0[а, Ь\ , то соФ ослабленно замкнуто на U.

Из леммы 2 вытекает

Теорема 4. Пусть U - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства О [а, Ь], что M(U) с U, где оператор М определен равенством (3). И пусть отображения Чг”, соФ полунепрерывны сверху или снизу на U. Тогда Н * 0.

Из теоремы 4 и леммы 1 вытекает

Следствие 3. Пусть оператор Ч' и произведение УФ обладают свойством (УГъ Р2) и пусть отображения Y, соФ полунепрерывны снизу или сверху на 0[а, Ь\. Тогда н * 0.

Пусть отображение F : \а, Ь] х Сп[а, Ь] —> comp[Rn\ обладает свойством: при каждом фиксированном х е 0[а, Ь] отображение F{-, х) измеримо и удовлетворяет равенству

Ф(х) = {у е Ln[a, b] : y(t) е F(t, х) при п.в. t е [а, £]}.

Согласно [1] такое отображение существует. Далее, отображение ехаФ : Сп\a, b\ -> I \\Ln\a, /;|| определено равенством

(ех№)(х) = |>> б1"[о,6].7(() eext{coF(t,x)^

при п.в. t е[а,. (21)

Отметим, что согласно [1] при каждом х е 0[а, Ь\ множество (ех/Ф)(х), определенное

равенством (21), - минимальное по включению выпуклое по переключению, замкнутое в пространстве Ln[a, b\ множество, содержащееся в множестве Ф(х) и удовлетворяющее условию

со[(ех1Ф)(х)] = со[Ф(х^]. (22)

Рассмотрим в пространстве 0\а, Ъ\ включение х е 'V(x) + V(exKS>)(x) . (23)

Пусть н gxt - множество всех квазирешений включения (23) И пусть Hext (Hextfü)) - множество всех решений (принадлежащих множеству U) включения (23).

Из равенства (22) теорем 3, 4 вытекает

Следствие 4. Нсо = Н е#.

Следствие 5. Пусть U - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства ОЧа, Ь\, что M(U) с U, где оператор М определен равенством (3). И пусть отображения VF, соФ полунепрерывны сверху или снизу на U. Тогда Н ^ * 0.

Следствие 6. Пусть оператор Т и произведение УФ обладают свойством (КГ2; Р2) и пусть отображения VF, соФ полунепрерывны снизу или сверху на U. Тогда н ^ * 0.

Будем говорить, что отображение ¥ и произведение УФ обладают свойством А на множестве U с Ог{а, Ъ] , если для любого е > О существует 5 > 0, что для любого V е ,

удовлетворяющего неравенству ||v!!c?[a *] “ й ’

выполняется свойство (КГ2; Pi)v на множестве U, в котором для отображений Fj и Pj справедливы равенства Ti(O) = 0, Pi(0) = 0, а решение уравнения (10) удовлетворяет неравенству 1!М1с?[а а] < Е ' Если U = ОЧа, Ь\, то в этом случае будем говорить, что отображение Чг1 и произведение УФ обладает свойством А.

Теорема 5. Пусть V - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства 0[а, Ь\, что M(U) с U., где отображение М определено равенством (3). Далее, пусть оператор Y и произведение УФ обладают свойством А на множестве U. Тогда Я(и) = HC0(U) , где R(U) - замыкание множества Н(U) в пространстве 0\а, Ь\.

Из леммы 1 и теоремы 4 вытекает

Следствие 7. Пусть оператор 'F и произведение УФ обладают свойствами А и (VÍ'2; Р2). Тогда Н = Нсо, где i! - замыкание множества Н в пространстве ОЧа, Ъ\ .

б) Возмущенное включение с ядром оператора V, состоящим только из нулевого элемента и разложимым множеством решений. Здесь предполагается, что ядро оператора V состоит только из нулевого элемента, а также предполагается, что множество решений включения (20) Нсо или НС0(Ц) разложимы (определение см. ниже). В этом случае удается установить более тонкое утверждение, чем теорема 5.

Будем говорить, что множество \\со(\1со(и)) разложимо по многозначным отображениям 1Р, соФ или просто разложимо, если каждое решение х е НС0(НС(/С/)) однозначно представимо в виде

х=и+ VI, (24)

где V е ^(х), I е (соФ)(х).

Далее, определим отображение со : НС0(£У) —> 0[а, Ь\ равенством со(х) = V, где функция

V е ОЧа, Ь\ определена представлением (24). Далее, обозначим через К_1(у) прообраз элемента у е 0[а, Ь} оператора V. Зафиксируем некоторое отображение g : НС0(Ц) -» Ьп\а, Ь\ . Рассмотрим функционал л : Ясо(11) -> Я1, определенный соотношением

Т](х) = ц(х^(х)) = <а(х)) - ¡(х)\

II »Ь \а,Ь\

Отметим, что если х 6 Нсо(Ц), то прообраз УА(х - <о(х)) * 0 и состоит из единственного элемента в силу условия Р*(0) = 0.

Лемма 3. Пусть V с 0[а, Ь\ - ограниченное, замкнутое множество и пусть многозначные отображения *Р : 0[а, Ь\ -> П{0[а, Ь\), соф : 0[а, Ь\ -> 0.{ЩЬп[а, Ь]\) полунепрерывны сверху на и, а оператор g : НС0(Ц) —> Ьп[а, Ь] непрерывен. Тогда функционал т| полунепрерывен снизу на ИС0(Ц).

На основе леммы 2 и теоремы Бэра о категориях [6], доказывается

Теорема 6. Пусть и - такое выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства ОЧа, Ь\, что М(Ц) с и, где оператор М определен равенством (3). И пусть отображение 'Р и произведение У соФ обладают свойством А на множестве К Тогда Кех/Ц) ф 0 инЫ(У) = Нсо(и) , где Нехки) - замыкание

множества Вех1(1!) в пространстве 0[а, Ъ\ .

Из теоремы 6 вытекает

Следствие 8. Пусть отображение 'Р и произведение КсоФ обладают свойствами А и (УГ2; Р2). Тогда * 0, и нтаг = нсо, где

- замыкание множества в про-

странстве ОЧа, Ь\ .

Замечание 3. Отметим, что утверждения § 1 обобщают и уточняют результаты работ [1, 5, 7 - 14] по интегральным и дифференциальным включениям.

§ 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМ ВЕКТОР-ФУНКЦИОНАЛОМ

Здесь применяется рассмотренная в § 1 теория для исследования свойств решений краевых задач для дифференциальных включений с невыпуклой правой частью и выпуклозначным вектор-функционалом.

а) Функционально-дифференциальные включения. Рассмотрим красную задачу

¿хе Ф(х), /х е ф(х), (25)

где Ф : ОЧа, b] П[Ln[a, Ь\\, ф : ОЧа, Ь\ -> Q.{Rn) - многозначные отображения; / : b\

-» Rn, : ¡УЧа, b\ -» Ln\a, b\ - линейные непрерывные операторы. Пусть оператор Л : Ln[a, b\ —> Dn[а, Ь\ определен равенством

(Az)(t)= (tz(s)ds, t g la, b\. Запишем отобра-

¿а

жение jL в виде [15].

Qx + A(-)x(a) , (26)

где оператор Q : Ln\a, b] -> Ln\a, b] (главная часть оператора в представлении (26)) определяется равенством Q = «6Л, каждый столбец п х п - матрицы A{t) представляет собой результат применения оператора «б к соответствующему столбцу единичной матрицы: A(J) = Будем предполагать, что опера-

тор Q имеет обратный и обратный оператор: O'1 : Ln[a, b] -> Ln[a, b] непрерывен. Отметим, что этот класс линейных отображений содержит линейные дифференциальные операторы вида

(■¿х) (t) = x(t) + Р(t)x(t) ,

где п х п - матрица P(t) с суммируемыми на [a, b] элементами, дифференциальные отображения с операторами внутренней суперпозиции, интегро-дифференциальные операторы и др. [15].

Под решением задачи (25) будем понимать такую функцию х е /У1!«, Ь\ , которая удовлетворяет и первому, и второму включениям в (25).

Далее, будем предполагать, что линейная однородная задача

-Сх = 0, 1х = 0 (27)

имеет только нулевое решение. В этом случае согласно [15,с.51] существует непрерывный оператор Грина G : Ln[a, b\ -» D"[a, /;], определенный равенством

(Gz)(t) = j^G(t,s)z(s)ds, te [а, b\, (28)

который для произвольного z е Ln[a, b] решение л: е 1УЧа, Ь\ краевой задачи

°Сх = z, 1х = 0 (29)

представляет в виде х= Gz и, наоборот, каждое значение Gz - решение задачи (29).

Л е м м а 4. Краевая задача (25) эквивалентна интегральному включению

х е Х(-) ф(х) + бФ(х), (30)

где Х(-) - фундаментальная матрица решений первого уравнения (27), удовлетворяющая условию /(X) = Е (Е - единичная матрица, матрица /(X) представляет собой результат применения вектор-функционала к соответствующему столбцу матрицы X). Множество решений включения (30) разложимо.

Таким образом, в силу леммы 4, а также известных свойств оператора G : Ьп[а, Ь\ -» Ог[а, b] ([15]. С. 54), включение (30) удовлетворяет условиям, при которых рассматривалось включение (1). В связи с этим рассмотрим свойства решений задачи (25), вытекающие из изложенной в § 1 теории.

Будем говорить, что многозначный функционал ф и произведение <5Ф обладают свойством (Gr,;?j)v, если найдутся непрерывные изотонные отображения Г;:С+[а,й] -» 17[а,б] и

: cl [а, А] -» [<?, °с[, удовлетворяющие условиям:

для любых х, у е ОЧа, Ь\ для любого измеримого множества U с \а, Ь\ для отображения Ф выполняется неравенство (6), в котором Г; = Г;; для любых х, у е ОЧа, Ь] для отображения Р; выполняется оценка

hRn [ф(х); <?(у;] < ?] (Z(x - у)) ;

ддя непрерывного оператора

Aj:Cl[a,й] -> cl\a,b\, определенного равенством

&l(y)(t) = J*| G( t, s) | (f jy)( s)ds + Щ (y) + v( t),

сходятся последовательные приближения. Здесь X = max {¡X(i)| : t £ [д> b]}, |G(t, s)|, |Xfi)| - согласованные с пространством Rn нормы п х п - матриц G(t, s) (в представлении (28)) и

фундаментальной X(t), соответственно; функция veC+[a,ô]; отображение Z определено

равенством (9).

Будем говорить, что многозначный функционал ф и произведение СФ обладают свойством (Gr2;P2), если найдутся непрерывные

изотонные отображения С7+[а,й] —> £7[д,й]и

?2-'С+[а, *] -> [0,°°[ , удовлетворяющие условиям:

для любого х е Сп\а, Ь\ и для любого измеримого множества U с [а, Ь\ для отображения Ф выполняется неравенство (6), в котором г2 s г2\ для любого х ê ОЧа, Ь\ для отображения ?2 выполняется оценка

\\ч>(х)\\кп < Р2(Z(x));

для непрерывного оператора ~Â2:Cl\a,b\ -> с{\а, ô], определенного равенством

&2(У)(0 = \ba\G(t,s)\(г2у)( s)ds+1ХС t)\P2(y),

сходятся последовательные приближения. Здесь | G{t, î)|, |Х(/)| - согласованные с пространством Rn нормы п х п - матриц G{t, s) (в представлении (28)) и фундаментальной X(t), соответственно; Z определено равенством (9).

Рассмотрим в пространстве С\а, Ъ\ уравнение

tv(t) = J*| G(i,s)\(f]hv)(s)ds + XV](lv) + v(t), (31)

где число X, функции | G(t, î)|, v(t), отображения f],Fj определены выше. Согласно условию

(gF7;pj)v решение уравнения (31) существует.

Пусть q êO[îi, Ь\ и Wq е Ln\a, b]. Представим функцию q равенством

Я = Х(-)П) + Gwo + е, (32)

где r0 е <p(q), е = q - X(-)r0 -Gw0 (матрица Х(-) удовлетворяет лемме 4, оператор G определен равенством (28)). Пусть, далее, функция к е Ь\а, Ъ] для каждого измеримого U с [а, Ь\ удовлетворяет неравенству (12), а функция

vE eC|[i7,é] для любого t е [а, Ь\ определена

соотношением

ve(t) = j^\G(t,s)\(s + к(s))ds + e+\e(t)\, 8 > 0 (33)

где | G(t, î)| - согласованная с пространством Rn норма п х п матрицы Git, s) в представлении

(28), а е - функция в правой части равенства (32).

Из леммы 4 и следствия 2 вытекает

Теорема 7. Пусть многозначный функционал ф и произведение 6Ф обладают

свойствами (GT];V])Vs , (GT2;P2), где функция ve определена равенством (33). Тогда для любого е > 0 существует решение задачи (25), для которого при любом t е [а, Ь\ выполняется неравенство \x(t) - q(t)\ < %s(t) и при почти всех t е [а, Ь\ выполняется оценка

\(^X)(t)~W0(t)\<E + K(t) + f1(^)( t),

а также справедливо соотношение

\\М-)(Г0 -1х)\\сП^аЬ^<'К¥7(1л) + г , ГДе ФУНКЦИИ q ,

wo , вектор го представимы равенством (32);

- решение уравнения (31) при v = v6; отображение Гу , удовлетворяет неравенству (6) при Tj = Г], а функция к удовлетворяет оценке (12), матрица Х(-) удовлетворяет лемме 4, число X определено выше.

Если Ф : 0[а, b] -> Cl(J\\Ln\a, 6]]), то утверждение справедливо и при е = 0.

Будем говорить, что многозначный функционал ф и произведение СФ обладают свойством В, если выполняются следующие условия: найдется неотрицательная функция

(3 е Ь][а, Ь\, что для любых х, у е ОЧа, Ь\ и любого измеримого множества U с \а, Ь\ выполняется неравенство

\п(и)[®(х);®(у)] * - у\\сп[аЬ]; (34)

найдется число а > 0, что для любых

х, у е ОЧа, b] функционал ф удовлетворяет неравенству

hRn [<р(х); <р(У)] ^ “||* - ->ilc"[a,*] ’ (35)

для функции р е Ь![а, Ь\ и числа а > 0 справедливо соотношение

max [b\G(t, s)\p(s)ds + ал, < 1 (36)

tG[a,bya

где X = max{\X(t)\ : t e [a, ¿]}, \G{t, л’)|, \X(t)\ определены выше.

Рассмотрим в пространстве С\а, Ь\ уравнение

Iy(0 = (j*l G(t, s)\$(s)ds+akj^v^cl +v(t), (37)

где функция уеСЦа, й], a \G{t, i)|, функция Р > 0 и числа а, X определены выше. Отметим,

что согласно неравенству (36) уравнение (37) имеет решение для любой функции V е С+[я,й].

Следствие 9. Пусть многозначный функционал ф и произведение СгФ обладают свойством В. Тогда для любого £ > 0 существует решение х задачи (25), для которого при любом ? е [а, Ь\ выполняется неравенство \х(1) ~<](1)\<\Е(1) и при почти всех / е [а, Ъ] выполняется оценка

\(^х)0) - м!^)\ <Е+к(0 + рг/;||У , ,

II ПС-Чя,£|

а также справедливо соотношение ||Х(-)(г0 ~ Щспуа ^ < %е||С^Я;А] + <=, Ще фуНКЦИИ

<7, уид, вектор го представимы равенстовом (32),

- решение уравнения (37) при V = уе, которая определена равенством (33), функции к, р удовлетворяют неравенствам (12), (34), соответственно, матрица Х(-) удовлетворяет лемме 4, число X определено выше.

Если Ф : С”1а, Ь\ -» £1(И[Ьп[а, 6]]), то утверждение справедливо и при я = 0.

Замечание 4. Если °Сх = х , 1х = х(а), ф(х) = хо (хо е №), Ф - оператор Немыцкого, то оценки, установленные в теореме 7 и следствии

9 аналогичны оценкам опубликованным в работах [16-19].

Рассмотрим вместе с задачей (25) и задачи

°£хесоФ(х), 1хе<р(х), (38)

-¿х е (юйФ)(х), &е <р(х), (37)

где многозначный оператор ех/Ф : Сп[а, Ь\ -> 1\[Ьп[а, Ь\\ определен равенством (21). Пусть Н1, н\0, Н- множество всех решений задач

(25), (38), (39), соответственно.

Будем говорить, что многозначный функционал ф и произведение (5Ф обладают свойством С, если для любого е > 0 существует

5 > 0, что для любого V еС+[а,й], удовлетворяющего неравенству ^ < 5 , выполняется

свойство , в котором для отображений

Г/, Р; справедливы равенства г¡(0) = 0, Т](0) = 0 , а решение уравнения (31) удовлетворяет неравенству ||^||с/[а;А] < Е •

Так как согласно лемме 4 задачи (38), (39) эквивалентны включениям

х е Х(-)ц>(х) + соФ(х)), х е Х(-)<р(х) + ех№(х)) ,

где G - оператор Грина, определенный равенством (28), матрица Х(-) удовлетворяет лемме 4, то из леммы 4 и следствия 2 вытекает

Теорема 8. Пусть многозначный функционал ф и произведение (7соФ обладают свойствами С и (GT2;P2)- Тогда Н^ ф 0 и

^Ict - Н1 = н10 , где , Н1 - замыкания

множеств Hext * Н1 в пространстве O’fa, b\, соответственно.

Следствие 10. Пусть многозначный функционал ф и произведение (7соФ обладают

свойством В. Тогда H^t ф 0 , и = Н1= н10 ,

где H^j, Н1 - замыкания множеств И1Ы, Н1 в

пространстве О^а, Ь\, соответственно.

Замечание 5. Отметим, что известные результаты о плотности множеств решений дифференциальных включений с невыпуклой и овыпукленной правыми частями и о "бэнг-бэнг" принципе (см. обзоры и монографии [20 -26], а также работы [27 - 36]) касаются только задачи Коши для дифференциальных включений и предполагают в той или иной форме вольтерровость отображений ¿иФ. В теореме 8 и следствии 10 вольтерровость этих отображений не предполагается. Кроме того, эти утверждения распространяют результаты работ [1, 5, 8, 14], на случай, когда линейный вектор-функционал / возмущен многозначным вектор-функционалом ф.

Замечание 6. Отметим, что следствие

10 устанавливает, что для любого оператора Грина G, определенного равенством (28) и фундаментальной матрицы Х(-) решений первого уравнения (27) найдутся достаточно малые функция ß е ЬЦа, b] и число а > 0, удовлетворяющие неравенством (34), (35), соответственно, для которых справедливо равенство

Hlxt = Hl ■ То есть, другими словами, если задача (27) имеет только нулевое решение, то бэнг-бэнг принцип является устойчивым свойством относительно "малых" Липшицевых возмущений, вызванных многозначным отображением Ф и многозначным вектор-функционалом ф.

б) Дифференциальные включения с многозначным оператором Немыцкого. В этом случае можно получить мажорантные неравенства, параметры которых иногда представляют собой решения линейных интегральных уравнений.

Рассмотрим краевую задачу

(oix)(t) е F(t, x(t)), t е [а, b\, 1х £ ц>(х), (40)

v

где линейные непрерывные операторы oi : D"[a, b\ —> Ln[a, b\, I : Z>"[a, b\ -» Л" и многозначное отображение, ф : С1” [а, 6] -» 0(Л”) удовлетворяют условиям п. а) § 2. Многозначная функция F: [а, Ь\ х -> соот/)[Ля] удовлетворяет условиям: найдется такая неотрицательная функция р £ ЬЦа, Ь\, что для любых х, у 6 Rn и при почти всех t 6 [а, Ь\ выполняется неравенство

hRn\F^’ х); F(41)

для любого х £ Rn отображение F(-, х) измеримо; функция IIF(t; 0)\ п суммируема.

II IIR

Напомним, что оператор Немыцкого N : С^Ха, Щ ->• П\Ьп[а, Ь]\, порожденный функцией F, определяется равенством

Nx= {у £ Ln[a, b\ : y(t) е F(t, x(t))

при п.в. t е [а, Щ).

Будем говорить, что многозначный функционал ф и произведение GN обладают свойством С\ если найдется число а > 0, что для любых х, у е (У\а, b] функционал ф удовлетворяет неравенству (35); для непрерывного оператора Д: с\ \а, й] -» с\ \а, й], определенного равенством

(Az)(t) = jb\G(t,s\ Р(s)z(s)ds + aX\\z\\cl^a ^ + v(t),

(42)

сходятся последовательные приближения. Здесь функция р £ Ь![а, Ь\ и число а удовлетворяют неравенствам (41) и (38), соответственно; X = max{\X(t)\:t е[я,й]}, \G{t, j)|, |Х(0| - согласованные с пространством Rn нормы п х п - матриц G{t, s) (в представлении (28)) и фундаментальной матрицы решений X(i) первого уравнения (27), соответственно; v eC|[a,i] .

Пусть оператор д :С\\а,Ъ\ -» С+[а,й] определен равенством (42) при v = 0. Отметим, что, если функционал ф представляет собой постоянное множество из Rn, то в этом случае а = 0 и тогда оператор д представляет собой линейный интегральный оператор. Если спектральный радиус такого оператора д меньше 1, то для оператора Д, определенного равенством

(42) (при ос = 0), сходятся последовательные

приближения для любой функции veCl\a,b\.

Если а > 0 в условии Cv, то в этом случае последовательные приближения оператора Д сходятся если, например, выполняется неравенство (36), в котором функция р и произведение аХ определено в условии Cv.

Рассмотрим в пространстве СЦа, b] уравнение

WvO) = \ba\G(t,s)\^(s)^M(s)ds + aX\\V^\ci^¡^ + v(t)

(43)

Пусть функция veC/[a, й] определена равенством

v(t) = ¡ba\G(t, s)\\F(t, o\Rndt, (44)

где I G{í, 5)| определена выше.

Теорема 9. Пусть функционал ф и произведение GN обладают свойствами CV|! и Cv , где функция vs определена равенством (33), с функцией к, удовлетворяющей неравенству (12) при Ф s N, а функция v определена равенством (44). Тогда для любого е > 0 существует решение х задачи (40), для которого при любом te \а, Ь\ выполняется неравенство \x(t)-q(t)\ < \\ie(t) и при почти всех t £ \а, Щ выполняется оценка \(*¿x)(t) - Wg(t)\ < g + k(í) + + p (t)\\ie(t), а также справедливо соотношение ||X(-)(rg ~ lx)\cn[a b] < %E||cn[a>b] + * Где ФУНКЦИИ

q, wg вектор го представимы равенством (32), v|/v - решение уравнения (43) при v = ve, функция р удовлетворяет оценке (41), а для функции к справедливо соотношение (12), в котором Ф = N, матрица Х(-) удовлетворяет лемме 4, число X определено выше.

Если N: <?>[а, b\ -> Q(n[Ln[a, b\\, то угверж-дение справедливо и при е = 0.

Замечание 7. Отметим, что если ¿Lx = x и задача (40) - задача Коши (1х = х(а), (р(х) = хд, х0 е Rn), то в этом случае задача (27) имеет вид х = 0, х(а) = 0. Поэтому матрица

G{t, s), которая порождает оператор Грина задачи Коши определяется равенствами G(t, s) = Е при а < s < t < b и G(t, s) = 0 при а < s < t < b, где Е - единичная матрица, а О - нулевая матрица. И, следовательно, в этом случае оператор д, заданный равенством (42), в котором а = 0 и V = 0, представляет собой оператор Вольтерра, у которого спектральный радиус равен 0 для любой функции р е L\a, b], удовлетворяющей неравенству (41). Поэтому теорема 9 содержит в себе результат А.Ф. Филиппова с точностью до £ > 0 (см. [17]). Рассмотрим краевые задачи

(*¿x)(t) eco(F(t,x(t))), f е[а,й], 1х е ц>(х), (45)

(°Cx)(t) eext(coF(t,x(t))), /е[о,й], !хец>(х). (46)

Пусть Н2, Н20, Н¿с/ - множество всех решений задачи (40), (45), (46), соответственно. Пусть N - многозначный оператор Немыцкого, порожденный функцией coF.

Будем говорить, что функционал (р и произведение GN обладают свойством С, если для любого £ > 0 существует § > 0, что для любого veC+[a,ô], удовлетворяющей неравенству

1М1с7[а Ь] - 5 ’ выполняется свойство Cv, причем

решение уравнения (43) \|/v удовлетворяет неравенству ^ 6 .

Отметим, что, если в условии Cv а = 0 (т.е. в этом случае ср - постоянное множество из Rn), то функционал ср и произведение GN обладают свойством С, если спектральный радиус оператора À , заданный равенством (43), в котором а = 0, v = 0, меньше 1. Если в условии Cva > 0, то многозначный функционал ср и произведение GN обладают свойством С, если, например, выполняется неравенство (36).

Из теоремы 8 вытекает

Теорема 10. Пусть многозначный функционал ф и произведение GN обладают свойством Си С\ где функция v определена равенством (44). Тогда ф 0, \12ы =Н2 =

= Н¿о, где Bit, н2- замыкание множеств B2cxt, н2 в пространстве Q\a, Ь\, соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А. И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб. 1992. Т. 183. № 10. С. 63-86.

2. Канторович Л.В., Акилов Т.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 630 с.

3. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. С. 42.

4. Michael Е.А. Selected selection theorems // Amer. math. mon. 1956. V. 4. P. 233-236.

5. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образа-

ми и их приложения. I // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 371-379.

6. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. С. 16.

7. Булгаков А. И. Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных включений с невыпуклой правой частью // В сб. "Функционально-дифференциальные уравнения”, Пермь: ППИ, 1991. С. 28-57.

8. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений и интегральные включения с невыпуклыми образа-

ми и их приложения. II, III // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 4. С. 566-571; Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 5. С. 739-746.

9. Булгаков А.И., Васильева ИВ. Существование решений включения Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Вестн. ТГУ. Сер. Есгеств. и технич. науки. 1996. Т. 1. Вып. 2. С. 95-98.

10. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

11. Ляпин Л.Н. Множественнозначные отображения в теории интегральных уравнений с разрывным оператором // Дифференц. уравнения, 1973. Т. 9. № 8. С. 1511-1519.

12. Ляпин Л.Н. Непрерывные решения интегральных включений //Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № И. С. 20482055.

13. Ирисов А.Е., Тонкова B.C., Тонкое Е.Л. Периодические решения дифференциального включения // В сб.: Нелинейные колебания и теор. уравнения. Ижевск: УдГУ, 1978. Вып. 2. С. 3-15.

14. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб.: Дифференц. и интеграл, уравнения. Горький: Изд-во ГГУ,

1983. С. 32-38.

15. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. С. 16.

16. Plis A. On trajectories of orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. math. 1965. V. 13. X» 8. P. 571-573.

17. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. № 3. С. 16-26.

18. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы и управляемые системы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭИСОАН СССР, 1980. С. 155-179.

19. Толстоногое АА, Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве // Сиб. матем. ж. 1983. Т. 24. № 6. С. 144-159.

20. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений // Summer School on Ordinary Differential Equations. Crechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P. 29-67.

21. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-252.

22. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. М.: Изд-во МГУ, 1979. Ч. I.

23. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис АД., Обуховский В.В. Многозначные отображения // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 127-231.

24. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

25. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

26. Толстоногое A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986.

27. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 11. С. 1872-1878.

28. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат. Новосибирск, 1989. № 11. С. 14.

29. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип II. Бесконечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат. Новосибирск, 1989. № 12. С. 18.

30. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems // Boll. Unione Math. Italiana, suppl. 1980. V. 1. P.53-59.

31. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V. 29. № 3. P. 535-542.

32. Hermes H. The generalized differential equation x g R(t, x) //

Advances Math. 1970. V. 4. № 2. P. 149-169.

33. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bangbang” principle 11 Mathematical theory of control. N.Y.: Acad press, 1967. P. 35-45.

34. Papargeorgiou N.S. Functional-differential unclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side // Funkcial. Ekvac. 1989. V. 32. P. 145-156.

35. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // J. Different. Equations. 1977. V. 25. № 1. P. 30-38.

36. Толстоногое A.A., Финогенко И.А О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве // Матем. сб.

1984. Т. 125 (167). С. 199-230.

37. Борисович Ю.Г., Тельтман Б.Д., Мышкис АД., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1985.

Поступила в редакцию 9 декабря 1996 г.